La valeur actuelle

Université Libre de Bruxelles
Solvay Business School
La valeur actuelle
André Farber
Novembre 2005
1. Introduction
Supposons d’abord que le temps soit limité à une période et que les cash flows futurs (les flux
monétaires) soient certains. Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d’un cash flow
futur C1 étant donné le taux d’intérêt r en vigueur sur le marché est :
VA =
C1
1+ r
Cette formule peut s’écrire :
VA(1+r) = C1
Cette expression montre que la valeur actuelle est le montant à placer aujourd’hui pour obtenir C1 en
fin de période si le taux d’intérêt par période est r.
Une autre présentation de la même formule peut être donnée :
VA = C1 × v1
dans laquelle v1 = 1/(1+r) est le facteur d’actualisation. Ce facteur d’actualisation est le prix de marché
d’un zéro-coupon de valeur faciale unitaire. Une zéro-coupon est une obligation élémentaire qui ne
verse pas d’intérêts intermédiaires (les coupons) et donne lieu à un paiement unique à l’échéance d’un
montant appelé la valeur faciale. Un zéro-coupon de valeur faciale unitaire verse donc 1€ à l’échéance.
Dans cette note, nous relâchons l’hypothèse d’un avenir limité à une seule période. Nous montrons
comment calculer la valeur actuelle d’une chronique quelconque de cash flows futurs. Nous
maintenons cependant l’hypothèse de certitude. Certaines des formules présentées dans cette note sont
d’application dans une situation plus réaliste d’incertitude mais nous continuons à assimiler le taux
d’actualisation uniquement à un taux d’intérêt. Dans un contexte d’incertitude, nous devrons ajouter au
taux d’intérêt une prime de risque pour obtenir le taux d’actualisation.
2. Formule générale
VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D’ACTUALISATION
L’analyse présentée dans l’introduction conduit naturellement à une définition générale de la valeur
actuelle. La valeur actuelle d’un flux de trésorerie (ou cash flow) futur est le prix (ou la valeur) sur les
marchés financiers de ce flux. Elle est calculée en multipliant ce flux (Ct) par un facteur d’actualisation
(vt). Celui-ci correspond au prix de marché aujourd’hui (temps 0) d’une unité monétaire disponible à la
date future (temps t).
La valeur actuelle theorie v1
1 de 7
VA = Ct × vt
De manière similaire, la valeur actuelle d’un échéancier de cash flows : C1, C2, …, CT est la somme des
valeurs actuelles des cash flows individuels.
VA = C1 × v1 + C2 × v2 + … + CT × vT
Lorsque les cash flows futurs sont connus avec certitude, les facteurs d’actualisation peuvent être
obtenus directement en observant les prix de zéro-coupons basés sur des obligations d’Etat. En effet, il
existe des instruments financiers traités sur les marchés dont le prix aujourd’hui correspond exactement
au droit à recevoir un montant de 1€ dans n années, ce qui équivaut à notre facteur d’actualisation pour
l’année n. Ces obligations sont connues sous le nom de STRIPS (« Separate Trading of Registered
Interest and Principal of Securities »).
Une obligation d’Etat traditionnelle comprend des coupons (les intérêts payés périodiquement)
et le principal (le remboursement à l’échéance de la valeur nominale). Une série de STRIPS
est créée en scindant une obligation en plusieurs morceaux, chacun d’eux correspondant à un
seul encaissement.
Le facteur d’actualisation est également lié à un taux d’actualisation, le taux d’intérêt correspondant à
l’échéance, par la formule :
vt =
1
(1 + rt )t
Cette formule peut aussi s’écrire : vt × (1 + rt )t = 1 . Cette présentation indique que la valeur future
d’un montant vt placé pendant t années à un taux annuel moyen rt avec réinvestissement annuel des
intérêts est égal à l’unité.
Le taux d’intérêt rt est aussi appelé taux comptant (« spot rate ») quand on veut préciser qu’il
est applicable à tout emprunt ou prêt démarrant aujourd’hui. L’ensemble des taux au comptant
et de leur échéance ultime donne la structure par terme des taux d’intérêt.
Si l’on fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est indépendant de l’échéance, c’est-à-dire que la structure
par terme des taux est plate, la formule du facteur d’actualisation s’écrit :
vt =
1
= vt
t
(1 + r )
où v ≡
1
.
(1 + r )
A titre d’illustration, nous présentons deux applications-type du principe d’actualisation : les projets
d’investissement et le calcul obligataire.
PROJETS D’INVESTISSEMENT
La valeur actuelle nette d’un projet d’investissement est la somme des valeurs actuelles de tous les cash
flows associés à ce projet :
La valeur actuelle theorie v1
2 de 7
VAN = C0 + C1 × v1 + C2 × v2 + … + CT × vT
Le taux d’actualisation r utilisé dans l’expression de « v » est le taux correspondant aux exigences de
rentabilité des apporteurs de capitaux. Pour un projet dont les cash flows futurs sont risqués, le taux
d’actualisation est égale au taux sans risque auquel l’on rajoute une prime de risque.
Le taux de rentabilité interne (« Internal Rate of Return ») d’un projet d’investissement est le taux
d’actualisation qui annule la valeur actuelle nette. Il est la solution de :
C0 +
C1
C2
CT
+
+ … +
= 0
2
(1 + TRI )
(1 + TRI )
(1 + TRI )T
Pour les projets caractérisés par des flux de trésorerie négatifs suivis de flux de trésorerie positifs:
VAN > 0 ⇔ TRI > r
Notons que la détermination d’un TRI n’est pas un calcul simple. Vous trouverez plus loin la fonction
Excel qui vous permettra de réaliser ce calcul sans douleur.
CALCUL OBLIGATAIRE
Le prix P au temps 0 d’une obligation d’état venant à échéance dans T années, de valeur nominale
égale à 100 et versant un coupon annuel C est :
P0 = C × v1 + C × v2 + … + (C + 100) × vT
Dans le cas présent, il est important de préciser l’échéance de « v ». En effet, en matière de
produits sensibles au taux d’intérêt, il est irréaliste d’oublier le fait que la courbe des taux
d’intérêt n’est généralement pas plate : le taux annuel dépend de l’échéance à laquelle il est
applicable.
Le rendement à l’échéance (ou taux de rendement actuariel – « yield to maturity ») est le taux
d’actualisation qui égalise le prix de l’obligation avec la valeur actuelle des coupons futurs et du
remboursement final. Par analogie, il peut être vu comme étant le taux de rentabilité interne d’un projet
consistant à acheter l’obligation pour recevoir ensuite les flux monétaires attachés. Il est la solution de :
P0 −
C
C
C+F
+
+ … +
= 0
2
(1 + y )
(1 + y )
(1 + y )T
INFERENCE DES TAUX D’INTERET
Sur les marchés financiers, les « traders » sont plus enclins à traiter des « prix » qu’à traiter directement
des « taux ». Par conséquent, c’est indirectement que les agents retrouvent (ou infèrent) les taux
implicites contenus dans ces prix.
La valeur actuelle theorie v1
3 de 7
Supposons que nous observions les prix de n obligations. Soit Pi le prix de l’obligation i et Ci son
coupon. Les n facteurs d’actualisation peuvent être calculés en résolvant le système de N équations
linéaires à n inconnues :
Pi = Ci × v1 + Ci × v2 + … + (Ci + 100) × vn i = 1, 2, .., n
Les produits financiers retenus pour l’estimation implicite de cette courbe peuvent être très
variés. En général, les analystes vont essayer de se baser sur les prix des instruments les plus
liquides du marché dans leur catégorie. Aujourd’hui, la majorité des traders utilisent :
•
les prix des taux de dépôts interbancaires pour estimer les taux à échéance < 1 an
•
les taux de « Floating-Rate Agreement » (FRA) pour les taux > 1 an mais < 5 ans
•
les taux « swap » pour estimer implicitement les taux allant de 5 à 30 ans.
3. Formules simplificatrices
Quelques formules permettent de simplifier les calculs :
Toutes les séries de flux mentionnées dans les points ci-dessous ne débutent qu’à la période 1,
la valeur actuelle étant calculée au temps 0.
(1) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») constante, c’est-à-dire une suite infinie de cash flows
constants : C1 = C2 = … = Ct = … = C
VA =
C
r
(2) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») croissante, c’est-à-dire une suite infinie de cash
flows croissants : C1, C2 = C1(1+g), … , Ct = Ct-1(1+g)= C1(1+g)t-1, …
VA =
C1
r-g
NB : g < r
(3) Valeur actuelle d’une annuité constante, c’est-à-dire une suite finie de cash flows constants : C1 =
C2 =…= Cn= C
1 ⎤
⎛1⎞ ⎡
VA = C × ⎜ ⎟ ⎢1 n ⎥
⎝ r ⎠ ⎣ (1 + r ) ⎦
Facteur d' annuité
La valeur actuelle theorie v1
4 de 7
⎡1 - v n ⎤
où VA = C × ⎢
⎥ et le facteur d’annuité = v1+v2+ … . +vn.
r ⎦
⎣
Facteur d'annuité
(4) Valeur actuelle d’une annuité croissante, c’est-à-dire une suite finie de cash flows croissants : C1,
C2 = C1(1+g), … , Ct= C1(1+g)t-1.
⎛ C ⎞
VA = ⎜
⎟
⎝r-g ⎠
⎡ ⎛ 1 + g ⎞t ⎤
⎢1- ⎜
⎟⎥
⎢⎣ ⎝ 1 + r ⎠ ⎥⎦
LES FORMULES DANS EXCEL
Si vous pratiquez l’actualisation à titre professionnel, vous effectuerez probablement une partie
importante de vos calculs en Excel. Nous reprenons donc ci-dessous les fonctions en Excel qui
correspondent aux formules présentées ci-dessus. Nous vous donnons les formules pour la version
française et la version anglaise.
Excel français
VAN(r, Val.1…Val.n)
Excel anglais
NPV(r, Val.1…Val.n)
Perpétuité constante
VA = C/r
Néant
Néant
Perpétuité croissante
VA = C1 /(r-g)
Annuité constante
VA = (C/r)[1-(1+r)-n]
Néant
Néant
-VA(r,n,C)
ou VA(r,n,-C)
-PV(r,n,C)
ou PV(r,n,-C)
TRI(Val.1,…,Val.n)
IRR(Val.1,…,Val.n)
Formule général
Calcul du TRI
Commentaire
La fonction VAN/NPV
donne la VA et non la
VAN. La formule est
basée sur un taux
d’actualisation unique.
La formule est trop
simple pour justifier
une fonction
A nouveau, trop simple
pour une fonction
Attention : si C>0, la
formule donne un
résultat négatif
Fonctionne sans
problème si les cash
flows sont négatifs
d’abord puis positifs
COMPOSITION D’INTERETS
Lorsque les intérêts sont réinvestis plusieurs fois par an, le facteur d’actualisation s’écrit :
La valeur actuelle theorie v1
5 de 7
vt =
1
r⎞
⎛
⎜1 + ⎟
n⎠
⎝
nt
où r est le taux annuel nominal, n est le nombre de réinvestissement d’intérêts par an et nt est le nombre
de période de réinvestissements entre 0 et t.
Le taux d’intérêt annuel équivalent (« rae ») est lié au taux annuel nominal par la formule :
r⎞
⎛
1 + rae = ⎜ 1 + ⎟
n⎠
⎝
n
Lorsque la périodicité est infinie, on parle de taux continu. Dans ce cas, le facteur d’actualisation
devient : v t = exp -(r×t ) .
TAUX D’INTERET REEL ET INFLATION
Le taux d’intérêt réel est le taux d’intérêt réalisé sur un placement à pouvoir d’achat constant. La
relation entre le taux d’intérêt réel et le taux d’intérêt nominal est :
1 + taux d' intérêt réel =
1 + taux d' intérêt nominal
1 + taux d' inflation
En première approximation : taux d' intérêt réel ≈ taux d' intérêt nominal - taux d' inflation
Résumé
•
La valeur actuelle d’une série de cash flows est la somme des valeurs actuelles des flux de
trésorerie individuels : VA = C1 × v1 + C2 × v 2 + … + CT × vT
•
Le facteur d’actualisation peut être mesuré par : vt =
•
Quelques formules simplificatrices très pratiques :
Valeur actuelle d’une rente de coupon C : PV =
1
(1 + rt )t
C
r
d’une rente de coupon C avec croissance infinie g (avec g< r ): VA =
La valeur actuelle theorie v1
6 de 7
C1
r-g
1 ⎤
⎛1⎞ ⎡
Valeur actuelle d’une annuité constante : VA = C × ⎜ ⎟ ⎢1 n ⎥
⎝ r ⎠ ⎣ (1 + r ) ⎦
Facteur d' annuité
⎛ C ⎞
d’ une annuité croissante : VA = ⎜
⎟
⎝r-g ⎠
⎡ ⎛ 1 + g ⎞t ⎤
⎢1- ⎜
⎟⎥
⎢⎣ ⎝ 1 + r ⎠ ⎥⎦
NOTES
Les notions de base de calcul de valeurs actuelles sont exposées dans tous les manuels de finance, par
exemple Brealey Myers Allen (2005) Chapitre 3. Nous nous différencions quelque peu des
présentations usuelles en basant la formule de calcul de la valeur actuelle sur l’existence de prix de
marché (les facteurs d’actualisation) plutôt que sur un taux d’actualisation unique identique pour toutes
les échéances. Ceci nous permet de mettre en évidence l’importance de la structure par terme des taux
pour tous les calculs de valeurs actuelles pour des cash flows futurs certains. La « bootstrap method »
utilisée pour extraire les facteurs d’actualisation de cotations d’obligations d’Etat est décrite notamment
dans Garbade (1998), Tuckman (1995) ou Van Deventer et Imai (1997).
Pour les amateurs d’histoire, il est intéressant de rappeler que les calculs de valeurs actuelles et de
valeurs futures remontent à la nuit des temps. Mais les moyens de calculs étaient limités avant l’arrivée
des calculatrices électroniques et des ordinateurs. Imaginez devoir calculer (1/1,0435)35 manuellement !
Un cauchemar. Ce n’est qu’au début des années 1950, avec l’arrivée des ordinateurs, que la valeur
actuelle a fini par s’imposer dans toutes les entreprises. La difficulté de calcul est, maintenant, de
l’histoire ancienne. Poitras (2000) présente les origines des calculs actuariels.
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Brealey, R., S. Myers and F. Allen, Principles of Corporate Finance, McGrawHill 2005
Garbade, Kenneth D., Fixed Income Analytics, MIT Press, 1998
Poitras, G., The Early History of Financial Economics, 1478-1776, Edward Elgar, 2000
Ross, Westerfield and Jaffe, Corporate Finance, McGrawHill 2005
Tuckman, Bruce, Fixed Income Securities, Wiley 1995
Van Deventer, Donald R. and Kenji Imai, Financial Risk Analytics, Irwin, 1997
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