La géométrie synthétique - Gymnase Auguste Piccard

Borgeaud Alicia
3M2
Gymnase Auguste Piccard
Maître responsable : Alexander Müller
Date de remise : 8 novembre 2010

2
Résumé
Mon travail se résume en trois parties. Dans la première partie, sorte de préambule, j’ai
exposé les propriétés les plus souvent utilisées dans des démonstrations de géométrie
synthétique. Ainsi, dans mon chapitre « quelques notions importantes à savoir », vous
trouverez des informations sur les propriétés de certains polygones, les propriétés sur les
angles et les triangles ainsi que quelques énoncés de théorème que j’utilise dans mes
deuxième et troisième parties sans pour autant les démontrer.
Dans ma deuxième partie, je fais quelques démonstrations typiques de la géométrie
synthétique. Ces théorèmes m’ont été démontrés par mon maître responsable. J’ai alors
simplement pris note de ses explications et ai écrit toutes les démonstrations à ma
manière. Vous trouverez dans cette deuxième partie des démonstrations telles que le
théorème de Pythagore, le théorème des médianes d’un triangle, les théorèmes de
Napoléon, le théorème de la bissectrice ainsi que des démonstrations de lieux
géométriques tels que le cercle d’Apollonius et quelques problèmes résolus au moyen
des propriétés préalablement démontrées.
Dans ma troisième et dernière partie, je me suis attaquée à des démonstrations
concernant le cercle. Dans un premier temps, j’ai lu le chapitre concernant les cercles du
livre intitulé Geometry Revisited par H.S.M Coxter et S.L. Greitzer. J’ai alors choisi
deux démonstrations de ce chapitre qui me paraissaient intéressantes et les ai écrites
complètement en ajoutant des explications et de petites démonstrations où c’était
nécessaire. Vous trouverez alors la démonstration du théorème de la puissance d’un
point par rapport à un cercle, ainsi qu’une démonstration d’Euler concernant la droite OI
d’un triangle utilisant le théorème de la puissance. Puis, vous trouverez le théorème de
Morley, théorème utilisant un lemme bien particulier concernant le cercle.
En faisant différentes recherches, j’ai trouvé une démonstration très intéressante, le
théorème du cercle des neuf points. J’ai tiré la démonstration de ce théorème du livre
intitulé cours de géométrie par P. Bidal.

3
Table des matières
Introduction ...................................................................................................................... 5
Quelques notions à savoir : ............................................................................................... 7
Lieu géométrique .......................................................................................................... 7
Sécantes : ...................................................................................................................... 7
Céviennes : ................................................................................................................... 7
Quadrilatères : ............................................................................................................... 7
Triangles : ..................................................................................................................... 7
Cas d’isométrie de triangles : ....................................................................................... 9
Cas de similitude de triangles : ..................................................................................... 9
Théorème de Thalès : ................................................................................................. 10
Médiatrice d’un segment : .......................................................................................... 10
Bissectrice d’un angle : ............................................................................................... 11
Angles : ....................................................................................................................... 11
Arc capable : ............................................................................................................... 13
Cercle de Thalès : ....................................................................................................... 13
Vecteurs : .................................................................................................................... 13
1ère partie : Introduction à la géométrie synthétique...............……………………...14
1 Rapport de section : ................................................................................................ 15
1.1 Théorème d’un cas particulier des rapports de section. .................................. 17
1.2 Conjugués harmoniques : ............................................................................... 18
1.2.1 Construction des points R et S : .............................................................. 18
1.2.2 Justification de cette construction : ........................................................ 19
1.2.3 Exemple de construction supplémentaire : ............................................. 20
2 Théorème de Pythagore : ........................................................................................ 21
2.1 Historique : ..................................................................................................... 21
2.2 La première démonstration écrite : livre I des Eléments d’Euclide ............... 22
2.3 Démonstration d’un président ........................................................................ 24
2.4 La démonstration du théorème de Pythagore par Michael Hardy .................. 27
3 Théorème du segment moyen dans un triangle : .................................................... 29
3.1 Corollaire du théorème du segment moyen : .................................................. 32
4 Théorème des médianes d’un triangle .................................................................... 33
5 Problème 1 : ............................................................................................................ 35
6 Théorème de l’angle inscrit .................................................................................... 37
6.1 Corollaire 1 : ................................................................................................... 39

4
6.1.1 Preuve : ................................................................................................... 39
7 Théorème de Ptolémée ........................................................................................... 40
7.1 Historique : ..................................................................................................... 40
8 Théorème de la bissectrice ..................................................................................... 43
9 Cercle d’Apollonius (lieu géométrique) ................................................................. 46
9.1 Historique : ..................................................................................................... 46
9.2 Exemple de construction ................................................................................ 47
10 Problème 2 : ........................................................................................................ 47
11 Théorème de Céva .............................................................................................. 50
11.1 Historique : ..................................................................................................... 50
11.2 Démonstration : .............................................................................................. 50
12 Théorème de la droite d’Euler ............................................................................ 53
12.1 Historique : ..................................................................................................... 53
12.2 Démonstration : .............................................................................................. 54
13 Théorème de Napoléon ....................................................................................... 56
13.1 Historique : ..................................................................................................... 56
13.2 Démonstration : .............................................................................................. 56
14 Théorème de Fermat ou problème de Fermat ..................................................... 60
14.1 Historique : ..................................................................................................... 60
14.2 Démonstration : .............................................................................................. 61
2ème partie : Quelques propriétés du cercle………………………………………….63
15 Introduction ........................................................................................................ 64
16 La puissance d’un point par rapport à un cercle : ............................................... 65
17 La formule d’Euler pour OI ................................................................................ 70
18 Théorème de Morley .......................................................................................... 74
18.1 Lemme ............................................................................................................ 74
19 Cercle d’Euler ou cercle des neuf points ............................................................ 81
19.1 L’homothétie .................................................................................................. 82
19.2 Propriété sur les hauteurs et le cercle circonscrit d’un triangle ...................... 83
19.3 Démonstration : .............................................................................................. 85
20 Conclusion : ........................................................................................................ 90
21 Bibliographie ...................................................................................................... 91

5
Introduction
La géométrie synthétique ou géométrie pure est l’une des plus anciennes formes de
géométrie étudiées de nos jours. Par définition étymologique, la géométrie est « la
science de la mesure du terrain ». En effet, le mot géométrie vient des mots grecs « γ »
(gê) signifiant « terre » et « µέτρον » (métron) signifiant « mesure ». La géométrie est
donc la science qui étudie les surfaces. Cette origine trouve une explication très simple.
Bien avant que la civilisation grecque, considérée comme la fondatrice de la géométrie
en tant que branche mathématique, ne commence à étudier la géométrie et lui donne la
définition actuelle « étude des relations entre points, droites, courbes, surfaces et
volumes », de nombreuses connaissances géométriques étaient déjà utilisées en
topographie, architecture, astronomie et agriculture. Les premières notions de géométrie
retrouvées datent de l’an 3000 a.v. J-C, à l’époque de l’Egypte ancienne. On comprend
alors pourquoi la géométrie était à ses débuts la science des surfaces.
En ce qui concerne le mot synthétique, il vient du mot synthèse. Une synthèse consiste à
prendre tous les éléments définissant un état ou une chose et à les réunir afin de
comprendre pourquoi cet état ou cette chose sont ainsi faits. Cet état ou cette chose ont
été synthétisés, créés à partir de tous ces éléments de base.
En réunissant ces deux définitions, on peut facilement définir la géométrie synthétique.
C’est la forme de géométrie qui va utiliser une réflexion purement logique à partir
d’éléments de base, tels que des points, des droites et des plans afin de résoudre des
problèmes géométriques. Cette géométrie s’appelle donc synthétique, car à partir de
bases indiscutables, on va établir de nouvelles notions ou en démontrer de nouvelles.
C’est la géométrie des démonstrations telles que celles du théorème de Pythagore, de
Thalès ou encore d’Euclide. On l’appelle également géométrie pure, car elle n’utilise
que des éléments géométriques basiques et non des éléments algébriques ou analytiques
par exemple. La géométrie synthétique est donc une géométrie « primitive » et toujours
aussi pure qu’à ses débuts.
J’ai choisi ce thème pour mon travail de maturité, car la géométrie synthétique n’est que
partiellement étudiée à l’école de nos jours. En effet, on apprend des théorèmes et leurs
énoncés ainsi que des constructions particulières, mais sans jamais comprendre
pourquoi ces théorèmes et ces constructions sont vrais et comment ils ont été établis. On
ne fait qu’admettre les propriétés qu’ils présentent et les appliquer dans les situations
adéquates. Je m’intéresse à ce thème, car son étude me permet enfin de comprendre ces
théorèmes et ces constructions qu’on utilise en mathématique sans jamais se poser de
questions.
Mon travail se présente en deux parties. Une première partie, plutôt introductive, dans
laquelle je vais démontrer plusieurs théorèmes et constructions typiques de la géométrie
synthétique tels que le théorème de Pythagore, le théorème des médianes d’un triangle
ou encore le cercle d’Apollonius, puis une deuxième partie, plus personnelle,
concernant la géométrie synthétique du cercle dans laquelle je vais démontrer plusieurs
de ses propriétés. J’ai choisi le thème du cercle, car premièrement, en géométrie