Amphi 5_04.03.2015 Fichier

Physique statistique (PHY433)
Amphi 5
Les gaz parfaits quantiques
Gilles Montambaux
4 mars 2015
Rappel amphi 4 de Jean-Philippe Bouchaud
Le gaz parfait
(classique)
Retour sur l
’
entropie du gaz parfait :
(transp 27)
Retour
sur
l entropie
du
gaz
parfait
:
(transp
.
27)
L’entropie du gaz classique devient négative à basse température !
l (4 16)
S(T)
k
=N
µ
ln V
N
λ
3
+5
2
¶
po
l
y.
(4
.
16)
k
µ
N
λ
T
3
2
¶
λ
T
=h
√
2
π
m
k
T
√
2
π
m
k
T
Mécanique quantique
On a un problème ! si
Physique statistique
Mé i ti
Md i
Décrire le comportement macroscopique d’un grand nombre de constituants
microscopiques N~10
23
Mé
can
i
que quan
ti
que
M
on
d
e macroscop
i
que
microscopiques
N~10
23
Et si ces constituants sont indiscernables?
Fermions Bosons
rôle essentiel sur la thermodynamique
Pourquoi y a-t-il des métaux, des isolants,
di
dt ?
d
es sem
i
-con
d
uc
t
eurs
?
Propriétés magnétiques :
Elliti
E
xemp
l
e :
l
a sp
i
n
t
ron
i
que
Ph i t ll i
Ph
ys
i
que s
t
e
ll
a
i
re ,
naines blanches, étoiles à neutrons

Atomes froids, condensation de Bose
Suprafluidité, supraconductivité
Physique du rayonnement :
Physique
du
rayonnement
:
rayonnement solaire, effet de serre
rayonnement cosmologique 3K
lasers
Physique statistique
Pour un système isolé à l’équilibre,
tous les microétats accessibles sont équiprobables
Retrouver les lois de la thermodynamique classique
Ensembles « canoniques »
Retrouver
les
lois
de
la
thermodynamique
classique
Comportement microscopique de systèmes connus (gaz parfait)
Systèmes simples :
Raréfaction atmosphère Systèmes à deux niveaux
Élasticité entro
p
i
q
ue Vibrations des solides
pq
Adsorption Chaleur spécifique des gaz
(
gel des degrés de liberté)
(
gel
des
degrés
de
liberté)
Paramagnétisme
Lord Kelvin, 27 avril 1900, fait le point sur l’état de la physique :
« deux nuages obscurcissent nos connaissances sur la lumière et la chaleur »
expérience
de
Michelson
Michelson
Chaleurs spécifiques des gaz diatomiques: incohérence avec équipartition de
l
’
énergie
l énergie
7
Chaleur spécifique d’un gaz diatomique
vibration
rotation
translation
?
CO
~3K ~3000K
CO
8

Les gaz parfaits quantiques
Thermodynamique d’un ensemble de
particules identiques indiscernables
Principe de Pauli
cf. amphi 7, PHY430, Manuel Joffre 9
Le principe de Pauli postulat de symétrisation
contraint la symétrie des états quantiques des particules indiscernables
: fonction d’onde à N particules
Bosons
ét i l’é h d d ti l
sym
ét
r
i
que par
l’é
c
h
ange
d
e
d
eux par
ti
cu
l
es
Fermions
antisymétrique par l’échange de deux particules
10
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
*
et donc la thermodynamique
et
donc
la
thermodynamique
11
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
*
et donc la thermodynamique
et
donc
la
thermodynamique
*
Qua
n
d
ces
e
ff
e
t
s
qua
nti
ques
de
vi
e
nn
e
nt-il
s
im
po
rt
a
nt
s
?
Qua d ces e e s qua ques de e e
spoas
Lorsque la longueur thermique de de Broglie est de l’ordre de la distance
e
n
t
r
e
pa
r
t
i
cu
l
es
:
entre
particules
:
ou, ce qui est équivalent, si la température est de l’ordre de l’énergie cinétique typique
densité

Un gaz d’électrons est « plus quantique » qu’un gaz d’atomes
Les gaz d’atomes légers sont « plus quantiques »
Le caractère quantique augmente avec la densité
Ordres de
g
randeu
r
T
∗
g
O
2
ρ∼10
25
m
−3
10
−3
K
gaz
T
T>T
liq.'90K
classique
0.1K
ρ∼1028m−3
liquide
T>T
sol.'54K
classique
i
1K
1
0
4
K
ρ∼10
28
m
−3
ρ
∼
1
0
29
m
−3
e
−
basse T
T
a
m
b
i
a
n
t
e
quant
i
que
quantique
liquide
1
0
K
ρ
∼
1
0
m
e
Les électrons libres d’un métal constituent un gaz de fermions« très quantique »
T
a
m
b
i
a
n
t
e
quantique
Comment et quand ces effets quantiques se manifestent-ils ?
Les Fermions ont tendance à s’éviter : principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
Les
Bosons
ont
tendance
à
se
condenser
dans
le
même
état
Cttd fitàbtét?
C
ompor
t
emen
t
d
u gaz par
f
a
it
à
b
asse
t
emp
é
ra
t
ure
?
F
?B
?
14
« Statistiques quantiques »
Fi
Di
F
erm
i
-
Di
rac 1926 1926
Bose-Einstein
1924 1925
Importance de l’indiscernabilité
1) Deux particules, deux niveaux
2) Deux particules, spectre quelconque
3) N particules
16

Système à 2 niveaux, une particule
Energie moyenne U (T) ?
Fonction de partition canonique
Fonction
de
partition
canonique
Système à 2 niveaux, deux particules discernables
Energie moyenne U (T) ?
Fonction de partition canonique
Fonction
de
partition
canonique
Système à 2 niveaux, deux bosons indiscernables
Energie moyenne U (T) ?
19
Système à 2 niveaux, deux fermions indiscernables
(
sans spin
)
()
Energie moyenne U (T) ?
20