1 Hydrogène muonique - Université Paul Sabatier

UNIVERSITÉ PAUL SABATIER MASTER DE PHYSIQUE
Mécanique Quantique, Atomes et Molécules
TRAVAUX DIRIGÉS/ORDINATEUR No. 1
Atomes muoniques
On désigne par atomes muoniques les atomes formés par la capture d’un muon négatif ( :
mêmes propriétés que l’électron, sauf que sa masse est 207 fois supérieure) dans le champ
d’un noyau lors du ralentissement des muons dans la matière. Le muon n’étant pas sensible aux
interactions fortes, son couplage avec les noyaux est essentiellement électromagnétique : il peut
donc former un état lié avec ces derniers. En raison de la courte durée de vie du muon ( s) ces
atomes ne sont pas stables, mais leurs propriétés spectroscopiques et leurs interactions peuvent
néanmoins être étudiées expérimentalement.
1 Hydrogène muonique
C’est un atome d’hydrogène dans lequel l’électron est remplacé par un muon. On considèrera
le proton comme une particule ponctuelle et on utilisera l’approximation non-relativiste.
Calculer par intégration numérique de l’équation de Schrödinger l’énergie des 4 premiers
niveaux pour un moment cinétique ainsi que l’énergie des 3 premiers niveaux pour
.
Représenter les densités radiales de probabilité de présence du muon dans ces états.
Déterminer le nombre de maxima et de zéros de ces distributions.
Calculer la valeur moyenne de la distance du muon au noyau pour le niveau fondamental.
Calculer la valeur moyenne de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique dans l’état
fondamental. L’approximation non-relativiste est-elle correcte ?
Comparer avec les résultats pour l’atome d’hydrogène normal.
2 Atomes lourds muoniques
2.1 Potentiel Coulombien
Sans refaire les calculs numériques, déterminer la modification des résultats précédents
pour un atome lourd ( entre 70 et 90).
Comparer les valeurs moyennes des distributions de probabilité de présence du muon aux
dimensions du noyau ( fm, où est le nombre atomique). En déduire qu’on
ne peut plus considérer le noyau comme ponctuel.
Qu’en est-il de l’approximation non-relativiste ?

2 MQ, atomes et molécules : TDO 1
2.2 Modèle du noyau à distribution uniforme de charge
On considère le noyau comme une distribution uniforme de charge dans une sphère de rayon .
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que le potentiel électrique créé par le noyau à
la distance du centre est :
pour (1)
pour (2)
Sachant que l’énergie potentielle d’interaction entre le muon et le noyau est donnée par
, tracer ce potentiel en fonction de .
Calculer numériquement l’énergie des 4 premiers niveauxpour et des trois premiers
pour .
Représenter en fonction de pour . Vérifier que les points s’alignent et
qu’on peut donc décrire par la loi dite du défaut quantique :
(3)
Calculer et . Discuter physiquement.
Comparer avec l’énergie des niveaux obtenus avec ceux analytiques du potentiel Coulom-
bien pur et du potentiel harmonique.
Appliquer la théorie des perturbations au premier ordre en prenant comme Hamiltonien
d’ordre zéro celui avec le potentiel Coulombien. Discuter la validité de cette approche.
Unités sans dimension :
avec
où
m
est le rayon de Bohr, et
eV
est la la constante de Rydberg.

MQ, atomes et molécules : TDO 1 3
La masse réduite est donnée par :
et donc
3 Programme
% Master de Physique - Parcours Physique Fondamentale
% Mécanique Quantique, Atomes et Molécules
%
% TDO 1: Atomes muoniques
%
% Calcul des niveaux d’énergie par la méthode
% de différences finies et diagonalisation
% Unités sans dimensions :
% distances en unités de a = a_0/m Z, avec a_0 = \hbar^2/m_e e^2
% énergies en unités de I = m Z^2 R_\infty, avec R_\infty = m_e e^4/2 \hbar^2
% où :
% Z = charge du noyau
% m = \mu/m_e, avec \mu = m_\mu m_A/(m_\mu +m_A) masse réduite muon-
noyau
% m_e = masse électronique
clear all
close all
% Paramètres du problème
l = 0; % nombre quantique associé au moment cinétique orbital
X = 0; % Rayon du noyau (0 pour un calcul avec noyau ponctuel)
nom=’tttt’
npts=300 % nombre de points de la grille
dx=0.1 % pas de la grille
% nombre d’états calculés
nev=3
% calcul de la matrice hamiltonienne
for k=1:npts-1
x(k)=k*dx;
if x(k) > X
V(k)=-2/x(k) + l*(l+1)/x(k)^2;
else
V(k)=-(3-(x(k)/X)^2)/X + l*(l+1)/x(k)^2;
end Hamilt(k,k+1) =-1/dx^2; % diagonale supérieure
Hamilt(k,k) = 2/dx^2+V(k) % diagonale

4 MQ, atomes et molécules : TDO 1
Hamilt(k+1,k) =-1/dx^2; % diagonale inférieure
end;
% dernier point de la matrice
x(npts)=npts*dx;
V(npts)=-2/x(npts)+ l*(l+1)/x(npts)^2;
Hamilt(npts,npts)=2/dx^2+V(npts); % diagonale
% diagonalisation
[u,D]=eig(Hamilt);
% la routine donne les valers propres sur la diagonale de la ma-
trice D
% (voir help eigs)
for k=1:npts
eigval(k)=D(k,k);
end;
% on classe les (nev) valeurs propres les plus basses
[Spec,ind] = sort(eigval);
% affichage du spectre
for k=1:nev
Spec(k)
end;
% potentiel, niveaux d’énergie et fonctions d’ondes
figure(2)
factor=4.0; % pour bien visualiser les fonctions d’onde
ymin=-1.5;
ymax=0.2;
xmax=npts*dx;
hold on
for k=1:nev
plot(x,V,’b’,[0 xmax],[Spec(k) Spec(k)],’r’,x,factor*u(:,ind(k)).^2+Spec(k),’g’);
end
title([nom])
axis([0 xmax ymin ymax]);
xlabel(’x’);
hold off
% calcul des éléments de matrice (pour le calcul des perturbations)
% perturbation: V(k)+2/r(k)
elmat1=0;
norm1=0;
elmat2=0;
norm2=0;
elmat3=0;
norm3=0;
for k=1:npts
elmat1=elmat1+(V(k)+2/x(k))*u(k,ind(1)).^2;
norm1=norm1+u(k,ind(1)).^2;

MQ, atomes et molécules : TDO 1 5
elmat2=elmat2+(V(k)+2/x(k))*u(k,ind(2)).^2;
norm2=norm2+u(k,ind(2)).^2;
elmat3=elmat3+(V(k)+2/x(k))*u(k,ind(3)).^2;
norm3=norm3+u(k,ind(3)).^2;
end;
% théorie des perturbations
[-1+elmat1/norm1,Spec(1)]
[-0.25+elmat2/norm2,Spec(2)]
[-0.111+elmat3/norm3,Spec(3)]
% graph pour l’étude du défaut quantique
figure(3)
plot([1:nev],1./sqrt(-Spec(1:nev)),’*’)