Table des mati`eres

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Table des matières
1 Mise en évidence de phénomènes quantiques
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
L’effet photoélectrique - quantification des échanges
rayonnement-matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.a
Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.b
Analyse détaillée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Quantification des niveaux d’énergie atomiques . . . . . . . . .
II.2.a
Spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.b
Expérience de Franck et Hertz (1914) - quantification
des niveaux d’énergie atomiques . . . . . . . . . . . .
II.3
Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Rayonnement et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Caractère ondulatoire de la matière . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.a Relation de Louis de Broglie . . . . . . . . . . . . . .
III.2.b Un exemple des propriétés ondulatoires de la matière :
interférences entre atomes . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Les quantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV La fonction d’onde : amplitude de probabilité . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Expérience des fentes d’Young : interprétation probabiliste . .
IV.2 La fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Pour aller plus loin : rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . .
VII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
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25
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31
2 Fonction d’onde. Équation de Schrödinger
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
La fonction d’onde, amplitude de probabilité
II.2
Localisation de la particule . . . . . . . . . .
II.3
Principe de superposition . . . . . . . . . . .
39
39
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40
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20
22
22
TABLE DES MATIÈRES
6
III
Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 L’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 États stationnaires pour un potentiel indépendant du temps . .
III.2.a Solutions à variables séparées . . . . . . . . . . . . . .
III.2.b Exemple : évolution libre avec conditions périodiques
III.2.c Propriétés des états stationnaires . . . . . . . . . . . .
III.3 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.a Base des fonctions d’onde stationnaires . . . . . . . .
III.3.b Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.c Exemple : évolution libre sur un segment (puits infini)
IV Paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Pourquoi une onde plane n’est pas physiquement acceptable . .
IV.2 Superposition d’ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.a Superposition de deux ondes planes . . . . . . . . . .
IV.2.b Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Exemple d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Relation d’indétermination spatiale d’Heisenberg . . . . . . . . . . . .
V.1
La relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2
Illustrations de la relation d’indétermination de Heisenberg . .
V.3
Ondes de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Vecteur densité de courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.1 Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Pour aller plus loin : la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Équation de Schrödinger : exemples
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Équation de Schrödinger avec potentiel indépendant du temps
II.2
Solution stationnaire dans un intervalle où V est constant . . .
II.3
Continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée . . . . . . . .
III Réflexion/transmission par une marche de potentiel . . . . . . . . . .
III.1 Marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.a Cas où E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.b Cas où E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.c Coefficients de réflexion et transmission . . . . . . . .
III.2 Falaise de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Barrière de potentiel. Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.a Cas où E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1.b Cas où E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.a La radioactivité α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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83
TABLE DES MATIÈRES
IV.2.b Microscope à effet tunnel . .
Puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Rappel : le puits infini . . . . . . . . .
V.2
Puits fini rectangulaire . . . . . . . . .
V.3
Propriétés des puits réels . . . . . . .
V.4
Exemple d’un double puits . . . . . .
VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII Pour aller plus loin : l’informatique quantique
VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . .
IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
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93
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99
4 Introduction à la physique statistique
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Monde microscopique, monde macroscopique . . . . . . . . . . . . . .
III Atmosphère isotherme et facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . .
III.1 Modèle de l’atmosphère isotherme . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Généralisation du facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Loi de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Exemples et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.a Rapport de populations . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2.b Exemple du paramagnétisme à deux niveaux . . . . .
V
Systèmes à niveaux d’énergie discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Description d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1.a
Probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie . . . .
V.1.b
Énergie moyenne d’une particule et écart quadratique
moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1.c
Évolution dans le temps de l’énergie d’une particule .
V.2. Description d’un système à N particules identiques
indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2.a
Énergie totale et fluctuations de l’énergie . . . . . . .
V.2.b
Capacité thermique d’un système de N particules et
lien avec les fluctuations d’énergie . . . . . . . . . . .
V.3
Exemples des systèmes à deux niveaux d’énergie ±ε . . . . . .
V.3.a
Probabilités d’occupation et énergie . . . . . . . . . .
V.3.b
Moment magnétique résultant . . . . . . . . . . . . .
V.3.c
Capacité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII Pour aller plus loin : l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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122
122
5 Approximation continue. Applications
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Approximation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V
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133
133
TABLE DES MATIÈRES
8
II.1.a
Particule dans une boı̂te . . . . . . . . . . . . .
II.1.b
Niveaux de vibration d’une molécule diatomique
II.2
Limite continue de la loi de Boltzmann . . . . . . . . . .
III Théorème d’équipartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.a Oscillateur harmonique unidimensionnel . . . . .
III.2.b Énergie cinétique d’un gaz parfait . . . . . . . .
IV Capacités thermiques des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Gaz monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Gaz diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Capacités thermiques des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII Pour aller plus loin : les statistiques quantiques . . . . . . . . . .
VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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152
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156
156
6 Supplément mathématique
169
I
Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
II
Espace de Hilbert et fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
II.1
Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
II.2
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
II.3
Premier principe de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . 170
II.4
Théorème spectral et troisième principe de la mécanique quantique170
III Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
III.1 Théorème de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
III.2 Relation d’indétermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
IV Conditions de continuité en un point de discontinuité du potentiel . . 172
V
Description de plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . 173
V.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
V.2
Intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Constantes, ordres de grandeur utiles
177
Index
179
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