signaux sinusoïdaux
Denis Rabasté ; IUFM Aix Marseille 2/2
2. Equations de base
L'équation temporelle nous permettant de tracer l'évolution d'un signal sinusoïdal (ici une
tension u) en fonction du temps est donnée ci-dessous :
u UMAX
sin (2 F t )
Dans cette expression, reconnaît les différents éléments caractérisant une tension périodique :
- u : valeur instantanée
- UMAX : valeur maximale; pour un signal sinusoïdal, il existe un rapport de
entre cette
valeur et la valeur efficace U. UMAX peut donc aussi s'écrire
.
- t : variable temporelle.
- F : fréquence du signal; pour éviter d'écrire 2π, on préfère souvent utiliser la pulsation ω (en
radians par secondes) définie par :
2 F
nous avons alors, si T est la période, la relation :
T
2
- φ : phase à l'origine des temps (le signal n'est pas forcément nul à t=0)
L'expression peut alors s'écrire :
u U
= +
2 sin ( t )
ω φ
Les calculs sur les signaux avec ce genre d'expression temporelle sont rapidement très lourds.
Une solution consiste à représenter les signaux par un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω. La
représentation temporelle serait la projection sur l'axe vertical à chaque instant du vecteur, celui-ci
étant par convention représenté à l'instant t=0 comme sur la figure 3.
t
u
T/2 T
U
2
22
2
π
ππ
π
π
ππ
πθ
θθ
θ
φ
φφ
φ
MAX
-U
π
ππ
π
−
−−
−
φ
φφ
φ
MAX
ω
ωω
ω
(rd /s)
u
Figure 3 : représentation d'une sinusoïde par un vecteur tournant
Là encore les calculs sont lourds (calcul vectoriel) ou peu précis (représentation graphique).
Analogie
Comme le montre la figure précédente, la projection d’un point en rotation sur un des axes
décrit une sinusoïde. De nombreux phénomènes naturels sont donc sinusoïdaux ou presque : la
chaleur fournie par le soleil au cours d’une journée, la température moyenne au cours d’une année
(en supposant la trajectoire de la terre circulaire au tour du soleil –c’est en fait une ellipse-), les
marées (en supposant celle-ci dues uniquement à la lune et la trajectoire de celle-ci circulaire autour
de la terre) etc…
3. Représentation dans l'espace complexe
La solution consiste à représenter le signal par un nombre complexe, image du vecteur définit
précédemment, ce qui permet d'utiliser des nombres à deux dimensions -figure 4-.