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Mathématiques
4e

Calcul
numérique
Entiers et décimaux relatifs
Nombres rationnels (fractions)
Opérations sur les rationnels

Les nombres décimaux relatifs
Définition :
Un nombre décimal relatif est un nombre dont l'écriture est composée
● d'un signe (non obligatoire s'il s'agit d'un +)
● suivi d'un nombre décimal formé d'une partie entière et d'un nombre limité de décimales.
Les entiers relatifs sont des nombres décimaux dont la partie décimale est nulle.
Un nombre dépourvu de signe est un nombre positif.
21,58, +3,0001, -12,487, 100 , -4 sont des nombres décimaux relatifs.
Distance à zéro d'un nombre décimal relatif.
Le nombre qui suit le signe est appelé "distance au zéro" du nombre décimal.
On note |a| la distance au zéro du nombre a.
Si a = - 2,3 le signe de a est – et sa distance au zéro est | - 2,3| = 2,3.
Les distances à zéro de quelques nombres décimaux relatifs :
|21,58| = 21,58, |+3,0001|=3,0001 , |-12,487|=12,487 , |100|=100 , |-4| = 4.
Sur la droite des réels:
On a pris l'habitude de représenter tous les nombres sur la droite des réels.
Plus les nombres décimaux ont de décimales, plus la droite des réels doit être finement graduée pour les
situer avec précision.
Ici la droite des réels est graduée au
dixième. Donc seul le nombre -2,4
correspond exactement à une
graduation.
Les autres nombres sont vaguement
situés entre 2 graduations.
Si, par convention, l'unité de mesure est la distance entre 0 et 1, la distance au zéro des nombres
correspond tout à fait à la mesure physique de leur éloignement au zéro.
Ordre des nombres décimaux.
Plus l'image d'un nombre est située à gauche sur la droite des réels, plus ce nombre est petit.
Les nombres que nous avons situés sur la droite des réels, sont, du plus petit au plus grand:
- 5,09 < -2,4 < +1,52 < 4,728.
On remarque que plus la distance à 0 d'un nombre négatif est grande, plus ce nombre est petit.
Pour les nombres positif c'est le contraire, plus leur distance à 0 est grande, plus ils sont grands.
Opérations sur les nombres décimaux
On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser deux nombres décimaux.
Dans une opération ces deux nombres sont appelés "opérandes" et le signe de l'opération est appelé
"opérateur"
Dans chaque cas, le mode opératoire (qui décrit la façon de calculer le résultat de l'opération) donne deux
règles qui permettent de calculer, (en fonction du signe et des distances à zéro des opérandes):
● la distance à 0 du résultat
● Le signe du résultat

Addition et soustraction de nombres décimaux relatifs
Ecriture d'une addition ou d'une soustraction
Dans un premier temps, pour ne pas confondre les
opérateurs + ou – de l'opération et le signe + ou – des
nombres (ou opérandes) on met les nombres entre
parenthèses (sauf, peut être le premier).
Addition
(+5) + (-3) ou 5 + (-3)
Soustraction
(- 5) – (-3) ou – 5 – (-3)
Règle d'addition de 2 nombres décimaux relatifs
Addition de deux nombres décimaux relatifs.
Appelons A le résultat de l'addition.
 Calcul de la distance à zéro |A| du résultat de l'addition
● si les 2 nombres sont de même signe
on ajoute leur distance à 0
● si les 2 nombres sont de signes différents
on soustrait leur distance à 0
 Détermination du signe de A résultat de l'addition
C'est le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0 .
A = (-2,5)+(+3,4)
signes différents donc |A| = 3,4 – 2,5 = 0,9.
Le signe de A est celui de 3,4 donc +
En résumé A = + 0,9
A = (-8,3) + (-5,4)
Mêmes signes donc |A| = 8,3 + 5,4 = 13,7
Le signe de A est celui de -8,3 donc –
En résumé A = - 13,7
Opposé d'un nombre décimal relatif a. On le note – a.
C'est le nombre a' tel que a +a' = 0
L'opposé de -3,5 est + 3,5. Donc – (-3,5) = +3,5
L'opposé de + 2,8 est – 2,8 Donc – (+ 2,8) = - 2,8
 L'opposé d'une addition est l'addition des opposés
opposé de [3 +(-4) +(-5)+(+7)] = -3 + (+4) + (+5)+(-7)
Le moins au début d'une expression se lit
"opposé de"
- (+2,1) = - 2,1
- (-5,6) + (+1,9) = 5,6 + (+1,9)
- [ -2 + (+3) + (-4)] = +2 + (-3) + (+4)
Soustraction de deux nombres décimaux relatifs a – b
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Donc (-5) – (+3) = (- 5) + (-3)
7 – (- 4) = 7 + (+4)
L'opérateur – devient +.
Le nombre suivant l'opérateur – change de signe.
(5,4) – (-3,1) = (5,4) + (+3,1) = +8,5
(-7,01) – (+2,3) = (-7,01) + (-2,3) = - 9,31
(-2,7) - ( - 4,8) = (-2,7) + (+4,8) =+ 2,1
Somme de plusieurs nombres décimaux relatifs
Une somme est une suite d'additions et de soustractions.
Dans une somme toute soustraction peut être transformée en
addition.
+3 + (- 4) – (+7) – (-2) = +3 + (-4) + (-7) + (+2)
- 2 – [(+2) + (-3)] = - 2 + [(-2) + (+3)]
+5 – [(-2) – ((-4)] = +5 – [(-2) + (+4)]
= +5 + [(+2) + (-4)]
On commence par transformer les
soustractions en additions dans les
parenthèses, puis on s'occupe des
soustractions de parenthèses.

Ecriture simplifiée d'une somme
Ecriture simplifiée d'une addition de nombres relatifs.
Par convention, une suite de nombres relatifs ne comportant
aucune parenthèse est une suite d'additions de ces relatifs
dont on a supprimé les opérateurs + ne conservant que le
signe des nombres.
+2 – 3 + 5 – 7 (écriture simplifiée)
équivaut à +2 + ( - 3) + (+5) + (-7)
inversement
-3 +(-7) +( -5) + (+4)
équivaut à – 3 – 7 – 5 +4 (écriture simplifiée)
Ecriture simplifiée d'une somme de nombres relatifs.
Toute soustraction pouvant être transformée en addition, toute
somme peut être transformée en une suite d'additions puis
bénéficier d'une écriture simplifiée.
+2 +(+4) – (-5) +(-3)
= +2 +(+4) +(+5) +(-3)
= +2 +4 +5 - 3
Parenthèses de nombres.
On appelle "parenthèses de nombres" les parenthèses qui
contiennent un nombre unique et qui permettent de distinguer
le signe de l'opération (ou opérateur) du signe du nombre.
Règle pour supprimer l'opérateur et les parenthèses de nombres, ce qui
débouche sur l'écriture simplifiée.
Si a est la distance à zéro d'un nombre relatif
On remplace +(+ a ) par + a
+(- a) par – a
- (+a) par – a
- (- a) par +a
La règle des signes est la même que pour le produit ou le
quotient. (+ si même signes, - si signes différents)
+3 –(+4) + (+5) – (-7) + (-2) =
3 – 4 + 5 + 7 – 2
+ 4 – (-2 +(-3) )+ (4) =
+ 4 – (-2 – 3 ) +4
On peut ainsi trouver facilement
l'écriture simplifiée d'une somme.
Ancienne écriture 3 + (-4) + [2,1 – (+5)] – [(-4) + (+5)] – (+4)
Ecriture simplifiée 3 –4 + (2,1 –5) – (-4 +5) -4
Les opérandes d'une somme s'appellent
des termes.
En écriture simplifiée, les opérateurs, qui
devraient être des + sont absents.