reflexion, transmission des ondes electromagnetiques

REFLEXION, TRANSMISSION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
1 Propagation guidée :
Une onde électromagnétique se propage dans le vide, entre deux plans parfaitement conducteurs situés en z=0 et z=a.
Le champ électrique recherché est de la forme
(
)
y
u.)kxt(iexp).z,y(f)t,z,y,x(E
r
r
−ω= .
1.1 Est-ce une OPP ? Montrer que la fonction f (y,z) ne dépend en réalité que de z.
1.2 Etablir l’équation vérifiée par f(z), la résoudre en exploitant les conditions aux limites.
1.3 Etablir la relation de dispersion et en déduire la condition pour que la propagation
soit possible. On se limite pour la suite à ce cas-là.
1.4 Caractériser l’onde obtenue. Calculer le champ magnétique associé.
1.5 Montrer que cette onde peut être comprise comme la superposition de deux OPP, de directions de propagation
symétriques par rapport à Ox. Justifier le résultat obtenu au 1.3.
1.6 En déduire l’expression du vecteur densité de courant d’énergie : vecteur de Poynting.
2 Onde évanescente :
On considère une onde électromagnétique plane progressive qui arrive sur un
dioptre plan séparant deux diélectriques LHI (on dit aussi parfaits) d’indices
réels n
1
et n
2
<n
1
. xOy est le plan d’incidence.
2.1 Rappeler les relations liant les angles d’incidence sur le dioptre à ceux de
réflexion et de transmission. Quel est l’angle maximal i
lim
dans le milieu (1)
donnant lieu à la transmission de l’onde ? Que se produit-il si l’angle est
supérieur à cette valeur ?
On se place pour la suite dans le cas où l’angle d’incidence i i
1
>
lim
.
Les vecteurs d’onde sont notés respectivement
1 2
k , k
r r
dans les milieux 1 et 2.
2.2.1 Etablir les relations
2 1 2y 1y 2x 1x
k (k ), k (k ), k (k )
. On vérifiera que k
2x
est imaginaire pur.
2.2.2 En déduire l’expression du champ transmis et caractériser ses variations spatiales. Déterminer la distance δ
caractéristique de la décroissance de l’amplitude.
2.2.3 Déterminer le champ magnétique correspondant.
2.2.4 Calculer le vecteur de Poynting associé à l’onde transmise, calculer sa moyenne temporelle et justifier le fait que
l’on puisse admettre qu’il y a bien réflexion totale.
3 Polarisation par réflexion vitreuse :
Soit un dioptre plan x=0 séparant deux milieux diélectriques non magnétiques, linéaires, homogènes, isotropes et non
absorbants. Leurs indices réels sont notés n
1
et n
2
. On considère une onde plane progressive transverse
(
)
r
r
r
r
E E i t k r
i o
= −.exp ( . )ω
1
se propageant dans le milieu 1 et arrivant sur le dioptre sous incidence i
1
. Elle donne
naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise.
Premier cas : l’onde incidente a une polarisation rectiligne selon Oz, orthogonale au plan d’incidence.
3.1 En utilisant des critères de symétrie, montrer que les ondes incidente, réfléchie et transmise ont la même polarisation.
3.2 Ecrire les relations de passage vérifiées par les champs sur le dioptre pour ce cas particulier de polarisation.
3.3 En déduire les coefficients de réflexion et de transmission pour le champ électrique.
3.4 Vérifier que cette polarisation génère toujours un champ réfléchi, quelque soit l’angle d’incidence.
Deuxième cas : on se place dans les mêmes conditions que précédemment, mais avec une onde incidente de polarisation
rectiligne dans le plan d’incidence xOy. On rappelle que les ondes planes intervenant sont transverses électrique et
magnétique.
3.5 Donner la direction du champ magnétique incident, et en déduire par symétrie la polarisation des ondes réfléchies et
transmises.
3.6 Ecrire les relations de passage vérifiées par le champ magnétique et la composante tangentielle du champ électrique.
3.7 Relier les composantes des champs incident et réfléchi à tan( )i
1
et celles du champ transmis à tan( )i
2
. On
exploitera la figure réalisée. Simplifier la relation déduite de la continuité du champ magnétique.
3.8 En déduire les coefficients de réflexion et de transmission pour la composante sur Oy du champ électrique.
(1) (2)
i
1
x
y
i
2
x
z
a
0

Montrer que ce coefficient de réflexion peut s’annuler pour une valeur particulière d’angle d’incidence appelé angle de
Brewster : on montrera que
2
1 B
1
n
tan(i ) tan(i )
n
= = . Que se passe-t-il lorsqu’une onde de polarisation quelconque est
envoyée sur le dioptre sous l’incidence de Brewster ? Que réalise-t-on ainsi ? Justifier le fait qu’il soit possible avec un
polariseur convenablement réglé d’atténuer la lumière réfléchie par la surface d’un plan d’eau calme.
4 Couche antireflet :
Le but de cette étude est de trouver un moyen d’éviter la réflexion d’une partie de l’énergie lors de la traversée d’un dioptre
par une onde électromagnétique (en optique par exemple). On négligera les phénomènes d’absorption.
On veut faire pénétrer de l’air (assimilé au vide) vers un milieu LHI d’indice réel N
une OPP EM sous incidence normale, sans les pertes dues à la réflexion partielle.
Pour rendre le dioptre antiréfléchissant, on le recouvre d’une mince couche d’épaisseur e
d’un matériau LHI d’indice réel n. L’air sera considéré d’indice égal à 1.
Les matériaux sont supposés non magnétiques, sans charges libres.
Une onde EM plane progressive est envoyée dans le sens des x>0, de forme
(
)
r
r
E E i t kx u
i io y
= −.exp ( ) ω . (E
io
réel positif). On suppose qu’il n’y a pas d’onde réfléchie dans l’air.
4.1 En admettant que les ondes présentes dans les différents milieux sont planes, donner les expressions des champs
électriques correspondants. On justifiera que dans le milieu d’indice n, l’onde présente peut s’écrire comme une
superposition de deux ondes se propageant en sens inverse. Comment peut-on comprendre l’absence d’onde réfléchie
dans l’air ?
4.2 En déduire les expressions des différents champs magnétiques.
4.3 Rappeler les relations de passage aux deux dioptres rencontrés. En déduire les relations vérifiées par les champs.
A l'aide des relations de passage en x=0, exprimer pour le milieu d'indice n l'amplitude complexe de l'OPP de sens x<0 en
fonction de celle de sens x>0. Reporter ce résultat dans les relations de passage en x=e. Montrer que ces relations ne sont
compatibles que pour n
2
=N et donner l’épaisseur minimale de la couche antiréfléchissante.
Si N=1,7 ( verre ‘flint’), un matériau satisfaisant est un fluorure d’indice voisin de 1,35. Déterminer l’amélioration obtenue
pour un objectif d’appareil photo de cinq lentilles, en incidence quasi-normale, sachant que le facteur de réflexion en
énergie sur un dioptre en incidence normale est RN
N
=−
+
1
1
2
en l’absence de traitement. On supposera toutes les faces
traitées.
air n
N
e
O x