Cours ensembles de nombres simplifié

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ENSEMBLES DE NOMBRES
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre »
Les nombres servent à dénombrer, calculer….les chiffres servent à écrire les nombres.
Numération de position : Principe selon lequel la signification d'un chiffre dépend
de sa position dans le nombre. Par exemple, dans 3033, le 3 le plus à droite signifie
3, le second le plus à droite 30, et le plus à gauche 3000.
Les nombres sont écrits à partir de 10 chiffres ou encore en base 10
ex. 2357 = 2×103+3×102+5×101+7
I - Les entiers naturels
1. Définition
L’ensemble des entiers naturels noté ℕ est celui des nombres obtenus (générés) par
addition à partir de 0 et 1.
ℕ= {0 ;1 ;…. ;n ;n+1 ;…}
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté ℕ*
3 ℕ!se lit 3 appartient à ℕ, 0
∉
ℕ* se lit 0 n’appartient pas à ℕ étoile.
Deux autres définitions pour réfléchir :
Définition simple
• L'ensemble des entiers naturels est noté ℕ* est celui des nombres « sans virgule » plus
grands ou égale à 0. Il en existe une infinité
ℕ= {0 ,1 , 2 , 3, ...}
Les entiers naturels sont les premiers et les plus utilisés dans la vie courante.
En fait tout nombre qui sert à dénombrer une collection d'objets est un entier naturel.
A une collection vide c'est à dire sans objets (un sac vide par exemple) on fait
correspondre le nombre 0.
Définition d’un mathématicien nommé Peano
(Giuseppe Peano 27 août 1858 - 20 avril 1932) est un mathématicien italien. Il est
l'auteur de plus de 200 publications, d'abord analyste, puis logicien, mais plus
intéressé par la formalisation des mathématiques que par la logique elle-même, il
finira par consacrer la fin de sa vie à la mise au point et à la promotion du Latino
sine flexione, un latin à la grammaire très simplifiée, qu'il voyait comme une
langue auxiliaire pour les échanges internationaux, en particulier scientifiques)
• La définition des entiers naturels de Peano est décrite par cinq axiomes :
1. l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
2. Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou n+1.
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses
éléments, alors cet ensemble est égal à ℕ

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2. Représentation sur une droite :
On remarque la régularité : les nombres se suivent de 1 en 1, il n'y a aucun entier
naturel entre 1 et 2 , 2 et 3 etc...
3. Opérations dans …
Théorème 1 : La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.
Théorème 2 : le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
Ces théorèmes ne sont pas valables pour la soustraction et la division.
II – Entiers relatifs
1. Définition : L’ensemble des entiers relatifs, ou entiers, noté ℤest celui des entiers
naturels et de leurs opposés.
deux nombres opposés sont deux nombres dont la somme est 0.
2. Représentation sur une droite
Le nombre 1 est situé une unité à droite du 0, et on place le nombre -1 une unité à
gauche de 0, le nombre 2 est situé deux unités à droite de 0 et le nombre -2, deux unités
à gauche de 0 etc ...
on remarque que les entiers relatifs sont régulièrement répartis de 1 en 1 et à gauche et à
droite de 0.
3. Opérations dans ℤ :
Dans ℤ toutes les additions et toutes les soustractions sont possibles, on parle de somme
algébrique ou somme. (soustraire un nombre c’est ajouter son opposé)
Théorème 3 : la somme, ou le produit, de deux entiers relatifs est un entier relatif.
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans ℤ ex 2
3
∉
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Tout entier naturel est un entier relatif on dit que ℕ, est inclus dans ℤ et on note
ℕ ⊂ ℤ ce qui signifie que si a ∈ ℕ, alors a ∈ ℤ la réciproque est fausse.
III – Nombres décimaux
Définition : l’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, est celui des nombres qui
peuvent s’écrire sous la forme
n
a
10
avec a∈ ℤ et n∈ ℕ,
(ou sous la forme a×10n avec a ∈ ℤ et n ∈ ℤ)
ex : 1,232 =
3
10
1232
ou 1,232 = 1232×10-3.
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans 𝔻 (5 divisé par 3)
ℕ, ⊂ ℤ!⊂ 𝔻

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IV – Nombres rationnels
1. Définition :
L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ est celui des nombres qui peuvent s’écrire
sous la forme a
b avec a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*. Réfléchir sur les ensembles pour a et b
2. Théorème 4 :
Tout nombre rationnel admet une écriture unique sous forme d’un fraction =
4Remarque : toutes les divisions (sauf par 0) sont possible dans ℚ mais on ne peut
quantifier la mesure de la longueur de la diagonale d’un carré de coté un par un
rationnel. (problème des Pythagoriciens)
ℕ ⊂ ℤ!⊂ 𝔻⊂ℚ
Irrationalité de 2, raisonnement par l’absurde :
Supposons que 2 est un nombre rationnel donc qu’il existe deux nombres entiers a
et b, premiers entre eux (pas d’autre diviseur commun que 1), tels que :
2 = a
b . (cf. th. 4)
donc si on met au carré on a 2 = a²
b²
donc a² = 2b² et donc a² est un nombre pair.
On se pose la question : si a² est un nombre pair a est-il un nombre
pair ?
Un nombre pair peut s’écrire a = 2n donc son carré est a2 = 4n2 est
un nombre pair.
Un nombre impair peut s’écrire a = 2n+1
donc son carré a2 = (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1 est un nombre impair
conclusion si a2 est pair, a est pair et réciproquement.
Donc a est un nombre pair et on peut écrire a = 2p et a² =4p²
Si on rapproche les deux égalités encadrées on en déduit que :
2b²=4p² et b²=2p²
donc b² est un nombre pair et donc b est un nombre pair.
La supposition 2 est un nombre rationnel signifie (équivaut à) qu’il existe deux
nombres entiers tels que 2 = a
b , avec a et b, premiers entre eux
cette hypothèse a pour conséquence :
a est un nombre pair et b est un nombre pair.
Il y a donc contradiction entre les deux affirmations (c’est absurde)
et donc 2ne peut pas être un nombre rationnel.
Il existe donc des nombres qui ne sont pas rationnels (autre exemple : π).

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V – Nombres réels
1. Définition :
Soit une droite munie d’une origine O, d’un sens, et d’une unité OA = 1 (on peut dire
munie du repère (O ;A)) :
A tout point M de cette droite (OA) on associe un nombre x, appelé abscisse de M
dans le repère (O.A), tel que :
x = OM si x ∈ [OA)
x = - OM si x
∉
[OA).
L’ensemble de ces nombres est appelé ensemble des réels et est noté ℝ
ℕ ⊂ ℤ!⊂ 𝔻⊂ℚ ⊂ℝ
Tout ce qui a une existence « réelle » peut être quantifié avec les réels, mais l’équation
x²=-1 par exemple n’a pas de solution dans l’ensemble des réels.
2. Intervalles de ℝ:
L’ensemble des réels ℝ est l’ensemble de tous les nombres compris entre moins
l’infini, noté −∞, et plus l’infini, noté +∞.
On note parfois ℝ = ] −∞; +∞[ intervalle ouvert car −∞ et +∞!ne sont pas des
nombres réels, on ne peut jamais les atteindre
a et b étant deux réels donnés tels que a < b (donc a – b < 0), certaines parties de
ℝ!sont appelés intervalles de ℝ et sont notés de la façon suivante.
Ensemble des
réels x tels
que
Représentation
compléter avec les crochets
Intervalle
x < a
] -∞ ; a [
a
≤
x
≤
b
[a ; b]
a < x < b
] a ; b [
a
≤
x < b
[a ; b [
x
≥
a
[a ; +∞ [

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Intersection d’intervalles :
L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent
à l’un et à l’autre des deux intervalles. On le note I ∩ J.
Si les intervalles sont disjoints (n’ont aucun nombre commun) leur intersection est
l’ensemble vide, noté Ø
Exemple : I = [-5 ; 7] et J = ]2 ;10[ I ∩J = ]2;7]
Réunion d’intervalles :
La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un ou à
l’autre des deux intervalles.
Exemple : I = [-5 ;7] et J = ]2 ;10[ I ∪J = [-5 ;10[
VI – Récapitulatif
Compléter le diagramme suivant correspondant aux ensembles de nombres :