Coloriage fiche élèves Tes spé 2008

Chapitre 1 : Coloriage des sommets d’un graphe Tes spé
Etude 1 :
On se propose de colorier le puzzle ci-contre avec comme règle de coloriage :
« deux pièces qui se touchent sont de couleur différente »
1) colorier le puzzle.
2) Quel est le plus petit nombre de couleurs nécessaire ?
3) Ajouter une sixième pièce à l’extérieur ( où l’on veut)
et la colorier en respectant la même règle.
Combien faut-il alors de couleurs ?
Ce problème est inspiré du problème formulé en 1852, par MORGAN professeur à Londres à HAMILTON ( 1805 –
1865).
« Quatre couleurs suffisent-elles à colorier une carte de géographie de façon à ce que deux pays limitrophes ne soient
pas coloriés de la même couleur ? »
ce problème engendra une littérature considérable et contribua beaucoup au développement de la théorie des graphes.
En 1878 CAYLEY avoue ne pas avoir trouvé de réponse et beaucoup d’autres n’osèrent pas l’avouer…
C’est au moins d’août 1976 qu’une réponse positive fut apportée par les américains APPEL et HAKEN. Pour cela ils
utilisèrent l’informatique. Un ordinateur travailla plusieurs centaines d’heures pour examiner environ 2 000 configurations
incontournables.
C’est la première fois qu’un théorème est « démontré » par cette voie !!!
4) A ce puzzle on associe un graphe G dont les sommets représentent les pièces de puzzle et un arête entre
deux sommet signifie que les deux pièces se touchent.
Construire ce graphe directement sur le puzzle. Puis reproduire uniquement le graphe et mettre les
sommets dans la couleur des pièces.
5) Appliquer maintenant la règle de coloriage au puzzle ou graphe ci-dessous.

Etude 2 :
On appliquera la règle de coloration suivante :« deux sommets adjacents sont de couleur différente »
1)
dessiner le graphe complet d’ordre 4 et le colorier selon la règle. Combien de couleurs faut-il au maximum ?
Même question avec le graphe complet d’ordre 5.
D’un façon générale, quel est le nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorier le graphe complet d’ordre n ?
2)
Dessiner un graphe d’ordre 4 , non complet, mais qui contient un sous graphe complet d’ordre 3. Quel est le nombre
minimal de couleurs nécessaires ?
3) Pour chacun des graphes ci-dessous :
Donner son ordre
Est-il complet ?
Admet-il un sous-graphe complet d’ordre 3 ? d’ordre 4 ? d’ordre supérieur à 4 ?
En déduire un nombre m inférieur ou égal au nombre minimal de couleurs nécessaire au coloriage des
sommets d’un graphe.
Réaliser le coloriage et donner le nombre minimal
χ
de couleurs nécessaires au coloriage.
exemple :
Le degré maximal des sommets de ce graphe est 4
Donc
( ) 5
G
κ
≤
On considère le sous graphe complet G’ formé des sommets
A, B, C et D. Il est d’ordre 4.
Donc
4 ( )
G
κ
≤
On en déduit l’encadrement
4 ( ) 5
G
κ
≤ ≤
Colorier les sommets d’un graphe non orienté G c’est leur attribuer une couleur de façon çà ce que deux
sommets adjacents ne soient pas coloriés de la même couleur.
Le nombre minimal de couleurs nécessaire est appelé nombre chromatique de ce graphe. Il est noté
κ
. On parle
alors de coloration minimale des sommets.
Théorème :
Le nombre chromatique d’un graphe complet est égale à l’ordre de du graphe.
Soit D le degré maximal des sommets d’un graphe alors
( ) 1
G D
κ
≤ +
Soit p l’ordre d’un sous graphe complet d’ordre maximal contenu dans le graphe.
Le nombre chromatique du graphe est alors supérieur ou égale à p.
On obtient l’encadrement suivant :
( ) 1
p G D
κ
≤ ≤ +

b
c
a
d
e
ALGORITHME DE COLORIAGE
On ne sait pas toujours trouver le nombre minimum de couleurs pouvant colorer un graphe (le
« nombre chromatique » du graphe) .Des algorithmes existent qui donnent un nombre de
couleurs possible, ce nombre n’étant pas forcément le plus petit.
Voici un algorithme de coloration de graphes appelé algorithme de Welch-Powell
On range les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés : s
1
, s
2
, s
3
… s
n
.
On colorie ces sommets dans l’ordre précédemment défini avec pour règle de donner à chaque
sommet la couleur la plus petite (on suppose les couleurs numérotées dans l’ordre croissant), en
fonction des sommets voisins qui sont déjà colorés.
Appliquons cet algorithme aux deux graphes représentés ci-dessous.
Comparer, pour chaque graphe, le nombre de couleurs obtenues avec son nombre chromatique.
En suivant l’algorithme proposé dans le texte de l’exercice, voici le tableau de coloration pour le
graphe ci-contre :
sommets b e a c d
degrés 3 3 2 2 2
n° couleur 1 1 2 2 2
On attribue au premier sommet b la couleur n°1 ;
puis on regarde si on peut attribuer la couleur n°1 au deuxième sommet e : comme les sommets b
et e ne sont pas reliés, on peut prendre la même couleur.
On regarde si on peut attribuer au troisième sommet a la couleur n°1 : c’est non puisque a et b
sont reliés entre eux.
On attribue donc une autre couleur n°2 au sommet
a . Et on se pose les mêmes questions pour les
sommets c et d : on voit qu’on ne peut les colorier avec la couleur n°1 mais que l’on peut les
colorier avec la n°2.
b
c
a
d
e b
c
a
d
e
f
g
h

L’algorithme proposé donne donc deux couleurs pour le graphe ; on ne peut pas en avoir moins :
deux est donc le nombre chromatique de ce graphe.
On applique le même algorithme à cet autre graphe :
sommets c f a b d e g h
degrés 3 3 2 2 2 2 1 1
n° couleur 1 1 2 3 2 3 2 2
L’algorithme donne un nombre de couleurs de 3 alors qu’on peut se rendre compte rapidement
que deux suffisent :
couleur 1 pour les sommets c , a , g et e ;
couleur 2 pour les sommets b , f , d et h .
L’algorithme proposé dans cet exemple donne UNE coloration de n’importe quel graphe mais ne
donne pas le nombre chromatique du graphe ; en fait, il n’existe pas d’algorithme permettant de
trouver le nombre chromatique d’un graphe quelconque.
b
c
a
d
e
f
g
h