Table des matières 1 Mise en évidence de phénomènes quantiques I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 L’effet photoélectrique - quantification des échanges rayonnement-matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.a Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.b Analyse détaillée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Quantification des niveaux d’énergie atomiques . . . . . . . . . II.2.a Spectres atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.b Expérience de Franck et Hertz (1914) - quantification des niveaux d’énergie atomiques . . . . . . . . . . . . II.3 Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Rayonnement et photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Caractère ondulatoire de la matière . . . . . . . . . . . . . . . III.2.a Relation de Louis de Broglie . . . . . . . . . . . . . . III.2.b Un exemple des propriétés ondulatoires de la matière : interférences entre atomes . . . . . . . . . . . . . . . . III.3 Les quantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV La fonction d’onde : amplitude de probabilité . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Expérience des fentes d’Young : interprétation probabiliste . . IV.2 La fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Pour aller plus loin : rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . VII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 24 25 25 27 28 29 30 31 2 Fonction d’onde. Équation de Schrödinger I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 La fonction d’onde, amplitude de probabilité II.2 Localisation de la particule . . . . . . . . . . II.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . 39 39 40 40 40 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 10 11 13 13 15 17 18 20 20 22 22 TABLE DES MATIÈRES 6 III Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 L’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 États stationnaires pour un potentiel indépendant du temps . . III.2.a Solutions à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . III.2.b Exemple : évolution libre avec conditions périodiques III.2.c Propriétés des états stationnaires . . . . . . . . . . . . III.3 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.a Base des fonctions d’onde stationnaires . . . . . . . . III.3.b Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.c Exemple : évolution libre sur un segment (puits infini) IV Paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Pourquoi une onde plane n’est pas physiquement acceptable . . IV.2 Superposition d’ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.a Superposition de deux ondes planes . . . . . . . . . . IV.2.b Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Exemple d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Relation d’indétermination spatiale d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . V.1 La relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Illustrations de la relation d’indétermination de Heisenberg . . V.3 Ondes de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Vecteur densité de courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Pour aller plus loin : la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 43 43 44 45 46 46 46 47 49 49 49 49 50 51 52 52 53 54 55 55 55 56 57 57 58 3 Équation de Schrödinger : exemples I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Équation de Schrödinger avec potentiel indépendant du temps II.2 Solution stationnaire dans un intervalle où V est constant . . . II.3 Continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée . . . . . . . . III Réflexion/transmission par une marche de potentiel . . . . . . . . . . III.1 Marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.a Cas où E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.b Cas où E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.c Coefficients de réflexion et transmission . . . . . . . . III.2 Falaise de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Barrière de potentiel. Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.a Cas où E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.b Cas où E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.a La radioactivité α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 72 72 73 74 74 74 75 77 78 79 80 80 81 82 83 83 TABLE DES MATIÈRES IV.2.b Microscope à effet tunnel . . Puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Rappel : le puits infini . . . . . . . . . V.2 Puits fini rectangulaire . . . . . . . . . V.3 Propriétés des puits réels . . . . . . . V.4 Exemple d’un double puits . . . . . . VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Pour aller plus loin : l’informatique quantique VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . 85 87 87 88 92 93 97 98 99 99 4 Introduction à la physique statistique I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Monde microscopique, monde macroscopique . . . . . . . . . . . . . . III Atmosphère isotherme et facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . III.1 Modèle de l’atmosphère isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Généralisation du facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Loi de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Exemples et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.a Rapport de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.b Exemple du paramagnétisme à deux niveaux . . . . . V Systèmes à niveaux d’énergie discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Description d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.a Probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie . . . . V.1.b Énergie moyenne d’une particule et écart quadratique moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.c Évolution dans le temps de l’énergie d’une particule . V.2. Description d’un système à N particules identiques indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2.a Énergie totale et fluctuations de l’énergie . . . . . . . V.2.b Capacité thermique d’un système de N particules et lien avec les fluctuations d’énergie . . . . . . . . . . . V.3 Exemples des systèmes à deux niveaux d’énergie ±ε . . . . . . V.3.a Probabilités d’occupation et énergie . . . . . . . . . . V.3.b Moment magnétique résultant . . . . . . . . . . . . . V.3.c Capacité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Pour aller plus loin : l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 115 116 117 117 118 119 119 120 120 121 122 122 122 5 Approximation continue. Applications I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Approximation continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 143 144 144 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 124 125 125 127 127 127 128 130 131 132 133 133 TABLE DES MATIÈRES 8 II.1.a Particule dans une boı̂te . . . . . . . . . . . . . II.1.b Niveaux de vibration d’une molécule diatomique II.2 Limite continue de la loi de Boltzmann . . . . . . . . . . III Théorème d’équipartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.a Oscillateur harmonique unidimensionnel . . . . . III.2.b Énergie cinétique d’un gaz parfait . . . . . . . . IV Capacités thermiques des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Gaz monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Gaz diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Capacités thermiques des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Pour aller plus loin : les statistiques quantiques . . . . . . . . . . VIII Références du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 144 144 145 145 146 146 147 149 149 149 152 154 155 156 156 6 Supplément mathématique 169 I Aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 II Espace de Hilbert et fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 II.1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 II.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 II.3 Premier principe de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . 170 II.4 Théorème spectral et troisième principe de la mécanique quantique170 III Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 III.1 Théorème de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 III.2 Relation d’indétermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 IV Conditions de continuité en un point de discontinuité du potentiel . . 172 V Description de plusieurs degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . 173 V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 V.2 Intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Constantes, ordres de grandeur utiles 177 Index 179