droites remarquables - college

DROITES REMARQUABLES
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I C Co on ns st tr ru uc ct ti io on n d de e t tr ri ia an ng gl le es s
1. Inégalité triangulaire : Voir une présentation ici et une illustration ici
Propriété admise
Conséquence : pour tous points A, B et C du plan
si AC < AB + BC alors on peut construire un triangle ABC
Autre formulation :
Pour savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs données, il
faut que la somme des deux plus petites longueurs soit supérieure à la plus
grande
Exemples :
Le plus grand côté est 7 et 7 < 3 + 6 ou encore AB<AC+BC
donc OUI ce triangle est constructible.
Le plus grand côté est 9 et
9 n’est pas plus petit que 2 + 6
donc Le triangle EDF n’existe pas.
Cas particulier :
Si DF = 6cm et EF = 3cm alors DE = DF + EF
On dit alors que le triangle est aplati
Propriété
Le point B appartient au segment [AC] signifie aussi que
les 3 points A, B et C sont alignés
Dans un triangle non aplati, la longueur de chaque côté
est inférieure à la somme des deux autres côtés.
Le triangle ABC est-il constructible si AB = 7cm, BC = 3cm et AC = 6cm ?
Le triangle EDF est-il constructible si ED = 9cm, EF = 2cm et DF = 6cm ?
B
A
C
Si le point B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC

2. Construction de triangles
3 Méthodes de construction : Pour construire un triangle il faut connaître ;
1- Soit la longueur des trois côtés ;
2- Soit la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces deux côtés ;
3- Soit la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté.
Quelle que soit la méthode, une figure à main levée et codée facilite la construction.
 1ère méthode : matériel nécessaire : une règle graduée et un compas
 2ème méthode : matériel nécessaire : une règle graduée, un compas, un rapporteur
On trace le côté DF puis on construit un angle  FDx de 45°.
Le point E se trouve sur la demi-droite [Dx)
Il suffit de reporter une longueur DE = 4cm et de
tracer les 2 côtés [DE] et [EF]
Su la longueur EF était donnée, on reporterait cette longueur au compas depuis le point F.
Construire le triangle ABC tel que AB= 5cm, BC =3cm et AC= 4cm
On trace à la règle
graduée un premier côté
(en général le plus grand)
et on place les extrémités.
Les 2 arcs se coupent au
point C, il suffit de tracer
les 2 côtés [AC] et [BC]
Avec le compas on trace 2
arcs de cercle de rayon les
2 autres côtés et de
centres A et B
Construire le triangle EDF tel que DF = 5cm, ED = 4cm et  EDF = 45°

 3ème méthode : Matériel nécessaire : une règle graduée et un rapporteur.
On trace le côté MO de 7cm puis l’angle de
sommet M de 40° et l’angle de sommet O
de 60°.
Il suffit de placer le point d’intersection N
des 2 demi-droites pour terminer le
triangle
Variante : Dans le cas où parmi les deux angles connus, il y a celui dont on ne connaît pas le sommet,
on utilise la propriété de la somme des angles d’un triangle pour retrouver le troisième angle.
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II I M Mé éd di ia at tr ri ic ce es s d da an ns s u un n t tr ri ia an ng gl le e
1. Définition
Conséquence : Comme le triangle possède trois côtés on peut donc tracer trois
médiatrices dans un triangle.
Exemple :
Techniques de construction :
 On cherche le milieu d’un côté, par exemple [ED].
 A l’aide d’une équerre on trace la droite perpendiculaire
au côté [ED] passant par ce milieu.
Cette droite devient la médiatrice du côté [ED].
 On code la figure (angle droit et longueurs égales)
 On fait la même construction avec les 2 autres côtés.
Propriété admise
Construire un triangle MON tel que MO = 7cm,  MON = 60° et  OMN = 40°
Construire les 3 médiatrices d’un triangle
quelconque EDF, tels que
ED= 5,5cm, DF= 5cm et EF= 4cm
Si on trace les trois médiatrices dans un triangle alors elles
sont concourantes (elles se coupent au même point).
Une médiatrice est une droite qui passe par le milieu d’un côté et
qui est perpendiculaire à ce côté

2. Propriété des points d’une médiatrice
Réciproquement
Remarque : Ce centre du cercle circonscrit à un triangle
peut se trouver en dehors du triangle si celui-ci possède
un angle obtus mais la propriété sur les longueurs
reste vraie soit OE=OD=OF= rayon du cercle
3. Triangles particuliers et médiatrices
Triangle isocèle :
Le triangle ABC est isocèle en A donc AB = AC
Le point A est équidistant des points B et C,
Donc la médiatrice du côté [BC] passe par A
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est
équidistant (à égale distance) des extrémités de ce segment.
Le point O appartient à la médiatrice de [ED] donc
il est équidistant de E et de D et OE = OD
De même le point O appartient à la médiatrice de
[EF] donc OE = OF
En résumé, OE = OD = OF. Les points E, D et F
sont équidistants de O, ils appartiennent donc à
un cercle de centre O. Ce cercle s’appelle le
cercle circonscrit au triangle EDF
Le point de concours des médiatrices
d’un triangle est le centre du cercle
circonscrit à ce triangle
Construire un triangle ABC isocèle en A et
ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors
il appartient à la médiatrice de ce segment
Si un triangle est isocèle alors la médiatrice de sa base passe
par le sommet principal

Triangle équilatéral :
Le triangle EQU est équilatéral donc EQ = EU = QU
Le point E est équidistant des points Q et U donc
il appartient à la médiatrice du côté [QU]
On peut prouver de même que la médiatrice du côté [EQ]
passe par le point U et que la médiatrice du côté [EU]
passe par le point Q.
Ces médiatrices sont aussi les bissectrices des angles du triangle et des axes de symétrie du
triangle.
Triangle rectangle
On remarque que les médiatrices se coupent
Au milieu de l’hypoténuse [BC] et que cette
hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle
circonscrit.
Ces propriétés seront étudiées en classe de 4ème
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II II I M Mé éd di ia an ne es s d da an ns s u un n t tr ri ia an ng gl le e
1. Définition
Il y a donc 3 médianes dans un triangle, chacune d’elles passe par l’un des sommets.
La médiane est aussi la longueur du segment entre le sommet et le milieu du côté.
Exemple :
Techniques de construction :
 On cherche le milieu d’un côté, par exemple [AB].
 On relie ce point au sommet C en traçant une droite.
Cette droite devient la médiane issue de C.
 On code la figure (longueurs égales)
 On fait la même construction sur les 2 autres côtés
Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un
sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Construire un triangle EQU équilatéral de côté
5cm, ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit.
Si un triangle est équilatéral alors les médiatrices de ses côtés
passent par les 3 sommets.
Construire un triangle ABC rectangle en A,
ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit.
Construire les 3 médianes d’un triangle ABC
tel que AB = 10cm BC = 8cm et AC = 7cm