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Circuit RLC
Oscillations électriques
forcées
I : INTRODUCTION
Comme en régime libre non amorti, les oscillations forcées d’un circuit RLC série sont sinusoïdales mais de fréquence imposées par
l’excitateur qui est le générateur, sur le circuit RLC série qui est le résonateur
YA
II : Circuit RLC en régime sinusoïdale ( régime forcé )
1) Circuit et équation différentielle
On considère le circuit ci-contre
Où on a : u( t ) = Um sin ( ω t + φe ) φe : phase initial de u ( t )
i ( t ) = Im sin ( ωt + φi )
φi : phase initial de i ( t )
* Si on appliqué la loi des mailles au circuit :
UC + UB + UR - U = 0
* On peut trouver l’équation différentielle en i ( t )
𝟏
𝐝𝐢
soit :
𝐢𝐝𝐭 + L
+ ( r + R )i = U
𝐂
U(t)
+
Uc ( t )
𝐝𝐭
2) Nature du circuit
a- Si 1/Cω >L ω ( c'est-à-dire ω0 >ω )
On a un circuit capacitif et on peut déduire que :
 i ( t ) est en avance de phase par rapport à u ( t ) : φi > φe
b- Si 1/Cω < L ω ( c'est-à-dire ω0 < ω )
On a un circuit inductif et on peut déduire que :
i ( t ) est en retard de phase par rapport à u ( t ) : φi < φe
La courbe A représente u ( t ) et la courbe B représente i ( t )
c- Si 1/Cω = L ω ( c'est-à-dire ω0 = ω )
On a un circuit résistif ( circuit en état de résonance d’intensité )
et on peut déduire que :
 i ( t ) est en phase par rapport à u ( t ) : φi = φe
∆t
Remarque : La résonance d’intensité correspond au passage d’un courant
maximale dans le circuit.
N = N0
UB ( t )
2)
Impédance et déphasage
 impédance Z d’un circuit RLC forcé
On peut déterminer Z par des différentes méthodes
𝐔
- Si on vous donne les courbes de u ( t ) et i( t ) : Z = 𝐦
𝐈𝐦
-
Remarque :
Quelque soit la fréquence N de la tension
délivrée par le générateur on a :
Um > URm puisque Z > R si la bobine et réelle
A laide de la construction de Fresnel on montre que
Z = (𝑹 + 𝒓)𝟐 + ( 𝑳𝝎 −
𝟏
𝑪𝝎
)
Facteur de puissance
NB : à l’état de résonance on a Z = R + r = Zmin
- A l’aide du facteur de puissance soit Z = (R + r) / cos ( ∆Ф )
avec ∆φ = φi - φe ( déphasage de i( t )par rapport à u ( t ) )
 Déphasage ∆φ d’un circuit RLC forcé
- A l’aide de la construction de Fresnel on montre que :
tg( ∆φ ) =
La construction de Fresnel consiste à associer
à chaque terme de l’équation différentielle
un vecteur appelé vecteur de
Fresnel qui possède une amplitude et une
phase:
N.B : on a étudié le cas où φe = 0
𝟏
−𝑳𝝎
𝑪𝝎
Soit ci-dessous le modèle d’un C. inductif
𝑹+𝒓
- On peut déterminer ∆φ à partir de l’oscillogramme précédent
Soit | ∆φ | = 𝝎∆t avec 𝝎 :pulsation des oscillations
et ∆t : décalage horaire
+
𝐼𝑚
𝐶𝜔
Um
LImω
NB : à l’état de résonance on a ∆φ = 0 ( ∆t= 0 )
∆φ
(R+ r)Im
Axe des phases φ = 0
3) Remarque :
- Les grandeurs physiques maximales peuvent être mesurées à l’aided’ un oscilloscope
- Les grandeurs physiques efficace peuvent être mesuré par un voltmètre ( tension )
ou un ampèremètre ( intensité )
- On a par exemple Umax = 𝟐Ueff
- On peut tracer la courbe de résonance d’intensité I = f ( N )
Avec N : fréquence de l’éxcitateur ( voir courbe ci-dessous )
𝑼𝒄𝒎
𝟏
𝑳
𝑪
Le facteur de qualité Q =
-
Si Q > 1 : on a phénomène de surtension ( le condensateur risque de se claqué )
2
La puissance moyenne P d’un circuit RLC série s’écrit : P = UIcos ( ∆φ ) = RI
NB : U : tension efficace aux bornes du générateur et I : intensité efficace dans le circuit
𝑼𝒎
=
(𝑹 +𝒓)
-
Intensité maximale
Intensité efficace
NB
Pour un condensateur
Pour une bobine
Pour un conducteur ohmique
Attention : Um est la tension maximale
Aux bornes de chaque dipôle
(à la résonance )
Comme la résonance d’intensité on
a aussi la résonance de charge q
qui correspond à une charge
maximale emmagasinée par le
condensateur,
Ceci pour une fréquence Nr
2
𝟐
2 ( 𝑹+𝒓 )
Nr = N 0 -
𝟖𝝅𝟐 𝑳
( N r < N0 )