Optique Cristalline - Laboratoire d`Optique Atmosphérique
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Optique Cristalline Propagation des ondes E.M. dans les milieux anisotropes Applications à l'étude des minéraux Muscovite Olivine LPnA Pyroxene LPA J. Riedi jerome.riedi@univ­lille1.fr Laboratoire d'Optique Atmosphérique B. 320 – Bat P5 Préambule Ce support de cours est destiné à des étudiants de 2ème année de Licence SVT parcours Géologie. L'objectif est de fournir aux étudiants en géologie les bases « physiques » des interactions ondes/matières permettant de comprendre le fonctionnement d'un microscope polarisant, au­delà de la simple interprétation des observations. Cependant, certains aspects théoriques ou formels ont été volontairement « arrondis » pour permettre au public concerné de se concentrer sur la compréhension des phénomènes et de faire le lien entre la structure des minéraux et les observations en lumière polarisée (analysée ou non). Merci de me signaler (jerome.riedi@univ­lille1.fr) toute erreur ou approximation trop grossière qui serait de nature à introduire des erreurs de compréhension ou d'analyse. Introduction Différentes méthodes peuvent être utilisées pour l'identification des minéraux (microscopie électronique, diffraction par rayons X, microscopie optique). Parmi celles­ci, la microscopie optique présente l'avantage d'être peu coûteuse et permet de distinguer les polymorphes. Ce cours a pour but de vous fournir les connaissances en physique nécessaires à la compréhension et à l'interprétation d'observations de minéraux en lame minces, en lumière transmise, polarisée (ou non) et analysée (ou non). Il contient les éléments de base qui vous permettront de comprendre comment la lumière interagit avec les minéraux et à partir de là de les étudier et de les identifier. Problématique du cours Comprendre le fonctionnement d'un microscope optique polarisant pour l'observation des roches Objectifs ● ● ● ● Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane polarisée rectilignement dans un milieu anisotrope, transparent, homogène Chap II : Action d'une lame cristalline sur une onde plane – Production de lumière elliptique à la sortie d'une lame cristalline Chap III : Interférences produites par les lames cristallines Chap IV : Polarisation rotatoire Problématique du cours Comprendre le fonctionnement d'un microscope optique polarisant pour l'observation des roches oculaire analyseur objectifs lame mince polariseur source lumineuse Exemples Muscovite en lumière polarisée non analysée LPnA Muscovite en lumière polarisée analysée LPA Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane polarisée rectilignement dans un milieu anisotrope, transparent, homogène A) Rappels sur les propriétés de la lumière et des ondes électromagnétiques – Les modèles de lumière – la lumière, onde électromagnétique – Polarisation de la lumière – Classification des O.E.M. en fonction de la longueur d'onde – Description d'une O.E.M : les équations de Maxwell Les modèles de lumière Théorie des rais : Descartes, 17ème siècle La lumière est décrite un vecteur (rayon lumineux) correspondant au trajet parcouru par la lumière entre 2 points Chaque milieu est caractérisé par un indice de réfraction (positif), responsable de la déviation des rayons lumineux aux interfaces entre 2 milieux Théorie ondulatoire : Maxwell, Fresnel, 18ème siècle – fin 19ème siècle La lumière est une onde électromagnétique qui correspond à la propagation d'un champ électrique et d'un champ magnétique transverse. Elle est formulée par l'ensemble des 4 équations de Maxwell et permet d'expliquer en partie les interactions lumière/matière Théorie corpusculaire De Broglie, Einstein, 20­21ème siècle La lumière est formée d'un ensemble de « particules » (photons) traitées chacune individuellement. Cette théorie permet d'expliquer complètement les interactions de la lumière avec la matière mais est relativement lourde à mettre en œuvre la plupart du temps. La lumière, onde électromagnétique La lumière visible est une onde électromagnétique au même titre que les rayons X ou les ondes radio. Elle correspond à la propagation conjointe : ­ d'un champ électrique E ­ d'un champ magnétique B Ces 2 vecteurs sont orthogonaux entre eux et vibrent en phase (amplitude maximale en même temps) Ils sont orthogonaux à la direction de propagation de l'onde, et en général, leur direction varie à l'intérieur du plan k perpendiculaire à (polarisation) Les équations de Maxwell relient le champ magnétique au champ électrique. On peut donc se contenter de décrire uniquement le champ électrique Enfin, la vitesse v de propagation de l'onde dans un milieu varie avec la nature de celui­ci Polarisation de la lumière La polarisation d'une O.E.M. décrit la modification de la direction de vibration du champ électrique au cours de sa propagation. Pour la microscopie, 3 types de polarisation sont importantes : a) Polarisation circulaire b) Polarisation elliptique c) Polarisation rectiligne a) b) c) Classification des O.E.M. en fonction de la longueur d'onde La distinction entre les différents types d'O.E.M. est liée aux domaines de fréquence des vibrations. Dans le vide, ces fréquences sont associées à des longueurs d'onde caractéristiques. La lumière visible ne représente qu'une petite fraction du spectre des O.E.M.. Description d'une O.E.M : les équations de Maxwell Maxwell a proposé dès la fin du 19ème siècle un ensemble de 4 équations permettant de décrire la propagation des O.E.M Ces équations relient et décrivent : ● E (vide) champ électrique déplacement /excitation électrique (matière) D ● B (vide) champ magnétique H champ auxiliaire / excitation magnétique (matière) dans tout milieu (vide ou matière) caractérisé par : ● sa permittivité diélectrique r ● sa perméabilité magnétique r ● sa densité de charges interne ● sa densité de courant j Description d'une O.E.M : les équations de Maxwell Ces équations relient entre elles les variations ∂ spatiales ( ) aux variation temporelles ( ) des ∇ ∂t divers champs 1 ∇ . E= o ∂ B 2 ∇ × E =− ∂t 3 ∇ . B =0 j ∂ E 2 4 c ∇ × B = c o ∂ t 2 avec et permittivité diélectrique et perméabilité magnétique du vide : 1 c= o o Description d'une O.E.M : Equation de Laplace Dans le vide : D= E, H = B et r =r =1, =0, j =0 On peut à partir des équations de Maxwell établir l'équation de propagation des OEM (éq. de d'Alembert) 2 ∂ E 2 o o 2 = ∇ . E ∂t ou 1 ∂2 E 2 =∇ . E 2 2 c ∂t Une solution de l'équation de Laplace est de la forme : E =E o e r i t − k. k k Et peut se réduire en prenant un repère approprié à : i t −k. z E =E o e ux (repère cartésien, onde polarisée selon x et se propageant dans la direction des z croissants.) Description d'une O.E.M : Solution de l'Equation de Laplace E =E o e i t −k. z ux avec : pulsation de l'onde 2 = =2 T 2 k= : déphasage arbitraire correspondant à un choix d'origine (de temps ou d'abscisse) En t = 0, l'amplitude est maximale tous les kz = 2, soit z = On retrouve la notion de longueur d'onde (en m) En z = 0, l'amplitude de l'onde varie périodiquement au cours du temps et est maximale tous les t = 2, soit t = T (en s) On retrouve la notion de période temporelle T A cette périodicité temporelle est associée la fréquence = /2 (en s­1) Chap I : Propagation d'une onde E.M. plane polarisée rectilignement dans un milieu anisotrope, transparent, homogène B) Interaction lumière­matière / classification optique des cristaux – Interactions des O.E.M avec la matière – Absorption – Réfringence ● réfringence dans les amorphes ● réfringence dans les milieux anisotropes ● ● – – symétrie des propriétés optiques – Tenseur des indices Représentation du tenseur des indices : Ellipsoïde des indices Classification optique des matériaux ● Classe des matériaux isotropes ● Classe des cristaux uniaxe ● Classe des cristaux biaxes Propagation de la lumière dans un cristal – Utilisation des ellipsoïdes des indices. B­I : Interaction des O.E.M avec la matière Absorption ­ Réfringence Dans le vide : pas d'interaction – propagation à la vitesse de la lumière 300 000 km/s ● ( 299 792 458 m. sˉ¹ pour être précis) Dans la matière : la propagation est ralentie v < c ● – la fréquence reste constante – la longueur d'onde diminue (rappel : = v . T) La modification de v s'explique par les interactions entre l'O.E.M et les électrons du milieu traversé. Cette interactions donnent lieu à 3 phénomènes importants pour l'identification des minéraux : ­ la couleur et le pléochroïsme (spectre d'absorption optique) ­ la (bi)réfringence (classification optique des minéraux) Comment se traduit de manière macroscopique l'interaction entre l'O.E.M et le milieu traversé ? Quelles sont les raisons microscopiques de ces interactions ? B­I­1 : Réfringence dans les milieux amorphes Du point de vue macroscopique, dans un milieu transparent, le champ électrique externe induit une E D polarisation qui s'ajoute à pour donner le champ P E interne au matériau : D =o E P avec D =o 1 E ⇔ P = o E : susceptibilité D =o r E r : permitivité électrique du matériau diélectrique relative du matériau La polarisation a son origine microscopique dans les moments dipolaires atomiques ou moléculaires p P= ∑ p matériau p Les moments individuels sont eux­mêmes issus : 1­ d'un terme de polar. induit par le champ externe p ext loc 2­ d'un terme de polar. induit par l'environnement p local B­I­1 : Réfringence dans les milieux amorphes ext p 1­ Terme de polar. induit par le champ externe Barycentre du nuage électronique o e­ Noyau (barycentre des charges positives) o e­ ­Ze +Ze p E ext E Polarisation électronique Les électrons des couches externes, moins attirés par le noyau, sont plus fortement polarisés : pour chaque atome où = la polarisabilité p ext = E atomique est proportionnelle au volume atomique Les minéraux composés de “gros” atomes. ie ayant un numéro atomique élevé, présenteront une réfringence élevée. Polarisation dipolaire : lorsque les molécules polaires ou polarisables s'alignent avec le champ électrique ­ + ­ + + ­ ­ + ­ + ­ + + ­ ­ + ­ + + E ­ E + + + ­ ­ ­ + ­ B­I­1 : Réfringence dans les milieux amorphes loc 2­ Terme de polar. induit par l'environnement local p Barycentre du nuage électronique o e­ ­Ze Noyau (barycentre des charges positives) o e­ +Ze p ­Ze +Ze ext p ext E o e­ ­Ze +Ze p ext ind ext loc p = p p o e­ ­Ze Attraction entre voisins p loc +Ze p ext E loc La polarisation induite locale dépend de la charge totale Ze et p de la distance entre atomes voisins : elle dépend donc intrinsèquement de la répartition des atomes dans le matériau, d'où l'apparition de la biréfringence dans les matériau cristallin où l'organisation des atomes dépend de la direction considérée dans le cristal B­I­1 : Réfringence dans les milieux amorphes Bilan (1) : la polarisation induite par le champ externe est responsable de la partie isotrope de la réfringence des matériaux. Les minéraux possédant des éléments de numéro atomique élevé ont une réfringence élevée ● la polarisation induite locale dépendant de l'organisation des atomes est la source de la bi­réfringence des matériaux cristallin ● la permitivité diélectrique et l'indice de réfraction sont proportionnel à la densité du matériau ● l'indice de réfraction n dépend au premier ordre du matériau mais également (au second ordre) de la longueur d'onde selon la loi de Cauchy (empirique) : ● A n =n o 2 Cette dépendance en longueur d'onde se traduit par un pouvoir de dispersion des matériaux. Cette dispersion est responsable des teintes de polarisation anormales en LPA B­I­1 : Réfringence dans les milieux amorphes Bilan (2) : Dans les milieux amorphes n et r sont des scalaires : ● D ne varie ni avec la direction d'incidence ni avec l'état de polarisation du champ électrique . E o c c vitesse de l ' onde : v= = =c n r indice de réfraction : n= r = o 2 D = o r E = n o E = E B­I­2 : Réfringence dans les milieux anisotropes Contrairement aux milieux amorphes, les cristaux présentent généralement des rangées d'atomes plus ou moins denses. La polarisation locale induite sera donc plus ou moins importante en fonction de l'alignement de la direction de polarisation du champ électrique avec l'une ou l'autre des directions remarquables X, E Y ou Z. E Si est polarisée selon X, Y ou Z, l'onde se propagera avec la même polarisation que l'onde incidente avec une vitesse Vz = c/Nz < Vy = c/Ny < Vx = c/Nx E Si est polarisée de manière quelconque, on observe alors 2 ondes distinctes polarisées se propageant dans le milieu. La propagation de ces ondes se fait selon des directions de plus forte et plus faible densités (avec donc des vitesses de propagation différentes) et les polarisations de ces 2 ondes sont orthogonales entre elles. V1 = X faible Z c/N2 E modéré Y dense V2 = c/N1 E1 kz E2 E D Les expressions reliant et dans le cas d'un milieu isotrope vont donc en partie devoir être modifiées pour prendre en compte les variations de et n avec la direction d'incidence de l'onde. B­I­2 : Réfringence dans les milieux anisotropes D En fait, les expressions reliant et dans le cas E d'un milieu isotrope restent valident à condition de prendre en compte la dépendance directionnelle de la permittivité. On introduit pour cela le tenseur permittivité diélectrique (tenseur de rang 2 : matrice 3x3). D Dans une base quelconque, et ne sont plus E colinéaires on aura : [ ] 11 12 13 D= 21 22 23 E 31 32 33 D Dans la base (O, X, Y, Z) , et ne sont pas E colinéaires mais le tenseur est diagonal : [ ] x 0 0 D= 0 y 0 E 0 0 z avec x y z B­I­2 : Réfringence dans les milieux anisotropes Les axes X, Y et Z sont les axes principaux ou axes de symétrie électrique du milieu. Les constantes x, y et z sont les constantes diélectriques principales. On définit également les indices principaux du milieu par : x y z nx= n y= nz= 0 0 0 Et on peut récrire : [ ] n 2 x D= 0 0 0 n 2 y 0 0 E 0 0 n 2 z B­I­3 : Symétrie des propriétés optiques Réduction du tenseur des indices De manière générale (principe de Curie), le tenseur de permittivité diélectrique (et donc celui des indices) doit respecter et refléter la symétrie du cristal. Il doit donc rester invariant vis à vis des opérations de symétrie applicables au cristal (voir cours de cristallo). La réduction du tenseur des indices consiste à identifier les éléments du tenseur qui sont égaux entre eux ou nuls afin de réduire le nombre d'éléments à considérer lorsqu'on manipule la matrice. Sans rentrer ici dans le détail de cette réduction, on verra qu'on pourra établir une classification optique des milieux en fonction du nombre d'éléments non nuls subsistant dans le tenseur après réduction. On distinguera : la classe des matériaux isotropes : le tenseur de permitivité diélectrique est diagonal dans la base cristallographique et les constantes principales sont triplement dégénérées la classe des matériaux uniaxes : le tenseur de permitivité diélectrique est diagonal dans la base cristallographique et une des constantes principales est doublement dégénérée la classe des matériaux biaxes : le tenseur de permitivité diélectrique est diagonal dans la base principale [ ] [ ] [ ] x 0 0 D = 0 x 0 E 0 0 x x 0 0 D = 0 x 0 E 0 0 z x 0 0 D = 0 y 0 E 0 0 z B­I­4 : Interprétation des solutions des équations de Maxwell dans les milieux anisotropes La résolution des équations de Maxwell montre que : – B , H et D sont dans le plan d'onde de normale N – ­> l'onde est transversale par rapport à ces B , H et D sont ⊥ N vecteurs – E Par contre l'O.E.M. n'est pas transversale par rapport à !! D Donc on représentera l'O.E.M par (et non plus ) E Dx D Dy Dz D y =n22 o E y . . . . D z =n23 o E z . . . . En un point quelconque M, repéré par le vecteur r r D=cos t − n. c D D R n = indice dans la direction r D E E H c n1 c . . v2= n2 c . . v3= n3 D x =n 21 o E x se propage à la vitesse v 1= N N R B B milieu isotrope D et H = plan d ' onde H E H milieu anisotrope D et N = plan de polarisation N R D n a l P nde d'o e d an on Pl rati vib E N R B D et H = plan d ' onde D et N = plan de polarisation B­I­4 : Interprétation des solutions des équa. de Maxwell dans les milieux anisotropes V' = c/n' X faibl e Z V'' = c/n'' D D' modéré Y dense D' ' N Si le plan d'onde est orienté de manière quelconque par rapport au cristal, on observe alors 2 ondes distinctes polarisées se propageant dans le milieu. La propagation de ces ondes se fait selon des directions de plus forte et plus faible densités (avec donc des vitesses de propagation différentes) – La propagation se fait avec deux indices n' et n'' avec : n1 < n' < n2 et n2 < n'' < n3 Si le plan d'onde est // à un des plan principaux (ex Y0X) alors les indices n' et n'' correspondent aux indices principaux. Dans ce cas, la normale au plan d'onde coïncide avec un axe de symétrie électrique du milieu. D''1 D'1 D P1 1 D'' D D ' P La propagation de ces ondes se fait avec des vitesses de propagation différentes. L'état de polarisation de l'onde en sortie du milieu sera donc modifié. B­I­5 : Représentation du tenseur des indices Ellipsoïde des indices Le but est de représenter géométriquement les variations d'indice du milieu en fonction de la direction de vibration. On introduit pour cela l'ellipsoïde des indices : C'est la surface obtenue en portant à partir d'une origine donnée O, et dans la direction correspondant à la direction de vibration, une longueur égale à l'indice n=c/v, v étant la vitesse de propagation normale (vitesse de propagation suivant la normale à l'onde, qui, en général n'est pas le rayon). B­I­5 : Représentation du tenseur des indices Ellipsoïde des indices Le but est de représenter géométriquement les variations d'indice du milieu en fonction de la direction de vibration. On peut montrer que l'indice n pour une direction quelconque de vibration est donnée D par : D. D =n 2 o E . D =D 2 2 2 x 2 1 2 y 2 2 2 z 2 3 n D D D ⇒1= 2 D n n n n Dx n Dy n Dz ⇒ si on pose : X = Y= Z= D D D 2 2 2 X Y Z on obtient : 2 2 =1 2 n1 n2 n3 C'est l'équation d'une ellipsoïde d'axes principaux n1, n2, n3 : l'ellipsoïde des indices. Z Construction : On porte sur la droite colinéaire à D, une distance n à partir de l'origine telle que ON1= n D O X, Y et Z : axes principaux ou axes de symétrie électrique Y N1 n X Z n3 Ellipsoïde des indices n1,n2,n3 indices n1 principaux de réfraction n2 Y X D E H N1 R Position du champ électrique Le plan ( , ) est tangent à la R H surface de l'ellipsoïde en N1. est E perpendiculaire à ce plan en N1. D E H R Plan tangent à l'ellipsoïde Plan d'onde de normale N quelconque D Les directions de vibration qui peuvent se propager sans altération (pour une direction du plan d'onde) sont les directions correspondant aux axes de l'ellipse d'intersection du plan d'onde avec l'ellipsoïde des indices. Les indices correspondants sont égaux aux demi­longueurs des axes de l'ellipse Ellipse d'intersection entre le plan d'onde et l'ellipsoïde des indices N N D' ' H n'' D' n' H D' et D'' se propagent dans le milieu anisotrope sans altération B­I­6 : Représentation du tenseur des indices Surface des indices Le but est de représenter géométriquement les variations d'indice du milieu en fonction de l'orientation du plan d'onde. On introduit pour cela la surface des indices : C'est la surface obtenue en portant à partir d'une origine donnée O, et dans la direction correspondant à la normale au plan d'onde, deux longueurs ON' et ON'' égale à n' et n''. En répétant cette opération pour toutes les directions du plan d'onde, l'ensemble des points N' et N'' décrivent une surface à 2 nappes appelées surface des indices. Z Z n1 n2 n3 Y n2 X X n1 Ellipsoïde des indices n3 n3 Y n1 n2 Surface des indices n1 > n2 > n3 L'intersection de la surface des indices avec un des plans de symétrie optique se compose : ­ d'un cercle, dont le rayon est égal à l'indice principal de l'axe normal au plan principal considéré, ­ d'une ellipse, dont chaque demi­axe est égal à l'indice principal correspondant à l'autre (demi­axe) Z n1 n2 I' I X n2 n3 O J J' n1 > n2 > n3 OI et OI' : axes optiques du milieu anisotrope Définition des axes optiques : l'intersection des 2 nappes de la surface des indices se produit en des points I et I' isolés. Les directions OI et OI' définissent les axes optiques du milieu anisotrope. Propriétés des axes optiques : Lorsque la normale N au plan d'onde coïncide avec un axe optique, les indices n'et n'' sont égaux : les 2 vibrations privilégiées D'et D'' se propagent alors à la même vitesse (la traversée du milieu n'induit pas de déphasage entre ces 2 vibrations). => Une vibration quelconque D dont la normale au plan d'onde coïncide avec l'axe optique se propage alors sans altération quelque soit son état de polarisation : l'onde se conserve au cours de sa propagation. Z n1 n2 I' I n1 > n2 > n3 X n2 n3 O J J' OI et OI' : axes optiques du milieu anisotrope Nombre d'axes optiques : On ne définit pas d´axe optique pour un milieu isotrope bien évidemment. Si l'un des indices principaux est dégénéré (2 valeurs identiques dans le tenseur des indices) on obtient un cas particulier pour lequel un seul axe optique est défini : on parle de milieu uniaxe. Dans ce cas, l'ellipsoïde des indices présente une symétrie axiale. Ex : son intersection avec le plan XOY est un cercle si on considére un axe OZ pour la symétrie. On retrouve cette notion d'axe unique à la fois dans l'ellipsoïde et dans surface des indices. Dans les autres cas, on parle de milieu bi­axes. Z n 1 Z n 1 I X n2 n3 J' n2 n2 I' X O J n2 n3 n1 > n2 > n3 Biaxe I Uniaxe n1 > n2 = n3 O J Orientation des vecteurs E.M. à la surface des indices Z n1> n2> n3 n' = n3 n1> n'' > n2 E'' O n3 X n3 D ' R' H' n2 H'' Y n1 D'' E'' R'' N Orientation des vecteurs E.M. à la surface des indices H' O n D H O n' D' D'' E N n'' H '' R N R E surface des indices ellipsoïde des indices Différences entre ellipsoïde et surface des indices B­II­1 : Classification optique des matériaux Nous avons vu qu'en fonction du nombre d'éléments différents subsistant aprés réduction du tenseur des indices, on distinguera : la classe des matériaux isotropes : le tenseur des indices est 2 nx 0 0 diagonal dans la base 2 D = E 0 n 0 o x cristallographique et les indices 2 principaux sont triplement 0 0 nx dégénérées [ ] la classe uniaxes : des matériaux [ ] 2 0 le tenseur des indices est D= 0 diagonal dans la base 0 cristallographique et un des indices principalaux est doublement dégénérée nx E 0 o 0 nz nx la classe des matériaux biaxes : le tenseur des indices est diagonal dans la base principale 2 0 2 [ ] nx 2 0 D= 0 ny E 0 o 0 0 nz 2 0 2 B­II­1 : Classification optique des matériaux a) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les milieux isotropes la classe des matériaux isotropes : le tenseur des indices est diagonal dans la base cristallographique et les indices principaux sont triplement dégénérées [ ] nx 2 0 D= 0 nx E 0 o 0 0 nx 2 0 2 N Milieu ISOTROPE N N Les amorphes et les cristaux cubiques ne peuvent être différenciés par leurs propriétés optiques. Ils forment la classe des matériaux isotropes et n'ont qu'1 indice de réfraction. B­II­1 : Classification optique des matériaux b) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les milieux uniaxes la classe des matériaux uniaxes : le tenseur des indices est diagonal dans la base cristallographique et un des indices principaux est doublement dégénérée UNIAXE POSITIF Ne [ ] nx 2 0 D= 0 nx E 0 o 0 0 nz Ne 2 0 2 UNIAXE NEGATIF N o No No No N o No No No Ne No Ne No Section circulaire contenant No Ne Ne Section elliptique contenant No et Ne B­II­1 : Classification optique des matériaux b) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les milieux uniaxes la classe des matériaux uniaxes : le tenseur des indices est diagonal dans la base cristallographique et un des indices principalaux est doublement dégénérée [ ] nx 2 0 D= 0 nx E 0 o 0 0 nz 2 0 2 Les cristaux hexagonaux, trigonaux et quadratiques forment ensemble la classe des matériaux uniaxes et ont 2 indices de réfraction No et Ne. No No No No Ne No Ne Ne No Section circulaire contenant No Ne Section elliptique contenant No et Ne B­II­1 : Classification optique des matériaux c) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les milieux biaxes [ ] la classe des matériaux biaxes : n 2x 0 0 le tenseur des indices est diagonal D= 0 dans la base principale n 2y E 0 o 0 n 2z Z n = Nm n = Nm Y 0 Ng n = Nm Np X n = Nm Nm Sections circulaire de l'ellipsoïde des indices de rayon n = Nm Les cristaux orthorhombiques, monocliniques et tricliniques forment ensemble la classe des matériaux biaxes et ont 3 indices de réfraction principaux Np, Nm et Ng. B­II­1 : Classification optique des matériaux c) Ellipsoïde des indices et axes optiques pour les milieux biaxes Axe Optique 2V Z Axe Optique X Y Z Axe Optique Biaxe POSITIF X 2V Y Axe Optique Biaxe NEGATIF B­II­1 : Classification optique des matériaux d) Relation entre systèmes cristallins et propriétés optiques Système cristallin Classe Optique Indices Forme et orientation de l'ellipsoïde Cubique Isotrope N Sphére No, Ne Ellipsoïde de révolution Ne // c Quadratique Hexagonal Trigonal Orthorhom­ bique Uniaxe U+ ou U­ No < Ne ou No > Ne No, Ne Uniaxe U+ ou U­ Ellipsoïde de révolution Ne // c No < Ne ou No > Ne No, Ne Uniaxe U+ ou U­ Ne Ellipsoïde de révolution Ne // c Np, Nm, Ng Ellipsoïde générale Np // a, b ou c No < Ne ou No > Biaxe B+ ou B­ Nm // b, c ou a Np < Nm < Ng Ng // c, a ou b Monoclinique Biaxe B+ ou B­ Triclinique Biaxe B+ ou B­ Np, Nm, Ng Np < Nm < Ng Np, Nm, Ng Ellipsoïde générale Np, Nm ou Ng // b Ellipsoïde générale Pas d'orientation privilégiée Np < Nm < Ng Notation française Np Notation anglosaxonne Nm Ng No Ne Quelques exemples de matériaux biréfringents Matériau no ne n ● béryl 1.602 1.557 ­0.045 ● calcite CaCO3 1.658 1.486 ­0.172 ● calomel Hg2Cl2 1.973 2.656 +0.683 ● glace H2O 1.309 1.313 +0.014 ● niobate de lithium LiNbO3 2.272 2.187 ­0.085 ● fluorure de magnésium MgF2 1.380 1.385 +0.006 ● quartz SiO2 1.544 1.553 +0.009 ● rubis Al2O3 1.770 1.762 ­0.008 ● rutile TiO2 2.616 2.903 +0.287 ● péridot 1.690 1.654 ­0.036 ● saphir Al2O3 1.768 1.760 ­0.008 ● nitrate de sodium NaNO3 1.587 1.336 ­0.251 ● tourmaline 1.669 1.638 ­0.031 ● zircon (max) ZrSiO4 1.960 2.015 +0.055 ● zircon (min) ZrSiO4 1.920 1.967 +0.047 Chap II : Production de lumière elliptique à la sortie d'une lame cristalline A) Construction de Descartes B) Lignes neutres de la lame C) Nature de la vibration résultante D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde On étudiera la polarisation induite par une lame cristalline : – taillée dans un cristal uniaxe (no, ne) – à face parallèles – d'axe optique parallèle aux faces de la lame A) Construction de Descartes On considère une onde plane incidente qui arrive sous incidence normale à la lame; le plan d'onde est parallèle à la face d'entrée. Dans le cas d'un uniaxe positif on obtient le schéma suivant : air n1 cristal uniaxe air n1 l no n1 onde incidente normale à la lame Do x ne N Axe optique De y z Les rayons réfractés ne sont pas déviés. Les plans d'onde réfractés sont toujours parallèles à la face d'entrée (xOy). B) Lignes neutres de la lame Définition des lignes neutres ● Si la lumière incidente est polarisée rectilignement Do avec ses vibrations // à : – – ● l'onde incidente transmise est polarisée Do suivant De on a extinction de La réciproque est vraie D De et sont les lignes neutres de la lame o Définition des axes lent et rapide Cas d'un uniaxe positif : comme ne > no => vo > ve L'onde ordinaire se propage plus rapidement que l'onde extraordinaire. On peut donc définir des axes lent et rapide : axe lent : axe rapide : Oy Ox De Do C) Nature de la vibration résultante Pour une vibration incidente polarisée rectilignement quelconque ● y Dincidente b a=d cos b=d sin d O O x∥ Do D x =a cos t D y =b cos t a O y∥ De x d =∣ D∣ Aprés traversée de la lame, il va y avoir un déphasage entre les 2 vibrations car elles ne se propagent pas dans la lame avec la même vitesse. En effet : ● z Do ⇒ Do =a cos t− suivant Ox vo z De ⇒ De =b cos t− suivant Oy ve C) Nature de la vibration résultante z Do ⇒ Do =a cos t− suivant Ox vo z De ⇒ De =b cos t− suivant Oy ve ● Pour un z donné, la différence de phase est : 1 1 2 = e− o= z − = z n e− no ve vo ● Soit à la sortie d'une lame d'épaisseur e : 2 = e n e − n o ● En fixant judicieusement l'origine des temps, on peut écrire : Do =a cos t De =b cos t− C'est une vibration elliptique comme on va le détailler dans la suite. L'intensité de cette vibration est égale l'intensité de la vibration incidente. : 2 2 2 a b =a o C) Nature de la vibration résultante Étude de la vibration elliptique : ● On pose : x = Do et y = De x y ⇒ =cos t [1] et =cos t− a b y =cos t cos sin t sin b y x = cos sin t sin b a y x − cos =sin t sin [2] b a 2 2 [1]×sin [2 ] 2 x y x sin − sin a b a 2 2 = cos t sin sin t sin x2 a 2 2xy y2 2 − cos 2 = sin ab b 2 C) Nature de la vibration résultante x2 a 2 2xy y2 2 − cos 2 = sin ab b Equation d'une ellipse centrée sur O, dont les axes ne coïncident pas avec les axes Ox et Oy. ● ligne neutre y D b A b sin ­a C ● ● a a sin ­b ligne x neutre B L'extrémité des vecteurs D se trouve sur l'ellipse va déterminer l'état de polarisation de l'onde Polarisation linéaire y O y O x =0 ou =2 = Polarisation elliptique gauche y O 0 Polarisation elliptique droite y O x 2 y O = 3 2 O x = y x y 2 O x 3 2 y O x 2 x 3 2 2 x D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde Lame onde ● le retard entre les 2 vibrations privilégiées est égal à un multiple de la longueur d'onde la vibration émergente est identique à la vibration incidente =2 k =2 =k. e ne − n o =k. Lame Demi­onde ● la lame introduit un retard d'une demi­longueur d'onde la vibration émergente est rectiligne et symétrique de la vibration incidente par rapport aux lignes neutres de la lame =2k 1 = 2k1 =k 2 2 e n e− no =k 2 D) Lame onde, demi­onde, quart d'onde Lame Quart d'onde ● la lame introduit un retard égal à un quart de longueur d'onde la vibration émergente est elliptique, l'ellipse a pour axes les lignes neutres de la lame =2k 1 2 =2k1 4 e n e − n o =2k1 4
