Introduction `a la géométrie algébrique Olivier Debarre

Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique
Olivier Debarre

Table des mati`eres
Introduction 1
Chapitre 1. Vari´et´es affines 3
1.1. Sous-vari´et´es affines 3
1.2. Id´eal d’une sous-vari´et´e affine 4
1.3. Irr´eductibilit´e 4
1.4. Le Nullstellensatz 5
1.5. Applications r´eguli`eres 6
1.6. Exercices 8
Chapitre 2. Vari´et´es projectives 11
2.1. L’espace projectif 11
2.2. Vari´et´es projectives 12
2.3. Id´eal d’une vari´et´e projective 13
2.4. Le Nullstellensatz projectif 14
2.5. Applications r´eguli`eres 15
2.6. Applications rationnelles 17
2.7. Produits de vari´et´es 19
2.8. Eclatements 20
2.9. Image d’une application r´eguli`ere 21
2.10. Exercices 23
Chapitre 3. Dimension 27
3.1. D´efinition de la dimension 27
3.2. Dimension des vari´et´es alg´ebriques 27
3.3. Dimension et nombre d’´equations 29
3.4. Applications g´en´eriquement finies 30
3.5. Applications r´eguli`eres et dimension 32
3.6. Cas des applications ferm´ees 34
3.7. Applications 35
3.8. Applications finies 36
3.9. Exercices 37
Chapitre 4. Points et applications r´eguli`eres lisses 41
4.1. Espace tangent de Zariski 41
4.2. Points lisses et points singuliers 42
4.3. Le th´eor`eme principal de Zariski 45
4.4. Application tangente, applications r´eguli`eres lisses 48
4.5. Th´eor`emes de Bertini 50
4.6. Exercices 51
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iv TABLE DES MATI` ERES
Chapitre 5. Diviseurs sur une vari´et´e alg´ebrique 53
5.1. Fibr´es en droites 53
5.2. Diviseurs 55
Chapitre 6. Faisceaux coh´erents et cohomologie 63
6.1. Faisceaux 63
6.2. Cohomologie des faisceaux 68
6.3. Faisceaux coh´erents 70
6.4. Cohomologie des faisceaux coh´erents sur une vari´et´e projective 77
6.5. Faisceaux inversibles amples et tr`es amples 79
Chapitre 7. Nombres d’intersection 85
7.1. D´efinition 85
7.2. Cˆone des courbes 93
7.3. Caract´erisation des faisceaux amples par leurs nombres d’intersection 94
Chapitre 8. Caract´erisations num´eriques des faisceaux inversibles nefs et
amples 97
8.1. Faisceaux inversibles nefs 97
8.2. ˆ Etre nef est une propri´et´e num´erique 98
8.3. Une caract´erisation num´erique de l’amplitude 99
8.4. Une forme faible du th´eor`eme de Riemann-Roch 100
8.5. Exercices 101
Bibliographie 103

Introduction
Ces notes sont celles de deux cours de D.E.A. de 20 heures chacun donn´es
`a l’Universit´e Louis Pasteur en 1999/2000. Je me suis inspir´e des ouvrages [H],
[Ha], [M], [P] et [S], mon but ´etant de donner une id´ee des r´esultats et concepts
de base de la g´eom´etrie des vari´et´es alg´ebriques quasi-projectives sur un corps k
alg´ebriquement clos. ` A part les d´efinitions de base, nous avons admis les r´esultats
suivants d’alg`ebre commutative :
•Nullstellenstaz : soit Iun id´eal de k[X1, . . . , Xn] ; on a I(V(I)) = √I.
•Hauptidealsatz : soient Aune k-alg`ebre int`egre de type fini, fun ´el´ement
non nul de Aet pun id´eal premier minimal contenant f. On a
deg.tr.kK(A/p) = deg.tr.kK(A)−1.
•Factorialit´e des anneaux r´eguliers : toute k-alg`ebre locale de type fini A
dont l’id´eal maximal peut ˆetre engendr´e par dim A´el´ements est un anneau
factoriel.
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