Analyse Complexe

Mich`ele Audin
ANALYSE COMPLEXE

Mich`ele Audin
Institut de Recherche Math´ematique Avanc´ee, Universit´e Louis Pasteur et CNRS,
7 rue Ren´e Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/˜maudin
Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th´eor`eme de Cau-
chy, principe du maximum, th´eor`eme de Liouville, indice, singularit´es, fonctions m´eromorphes, fonction
℘de Weierstrass, produit infini, th´eor`eme des r´esidus, fonction zˆeta de Riemann, th´eor`eme des nombres
premiers.
La figure de couverture repr´esente la fonction ℘de Weierstrass et a ´et´e dessin´ee par Olivier Elchinger.
10 mai 2011

ANALYSE COMPLEXE
Mich`ele Audin
R´esum´e. Ces notes de cours sont une introduction `a l’analyse complexe, avec cent quatre-vingt-onze
exercices et vingt-cinq figures. On y ´etablit, pour les fonctions d’une variable complexe, l’´equivalence
entre holomorphie et analyticit´e (Cauchy, Morera). On y discute de la question du logarithme et plus
g´en´eralement des primitives, des pˆoles et autres singularit´es. Pour ce faire, on y int`egre les fonctions
sur les chemins, ce qui am`ene le th´eor`eme des r´esidus et ses applications plus ou moins calculatoires.
On y construit et ´etudie aussi des fonctions elliptiques, la fonction zˆeta de Riemann, et on y d´emontre
le th´eor`eme des nombres premiers.

TABLE DES MATI` ERES
Pr´ eface.......................................................................................... vii
Pr´erequis...................................................................................... vii
Sources, r´ef´erences et remerciements........................................................... vii
Et apr`es ?...................................................................................... viii
R´ esum´ e des propri´ et´ es utilis´ ees.............................................................. 1
Notions de topologie g´en´erale.................................................................. 1
Vocabulaire des s´eries num´eriques, des s´eries de fonctions...................................... 2
Les bases du calcul diff´erentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I. S´ eries enti` eres et fonctions analytiques.................................................. 5
I.1. D´efinition des fonctions analytiques....................................................... 5
I.2. Les principes des z´eros isol´es et du prolongement analytique.............................. 7
I.3. D´erivabilit´e et analyticit´e des s´eries enti`eres convergentes................................. 9
I.4. Exponentielle et surtout logarithme....................................................... 12
Exercices...................................................................................... 20
II. Fonctions holomorphes.................................................................... 29
II.1. D´efinition des fonctions holomorphes..................................................... 29
II.2. Analyticit´e des fonctions holomorphes.................................................... 32
II.3. Les grands th´eor`emes sur les fonctions holomorphes...................................... 36
Exercices...................................................................................... 40
III. Int´ egrales curvilignes, primitives....................................................... 47
III.1. Int´egration le long des chemins.......................................................... 47
III.2. Homotopie des chemins et int´egrales de fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.3. Probl`emes de primitives................................................................. 55
III.4. Indice d’un point par rapport `a un lacet................................................. 59
Exercices...................................................................................... 60
IV. Points singuliers, fonctions m´ eromorphes.............................................. 67
IV.1. Fonctions holomorphes dans une couronne et s´eries de Laurent.......................... 67
IV.2. Points singuliers, fonctions m´eromorphes................................................ 70
IV.3. La sph`ere de Riemann................................................................... 72
IV.4. Singularit´es essentielles.................................................................. 76
Exercices...................................................................................... 79