Signaux sinusoïdaux

Signaux sinusoïdaux
1. Introduction
Nous avons étudié les signaux périodiques au chapitre précédent; parmi ces signaux, ceux de
formes sinusoïdales -figure 1- ont un rôle très important.
u
T /2
T
t
Figure 1 : signal sinusoïdal
Ce sont en effet les seuls, avec le continu qui ne subissent pas de déformation (distorsion)
lorsqu'ils traversent un composant linéaire (résistance, condensateur, inductance de valeur constante)
comme le montre la figure 2 où sont comparées l'attaque d'un circuit RC par une tension carrée puis
sinusoïdale.
v
vs
e
t
t
vs
v
e
v
e
vs
t
t
Figure 2 : attaque d'un circuit RC par différentes formes de tensions
Les calculs en sont donc énormément simplifiés. Pour les autres signaux périodiques, on
pourra se ramener à un calcul en sinusoïdal. En effet, un signal périodique de forme quelconque peut
toujours se décomposer en une somme (finie ou non) de signaux sinusoïdaux, de fréquence multiple
du signal de départ (théorème de Fourier).
Le théorème de superposition nous permet ensuite la synthèse.
Denis Rabasté ; IUFM Aix Marseille
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signaux sinusoïdaux
2. Equations de base
L'équation temporelle nous permettant de tracer l'évolution d'un signal sinusoïdal (ici une
tension u) en fonction du temps est donnée ci-dessous :
u = UMAX sin (2 π F t + φ )
Dans cette expression, reconnaît les différents éléments caractérisant une tension périodique :
- u : valeur instantanée
- UMAX : valeur maximale; pour un signal sinusoïdal, il existe un rapport de 2 entre cette
valeur et la valeur efficace U. UMAX peut donc aussi s'écrire U 2 .
- t : variable temporelle.
- F : fréquence du signal; pour éviter d'écrire 2π, on préfère souvent utiliser la pulsation ω (en
radians par secondes) définie par :
ω = 2πF
nous avons alors, si T est la période, la relation :
ωT=2π
- φ : phase à l'origine des temps (le signal n'est pas forcément nul à t=0)
L'expression peut alors s'écrire :
u = U 2 sin ( ω t + φ )
Les calculs sur les signaux avec ce genre d'expression temporelle sont rapidement très lourds.
Une solution consiste à représenter les signaux par un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω. La
représentation temporelle serait la projection sur l'axe vertical à chaque instant du vecteur, celui-ci
étant par convention représenté à l'instant t=0 comme sur la figure 3.
ω
(rd /s)
u
U M AX
u
φ
π−φ
T /2
T
t
π
2π
θ
-U
M AX
Figure 3 : représentation d'une sinusoïde par un vecteur tournant
Là encore les calculs sont lourds (calcul vectoriel) ou peu précis (représentation graphique).
Analogie
Comme le montre la figure précédente, la projection d’un point en rotation sur un des axes
décrit une sinusoïde. De nombreux phénomènes naturels sont donc sinusoïdaux ou presque : la
chaleur fournie par le soleil au cours d’une journée, la température moyenne au cours d’une année
(en supposant la trajectoire de la terre circulaire au tour du soleil –c’est en fait une ellipse-), les
marées (en supposant celle-ci dues uniquement à la lune et la trajectoire de celle-ci circulaire autour
de la terre) etc…
3. Représentation dans l'espace complexe
La solution consiste à représenter le signal par un nombre complexe, image du vecteur définit
précédemment, ce qui permet d'utiliser des nombres à deux dimensions -figure 4-.
Denis Rabasté ; IUFM Aix Marseille
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axe d es
im a gina ires
U
u
s in φ
M AX
φ
U
co s φ
axe d es
ré els
M AX
Figure 4 : représentation par un nombre complexe
On obtient alors pour la tension u, l'expression suivante :
U = UMAX cos φ + j UMAX sin φ
En appliquant les calculs traditionnels aux complexes, on retrouve le module (c'est à dire la
valeur maximale) et l'argument (c'est à dire la phase à l'origine) :
(U MAX cosφ )2 +(U MAX sinφ )2 =U MAX
U MAX sinφ 
Arctg
=φ
U
 MAX cosφ 
Remarque 1 : en électrotechnique, les calculs se font souvent en considérant que le vecteur a
une longueur correspondant à la valeur efficace de la tension.
Remarque 2 : multiplier l'expression complexe d'un signal par j, reviens à lui donner une avance
de phase de 90°. Multiplier par j2 donne alors une avance de 180°, c'est à dire multiplier le signal par 1. D'où l'expression :
j2 = − 1
L'expression complexe de la tension s’écrit aussi parfois :
U = U MAX e jφ
4. Lois générales du sinusoïdal
La loi d'Ohm s'écrit alors de la manière suivante :
U= Z I
avec :
Z = ZR = R pour une résistance de valeur R
Z = ZL = Lωj pour une inductance L et à la pulsation ω
1
Z = ZC =
pour une capacité C et à la pulsation ω
Cωj
Z est appelée inductance et s'exprime en Ohm. Les règles de calcul, que ce soit pour les
associations d'impédance (série ou parallèle), les lois fondamentales (maille, nœud) ou les théorèmes
(superposition, Millman etc...) sont alors identiques à celles du continu à condition de travailler avec
des nombres complexes.
5. Compléments
Ce qui suit n'est pas indispensable à la compréhension des régimes sinusoïdaux, mais permet
une vue d'ensemble des équations relatives à l'électricité.
Denis Rabasté ; IUFM Aix Marseille
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La valeur de l'impédance d'une inductance s'obtient à partir de la relation fondamentale d'une
bobine :
di
u=L
dt
si le courant est sinusoïdal avec pour expression :
i = IMAX sin ω t
la tension a alors pour expression :
sinω t )
dt
= Lω I MAX cos ω t
= Lω I MAX sin (ω t + π )
2
u =L
d (I
MAX
L'avance de phase de π/2 dans le domaine temporel se traduit par une multiplication par j dans
le domaine complexe figure 4.
L'expression s'écrit alors en complexe :
U = ZL I = Lωj I
Pour un condensateur nous avons
dv
dt
si la tension est sinusoïdale, le courant a pour expression :
i=C
d (V MAX sin ω t )
dt
=Cω VMAX cosω t
= C ω V MAX sin (ω t + π )
2
i= C
d'où on tire en complexe :
U = ZC I =
I
jCω
Remarque : dans le domaine temporel, la variable est le temps « t » ; lorsque l’on passe en calcul
avec les nombres complexes, la nouvelle variable est « jω ». On a donc fait une transformation
mathématique qui nous a permis de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel (ou
« pulsationnel »). Cette transformation porte le nom de « transformation de Fourrier ».
6. Puissance et énergie
Le régime sinusoïdal étant un cas particulier des signaux périodiques, l’expression de la puissance
instantanée est la même : p(t) = u(t) . i(t).
Le calcul de la valeur moyenne donne :
Pmoy = Ueff . Ieff cosφ
φ
C’est cette puissance qui transite sur la ligne et qui est facturée par EDF.
On définit également une puissance S dite apparente, qui permet de dimensionner l’installation :
S = Ueff . Ieff
On trouvera également la puissance Q dite réactive, qui permet de quantifier l’échange de puissance
entre la source et la charge :
Q = Ueff . Ieff sinφ
φ
Ces trois puissances vérifient la relation, dite de Boucherot :
S2=P2+Q2
L’énergie a la même expression que pour les signaux périodiques.
t0
w(t0) = ∫.u(t).i(t).t. dt
0
Denis Rabasté ; IUFM Aix Marseille
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