Cours 2 : Systèmes dynamiques

Cours 2 : Systèmes dynamiques
• Systèmes de réactions chimiques; lois
cinétiques; approximation de l'état quasistationnaire
• Définitions générales. Systèmes non-linéaires
• Linéarisation et systèmes dynamiques linéaires
• Intro au cycle cellulaire
Partie 1 : Quelques exemples de
systèmes
• Intro à la cinétique chimique, modélisation
différentielle
• Synthèse et dégradation
• Chaîne linéaire de réactions
• Approx de l'état quasi-stationnaire (QSSA)
• Catalyse enzymatique : Michaelis-Menten
Théorie cinétique
• Agitation thermique (kBT)
• Collision de deux molécules :
• Collision efficace → réaction
• Collision inefficace → pas de réaction
• L'acte réactionnel est très court (10-10 s)
Une constante cinétique k dépend de deux facteurs :
• A : fréquence des collisions, facteur d’orientation
• facteur exponentiel : barrière d’énergie ΔEacà vaincre
ΔEact
k = A exp ( - ------ )
kB T
Energie d’activation, profil
énergétique
• La molécule X est dans un état
stable. Il faut fournir de
l’énergie pour franchir la
barrière
• En. d’activation : ∆Εact = Ea - Eb
• Agitation thermique → collisions
• Il faut donc que la température
soit suffisamment élevée
Réaction exothermique : Elle
libère de l’énergie → chaleur
(le milieu s’échauffe)
Distribution de MaxwellBoltzmann
• Distribution statistique des vitesses pour une
population de molécules à une température T donnée
• Cinétique de la réaction
Distribution de MaxwellBoltzmann
Chemin réactionnel
Energie d'activation,
Etat de transition
Profil énergétique,
Chemin réactionnel
Deux aspects différents :
- équilibre thermodynamique : Ec – Eb → ΔH (ΔG)
- cinétique : énergie d'activation = Ea - Eb
Constante cinétique k (→ énergie d’activation)
Vitesse de réaction → ki et concentrations en
présence
• Populations (concentrations) des espèces à
l’équilibre
→ différence de stabilité entre réactifs et produits
• Théorie cinétique → collisions entre molécules
• Réaction élémentaire : la réaction se produit à
l'occasion d'une collision. Un seul événement
réactionnel
• Réaction composée, équation-bilan, stoechiométrie
νA A + νB B
→ νM M + νN N
• Vitesse de réaction :
v = -(1/νA) d[A]/dt = -(1/νB) d[B]/dt = (1/νM) d[M]/dt
Lois cinétiques
• Pas de règle générale pour les réactions composées
• Simple pour les réactions élémentaires ! (loi
d'action de masse / mass action law)
• Exemple : réaction monomoléculaire
A ---> produits
• [A](t) ?
Limites du formalisme EDO pour
modéliser des réactions
chimiques
• Nombres de molécules assez élevés pour que les
fluctuations soient négligeables → notion de
concentration
• Milieu réactionnel homogène (bien mélangé)
• Plusieurs compartiments : pas de pb
• Diffusion (gradients) → EDP
• Présence de filaments, etc... : ça se complique...
• La distrib des vitesses doit toujours être proche de
la distrib d'équilibre (Boltzmann)
Synthèse et dégradation des
protéines
S = signal strength (e.g. concentration of mRNA)
R = response magnitude (e.g. concentration of protein)
dR
=k +kS −k R
dt
0
1
2
A steady-state solution of a differential equation, dR/dt = f(R) is a constant Rss
that satisfies the algebraic equation f(Rss) = 0. In this case
k +kS
R =
k
0
1
ss
2
Tyson et al., Curr. Opin. Cell. Biol., 15, 221 (2003)
Synthèse et dégradation des
protéines
Wiring diagram
rate curve
dR
= k 0 + k1S − k 2 R
dt
Solid curve: rate of removal of the
response component R.
Dashed lines: rates of production of R
for various values of signal strength.
Filled circles: steady-state solutions
where rate of production and rate of
removal are identical.
Tyson et al., Curr. Opin. Cell. Biol., 15, 221 (2003)
signal-response curve
Steady-state response R as a
function of signal strength S.
R =
ss
k +kS
k
0
1
2
Parameters:
k0 = 0.01
k1 = 1
k2 = 5
Réactions successives
A
→
B→ C
• Écrire le système d'éqs diffs
• Analyse qualitative en prenant comme état
initial ([A]0, 0, 0)
• Approximation de l'état quasi-stationnaire
(QSSA)
d[B]/dt ≈ 0
Réactions successives
A
→
B→ C
Réactions successives : QSSA
A
→
B→ C
Catalyse enzymatique
• Site actif : reconnaissance moléculaire
• Substrat, produit
Catalyse enzymatique
Décomposition en trois réactions élémentaires :
Eq. de Michaelis-Menten
Régime quasi-stationnaire
([E] << [S])
Constante de
Michaelis :
Branche d’hyperbole
Partie 2 : Systèmes dynamiques
dx/dt = f(x)
Définitions :
• Etat, Espace de phase
• Champ de vecteurs f(x)
• Courbe intégrale (trajectoire) x(t); orbite
• Flot : famille (φt). Pour une valeur donnée de t, image
de chaque point de l'espace de phase (imaginer qu'un
fluide remplit l'espace et qu'on suit le 'flot').
Groupe à 1 paramètre de difféomorphismes...
Systèmes non-linéaires
autonomes
• Existence et unicité :
On suppose que f est de classe C1.
Condition initiale fixée, x(0) = x0 : il existe une
trajectoire unique, définie sur un intervalle de temps
contenant t=0.
3 propriétés générales :
• Par un point régulier passe une et une seule orbite.
• Une orbite qui se recoupe est une orbite fermée
(solution périodique)
• Une trajectoire issue d'un point régulier ne peut
atteindre un point fixe en temps fini
• En général, pas de solution analytique.
• Intégration numérique
→
pas de 'compréhension'
• Etude locale au voisinage d'un point ou d'une
trajectoire
• Etude qualitative du portrait de phase : points
d'équilibre, cycles limites, etc... (comportement
asymptotique).
Géométrie globale du portrait de phase (H. Poincaré)
Point d'équilibre
• Point xeq tel que f(xeq) = 0
• Le champ vectoriel s'annule : si on part de cette
condition initiale, on ne bouge pas. L'orbite est
réduite à un point.
• On dit aussi point fixe, ou point singulier
• Un point d'équilibre peut être stable ou instable
Stabilité d'un point d'équilibre
Beaucoup de définitions différentes.
Trois définitions principales :
• Stabilité de Liapunov
• Stabilité quasi-asymptotique
• Stabilité asymptotique
Concepts de stabilité
Types d’attracteurs / répulseurs
Différents types d'attracteurs :
• Point d'équilibre : f(xeq) = 0
• Cycle limite (1d, orbite fermée)
• Attracteur quasi-périodique (n-tore)
• Attracteur étrange
Stabilité orbitale
Cycle limite : orbite Ω
Soit N(Ω,ε) un voisinage de Ω (tube)
Ω est orbitalement stable (au sens de Liapunov) si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 :
x ∈ N(Ω,δ) ⇒ ∀ t ≥ 0, φ(x,t) ∈ N(Ω,ε)
Conjugaison topologique de flots
• Soient φt et ψt des flots sur ℝn. On dit que φt et ψt
sont topologiquement conjugués s'il existe un
homéomorphisme h: ℝn → ℝn tel que φt◦h = h◦ψt
pour tout t.
• Intuitivement : déformation continue d'un flot en
un autre, en préservant l'orientation des orbites
et leur paramétrisation par le temps.
• Relation d'équivalence : les flots d'une classe ont
la même dynamique d'un point de vue
topologique.
Linéarisation
• Etude locale par linéarisation
 Jacobienne J(x) : aij = ∂fi/∂xj
• Définition : équilibre hyperbolique
Point d’équilibre tel que les valeurs propres de la
matrice jacobienne J en ce point sont toutes de partie
réelle non nulle.
• Théorème de linéarisation de Hartman-Grobman :
Si un point d’équilibre est hyperbolique, alors le
comportement local du flot au voisinage de ce point
est complètement déterminé par le flot linéarisé (les
flots sont topologiquement conjugués).
Systèmes différentiels linéaires
• dx/dt = A.x où A est une matrice réelle n par n.
• Condition initiale : x(0) = x0
• Théorème fondamental :
∃ solution unique : x(t) = eAt x0
Systèmes différentiels linéaires
• Espace des solutions = espace vectoriel de dim. n
→ «principe de superposition»
• Calcul de eAt...
•
•
•
•
Valeurs propres λi, vecteurs propres
Polynôme caractéristique p(λ) = det(A - λI)
Diagonalisation ?
S'il existe une matrice P telle que P-1AP = D où D
est une matrice diagonale, alors eAt = P eDt P-1.
Systèmes linéaires à 2 dims
• Polynôme caractéristique p(λ) = λ2 - τ.λ + Δ,
avec τ = trace(A) et Δ = det(A).
•
•
•
•
Discriminant : disc= τ2 - 4.Δ
Si disc > 0 : 2 racines réelles distinctes
Si disc = 0 : une racine réelle double
Si disc < 0 : 2 racines complexes conjuguées
Systèmes linéaires à 2 dims
Valeurs propres réelles distinctes
Deux λ négatives
Noeud
Une λ positive et une λ négative
Point de selle
Systèmes linéaires à 2 dims
Valeurs propres complexes
Parties réelles négatives
Foyer
Parties réelles nulles
Centre
Types de portraits de phase des
systèmes linéaires 2d
Types de portraits de phase des
systèmes linéaires 2d...
τ
Δ
Stabilité, instabilité
• S'il n'y a pas n racines réelles (comptées avec leur
multiplicité) → racines complexes conjuguées
• Pour une racine λj = aj + ibj de multiplicité mj, si dimVj <
mj → vecteurs propres généralisés: (A – λI)k w = 0
• Si wj,p = uj,p + i vj,p ,
s
• Sous-espace stable : E = span{ uj,p, vj,p | aj < 0}
u
• Instable : E = span{ uj,p, vj,p | aj > 0}
c
• Central : E = span{ uj,p, vj,p | aj = 0}