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Mathématiques
4
e
Calcul
numérique
Entiers et décimaux relatifs
Nombres rationnels (fractions)
Opérations sur les rationnels
Les nombres décimaux relatifs
Définition :
Un nombre décimal relatif est un nombre dont l'écriture est composée
● d'un signe (non obligatoire s'il s'agit d'un +)
● suivi d'un nombre décimal formé d'une partie entière et d'un nombre limité de décimales.
Les entiers relatifs sont des nombres décimaux dont la partie décimale est nulle.
Un nombre dépourvu de signe est un nombre positif.
21,58, +3,0001, -12,487, 100 , -4 sont des nombres décimaux relatifs.
Distance à zéro d'un nombre décimal relatif.
Le nombre qui suit le signe est appelé "distance au zéro" du nombre décimal.
On note |a| la distance au zéro du nombre a.
Si a = - 2,3 le signe de a est – et sa distance au zéro est | - 2,3| = 2,3.
Les distances à zéro de quelques nombres décimaux relatifs :
|21,58| = 21,58, |+3,0001|=3,0001 , |-12,487|=12,487 , |100|=100 ,
|-4| = 4.
Sur la droite des réels:
On a pris l'habitude de représenter tous les nombres sur la droite des réels.
Plus les nombres décimaux ont de décimales, plus la droite des réels doit être finement graduée pour les
situer avec précision.
Ici la droite des réels est graduée au
dixième. Donc seul le nombre -2,4
correspond exactement à une
graduation.
Les autres nombres sont vaguement
situés entre 2 graduations.
Si, par convention, l'unité de mesure est la distance entre 0 et 1, la distance au zéro des nombres
correspond tout à fait à la mesure physique de leur éloignement au zéro.
Ordre des nombres décimaux.
Plus l'image d'un nombre est située à gauche sur la droite des réels, plus ce nombre est petit.
Les nombres que nous avons situés sur la droite des réels, sont, du plus petit au plus grand:
- 5,09 < -2,4 < +1,52 < 4,728.
On remarque que plus la distance à 0 d'un nombre négatif est grande, plus ce nombre est petit.
Pour les nombres positif c'est le contraire, plus leur distance à 0 est grande, plus ils sont grands.
Opérations sur les nombres décimaux
On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser deux nombres décimaux.
Dans une opération ces deux nombres sont appelés "opérandes" et le signe de l'opération est appelé
"opérateur"
Dans chaque cas, le mode opératoire (qui décrit la façon de calculer le résultat de l'opération) donne deux
règles qui permettent de calculer, (en fonction du signe et des distances à zéro des opérandes):
● la distance à 0 du résultat
● Le signe du résultat
Addition et soustraction de nombres décimaux relatifs
Ecriture d'une addition ou d'une soustraction
Dans un premier temps, pour ne pas confondre les
opérateurs + ou – de l'opération et le signe + ou – des
nombres (ou opérandes) on met les nombres entre
parenthèses (sauf, peut être le premier).
Addition
(+5) + (-3)
ou
Soustraction
(- 5) – (-3)
ou
5 + (-3)
– 5 – (-3)
Règle d'addition de 2 nombres décimaux relatifs
Addition de deux nombres décimaux relatifs.
Appelons A le résultat de l'addition.
 Calcul de la distance à zéro |A| du résultat de l'addition
● si les 2 nombres sont de même signe
on ajoute leur distance à 0
● si les 2 nombres sont de signes différents
on soustrait leur distance à 0
 Détermination du signe de A résultat de l'addition
C'est le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0 .
Opposé d'un nombre décimal relatif a. On le note – a.
C'est le nombre a' tel que a +a' = 0
L'opposé de -3,5 est + 3,5. Donc – (-3,5) = +3,5
L'opposé de + 2,8 est – 2,8 Donc – (+ 2,8) = - 2,8
 L'opposé d'une addition est l'addition des opposés
opposé de [3 +(-4) +(-5)+(+7)] = -3 + (+4) + (+5)+(-7)
Soustraction de deux nombres décimaux relatifs a – b
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Donc (-5) – (+3) = (- 5) + (-3)
7 – (- 4) = 7 + (+4)
L'opérateur – devient +.
Le nombre suivant l'opérateur – change de signe.
Somme de plusieurs nombres décimaux relatifs
Une somme est une suite d'additions et de soustractions.
Dans une somme toute soustraction peut être transformée en
addition.
+3 + (- 4) – (+7) – (-2) = +3 + (-4) + (-7) + (+2)
- 2 – [(+2) + (-3)] = - 2 + [(-2) + (+3)]
A = (-2,5)+(+3,4)
signes différents donc |A| = 3,4 – 2,5 = 0,9.
Le signe de A est celui de 3,4 donc +
En résumé A = + 0,9
A = (-8,3) + (-5,4)
Mêmes signes donc |A| = 8,3 + 5,4 = 13,7
Le signe de A est celui de -8,3 donc –
En résumé A = - 13,7
Le moins au début d'une expression se lit
"opposé de"
- (+2,1) = - 2,1
- (-5,6) + (+1,9) = 5,6 + (+1,9)
- [ -2 + (+3) + (-4)] = +2 + (-3) + (+4)
(5,4) – (-3,1) = (5,4) + (+3,1) = +8,5
(-7,01) – (+2,3) = (-7,01) + (-2,3) = - 9,31
(-2,7) - ( - 4,8) = (-2,7) + (+4,8) =+ 2,1
+5 – [(-2) – ((-4)] = +5 – [(-2) + (+4)]
= +5 + [(+2) + (-4)]
On commence par transformer les
soustractions en additions dans les
parenthèses, puis on s'occupe des
soustractions de parenthèses.
Ecriture simplifiée d'une somme
Ecriture simplifiée d'une addition de nombres relatifs.
Par convention, une suite de nombres relatifs ne comportant
aucune parenthèse est une suite d'additions de ces relatifs
dont on a supprimé les opérateurs + ne conservant que le
signe des nombres.
+2 – 3 + 5 – 7 (écriture simplifiée)
équivaut à +2 + ( - 3) + (+5) + (-7)
Ecriture simplifiée d'une somme de nombres relatifs.
Toute soustraction pouvant être transformée en addition, toute
somme peut être transformée en une suite d'additions puis
bénéficier d'une écriture simplifiée.
+2 +(+4) – (-5) +(-3)
= +2 +(+4) +(+5) +(-3)
= +2 +4
+5 - 3
inversement
-3 +(-7) +( -5) + (+4)
équivaut à – 3 – 7 – 5 +4 (écriture simplifiée)
Parenthèses de nombres.
On appelle "parenthèses de nombres" les parenthèses qui
contiennent un nombre unique et qui permettent de distinguer
le signe de l'opération (ou opérateur) du signe du nombre.
Règle pour supprimer l'opérateur et les parenthèses de nombres, ce qui
débouche sur l'écriture simplifiée.
Si a est la distance à zéro d'un nombre relatif
On remplace +(+ a ) par + a
+(- a) par – a
- (+a) par – a
- (- a) par +a
La règle des signes est la même que pour le produit ou le
quotient. (+ si même signes, - si signes différents)
+3 –(+4) + (+5) – (-7) + (-2) =
3 –4
+5 +7
–2
+ 4 – (-2 +(-3) )+ (4) =
+ 4 – (-2 – 3 ) +4
On peut ainsi trouver facilement
l'écriture simplifiée d'une somme.
Ancienne écriture 3 + (-4) + [2,1 – (+5)] – [(-4) + (+5)] – (+4)
Ecriture simplifiée 3 –4 + (2,1 –5) – (-4
+5) -4
Les opérandes d'une somme s'appellent
des termes.
En écriture simplifiée, les opérateurs, qui
devraient être des + sont absents.
Technique de calcul des sommes de nombres relatifs
En principe, quand on met une opération ente parenthèses,
cela signifie qu'on doit commencer les calculs par elle et
remplacer le contenu des parenthèses par le résultat trouvé.
Mais on verra plus loin que lorsque les parenthèses
contiennent une somme, on peut procéder autrement.
Propriétés de l'addition des nombres relatifs
Dans une addition de 3 nombres ou plus, on peut commencer
par additionner n'importe quelle paire de nombres, le résultat
reste le même.
Dans une addition de 2 nombres, on peut inverser l'ordre des
opérandes, le résultat reste le même.
Parenthèses de sommes ou d'opposition.
Ce sont les parenthèses contenant des opérations associant
4 – 5 – (8 -11) =
4 – 5 – ( - 3) =
4–5 +3=2
2 – 3 +5 = 4
2 + (-3 +5) = 2 + 2 = 4
(2 – 3) + 5 = -1 + 5 = 4
5 – 7 = -7 + 5 = - 2
- 8 + 11 = 11 – 8 = 3
plusieurs nombres, précédées et suivies par un opérateur +
ou – sauf en fin d'expression. Le contenu de la parenthèse
constitue en fait le terme d'une somme. .
Règle pour supprimer l'opérateur et les parenthèses de somme ou d'opposition
Quand les parenthèses contiennent une somme:
3 + (5 – 2 ) + ( - 4 – 7) =
● Si les parenthèses sont précédées d'un +
3 +5 – 2
–4 –7
On supprime l'opérateur +, on supprime les parenthèses et on
écrit les nombres contenus dans les parenthèses avec leur
signe.
● Si les parenthèses sont précédées d'un –
On supprime l'opérateur - , on supprime les parenthèses et on - (4 – 7) – ( 2 – 5) – ( - 4 + 3) =
remplace tous les nombres contenus dans les parenthèses par
-4+7 -2+5
+4 – 3
leur opposé avec leur nouveau signe.
Comment procéder pour calculer une somme de nombres relatifs?
● On cherche l'écriture simplifiée de la somme en supprimant
d'abord les parenthèses de nombres, ensuite les parenthèses
de somme ou d'opposition. (s'il y en a).
● Une fois que l'écriture est simplifiée sans parenthèses, on
regroupe les nombres négatifs et les nombres positifs entre
eux.
● On fait la somme des nombres positifs d'une part et la
somme des nombres négatifs d'autre part.
● La somme de l'unique nombre négatif et de l'unique nombre
positifs restant est le résultat cherché.
Calculer
- 2 + [-3 – (-4) ] – [5 – (+4)] =
suppression parenthèses de nombres
- 2 + (-3 + 4) – ( 5 – 4) =
Suppression des parenthèses de sommes
-2–3+4–5+4=
Regroupement des négatifs/ positifs
-2–3–5+4+4=
Calcul négatifs , positifs
- 10 + 8 =
Résultat
-2
Vers l'écriture simplifiée des produits
Les opérandes d'une multiplication
s'appellent les facteurs.
Ces facteurs peuvent être des sommes ou
d'autres opérations complexes.
L'opérateur X n'est pas toujours présent
dans l'écriture d'un produit.
Les facteurs d'un produit peuvent être
● Des nombres isolés
(-3)x(+5) 3x(-5) 3x5 -3x5 (+3)x5 (-3)x5
● Des sommes ou des expressions complexes encadrées par des parenthèses.
5x(-3+2)
(-5+4)x2
(-5+4)x(-2)
-5x(3+4)
(3+4)x(-2+3)
-(2+3)x(4+5)
Ecriture simplifiée d'un produit
On peut simplifier l'écriture du produit en mettant ses 2 facteurs entre parenthèses et en
supprimant l'opérateur x de la multiplication car celui-ci va s'avérer gênant quand on va utiliser la lettre
x pour remplacer un nombre quelconque.
Quand le premier facteur est un nombre isolé, il n'est même pas utile de le mettre entre parenthèses. Par
contre quand un facteur est une somme ou une expression complexe, les parenthèses qui la délimitent en
tant que facteur sont indispensables.
Voici les produits précédents réécrits en écriture simplifiée:
● Les 2 facteurs sont des nombres
-3(5) ou (-3)(5)
3(-5) ou (+3)(-5)
3(5) ou (3)(5)
● L'un au moins des facteurs est une somme (ou une expression complexe:
5(-3 + 2) (- 5 +4)(2)
(-5+4)(-2)
-5(3+4)
(3+4)(- 2 + 3)
-(2+3)(4+5)
Prenez modèle sur eux.
Vers l'écriture fractionnaire des divisions
Dans une division, le premier opérande s'appelle le dividende N
(c'est le nombre qu'on divise).
Le second s'appelle le diviseur D (c'est lui qui divise).
Le diviseur ne peut pas être nul.
Le résultat de la division s'appelle le quotient Q.
Le résultat de la division n'est pas toujours exact. Dans ce cas
on peut calculer un quotient approché (q) et il est lié aux
opérandes par la relation: N = Dq + r (où r est le reste).
La division peut s'écrire en ligne grâce à un opérateur noté : ou /
(- 4) : (+2,1) ou
(- 4) /(+2.1)
Ecriture simplifiée d'une division
Désormais nous préférons écrire une division sous forme d'une fraction
−4
+2,1
Dans ce cas le dividende est appelé "numérateur" et le diviseur est appelé "dénominateur".
L'écriture fractionnaire, est sans équivoque et plus simple car elle nous permet de faire l'économie de
parenthèses lorsque le numérateur ou le dénominateur sont des sommes ou des expressions complexes.
En écriture simplifiée, nous supprimerons les signes du dénominateur et du numérateur et les
remplacerons par un signe unique que nous mettrons devant la fraction. Ce signe sera - si les deux
nombres sont de signes différents et + si les deux nombres sont de même signes.
𝟒
Notre fraction s'écrira donc −
en écriture simplifiée.
𝟐,𝟏
Opérations littérales
Opération
Dans une opération, un ou plusieurs opérandes peuvent être remplacés par des lettres.
Opposé
Si, par exemple, a figure un nombre, -a figure son opposé.
Si a = 8 → - a = -8 et si a = - 8 → -a = 8.
Règles d'écriture.
Etudiez bien le tableau suivant qui indique quelles sont les règles d'écriture des opérations, en écriture
normale puis, éventuellement en écriture simplifiée, lorsque leurs opérandes sont a, b ou leurs opposés:
(-a)+b
-a+b
(-a) – b
-a–b
a+(-b)
a –b
a – (-b)
a+b
(-a) + (-b)
-a – b
(-a) – (-b)
-a+b
ab
(-a)b
- ab
a(-b)
- ab
(-a)(-b)
ab
division
𝐚
𝐛
−a
𝐚
=−
b
𝐛
a
𝐚
=−
−b
𝐛
−a 𝐚
=
−b 𝐛
élévation à la puissance
b
ab
(-a)b
a-b
(-a)-b
Distance à zéro
|a|
|- a|
addition
a+b
soustraction
a –b
multiplication
Les règles de simplification de l'écriture
sont les mêmes que pour les nombres
(règle des signes et suppression des
parenthèses)
L'opérateur X disparait. On accole les
facteurs en évitant toute confusion avec
la somme grâce aux parenthèses.
Les opérandes étant bien séparés par le
trait de fraction, les parenthèses sont
inutiles. b doit être différent de 0.
Si le 1er opérande comporte un signe –
on le met obligatoirement entre ( ).
b est un entier.
Plus simple à écrire que "distance à zéro
de a" ou "distance à zéro de – a"
L'écriture normale et l'écriture simplifiée (en bleu) sont admissibles, mais on préfèrera autant que possible
l'écriture simplifiée.
Les règles de simplification de l'écriture d'une multiplication ou d'une division entre deux lettres
représentant des nombres (par exemple a et b ou leurs opposés) sont les mêmes que celles qui
permettent de supprimer les parenthèses de nombres:
1) on cherche le signe qui doit figurer devant la partie littérale du produit ou du quotient
Si les signes précédant les lettres sont différents, ce signe est – .
Si ces signes sont les mêmes, le signe résultant est +.
2) on met le signe résultant devant la multiplication ou la fraction
3) à la suite de son signe, on écrit la multiplication ou la fraction en débarrassant éventuellement ses
facteurs, dénominateur, numérateur, des parenthèses qui les entourent.
Les écritures simplifiées possibles (en bleu) sont:
(−a)
a
(−a)
a
a(-b) = - ab
(-a)(-b)= ab
b
(aux lettres prés qui peuvent être différentes).
Remarque concernant la distance à zéro:
On peut écrire | - 8 | = 8 mais pas | - a| = a.
Tout dépend du signe de a
si a est positif, - a est négatif et | - a |= a
si a est négatif, -a est positif et | - a |= - a
Autrement dit |- a| = a ou –a selon le signe de a .
=−
b
(−b)
=
b
Calcul du produit de deux nombres décimaux relatifs.
Produit de deux nombres décimaux relatifs a x b
● La distance à zéro du produit est le produit des distances à 0
des facteurs.
| a b| = ( |a | )( |b | )
● Le signe du produit est + si les facteurs sont de même signes
● le signe du produit est – si les facteurs sont de signes
différents
(+2)x(+3,5)= +7
(-4,1)x(+2,8) = - 11,48
(-2,7)x(-2,3) = + 6,21
(-5)x(+4,2)= - 21
(mêmes signes)
(signes différents)
(même signes)
(signes différents)
Produit d'un nombre par une somme
Pour multiplier un nombre (a) par une somme (b+c)
on distribue en tant que facteur le nombre sur tous les termes
de la somme, chaque produit étant séparé du précédent par un
opérateur + .
Puis on effectue les produits, on passe à l'écriture simplifiée et
on réduit la somme obtenue.
a(b+c) = ab + ac
4(-5+3) = 4(-5) + 4(+3) = -20 +12 = -8
-3(4 – 2 ) = (-3)4 + (-3)(-2) = -12 +6 = - 6
Produit d'une somme par une somme
Pour multiplier une somme par une autre somme (a+b)(c+d)
on distribue en tant que facteurs successivement tous les
termes de la première somme sur tous les termes de la
seconde somme, chaque produit étant séparé du précédent par
un opérateur +.
Puis on effectue les produits, on passe à l'écriture simplifiée et
on réduit la somme obtenue.
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
(4 -7) (-3 +4) = 4(-3) + 4(+4) + (-7)(-3) + (-7)(4) =
-12
+16
+21
– 28 = - 3
Propriétés du produit.
Lorsqu'on fait un produit d'au moins 3 facteurs, on peut
commencer par faire le produit de n'importe quelle paire de
facteurs.
Modifier l'ordre des facteurs d'un produit ne change pas son
résultat.
(+5)x(-3)x(4) = - 60
[(+5)x(-3)]x(4) = -15x4 = -60
(+5)x[(-3)x(4)]=5x(-12)=-60
abc=bac=cba
(3)(4)(5)=(5)(3)(4)=(4)(5)(3)
Calcul du quotient de deux nombres décimaux relatifs.
Quotient de deux nombres décimaux relatifs a : b
● La distance à zéro du quotient est le quotient de la distance à
0 du premier nombre par la distance à 0 du second.
| a : b| = |a | : |b |
● Le signe du produit est + si les 2 nombres sont de même
signes
● le signe du produit est – si les 2 nombres sont de signes
différents.
Quotient d'une somme par un nombre
Le quotient d'une somme de plusieurs nombres par un diviseur
est égal à la somme des quotients de ces nombres par le même
diviseur.
24+6−9
3
24
3
=
21
6
9
3
3
3
a+b−c
a b c
= + −
D
D D D
=7
+ − =8+2−3=7
Attention !
N
a+b−c
n′ est pas égal à
N
a
N
N
b
c
+ −
(-2,7) : (- 0,9) = +3
(10,5) : (2,5) = 4,2
(-1,44) : (+2,4) = - 0,6
(12) : (-8) = - 1,5
(mêmes signes)
(mêmes signes)
(signes différents)
(signes différents)
Les fractions
Définition
𝐚
Ici on s'intéresse aux fractions de la forme où a et b sont des nombres relatifs
𝐛
(b étant non nul).
Ces fractions sont à la fois une division et l'écriture exacte du nombre caractérisant le résultat de
la division de a par b (autrement dit du quotient de a par b).
2
Par exemple 5 est à la fois la division de 2 par 5 et le nombre 0,4 résultat de la division.
𝐚
𝟎
n'existe pas puisque la division par 0 n'a aucun sens.
𝟎
𝟖
est égale à 0 puisque la division de 0 par n'importe quel nombre non nul donne 0.
On peut considérer un entier relatif ou un décimal relatif comme des fractions dont le numérateur
et le dénominateur sont des entiers relatifs.
En effet, on a par exemple
15
150
− 28803
28803
15 = 1 ou 10
et
- 28,803 = 1000 ou −1000
Règle des signes:
La fraction
a
b
est le résultat de la division de a par b. Donc
5
a
b
est…
● un nombre positif si a et b sont de même signes
● un nombre négatif si a et b sont de signes différents
En conséquence, au moment de donner un résultat contenant
une fraction, on supprime les signes du numérateur et du
dénominateur et on place le signe donné par la règle des signes
devant la fraction ou devant le nombre quotient.
5
−5
3
+3 = 3
−5
−3
= +3 = 3
5
5
5
−3
= −3
5
5
= −3
(−3)+(+8)
(−2)x(+4)
5
= −8
Comparer une fraction privée de son signe à 1
On compare le dénominateur et le dénominateur
Si le dénominateur est le plus grand la fraction est plus petite que 1
2
5
Si le numérateur est le plus grand, la fraction est plus grande que 1
Si numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1
5
5
= 0,4 plus petit que 1
5
2
=
= 2,5 plus grand que 1
2
2
=1
+5
= −8
Multiplication et division de fractions
Pour multiplier une fraction par un nombre
On multiplie le numérateur de la fraction par ce nombre
a
b
c=
ac
2
b
3
x5=
2x5
3
=
−3
10
4
3
x(−7) = +
21
4
Pour multiplier une fraction par une fraction
Le numérateur du produit est le produit des numérateurs.
Le dénominateur du produit est le produit des dénominateurs.
a c
ac
=
b d
bd
8 5
( )
3 7
8x5
−3 −5
15
( )=+
2 7
14
40
= 3 x 7 = 21
Inverse d'un nombre non nul
Le produit d'un nombre par son inverse doit donner 1 comme résultat.
L'inverse d'un nombre a ≠0 est le nombre a' tel que le
produit aa' =1.
𝟏
● l'inverse de a est
● l'inverse de
𝐚
𝐛
est
1
3
(en effet 3 x 3 = 3 = 1 )
𝐚
𝐛
(en effet
𝐚
3
5
5
inverse de 4
1
= 1 : 4 = 0,25
inverse de −
5
2
5
− = - 2,5
4
2
inverse de 0,25
1
=4
1
inverse de
3
=3
0,25
15
x 3 = 15 = 1 )
0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse.
L'inverse de 1 est 1.
Un nombre et son inverse ont le même signe.
Si a >1 son inverse est plus petit que 1 (et vice versa)
L'inverse d'un produit est le produit des inverses.
1
1 1 1
= ( )( )
abc a b c
Pour diviser une fraction (ou un nombre) par une fraction (ou un nombre)
Il suffit de multiplier la première fraction (ou nombre) par l'inverse de la seconde (ou du
nombre)
2
2 3
2 7
14
Diviser c'est multiplier par l'inverse.
2 5
10
: = 5 x 3 = 15
3
a
= x =
5 7
a
● Diviser par un nombre
b
:𝐜 =
b
c
𝐚 𝟏
a
𝐛 𝐜
b𝐜
= ( )=
4
5
Quand on divise une fraction par un nombre il devient
facteur du dénominateur.
● Diviser par une fraction
a 𝐍
: =
b 𝐃
a
b
N
D
𝐚 𝐃
a𝐃
𝐛 𝐍
b𝐍
= ( )=
3
4∶7= 4x
7
=
3
3
2
3
28
3
5
3
3 1
3
− :5 = − x = −
7
7 5
35
2
3
5
4
2
12
1
2
= 3 x 5 = 15
5
= 2x 3 =
10
3
Pour calculer une fraction d'une quantité
Il suffit de multiplier la quantité par la fraction
3
3
Par exemple pour calculer les 3 cinquièmes de 20 ( 5 de 20 ) il suffit de multiplier 20 par 5 .
Le résultat est
20 x 3
5
=
60
5
= 12 .
Si on divise 20 euros en 5 parts égales, chaque part fait 4 euros et 3 parts (soit les 3/5 de 20) font 12 euros.
● On peut remplacer la fraction par le nombre quotient qu'elle représente (
80
4
5
● Un pourcentage est aussi une fraction de dénominateur 100 : 80% = 100 = 0,8
80% de 10 =
80
100
x 10 =
800
100
=8
ou 80% de 10 = 0,8 x 10 = 8.
4
= 0,8 et 5 de 10 = 0,8 x 10 = 8)
Addition et soustraction de fractions
Ecritures fractionnaires de 1.
a
Toutes les fractions de la forme a sont égales à 1.
Simplifier une écriture fractionnaire
a
Quelquefois, dans une fraction, b on peut écrire a et b sous forme
d'un produit de facteur où apparaît un facteur commun k (a=a'k et
a
a′
b=b'k). Dans ce cas on peut simplifier par k et écrire que =
b
b′
Car
a
b
a′ k
= b′ k =
a′ k
( )
b′ k
a′
donc
=
a k
( )
b k
=
𝐚
a 𝐩
𝐚𝐩
7
𝐧
𝐩
n 𝐛
𝐧𝐛
= p (𝐛) = 𝐛𝐩 ont un même dénominateur.
Le produit des dénominateurs constitue un dénominateur
commun acceptable. Le plus petit multiple commun des 3
dénominateurs est le plus petit dénominateur commun.
−7
=
−7
18523
30
7
6
3
2 5
10
2
3 5
15
3
2
−5
3
−5
= x
2
3
et
𝟑
𝟓
=+
2
3
10
15
2
3
=7
6
6x1
2
= x =
3x5x2
42
7x7
−102
=3x5x3 =
45
irréductible
−102
=
18523
42
3
et
=
5
− 63 =− 7x9 = − 9
2
Réduire au même dénominateur.
En compliquant judicieusement 2 fractions (ou plus), on peut
toujours les réduire au même dénominateur.
a
n
et 𝐩 avec p ≠ b n'ont pas le même dénominateur.
𝐛
Mais 𝐛 = b (𝐩) =𝐛𝐩
3
49
ak
b k
5
12 3x4 4
=
=
15 3x5 5
a′
= b′ (1) = b′
Compliquer une écriture fractionnaire.
k
Multiplier une fraction par 1 ou k ne change pas sa valeur.
a
b
3
1=3=
1
= 6x7 =
2 18
= x
3 18
2
3
= x
0,5
0,5
7
=
=
36
54
1
1,5
1 4
6
, et
2 3
5
dénominateur
commun 2 x 3 x 5 =30
dénominateur
commun 3 x 5 = 15
1
2 2 𝟓 10
= x =
3 3 𝟓 𝟏𝟓
4
3
3 3 𝟑
9
= x =
5 5 𝟑 𝟏𝟓
2
compliqué par
compliqué par
6
5
3x5
3x5
2x5
2x5
2x3
compliqué par
2x3
Pour additionner ou soustraire des fractions
On les réduit d'abord au même dénominateur, puis on fait la somme de leurs numérateurs
2 7
2x5 7x3 10 21 31
+ =
+
=
+
=
3 5
3x5 5x3 15 15 15
Additionner ou soustraire des écritures fractionnaires
Pour additionner, soustraire des fractions il faut d'abord les
réduire au même dénominateur.
Ensuite pour calculer une somme de fractions …
le numérateur du résultat est la somme des numérateurs
le dénominateur du résultat est le dénominateur commun
a
b
a+b
a
b
a−b
+D= D
ou
−D = D
D
D
2 7 10 21
11
− =
−
= −
3 5 15 15
15
Pour comparer des fractions
On les réduit d'abord au même dénominateur, puis on compare leurs numérateurs.
Comparer des fractions
Autant il est difficile de comparer la grandeur de fractions de
même signe ayant des dénominateurs différents, autant cela
devient évident quand on les réduit au même dénominateur.
2
<
5
vrai ou faux?
3
8
2
16
5
15
Je ne sais pas. Or =
et
=
C'est donc faux
2
3
3
=
16
24
24
8
24
est le plus grand.
Exposants
et puissances
Précaution d'écriture
Pour élever un nombre négatif à une puissance, on le met entre parenthèses (-3)2 =(-3)(-3)=+9
– 3n est l'opposé de 3n. L'élévation à la puissance porte sur 3 et non sur – 3. – 32 = opposé de (3)2 = - 9
Signe de an
Si a est un nombre positif, alors an est positif.
23 = (2)(2)(2)= 8
26 =(2)(2)(2)(2)(2)(2= 64
n
Si a est un nombre négatif et si n est pair, a est positif.
(-2)2 =(-2)(-2) = +4 (-3) 4=(-3)(-3)(-3)(-3) =+81
n
Si a est un nombre négatif et si n est impair, a est négatif. (-2)3 =(-2)(-2)(-2) = - 8
Propriétés
an x ap = an+p
(an)p = anp
n+p facteurs a
p fois n facteurs a
23x22 =25
(23)2 = 26
𝐚
𝐚𝐧
( )𝐧 = 𝐧
𝐛
𝐛
𝐚𝐧
𝟏
= 𝐚𝐧−𝐩 = 𝐩−𝐧
𝐩
𝐚
𝐚
n facteurs a/b
𝟑
𝟑𝟐
( )𝟐 = 𝟐
𝟓
𝟓
fraction simplifiée
𝟑𝟔
𝟏
= 𝟑𝟒 = −𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
an x bn = (a x b)n
n facteurs axb
25 x 35 = 6 5
Pour an, on imagine n facteurs a
1
1
Pour a- 3 on imagine a3 soit a(a)(a)
Pour an x ap, on imagine n facteurs a, suivis de p facteurs a , en tout n+p facteurs a .
Pour (an)p, on imagine p fois n facteurs a, en tout np facteurs a.
Pour (ab)n on imagine n facteurs ab autrement dit n facteurs a et n facteurs b.
Pour
𝐚𝐧
𝐚𝐩
on imagine n facteurs a au numérateur et p facteurs a au dénominateur.
Après simplification
● si n >p il ne reste des facteurs qu'au numérateur (n – p positif) .
● Si n <p il ne reste des facteurs qu'au dénominateur (n – p négatif)
Puissances de 10
Quel nombre représente une puissance de 10?
102 = 100
10-1=
1
10
103 = 1000
= 0,1
10-2 =
1
100
10n = 1 suivi de n zéros
104 = 10000
= 0,01
10-3= 0,001
10-n = 0,00….01 n chiffres après la virgule.
Multiplier par 10n un nombre décimal
Revient à pousser sa virgule de n rangs vers la droite après avoir ajouté, si
nécessaire, autant de zéros à la suite du nombre que de rangs manquants.
125,36875x103
125368,75
0,0123x107
0,0123000x107
123000
3x106
3,000000 106
3000000
12,57x104
12,5700x104
125700
1,584x103
1584
Multiplier par 10-n un nombre décimal ou le diviser par 10n.
Revient à pousser sa virgule de n rangs vers la gauche, après avoir ajouté, si
nécessaire, un zéro de plus devant le nombre que de rangs manquants.
1253,84 x 10-2
12,5384
1253,84x10-6
0001253,84x10-6
0,00125384
100x10-4
00100x10-4
0,01
123000x10-3
123
1x10-3
0001x10-3
0,001
Ecriture d'un nombre décimal
Il est toujours possible de mettre un nombre décimal sous la forme entier relatif multiplié par 10-n
452,28 = 45228 x 10-2
0,0012 = 12 x10-4
Ecriture scientifique: tout nombre décimal positif peut se mettre sous la forme ax10n (a entre 1 et 10)
123,85 = 1,2385x10-2
0,000235 =2,35x10-4
128547598=1,28547598x108
Expressions littérales
Expression littérale:
Une expression littérale (ou expression algébrique) est une opération ou une suite d'opérations dont un ou
plusieurs opérandes sont des lettres.
Par exemple (a+b)2 , 2ab+a2 +b2 , -4x+2 ,
x+y
3a
sont des expressions littérales.
Dans une opération les opérandes peuvent être des nombres, des lettres ou des expressions littérales.
Dans ce dernier cas, les opérandes égaux à des expressions littérales sont mis entre ( ) sauf peut être s'il
s'agit de fractions.
Le tableau suivant met en évidence certaines conventions d'écriture.
somme
2+3
x+3
5 –x
(2x+y)+a
2x+y+a
-3 – (2x+y)
-3 – 2x – y
5x
(2x+y)a
-3(2x+y)
x
+a
y
x(3)
multiplication 2(3)
3x
division
2
3
x
3
5
−
x
2x + y
a
puissance n
23
x3
5-x
(2x+y)a
|5 –x|
|a+(2x+y)|
|a+2x+y|
distance à 0
|2|
|x|
3
−
2x + y
a
x
y
x
y
a
x
=
ya
−3 −
x
y
−(2x + y)
−3 3y
x= x
−y
x
y
On peut utiliser la règle
permettant d'enlever les () de
somme.
En tant que facteur un nombre
occupe toujours la 1ere place (3x
et non x3). En 2e facteur un
nombre doit être mis entre (). 2(3)
une expression peut ne pas être
mise entre ( ). On utilise autant
que possible la règle des signes.
l'exposant doit être un entier.
|-3(2x+y)|
x
| |
y
x
|−3 − |
y
Si une expression littérale, qui
représente un nombre, a un
sens, sa distance à 0 en a aussi
un.
Quelques exemples d'utilisation des expressions littérales.
● Dans les formules, elles indiquent les calculs à effectuer pour évaluer une grandeur physique.
Par exemple si a est la longueur du côté d'un carré 4a est son périmètre et a2 est son aire.
𝐋
Si un parcours de longueur L est exécuté à vitesse constante V, la durée du parcours est D = .
𝐕
● Dans les règles de calcul elles expliquent comment procéder pour trouver un résultat plus facilement
ou plus rapidement, ou de manière orthodoxe.
Par exemple: (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab. Distance à zéro de x +3 = - x – 3 si x est plus petit que – 3.
● Dans les problèmes elles permettent d'écrire l'énoncé sous forme d'égalités appelées "équations" qui
mettent en relation les chiffres et les inconnues du problème représentées par des lettres. Et la technique
de résolution de ces équations permettra de trouver la solution.
Par exemple après avoir convenu qu'on appelait p l'âge actuel du père et f l'âge actuel du fils:
"Aujourd'hui l'âge du père est le double de l'âge du fils" s'écrit p = 2f.
"il y a 15 ans l'âge du père était le triple de l'âge du fils" s'écrit (p – 15) =3(f – 15 ) .
Ce qui permet de trouver en années l'âge du fils f=30 et l'âge du père p=60 .
Les monômes, composants de base des expressions littérales.
Définition du monôme
Un monôme est un produit de nombres et de lettres (représentant des nombres).
Le produit (-5)(x)(y)(x)(z)(-2)(x)(y) une fois réduit et ordonné donne le monôme 10x3y2z (écriture simplifiée)
L'écriture simplifiée du monôme est composée d'un nombre (ici 10) appelé coefficient, précédant une
partie littérale (ici x3y2z) formée d'une ou plusieurs lettres différentes avec leur exposant.
Les exposants doivent être des nombres entiers naturels et leur somme (3+2+1) donne le degré du monôme.
On peut écrire z = z1, x = x1, a = a1. Ce sont des monômes de degré 1.
On peut aussi écrire 3 =3x0 puisque quel que soit x, x0 = 1. Donc un nombre est un monôme de degré 0.
Le coefficient de x2 ou de xy est 1.
Le coefficient de – x2 ou de – z est –1.
Le monôme nul a pour coefficient 0.
Multiplication de monômes.
Le produit de 2 monômes est un monôme.
Son coefficient est le produit des coefficients des 2 facteurs..
Sa partie littérale est formée de toutes les lettres qu'on trouve dans ses facteurs.
L'exposant de chaque lettre est la somme des exposants qu'elle a dans les facteurs.
(3a2x)(-5a5x3y) = -15a7x4y
(2x)(3x)=6x2
5(-2x) = -10x
Cette règle permet aussi de définir la puissance n d'un monôme: (-3x2y3)n = (-3)nx2ny3n
Le coefficient est élevé à la puissance n et les exposants de toutes les lettres sont multipliés par n.
Quotient de monômes
Le quotient de 2 monômes n'est pas forcément un monôme car les lettres peuvent s'y retrouver avec des
exposants négatifs. C'est une expression algébrique qu'on peut construire sur le modèle suivant:
2a3 bc2
2
2
= a3-1b1-4c2-2y0-1 = a2b-3y-1 si a, b, c et y n'ont pas une valeur nulle.
4
2
3
3
3ab c y
Somme de monômes
Des monômes sont dits "semblables" s'ils comportent les mêmes lettres aux mêmes degrés (autrement dit
s'ils ont même partie littérale).
On ne peut réduire la somme de plusieurs monômes en un seul que s'ils sont tous semblables.
La somme de plusieurs monômes semblables est un monôme semblable…
dont le coefficient est la somme des coefficients des monômes semblables,
dont la partie littérale est celle des monômes semblables.
3x + 5x = 8x
-2xy + 7xy+5xy = 10xy
7x +8x2 -4 +10x +x3 - 5x2 +5
= x3 +(8x2 – 5x2) +(7x +10x) +(5 – 4) =
x3 +3x2 +17x +1
La somme de plusieurs monômes dont aucun n'est semblable à un autre est irréductible et constitue un
polynôme.
Le degré d'un polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré.
x3 +3x2 +17x +1 est de degré 3.
Règles de calcul des expressions littérales
Une parenthèse peut être soit interne soit
située à une extrémité de l'expression.
Une parenthèse interne adhère (colle) soit
à un signe, soit à une lettre, soit à un
chiffre, soit à une autre parenthèse.
Les parenthèses englobées dans d'autres
parenthèses sont dites "intérieures".
Savoir reconnaître les parenthèses de somme et les parenthèses de produit.
Les parenthèses de somme constituent un terme d'une somme.
Une parenthèse de somme se reconnait à ce que toutes ses parenthèses internes adhèrent à un signe +
ou –
Les parenthèses de produit constituent un facteur d'un produit.
Un facteur se reconnait à ce qu'une de ses parenthèses adhère à l'autre facteur soit par une lettre, soit par
un chiffre (faisant partie d'un nombre), soit par une autre parenthèse.
Supprimer les parenthèses et effectuer les calculs
Technique de suppression des parenthèses:
● S'il s'agit de parenthèses de somme on utilise la règle qui nous permet de les supprimer (ainsi que
l'opérateur qui les précède) soit en conservant le signe des termes qu'elles contiennent si elles sont
précédées par un plus, soit en changeant le signe de tous les termes si un moins les précède.
● S'il s'agit de parenthèses de produit, on les supprime en effectuant le produit, c’est-à-dire en
distribuant multiplicativement tous les termes du premier facteur sur tous les termes du second.
Ordre de priorité:
● si plusieurs parenthèses sont imbriquées les unes par les autres, on commence par supprimer les
plus intérieures.
● Si au sein d'une parenthèse on peut réduire les sommes de monômes semblables, ou effectuer des
calculs numériques simples, on le fait le plus tôt possible de façon à simplifier l'expression.
18
Pour les calculs numériques purs tels que 6 +3(-5) ou 5 la multiplication et la division sont
3
prioritaires sur la somme. Après les avoir calculées ces expressions deviennent 6 –15 = - 9 et 5 –6 = - 1.
● Si les coefficients de plusieurs monômes semblables sont des fractions, on les réduit au même
dénominateur avant d'en faire la somme, au moment qui nous semble le plus opportun.
Un exemple complexe
Dans 3x – (5x+ 2 (2x + (3(2x+7) -5x)+2) -40) on supprime d'abord () puis () puis () et enfin ().
 La parenthèse jaune est une parenthèse de produit, l'autre facteur étant 3. On fait donc le produit de 3
par (2x+7), on trouve 6x +21 et la parenthèse verte devient (6x +21 -5x) qu'on réduit en (x + 21).
 La parenthèse verte est une parenthèse de somme. On la supprime, la parenthèse bleue devient
(2x + x + 21 +2) qu'on réduit en (3x + 23).
 La parenthèse bleue est une parenthèse de produit. L'autre facteur est 2. On effectue le produit de 2 par
(3x+23) on trouve 6x + 46, ce qui fait que la parenthèse rouge devient (2x + 6x +46 -40) qu'on réduit en
(8x + 6).
 La parenthèse rouge est une parenthèse de somme précédée d'un moins.
Quand on la supprime l'expression devient 3x – 8x – 6 soit – 5x – 6 .
Réduction de monômes semblables à coefficient fractionnaires
2
5
3
3
2
5
7
3
4
15
x + x 2 − x + x 2 = (x 2 + x 2 ) + ( x − x) = ( x 2 + x 2 ) + ( x − x) =
3
2
7
7
3
2
7
7
6
6
10 2 11
x − x
7
6
À la fin de ces calculs, on obtient un polynôme réduit, qui peut être un nombre
Manipuler les polynômes réduits
Donner une valeur numérique à une lettre dans un polynôme réduit.
Si le polynôme n'est pas réduit, on commence par supprimer ses parenthèses et on procède à sa
réduction. Puis …
 On remplace la lettre par des parenthèses vides sans toucher à l'exposant ou au coefficient.
 On place le nombre valeur de la lettre dans les parenthèses vides
 On procède au calcul des puissances 2 ou plus dont on place le résultat entre parenthèses.
Les exposants disparaissent.
 On supprime les parenthèses de produit ou de nombre, en utilisant les règles que nous connaissons.
 On procède à la réduction et on donne le résultat.
Exemple:
Valeur de –x3 +2x2 – 3x +7 pour x
 –( )3 +2( )2 – 3( ) +7
=-2
 –(– 3(-2 ) +7
 –(- 8) +2(4 ) – 3(-2 ) +7
 +8
+8
+6 +7
 Résultat la valeur cherchée est +29.
2)3
+2(-2)2
remplacement de la lettre x par des parenthèses vides
on met la valeur de x dans les parenthèses vides
calcul des puissances, résultat entre parenthèses (plus d'exposant)
suppression des parenthèses de nombre et de produit
réduction de la somme et résultat.
Mise en facteur commun. Factorisation
Quand on multiplie un monôme par une somme, on distribue, en tant que facteur le monôme sur
tous les termes de la somme:
2x(3x + 4) = (2x)(3x) + (2x)(+4) = 6x2 + 8x.
La mise en facteur commun est l'opération inverse:
1) on décompose chaque terme de la somme en autant de facteurs que possible
6x2 + 8x = (2)(3)(x)(x) + (2)(2)(2)(x)
2) on repère les facteurs communs à chaque terme (ou à certains termes)
(2)(3)(x)(x) + (2)(2)(2)(x) un facteur 2 et un facteur x, soit 2x en facteur commun.
3) on considère que ce facteur a été initialement distribué sur la somme qui subsiste quand on
supprime le facteur commun, ce qui nous permet de reconstituer le produit initial
6x2 + 8x = (2)(3)(x)(x) + (2)(2)(2)(x) = (2x)(3x) +(2x)(4) = 2x(3x + 4)
On a transformé une somme de monômes en un produit grâce au facteur commun.
Factorisation d'un polynôme comportant 4 monômes
Si cette factorisation est possible, 2 monômes ont un facteur commun ⊗ et les 2 autres un autre facteur
commun ⊘. Sur le modèle suivant P = ⊗⊟+ ⊗⊠ + ⊘⊟ + ⊘⊠ où tous les symboles sont des facteurs.
Après mise en facteur on obtient P = ⊗( ⊟+ ⊠ ) + ⊘( ⊟ + ⊠).
C'est maintenant la somme (⊟ + ⊠) qu'on peut mettre en facteur et cela donne:
P = (⊟ + ⊠)(⊗ + ⊘) On a factorisé P (on l'a transformé en un produit de facteurs)
Exemples:
factoriser P = bc + ac + 2a + 2b.
On choisit par exemple de regrouper les monômes 2 par 2 ainsi P = (bc +2b) + (ac + 2a).
On factorise chaque paire de monômes P = b(c+2) + a(c+2)
Maintenant on met (c+2) en facteur commun et on obtient P =(c+2)(b+a)
factoriser P = cb + 3b – 4c – 12
On repère un facteur commun entre cb et 3b ou entre cb et – 4c. On les regroupe comme on veut.
Par exemple P = (cb +3b) +(- 4c -12) = b(c + 3) - 4 (c + 3) = (c+3)(b – 4)
Factoriser x2 + 2x + 1.
Plus subtil: on n'a que 3 termes mais on peut scinder 2x en x + x. Et on ne peut regrouper x2 qu'avec x.
On obtient (x2+x) + (x +1) = x(x+1) + (x+1) ou x(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x+1)
Remarque: si on avait par exemple x (x+2) –x – 2 on pourrait écrire que – x – 2 = - 1( x+2) afin de poursuivre la
factorisation: x (x+2) - 1( x+2) =(x+2)(x – 1)