Sujet 2 - Complexité - Diviser pour régner

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13/06/2013
INFORMATION
FILET TECHNIQUE DE CONSTRUCTION
DÉCOUPE
OPTION STRUCTURE GRAPHIQUE BASSE
OPTION STRUCTURE GRAPHIQUE HAUTE
TEINTE À DÉFINIR
Ce fichier est un document d’exécution créé sur
Illustrator version CS3.
1re année
F. Popineau
2016 – 2017
Algorithmes IS1210 – PC 2
Contrôle destructif
Votre usine produits des objets dont vous devez mesurer la résistance à une certaine contrainte. Vous pouvez
effectuer des tests et appliquer cette contrainte avec 𝑛paliers discrets. La distance entre deux paliers est choisie
de façon à ce qu’elle soit supérieure à la dispersion liée à la fabrication, sinon certains objets pourraient céder au
palier 𝑖et d’autres au palier 𝑖 + 1. Vous savez qu’au dessus d’un certain palier 𝑝,0 < 𝑝 ≤ 𝑛, tous vos objets cèderont
sous la contrainte. Votre objectif est de trouver ce palier 𝑝avec un minimum de tests.
— Question 1
Combien faut-il de tests dans le pire cas si on ne dispose que d’un objet?
Quelle stratégie peut-on appliquer si on a une infinité d’objets?
Combien faut-il de tests dans le pire cas si on ne dispose que de deux objets? Quelle est la complexité du
problème en fonction de 𝑛dans ce cas?
Combien faut-il de tests dans le pire cas si on ne dispose que de trois objets?
— Question 2
Donner une relation de récurrence 𝑓(𝑘, 𝑛) pour déterminer le nombre de tests dans le pire cas avec 𝑘objets
et 𝑛paliers.
— Question 3
Donner un algorithme pour déterminer le nombre minimum de tests dans le pire cas à effectuer si on dispose
de 𝑘objets et de 𝑛paliers.
— Question 4
Quelle est la complexité 𝑇(𝑘, 𝑛) en fonction de 𝑘et de 𝑛de votre algorithme? Quelle relation de récurrence
suit-elle? Montre que l’on peut borner cette complexité par 𝑇(𝑘, 𝑛) = 𝑂(3).
— Question 5
Pouvez-vous améliorer votre algorithme? Par quelle technique? Quelle complexité atteignez vous?
— Question 6
Programmez les algorithmes des questions 2 et 4 en Python.
Paire des points les plus proches
On considère le problème de la recherche de la paire de points les plus proches dans l’espace à 2 dimensions :
étant donné un tableau 𝑃[1, … , 𝑛] de points où chaque 𝑃[𝑖] = (𝑥, 𝑦), trouver 𝑖et 𝑗tels que 𝑃[𝑖] et 𝑃[𝑗] soient aussi
proches que possible selon une distance euclidienne.
— Question 1
Donner un algorithme naïf pour résoudre ce problème. Quelle est sa complexité en fonction de 𝑛?
On se propose de chercher si il existe un algorithme plus efficace pour résoudre ce problème.
— Question 2
Quelle méthode peut on essayer d’utiliser pour améliorer l’algorithme naïf? Est-elle directement applicable?
Expliquer la difficulté d’application de cette méthode.
— Question 3
À quelle condition peut-on atteindre une complexité en 𝑂(𝑛 log 𝑛) dans l’hypothèse où l’on applique la tech-
nique précédente?
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— Question 4
Prouver la condition trouvée à la question précédente.
— Question 5
Étudier les questions d’implémentation en Python : quelles sont les difficultés attendues?
— Question 6
Qu’en est-il de l’espace à 3 dimensions? Est-il possible d’atteindre le même temps d’exécution?
— Question 7
Qu’en est-il des dimensions 4, 5, …? Est-il possible d’écrire un algorithme qui prenne le nombre de dimen-
sions 𝑑comme paramètre d’entrée, et si oui, quelle est sa performance en fonction de 𝑛et 𝑑? (Question
difficile!)
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