Mécanique des fluides résumé

Résumé de cours
Chapitre I
Cohard 02 1/9
I- Efforts exercés sur une particule fluide
Un domaine matériel S limité par une surface ∂S est en équilibre ou en mouvement sous
l'action d'efforts extérieurs que l'on peut décomposer en deux types :
 les actions à distance (gravité, inertie...) définies par la densité massique → f ;
 les actions de contact s'exerçant sur ∂S caractérisées par la densité surfacique → t en un
point M :
→ t (M, → en) =
→
dF/dA. Où → en est un vecteur normal à ∂S.
→
t se décompose en contrainte normale σn sur → en et en contrainte tangentielle σt sur → et :
→ t = σn. → en. + σt → et
l’état de contrainte au point M est décrit par le tenseur des contraintes τ (M) tel que :
→ t (M, → en) = τ (M). → en. soit : t
j = Σi
τ
ij.ni
1. Pression
Une surface dA plongée dans un fluide subit une force de pression →
dF résultant des
collisions moléculaires. La pression p = ||→
dF|| / dA, est un scalaire défini en chaque point du
fluide, et indépendant de l’orientation de la surface.
Si →
en est le vecteur unitaire de la normale à dA la force de pression s’exprime par :
→
dF = - p. → en.dA,
L’unité normalisée de pression est le Pascal: 1 Pa = 1 N.m-2.
Conversion des unités de pression.
Mécanique des fluides
résumé
Pa bar mmCE mmH atm
Pascal 1 10-5 1,02.10-1 7,50.10-s 9,87.10-6
bar 105 1 1,02.104 7,50.102 9,87.10-1
mm C.E. 9,81 9,81.10-5 1 7,35.10-2 9,68.10-5
mmHg = torr 1,33.102 1,33.1fï3 13,6 1 1,32.10-3
Atmosphère 1,013.105 1,013 1,033.104 7,6.102 1

Résumé de cours
Chapitre I
Cohard 02 2/9
2. Viscosité
La contrainte tangentielle σt va caractériser la force de cisaillement → dF s’exerçant sur la
surface de séparation des couches fluides : σt = ||→ dF|| / dA.
Le cisaillement de vitesse sera défini par le rapport entre
la variation de vitesse entre deux couches et la distance entre
ces couches ; c’est à dire par le gradient transversal de vitesse.
Si → u = u. → ex, le gradient de vitesse sera du/dy pour un
cisaillement dans le plan Oxy (figure ci-contre).
les fluides newtoniens obéissent à la loi de comportement
dite Loi de Newton qui s'écrit dans la situation représentée sur
la figure :
σt = µ ∂u/∂y où µ est le coefficient de viscosité dynamique.
Ce coefficient dépend de la température et dans une moindre mesure de la pression. On
introduit aussi la viscosité cinématique: ν = µ/ρ.
- La viscosité dynamique µ a comme dimension: [µ] = kg.m-1.s-1 et l’unité S.I. est le
poiseuille (Pl) ou Pa.s. On rencontre aussi la Poise : 1 Po = 0,1 Pl.
- la viscosité cinématique ν = µ/ρ a comme dimension : [ν] = m2.s-1 et l’unité S.I.. est le
myriaStokes (maS t).
Exemples: à 200C et 1 atm:
ν
eau = 1,008.10-6 m2.s-1 µeau = 1,006.10-3 Pl
ν
air sec = 1,51.10-5 m2.s1 µair sec = 1,82.10-5 Pi.
La puissance volumique dissipée par les forces de viscosité s'écrit :
d
P/dV = dP/(dA.dy) = σt.du/dy = µ (du/dy)2
II- statique des fluides
L’équation fondamentale de la statique des fluides est : → grad p - ρ.→ f = 0.
Où → f est est une force de volume par unité de masse.
Si les forces de volume dérivent d’une énergie potentielle ep:
→ f = -→ grad ep d’où : ρ.→ grad ep + → grad p = 0.
En hydrostatique : → f = → g et ρ est uniforme. L’équation de la statique devient: :
p + ρ.g.z = cste = pg
La pression pg est appelée pression motrice. C’est une constante dans un fluide
homogène en équilibre hydrostatique.
x
y
→
u
→
u
+du
dF
dF
dA

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Chapitre I
Cohard 02 3/9
∫
=
A
GdAz
A
z..
1
nG eAzgF
r
r
....
ρ −=
Si la surface séparant deux fluides non miscibles n'est pas plane, il existe une différence
de pression entre la face concave (pi) et la face convexe (pe) de l'interface donnée par la loi de
Laplace :
pi - pe = χ (1/R1 + 1/R2). Où R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux
Le coefficient de tension superficielle ou interfaciale γ dépend de la nature des fluides en
contact. Valeurs de γ pour quelques liquides en contact avec l’air à 20° :
 eau pure : γ =73 mN/m
 liquides organiques : γ ≈ 20 - 30 mN/m
 mercure: γ = 480 mN/m.
1. Calcul des forces de pression sur une surface immergées
1.1. Efforts sur une surface plane immergée
∫∫ −==
An A
edAzgFdF
r
rr
....
ρ
Si on définit l’altitude du centre géométrique G de
la paroi par :
on obtient un résultat indépendant de l’orientation de la surface :
Le point d’application C de cette résultante est appelé centre de poussée. Sa position est
donnée par l’équation :
1.2. Efforts sur une surface quelconque
On définit la poussée dans une direction par la
somme des projections des forces élémentaires dans
cette direction :
Les composantes verticale et horizontales sont calculées à partir de l’équilibre d’un
domaine fluide correctement défini (figure ci-dessus).
Poussée verticale : FZ = PD.et FZ passe par GD. centre de gravité du domaine D (A; Az)
poussée horizontale : La résultante FX des forces élémentaires projetées dans la direction
Ox est égale à la résultante FX’ des forces élémentaires sur la surface AX. Ces deux forces ont
la même ligne d’action qui passe par le centre de poussée de AX.
M
dA
A
x
y
z
O
0=∧
∫A
FdMC
r
r
Ax
A
y
x
z
O
Az
).,cos(.... nZZ
AZZ A
ZeedAdAoùdAzgeFdF
r
r
r
r
=−== ∫∫ ρ
).,cos(.... nXX
AXx A
XeedAdAoùdAzgeFdF r
r
r
r=−== ∫∫
ρ

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Chapitre I
Cohard 02 4/9
III- Cinématique des fluides
1. dérivée particulaire
La variation de la vitesse d’une particule fluide peut varier pour deux raisons (figures a, b):
a) Ecoulement permanent non-uniforme :
accélération convective (convergent)
b) Ecoulement uniforme non-permanent :
accélération locale (conduite cylindrique)
Si N est à une faible distance δs de M, l’accroissement total de vitesse δu de la particule
s'écrit : δu = ∂u/∂t. δt + ∂u/∂s. δs.
A la limite δt → 0, δs → 0 : as = du/dt = ∂u/∂t + ∂u/∂s.ds/dt = ∂u/∂t + u.∂u/∂s
Plus généralement, le symbole d. /dt qui représente la dérivée matérielle ou particulaire
est égale à :
dB/dt = ∂B/∂t + Σi ui.∂Β/∂xi = ∂B/∂t + (→ u. → grad)B
Pour l'accellération B = u on retrouve : as = d→ u/dt = ∂→ u/∂t + (→ u. → grad).→ u
ou encore : as = ∂→ u/∂t + → grad (→ u2/2) + (rot → u)^
→
u.
2. Flux d’une grandeur extensive
Soit une grandeur extensive B transportée par le fluide dont la densité massique est :
b = dB/dm
Un élément de surface dA dont l’orientation est donnée par la direction du vecteur unitaire
→
en (sa normale) est plongé dans l’écoulement en un point M où la vitesse du fluide par rapport à
dA est →
ur.
A travers une surface finie A, le flux de la grandeur extensive B s’écrit :
∫
=Φ
AnrAB dAeub ....
/
r
r
ρ
3. Notion de débit
Le débit en masse ou débit-masse ([qm] = kg.s-1) à travers une surface A est la masse du
fluide qui a traversé A pendant l’unité de temps. Il s’exprime par:
uu+du
uu+du
t+dt
t
ds = u.dt
M N
u
u+du
u
u+du
t+dt
t
ds = u.dt
MN
∫
==
Anm dAeuqm ...
r
r
&
ρ

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Chapitre I
Cohard 02 5/9
() ()
∫∫ 
+
∂
∂
=
DS
dVubdiv
t
b
dVb
dt
d... .
.. r
ρ
ρ
ρ
Où → u est la vitesse par rapport à A et → en la normale unitaire de la surface A.
De même, le débit en volume ([qv] = m3. s-1) est le flux de volume à travers une surface A
et s'écrit :
Dans une section droite d’un tube de courant, on définit la vitesse de débit ou vitesse
débitante U par:
(
)
AdAeuU
An/..
∫
=
r
r
Pour un écoulement permanent, le débit masse se conserve le long d'un tube de courant.
4. Théorème de transport
Considérons un domaine de contrôle D limité par la surface fermée ∂D coïncidant à
l’instant t avec le système matériel S. En un point de ∂D, la normale extérieure a pour vecteur
unitaire → en. Soit b(M, t) la densité massique de la grandeur B transportée par le fluide de
vitesse → u.
Le théorème de transport pour un domaine de contrôle fixe, s’écrit :
()
∫∫∫ ∂
+
∂
∂
=
Dn DS
dAeubdV
t
b
dVb
dt
d..... .
.. rr ρ
ρ
ρ
Avec le théorème de la divergence il vient :
5. Equation de continuité
la conservation de la masse du fluide s'exprime localement :
Cette expression peut encore s’écrire:
∂ρ/∂t + ρ.div → u + → u. → gradρ = 0.
Pour un fluide isovolume div u =0, on obtient:
∂ρ/∂t + → u. → gradρ = 0. ou encore dp/dt = 0.
Pour un de fluide à masse volumique constante ρ = cste on obtient : div → u = 0 .
∫
=
Anv dAeuq ..rr
()
0.. =+
∂
∂udiv
t
r
ρ
ρ