Chapitre 4 – Division d`amplitude

Optique Ondulatoire
Plan du cours
[1] Aspect ondulatoire de la lumière
[2] Interférences à deux ondes
[3] Division du front d’onde
[4] Division d’amplitude
[5] Interférences à ondes multiples
[6] Diffraction
[7] Polarisation
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
1 – Introduction
Nous avons déjà abordé très sommairement la notion de cohérence
temporelle, qui concerne la largeur spectrale des sources. Pour obtenir
des interférences visibles, les sources doivent également obéir à des
contraintes de cohérence spatiale.
i) Source ponctuelle
Quel que soit le type d'interféromètre (division du front d'onde ou
d'amplitude), les interférences sont non-localisées.
ii) Source étendue
- Cas des interféromètres à division du front d'onde : les franges restent
non-localisées, mais la visibilité baisse en tout point du champ
d'interférence.
- Cas des interféromètres à division d'amplitude : la visibilité baisse en
tout point du champ d'interférence sauf sur une surface appelée
surface de localisation : les interférences y sont localisées et bien
visibles.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2 – Lame à faces planes et parallèles
2.1) Coefficients de FRESNEL
E0
ρ12 E 0
- Réflexion en champ :
n1
- Transmission en champ :
n2
τ12 E 0
Remarque : ces expressions ne sont valables en toute rigueur
qu’en incidence normale.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Lorsque l’onde vient d’un milieu d’indice faible et va vers un milieu
d’indice fort :
Le coefficient de réflexion en amplitude ou en champ est négatif :
Lorsque l’onde vient d’un milieu d’indice faible et va vers un milieu
d’indice fort :
Le coefficient de réflexion en amplitude ou en champ est positif :
Dans tous les cas le coefficient de transmission est positif
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Coefficients de réflexion et transmission en intensité
I0
R12 × I 0
- Réflexion en intensité :
n1
n2
T12 × I 0
- Transmission en intensité :
Relation entre la réflexion et la transmission
en intensité :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Conséquences :
1/ Cas : n1<n2
La réflexion s’accompagne d’une différence de marche de –λ0/2
2/ Quelques propriétés :
3/ Cas du verre :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.2) Présentation de l’interféromètre
Lame constituée d’un matériau homogène et transparent
d’indice n, dont les deux faces sont planes et parallèles
Voie 1
I inc
Faisceau
incident
Voie 2
et
L
i i' = i
i
i
Au point J :
K
I
r
n
Au point I :
r
r
e
Au point K :
r' = r
J
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Les rayons de la voie 1 et de la voie 2 sont donc parallèles et se
coupent à l’infini, on dit que les interférences sont localisées à l’infini.
2.3) Calcul de la différence de marche
Le faisceau incident est séparé au point I et se recombine à l'infini. La
différence de marche est la différence de chemin optique entre I et
l'infini selon que l'onde a pris la voie 1 ou la voie 2. On note cela
abusivement :
Les points L et K appartiennent au même plan d'onde et donc au
même plan équiphase. A partir de ces points la propagation
s'effectuant dans l'air pour les deux voies, on a :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
On décompose alors δ :
Et donc :
Ce qui s'écrit en tenant compte du déphasage supplémentaire dû
à la réflexion au niveau du dioptre air/verre sur la voie 1 :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Voie 1
I inc
Faisceau
incident
Voie 2
L
Chemin optique :
i i' = i
i
i
K
I
r
n
r
r
e
r' = r
Chemin optique :
J
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Finalement :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.4) Figure d’interférence
Rappel : coefficients de réflexion et transmission au niveau d’une
interface air/verre ou verre/air :
Intensité sur la voie 1 (1 réflexion) :
Intensité sur la voie 2 (2 réflexions et une transmission) :
Les deux voies de l’interféromètre sont équilibrées :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Les deux voies de l’interféromètre sont équilibrées :
avec
Approximation de GAUSS :
Soit :
Ainsi :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Ordre d’interférence :
Ordre au centre (incidence normale) :
Relation entre i, p et p0 :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Finalement :
avec :
et :
- Première frange claire : p = K d’où
- Seconde frange claire : p = K-1 d’où
- Troisième frange claire : p = K-2 d’où
-…
- mième frange : p = K-m+1 d’où
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
On obtient d'autant plus de franges que K est grand. C'est à
dire que le nombre de franges dépend directement de
l'épaisseur e de la lame.
Le système possède une symétrie de révolution autour de la
normale à la lame : on obtient des anneaux d'égale
inclinaison localisés à l'infini.
Ces anneaux étant localisés à l'infini ils sont caractérisés par
leur diamètre angulaire. On peut les observer de deux
manières :
- A l‘œil sans accommoder
- Dans le plan focal d'une lentille, par projection.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.5) Observation des anneaux d’égale inclinaison
F′
Dans le plan focal
d’une lentille (L)
lm
im
O
(L )
S
×
im
Rayon des anneaux :
e
n
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Observation des anneaux : λ = 633nm
f ′ = 1m
n = 1.5
l2
12cm
l1
12cm
l3
12cm
⎧e = 2mm
⎨
⎩K = 9479
⎧l 1 = 0.91cm
⎪
⎪l 2 = 2.36cm
⎨
⎪l 3 = 3.21cm
⎪⎩l 4 = 3.88cm
12cm
⎧e = 0.55mm
⎨
⎩K = 2507
⎧l 1 = 1.53cm
⎪
⎨l 2 = 4.43cm
⎪l = 6.07cm
⎩ 3
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3 – Lame quasi-parallèle : cas du coin de verre
3.1) Présentation de l’interféromètre
Considérons un rayon issu de la source S. Une partie (4%) est réfléchie ce
qui constitue la voie 1. Le reste est réfracté et se réfléchi sur la face
intérieure. Ce rayon est ensuite réfracté ce qui constitue la voie 2.
S
×
Voie 1
Voie 2
Ces deux rayons se
coupent au voisinage de
la lame. Les interférences
sont localisées sur un plan
passant par l'arrête du
coin
situé
en
son
voisinage.
α
n
Surface de localisation Σloc
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3.2) Calcul de la différence de marche
L’angle α et l’angle d’incidence i étant faibles, tout se passe comme si «
localement » on avait une lame parallèle d’épaisseur e(x) :
La différence de marche δ
est alors donnée par :
i
i ≈ nr
x
O
α
e(x )
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3.3) Figure d’interférence
L’ordre d’interférence est donné par :
p ne dépend que de la coordonnée x, par conséquent, comme pour
l'interféromètre de YOUNG, les franges sont rectilignes et parallèles à l'axe
du coin.
- La mième frange claire est donnée par :
Soit :
- La (m+1)ième frange claire est donnée par :
Soit :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
L’interfrange est alors donné par :
Exemple :
⎧α = 1′
⎪n = 1.5
⎪
⎨
⎪λ = 633nm
⎪⎩d = 0.73mm
y
α
x
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
y
4mm
x
x=0
5mm
On obtient alors des franges d ’égale épaisseur rectilignes parallèles à
l’arrête du coin de verre séparée d’un interfrange :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4 – Interféromètre de MICHELSON
4.1) Lame séparatrice
Définition : Une lame séparatrice (50%/50%) est une lame de verre dont une
face est métallisée afin que la réflexion et la transmission en intensité soient
égales. Une onde d'intensité I0 incidente est séparée en deux autres ondes
d'intensités I0/2.
I0 2
I0
I0 2
Dans tous nos schémas, nous remplacerons donc la lame épaisse par une
lame effective d'épaisseur négligeable. Cette lame sera dite compensée et
n'induira simplement qu'une différence de marche supplémentaire de –λ0/2.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4.2) Présentation de l’interféromètre
Miroir
M2
M 1′
l2
Image de M1 par la
lame séparatrice
S
Lumière
incidente
Lame
séparatrice
Miroir mobile
M1
45°
l1
α
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
L’interféromètre de MICHELSON permet de simuler tous les types de
lames à faces planes :
i) Lame à faces parallèles d’ épaisseur : e = l2 - l1
ii) Coin d’air d’angle α, correspondant à l’angle entre le miroir M2 et
l’image M’1 du miroir M1 par rapport à la lame séparatrice
Avantages/Intérêts de l’interféromètre de MICHELSON :
i) L’interféromètre de MICHELSON permet d’étudier rigoureusement les
interférences à deux ondes
ii) Les deux voies sont bien équilibrées et l’intensité sur chaque voie est
de l’ordre de 25% de l’intensité incidente (à comparer aux 4% de la
lame de verre)
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4.3) Calcul de la différence de marche
Lame à face planes et parallèles
M 1′
M2
l1
l2
M1
S
×
i
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Coin d’air
×
M2
l1 = l 2
M 1′
α
x
M1
S
×
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
5 – Applications
En ce qui concerne les interférences localisées au voisinage de la lame,
celles-ci permettent de faire du contrôle de planéité de surfaces. D'un
autre côté l'interféromètre de MICHELSON est très utilisé en
spectrométrie (voir TD) avec des applications en chimie et en biologie,
ou en physique fondamentale (détection d'ondes gravitationnelles par
exemple). L'interféromètre de MAC-ZHENDER, dérivé de la lame à faces
planes et parallèles, est très utilisé dans le domaine des capteurs ou des
télécommunications.
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