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Notes de cours
L1 — MATH120
Herv´ e Le Dret
18 octobre 2004

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Chapitre 3
Vecteurs dans Rm
Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du
point de vue alg´ ebrique. Nous reviendrons le moment venu sur le point de vue
g´ eom´ etrique
3.1 D´ efinition et op´ erations sur les vecteurs
D´ efinition 17 Soit m ≥1un entier. Un vecteur de Rmest une matrice ` a m lignes
et 1colonne. Un scalaire est un nombre r´ eel (par opposition ` a un vecteur).
On parle aussi de vecteur-colonne. On va ´ egalement employer une notation pro-
visoire avec des petites fl` eches, que l’on abandonnera d` es que l’on aura acquis les
notions de base qui suivent. Ainsi
~u=3
−1, ~v=0,2
√5
sont des vecteurs de R2et
~w=
1
2
3
4
est un vecteur de R4.
Comme un vecteur n’a qu’une seule colonne, il est inutile de conserver la
notation ` a double indice des matrices : un seul indice suffit. La r` egle d’´ egalit´ e
entre matrices s’applique bien sˆ ur au cas particulier des vecteurs. Ainsi
si~u=u1
u2,~v=v1 v2,alors~u=~vsi et seulement si u1=v1et u2=v2.
41

42 CHAPITRE 3. Vecteurs dans Rm
En d’autres termes, les lignes d’un vecteur sont ordonn´ ees dans l’ordre de leur
indice. Un vecteur g´ en´ erique de Rms’´ ecrit normalement
~u=
u1
u2
.
.
.
um
.
Cette notation naturelle en colonne a le d´ esavantage de gaspiller l’espace sur une
page ´ ecrite quand elle utilis´ ee comme ici de fac¸on isol´ ee. C’est pourquoi on utilise
occasionnellement une notation en ligne
~u= (u1,u2,...,um)
pour d´ esigner le mˆ eme objet. C’est en fait la notation d’un m-uplet de scalaires et
il faut ´ eviter de la confondre avec la notation
u1u2··· um
qui d´ esigne une matrice ` a 1 ligne et mcolonnes (aussi appel´ ee vecteur-ligne). Ce
n’est pas du tout la mˆ eme chose!
Nous allons maintenant introduire les deux op´ erations fondamentales sur les
vecteurs.
D´ efinition 18 On d´ efinit sur Rmune op´ eration interne appel´ ee addition par
∀~u=
u1
u2
.
.
.
um
∈Rm,∀~v=
v1
v2
.
.
.
vm
∈Rm, ~u+~v=
u1+v1
u2+v2
.
.
.
um+vm
∈Rm
et une op´ eration externe appel´ ee multiplication par un scalaire par
∀~u=
u1
u2
.
.
.
um
∈Rm,∀λ∈R,λ~u=
λu1
λu2
.
.
.
λum
∈Rm.
Ces deux op´ erations sont donc d´ efinies ligne par ligne.

3.2. Interpr´ etation g´ eom´ etrique dans le plan et dans l’espace 43
Exemple 8 On a
1
−2+2 5=1+2 −2+5=3 3,21 −2=2×1 2×(−2)=2 −4,etc.
On peut combiner ces op´ erations. Ainsi, si~u=1
−2et~v=2 5alors
2~u+(−3)~v=2×1
2×(−2)+(−3)×2 (−3)×5=2 −4+−6 −15=2−6 −4−15=−4 −19,
et ainsi de suite. 
3.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique dans le plan et dans
l’espace
On sait que la donn´ ee d’une origine Oet de deux axes de coordonn´ ees Ox,Oy
munis d’une unit´ e de longueur dans le plan permet de rep´ erer tout point de ce plan
par ses deux coordonn´ ees, un couple de nombre r´ eels. Les vecteurs de R2´ etant
aussi d´ efinis par un couple de nombre r´ eels, on peut se servir de cette correspon-
dance pour repr´ esenter g´ eom´ etriquement les vecteurs de R2. Plus pr´ ecis´ ement, un
vecteur ~u= (u1,u2)de R2sera repr´ esent´ e par le segment orient´ e d’origine Oet
d’extr´ emit´ e le point de coordonn´ ees (u1,u2)dans le rep` ere cart´ esien choisi. On
le dessine traditionnellement ` a l’aide d’une fl` eche. De cette fac¸on, les vecteurs
— concept alg´ ebrique — admettent une repr´ esentation g´ eom´ etrique extrˆ emement
utile pour comprendre et avoir l’intuition de comment ils fonctionnent. Par ailleurs,
cette correspondance ouvre la voie ` a un champ d’application de l’alg` ebre lin´ eaire
`
a la g´ eom´ etrie plane (et dans l’espace), mˆ eme si nous ne privil´ egierons pas ce
point de vue, n´ eanmoins tr` es important.
Oy
u1
u1
u2 2 u
u=
O OOx
Oy
O
x