Amphi 5_04.03.2015 Fichier

Le gaz parfait
(classique)
Physique statistique (PHY433)
Rappel amphi 4 de Jean-Philippe Bouchaud
(transp 27)
Retour sur l’entropie
l entropie du gaz parfait : (transp.27)
Amphi 5
L’entropie du gaz classique devient négative à basse température !
poly.
l (4
(4.16)
16)
Les gaz parfaits quantiques
µ
¶
S(T )
V
5
= N ln
+
k
N λT 3 2
λT = √
h
2πmkT
Gilles Montambaux
Mécanique quantique
On a un problème ! si
4 mars 2015
Physique statistique
Pourquoi y a-t-il des métaux, des isolants,
d semi-conducteurs
des
i
d t
?
Mé
Mécanique
i
quantique
ti
M d macroscopique
Monde
i
Décrire le comportement macroscopique d’un grand nombre de constituants
microscopiques N~1023
Propriétés magnétiques :
E
Exemple
l : lla spintronique
i t i
Et si ces constituants sont indiscernables?
Fermions
Bosons
Ph i
Physique
stellaire
t ll i
,
naines blanches, étoiles à neutrons
rôle essentiel sur la thermodynamique
Physique statistique
Atomes froids, condensation de Bose
Pour un système isolé à l’équilibre,
tous les microétats accessibles sont équiprobables
Suprafluidité, supraconductivité
Ensembles « canoniques »
Retrouver les lois de la thermodynamique classique
Comportement microscopique de systèmes connus (gaz parfait)
Physique du rayonnement :
Systèmes simples :
rayonnement solaire, effet de serre
Raréfaction atmosphère
Systèmes à deux niveaux
pq
Élasticité entropique
Vibrations des solides
Adsorption
Chaleur spécifique des gaz
(gel des degrés de liberté)
rayonnement cosmologique 3K
lasers
Paramagnétisme
Lord Kelvin, 27 avril 1900, fait le point sur l’état de la physique :
« deux nuages obscurcissent nos connaissances sur la lumière et la chaleur »
Chaleur spécifique d’un gaz diatomique
vibration
rotation
expérience
de
Michelson
translation
?
Chaleurs spécifiques des gaz diatomiques: incohérence avec équipartition de
l énergie
l’énergie
CO
7
~3K
~3000K
8
Le principe de Pauli
postulat de symétrisation
contraint la symétrie des états quantiques des particules indiscernables
Les gaz parfaits quantiques
:
fonction d’onde à N particules
Bosons
Thermodynamique d’un ensemble de
particules identiques indiscernables
symétrique
ét i
par l’échange
l’é h
d
de d
deux particules
ti l
Principe de Pauli
Fermions
antisymétrique par l’échange de deux particules
cf. amphi 7, PHY430, Manuel Joffre
9
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
10
* Le principe de Pauli * impose des conditions sur la nature des états quantiques
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
* conditionne la répartition des niveaux d’énergie
* et donc la thermodynamique
* et donc la thermodynamique
* Qua
Quand
d ces e
effets
e s qua
quantiques
ques de
deviennent-ils
e e
s importants
po a s ?
Lorsque la longueur thermique de de Broglie
entre particules :
est de l’ordre de la distance
ou, ce qui est équivalent, si la température est de l’ordre de l’énergie cinétique typique
densité
11
Comment et quand ces effets quantiques se manifestent-ils ?
Les Fermions ont tendance à s’éviter :
Un gaz d’électrons est « plus quantique » qu’un gaz d’atomes
principe d’exclusion de Pauli
Les Bosons ont tendance à se condenser dans le même état
Les gaz d’atomes légers sont « plus quantiques »
C
Comportement
t
t du
d gaz parfait
f it à basse
b
ttempérature
é t
?
Le caractère quantique augmente avec la densité
T∗
Ordres de g
grandeur
O2 gaz
liquide
liquide
−
e
ρ ∼ 1025 m−3
10−3 K
T > Tliq.' 90K
classique
ρ ∼ 1028 m−3
0.1K
T > Tsol.' 54K
classique
basse T
quantique
i
28
ρ ∼ 10 m
−3
ρ ∼ 1029 m−3
1K
104 K
T ambiante
?
F
?
quantique
B
14
Les électrons libres d’un métal constituent un gaz de fermions« très quantique »
« Statistiques quantiques »
Importance de l’indiscernabilité
1) Deux particules, deux niveaux
F
Fermi-Dirac
i Di
1926
1926
2) Deux particules, spectre quelconque
3) N particules
Bose-Einstein
1924
1925
16
Système à 2 niveaux, une particule
Energie moyenne
Système à 2 niveaux, deux particules discernables
U (T) ?
Energie moyenne
Fonction de partition canonique
Fonction de partition canonique
Système à 2 niveaux, deux bosons indiscernables
Energie moyenne
U (T) ?
Système à 2 niveaux, deux fermions indiscernables
((sans spin))
U (T) ?
Energie moyenne
19
U (T) ?
20
Système à 2 niveaux, deux particules (résumé)
Energie moyenne
Spectre quelconque, deux particules discernables
U (T) ?
Energie moyenne
U (T) ?
Fermions
discernables
La fonction de partition se factorise
Bosons
21
Spectre quelconque, deux fermions indiscernables
((sans spin))
Energie moyenne
22
Spectre quelconque, deux bosons indiscernables
U (T) ?
Energie moyenne
Contrainte
U (T) ?
Contrainte
La fonction de partition ne se factorise plus
La fonction de partition ne se factorise plus
23
24
ZF (β) ,
Thermodynamique de deux particules (résumé)
ZB (β)
2 niveaux
niveaux équirépartis
Fermions
discernables
Fermions
Bosons
Bosons
25
Thermodynamique de deux particules
Importance de l’indiscernabilité
1) Deux particules, deux niveaux
2) Deux particules,
2 niveaux
niveaux
3) N particules identiques
niveaux équirépartis
ZD (β) = z1 (β)N
ZI (β) =
ZD (β)
N!
?
NON
Représentation
é
d’un
’ é
état à N particules identiques
27
28
Représentation d’un état à N particules identiques
: nombre de particules dans l’état
Représentation d’un état à N particules identiques
: états à 1 particule
Exemple : 3 bosons
c’est le « nombre d’occupation » de l’état
Un état à N particules est caractérisé par la donnée des nombres d’occupation
état
p
particule
La séquence de ces nombres détermine l’état à N particules
29
Représentation d’un état à N particules identiques
Représentation d’un état à N particules identiques
Exemple : 3 fermions (sans spin)
: nombre de particules dans l’état
c’est le « nombre d’occupation » de l’état
Un état à N particules est caractérisé par la donnée des nombres d’occupation
Bosons
Fermions
état
particule
dét. de Slater
31
32
Thermodynamique de N particules indiscernables
Fermions
Formalisme canonique ?
Thermodynamique de N particules indiscernables
Contrainte :
Découplage impossible
Formalisme grand-canonique
grand canonique
Fermions
33
Ensembles canoniques
Microcanonique
34
Un bref retour sur les ensembles canoniques
Microcanonique : système isolé
W (E,
(E N )
Canonique
S
Tous les microétats accessibles sont équiprobables
W (E, N )
Nombre de microétats (configurations) d’énergie E ( et de N fixé)
Zc (β,
(β N )
Entropie
Energie libre
Grand canonique
Zg (β, α)
Grand potentiel
Travailler dans l’ensemble microcanonique, c’est résoudre un problème
de combinatoire : combien y a-t-il d’états
d états possibles d’énergie
d énergie donnée
(et de nombre de particules donné) ?
36
Un bref retour sur les ensembles canoniques
Un bref retour sur les ensembles canoniques
Canonique : contact avec un thermostat
Grand canonique : contact avec un thermostat et un réservoir de particules
T
poids de Boltzmann
T, μ
poids de Boltzmann
S
S
Fonction de partition canonique
Zc (β, N ) =
X
Fonction de partition grand canonique
canoniq e
−βE
e
Zg (β, α) =
m
E
Energie
i lib
libre
X
e−βE+αN
m,N
Grand potentiel
(amphi 4, transp.17)
Intérêts de la description
p
canonique
q :
* On lève la contrainte sur l’énergie
* Pour un ensemble de sous-systèmes, la fonction de partition se factorise
37
pV
V = kT ln
l Zg
Intérêts de la description
p
g
grand canonique
q
* On lève la contrainte sur l’énergie et le nombre de particules
* Pour un ensemble de sous-systèmes, la fonction de partition se factorise
38
Ensembles canoniques
Température et potentiel chimique
Microcanonique
T1 > T2 Q
μ1 > μ2
T2
W (E,
(E N )
Canonique
N
μ2
Zc (β,
(β N )
Le système de haute T cède de l’énergie au système de basse T
Equivalence
q
dans la limite
de grands systèmes
Grand canonique
Le système de grand  cède des particules au système de petit 
A l’équilibre :
T2
= T1
μ2
= μ1
Zg (β, α)
39
40
Thermodynamique de N particules indiscernables
Thermodynamique de N particules indiscernables
Fermions
Fermions
Formalisme canonique ?
Grand potentiel
AF (β,
(β α) = −
Nombre (moyen) de particules
Contrainte :
Découplage impossible
X ¡
¢
1
ln ZF = −k
kB T
ln 1 + eα−β²k
β
k
X
X
∂ ln ZF
1
=
hnk i
hN i =
=
∂α
eβ²k −α + 1
k
Formalisme grand-canonique
grand canonique
k
fkF = hnk i =
1
α
eβ²k −α
+1
Facteur d’occupation de Fermi
Remplissage moyen de l’état
l état k
Énergie (moyenne)
41
h i=
hN
1
eββ²k −α
X
+1
X
X
∂ ln ZF
²k
fkF ²k
=
=
∂β
eβ²k −α + 1
k
42
k
Facteur d’occupation de Fermi
Facteur d
d’occupation
occupation de Fermi
fkF = hnk i =
U =−
Facteur d’occupation de Fermi
Remplissage moyen de l’état
l état k
fkF
U=
X
fkF ²k
k
k
N b moyen d
Nombre
de particules
ti l
E
Energie
i moyenne
Le potentiel chimique est déterminé par la condition :
On peut donc en déduire l’équation d’état d’un gaz de fermions
U (T, hN i)
( prochain
p
cours))
43
On définit le niveau de Fermi:
44
T=0 K
T finie
énergie de Fermi
Etat fondamental, mais très loin du repos !!
45
Excitations possibles dans une tranche de largeur
autour du niveau de Fermi
46
T finie
Thermodynamique de N particules indiscernables
Bosons
« Gap » autour du niveau de Fermi
excitations thermiques difficiles (cf. isolants, semi-conducteurs)
48
Thermodynamique de N particules indiscernables
Thermodynamique de N particules indiscernables
Bosons
Bosons
Formalisme canonique ?
Grand potentiel
AB (β,
(β α) = −
Nombre (moyen) de particules
Contrainte :
Découplage impossible
k
fkB = hnk i =
Énergie (moyenne)
49
h i=
hN
α −1
eβ²k −α
1
X
U =−
1
α −1
eβ²k −α
1
=
X
k
hnk i
Facteur d’occupation de Bose
Remplissage moyen de l’état
l état k
X
X
∂ ln ZB
²k
fkB ²k
=
=
∂β
eβ²k −α −1
k
50
k
Facteur d’occupation de Bose
Facteur d
d’occupation
occupation de Bose
1
k
X
∂ ln ZB
1
hN i =
=
∂α
eβ²k −α −1
Formalisme grand-canonique
g
q
fkB = hnk i =
X ¡
¢
1
ln ZB = +kB T
ln 11−eeα−β²k
β
Facteur d’occupation de Bose
Remplissage moyen de l’état
l état k
fkB
U=
X
fkB ²k
k
k
N b moyen d
Nombre
de particules
ti l
E
Energie
i moyenne
Le potentiel chimique est déterminé par la condition :
On peut donc en déduire l’équation d’état d’un gaz de bosons
U (T, hN i)
( prochain
p
cours))
51
52
T=0 K
T finie
Tous les bosons sont
condensés dans
l’état fondamental
Nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique
 suprafluidité, supraconductivité
53
Résumé
Physique conditionnée
par les états quantiques
g du fondamental
au voisinage
Nombre macroscopique de bosons dans le même état quantique
 suprafluidité, supraconductivité
Résumé :
54
Statistiques quantiques
Fermions
Fermions :
Bosons
Les propriétés physiques dépendent
de la structure du spectre au voisinage
du niveau de Fermi
1
fkF =
fkB =
eβ(²k −μ) +1
F
Fermi-Dirac
i Di
Bosons :
En écrivant
La physique est conditionnée
par les états quantiques
au voisinage du fondamental
Pression
55
P =−
eβ(²k −μ) −1
B
Bose-Einstein
Ei t i
en fonction de
Grand potentiel
1
:
AF,B = ±kT
∂A
A
=−
∂V
V
X
F
ln(1∓fk )
k
Energie interne
U=
X
k
B
fk ²k
Limite classique
Evolution en température et limite classique
fk =
1
hN i =
eβ(²k −μ) ±1
f
0
²F
μ
X
fk =
k
²
²F
f (²k ) = Cte =⇒ μ(T )
f
1
eβ(²k −μ) ±1
f
f
²
0
T ¿ T∗
0
²F
μ
²
²F
T À T∗
μ
T
μ
0
Fermions
²
0
T
Bosons
0
T
57
Limite classique
Fermions
T
58
Bosons
Limite classique
Potentiel chimique ?
gaz p
g
parfait classique
q
poly. (4.42)
poly. (4.8)
0
R
Rappel:
l
On retrouve le résultat du gaz parfait classique
Fonction de partition à une particule
z1 =
V
V
= 3 (2πmkT )3/2
3
λT
h
Fermions
T À T∗
Fonction de partition à une particule
z1 =
Bosons
V
V
= 3 (2πmkT )3/2
3
λT
h
« Statistiques quantiques »
Comportement du gaz parfait à basse température ?
P U (T, N ) ?
P V (T, N ) ?
P V = ∓kT
U=
X
X
N=
ln(1∓fk )
X
fk
F
Fermi-Dirac
i Di
k
métaux, isolants,semi-conducteurs, naines blanches, étoiles à neutrons
k
fk ²k
?
F
k
?
B
Bose-Einstein
61
1905 - Le quantum de lumière
1907- Chaleur spécifique des solides
1907
1909 - Dualité onde-corpuscule
1917 - Émission stimulée
1924 - Condensation
de Bose-Einstein
1935 – Paradoxe « EPR »
193
63
rayonnement, effet de serre, lasers, rayonnement cosmologique, condensation de
Bose, suprafluidité, supraconductivité