Fonctions - Nombre dérivé

Séquence 3
Fonctions Nombre dérivé
Sommaire
Pré-requis
Fonctions de référence
Nombre dérivé
Synthèse de la séquence
Exercices d’approfondissement
Séquence 3 – MA11
1
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1 Pré-requis
A
Fonction affine f : x a × x + b
A savoir
Dans le plan muni d’un repère, une fonction affine est représentée par une
droite d’équation y = ax + b
y − yA
a= B
xB − x A
b
est l’ordonnée à l’origine.
a < 0, f est décroissante
a > 0, f est croissante
y
D
y
4
b
A
1
O
4a
O
B
1
D
1
x
B
1
A
b
x
5a
5
cas particulier
a=0
b
1
O
1
droite parallèle à (0x).
Séquence 3 – MA11
3
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B
Fonction carré, fonction inverse
Fonction
« carré » f : x x 2
A savoir
Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par f ( x ) = x 2 où x est un
nombre réel.
La
fonction « carré » est :
f
est définie sur tEÏDSPJTTBOUFTVS>oñ0>
GFTUQBJSFGoY
GY
tDSPJTTBOUFTVS<0ñ<
Variation
y
4
x
ᏼ
y=
oñ
f (x)
0
ñ
0
x2
3
La courbe est une parabole ᏼ
symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
2
1
–2
4
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–1
Séquence 3 – MA11
0
1
2
x
Fonction
« inverse » f : x 1
x
A savoir
"]–h ; O[‹]O ; +h[
f
est définie sur La
f
est impaire : f (–x) = –f (x)
fonction « inverse » est :
sDÏCROISSANTESUR=nh ; O[.
sDÏCROISSANTESUR=/h[
Variation
y
x
2
oñ
0
ñ
f (x)
Ᏼ1
y=x
1
La
–2
–1
0
1
2
x
courbe est une hyperbole
Ᏼ symétrique par rapport à
l’origine O du repère.
–1
asymptotes
–2
Rappel
Diviser par le nombre A c’est multiplier par l’inverse de A.
Attention : On ne peut
pas dire que le fonction
« inverse » est décroissante
sur ∗ car ∗ n’est pas un
intervalle.
Séquence 3 – MA11
5
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C
Fonctions : définition plus générale
Fonction
Exemple
Alban et Dimitri jouent ensemble.
Lorsque Dimitri dit « 2 », Alban répond « 20 ».
Lorsque Dimitri dit « 3 », Alban répond « 45 » .
Question : Que répondra Alban lorsque Dimitri dira 5 ?
3ÏQPOTF0OOFQFVUQBTTBWPJS
Voici une indication supplémentaire : Lorsque Dimitri dit « x », Alban répond
« 5 × x 2 ».
0OQFVUNBJOUFOBOUEPOOFSMBSÏQPOTF"MCBOSÏQPOESBjxMPSTRVF%JNJUSJ
dira « 5 ».
0OQFVUSFQSÏTFOUFSMFKFVQBS 2 20 3 45 5 125 NBJTTJPOWFVUFYQMJquer en quoi le jeu consiste précisément, la manière la plus concise est : x 5x 2.
Le lien (noté par la flèche) entre les nombres de Dimitri et ceux d’Alban est
une fonction. Si on appelle f cette fonction (cette flèche) on peut écrire son
f x 2. De manière imagée, on peut retenir que la foncnom sur la flèche : x 5
tion est la flèche. Cette écriture définie entièrement la fonction (le lien entre les
nombres). Une autre manière de définir cette fonction f est d’écrire f ( x ) = 5x 2.
Ainsi 2 20 s’écrit f (2) = 20 et se lit « f de 2 est égal à 20 ».
A savoir
Une fonction est une façon de relier un nombre réel x à un autre nombre
réel y<RVPOÏDSJU f ( x ) >
Cf
M
f(x)
x
6
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Séquence 3 – MA11
Antécédent
3FWFOPOTTVSMFYFNQMFQSÏDÏEFOU
Les nombres d’Alban sont les images des nombres de Dimitri.
Les nombres de Dimitri sont les antécédents des nombres d’Alban.
Dans l’exemple précédent,
45
3
est l’image de 3 par la fonction f.
est un antécédent de 45 par la fonction f.
−3 est un (autre) antécédent de 45 par la fonction f.
Attention : il ne faut pas confondre :
Calculer f (a )
(on cherche l’image
du nombre a par la
fonction f )
BWFD
Résoudre f ( x ) = a
(on cherche les antécédents du nombre a par
la fonction f ).
A savoir
Ecrire que y = f ( x ) signifie que
y est l’image de x par la fonction f.
x est un antécédent de y par la fonction f.
Variations
La fonction f est croissanteTVSMJOUFSWBMMF <a b > lorsque pour tous les réels
x 1 et x 2 EFMJOUFSWBMMF <a b > tels que x 1 ≤ x 2 , on a f ( x 1) ≤ f ( x 2 ).
Autrement dit, lorsque les réels x 1 et x 2 et leur images f ( x 1) et f ( x 2 ) sont
rangés dans le même ordre.
Séquence 3 – MA11
7
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Cf
f(x2)
f(x1)
M2
f(x2)
M1
f(x1)
x1
x1
x2
x2
La fonction f est décroissanteTVSMJOUFSWBMMF <a b > lorsque pour tous les réels
x 1 et x 2 EFMJOUFSWBMMF <a b > tels que x 1 ≤ x 2 , on a f ( x 1) ≥ f ( x 2 ).
Autrement dit, lorsque les réels x 1 et x 2 et leur images f ( x 1) et f ( x 2 ) sont rangés dans l’ordre contraire.
f(x1)
f(x1)
M
f(x2)
L
f(x2)
Cf
x1
8
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Séquence 3 – MA11
x1
x2
x2
D
Ensemble de définition
Dans l’exemple précédent, Dimitri peut dire n’importe quel nombre réel x, Alban
pourra toujours répondre en donnant l’image f ( x ) du nombre de Dimitri par
la fonction f. Ceci tient au fait que le calcul de 5x 2 est toujours possible (sous
entendu, pour tous les nombres réels x). Dans un tel cas, on dira que l’ensemble
de définition de la fonction f est et on notera D f = .
x +2
. Cherchons son ensemble de déNotons g la fonction définie par g ( x ) =
x −3
finition D g .
x +2
n’est pas possible lorsque x − 3 = 0 puisque zéro est un
x −3
OPNCSF RVJ OB QBT EJOWFSTF $FTU MF TFVM *M GBVU EPOD RVF x ≠ 3 . Donc
Le calcul de
D g =  −∞ 3  ∪  3 + ∞  .
Séquence 3 – MA11
9
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2
A
Fonctions
de référence
Activités
Le
côté sachant l’Aire
1PVSMFTQSFNJÒSFTRVFTUJPOTEFDFUUFBDUJWJUÏPOne doit pas utiliser la calculatrice.
Combien mesure la diagonale d d’un rectangle de largeur = 3 cm et de
longueur L = 4 cm ?
$PNQMÏUFSFOTVJUFMFUBCMFBVTVJWBOU
5
8
7
0,9
3,3
2
L
12
15
24
4
5,6
3
d2
Le nombre d peut-il être négatif ?
"KPVUFSBVUBCMFBVQSÏDÏEFOUMBMJHOFTVJWBOUF
d
puis la compléter à l’aide de la touche
. de la calculatrice.
"MBRVFTUJPOQSÏDÏEFOUFFTUPODFSUBJOEBWPJSEPOOÏMFTWBMFVSTFYBDUFTEFd ?
1PVSRVFMMFWBMFVSEF d 2 ne peut-on pas l’affirmer ?
Examiner les affichages obtenus après les deux séquences de touches de la
DBMDVMBUSJDFTVJWBOUFT
13
x2
3, 60555127 x 2
Affichage obtenu : ……………
Affichage obtenu : ……………
Comme 172 = 189, on peut écrire 189 = 17. De la même façon, 6, 52 = 42, 25
donc
10
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Séquence 3 – MA11
42, 25 = 6, 5.
Mais par contre, il n’existe pas de nombre décimal (ayant un nombre fini de déciNBMFTBQSÒTMBWJSHVMF
EPOUMFDBSSÏTPJUÏHBMË-BWBMFVSFYBDUFEFd à mettre
dans la dernière colonne du tableau s’écrit
13.
Compléter les phrases :
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre ……………………
le ……… est a.
a dont
Le nombre − a est le nombre ……………… dont le ………… est a.
Monsieur
Puissance-trois
-PSTRVVOOPNCSFBSSJWFËMPSFJMMFEF.Puissance-trois, celui-ci ne peut s’empêcher de multiplier ce nombre par son carré puis d’annoncer le résultat.
4BSBEPOOFMFTOPNCSFTTVJWBOUË.Puissance-trois. Compléter le tableau.
Nombre de Sara
−20 −5 −2, 7 −1, 5 −1 −0, 3 −0, 01 0 0, 01 0, 3
1
1, 5 2, 7
5
20
Réponse de
M. Puissance-trois
Comment doit être le nombre de Sara pour que la réponse donnée par M.
Puissance-trois
1. soit un nombre positif ?
2. soit un nombre négatif ?
3. soit égal à zéro ?
M. Puissance-trois a répondu −89, 6 lorsque Sara lui a donné le nombre A (qu’elle
garde secret). Que doit changer Sara pour que M. Puissance-trois lui réponde 89, 6 ?
Chacun leur tour, Benjamin et Maxime donnent un nombre à M. Puissance-
trois. Le nombre de Benjamin est toujours inférieur à celui de Maxime.
Des deux réponses de M. Puissance-trois, quel sera le nombre le plus
grand, la réponse donnée à Benjamin ou la réponse donnée à Maxime ?
3ÏTVNFSMFSÏTVMUBUQSÏDÏEFOUFODPNQMÏUBOUMBQISBTFTVJWBOUF
Deux nombres et leurs cubes sont rangés dans........................
B
Cours
Fonction
Racine carrée
f :x x
® MJTTVF EF MBDUJWJUÏ n OPVT BWPOT WV RVVO OPNCSF QPTJUJG a admet deux
nombres opposés r FU or tels que r 2 = a. Parmi ces deux nombres r FU or, on
choisit de noter a celui qui est positif (c’est-à-dire supérieur ou égal à zéro). De
DFDIPJYEÏDPVMFMBQSPQSJÏUÏTVJWBOUF
Séquence 3 – MA11
11
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Propriétés
6OFSBDJOFDBSSÏFEVOOPNCSFQPTJUJG
FTUUPVKPVSTQPTJUJWF
Définition
f est définie sur  + ∞  par f ( x ) = x .
a) Variations
Propriété
La fonction racine carrée est croissanteTVSMJOUFSWBMMF 0; +∞  .
x
0
ñ
x
0
Démonstration
0OSBQQFMMFRVF A < B ÏRVJWBVUË B − A > 0.
Soit a et bEFVYOPNCSFTSÏFMTQPTJUJGTRVFMDPORVFTWÏSJmBOU 0 ≤ a ≤ b.
%ÏNPOUSFSMBQSPQSJÏUÏSFWJFOUËNPOUSFSRVF a ≤ b , soit encore à montrer
que
b − a ≥0.
&DSJWPOT
b − a sous une autre forme. Pour cela, on multiplie b − a
b + a 0O PCUJFOU
par son expression conjuguée, c’est-à-dire par
(
b− a
)(
)
2
2
b + a = ( b ) − ( a ) = b − a puisque ( b )2 = b étant donné
que b ≥ 0 (de même pour ( a )2 0OBNPOUSÏRVF
(
b− a
)(
)
b + a = b − a.
&OEJWJTBOUDIBRVFNFNCSFQBS b + a , on a montré que b − a =
0O WFVU NPOUSFS RVF b − a ≥ 0 , autrement dit que
b −a
b+ a
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b+ a
.
mais ceci est
clair puisque b − a ≥ 0 (d’après le choix 0 ≤ a ≤ b ) et
FTUQPTJUJWF
b + a ≥ 0 (une racine
Conclusion :/PVTBWPOTNPOUSÏRVFTJ 0 ≤ a ≤ b alors
a ≤ b ce qui signifie
bien que la fonction x x FTUDSPJTTBOUFTVSMJOUFSWBMMF  + ∞  .
12
b −a
Séquence 3 – MA11
Logique
Montrer que les inégalités 3 ≤ 5 et 4 ≤ 5 TPOUWSBJFTne suffit pas à déNPOUSFSRVFMBGPODUJPOjSBDJOFDBSSÏFxFTUDSPJTTBOUFTVSMJOUFSWBMMF < 3 5>
&OSFWBODIFQPVSNPOUSFSRVVOFGPODUJPOf n’est pas croissanteTVSMJOUFSWBMMF
 −2 5  par exemple, il suffit de montrer que f ( 2) > f ( 4 ) , par exemple. C’est la
méthode du contre-exemple.
b) Représentation graphique
Propriété
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ci-dessus, la courbe de la fonction « racine carrée ».
Elle est située au-dessus de l’axe des abscisses.
Elle n’est définie que pour des abscisses positives.
Fonction
Cube
f :x x3
Définition
f est définie sur par f ( x ) = x × x × x = x 3 .
a) Variations
"VDPVSTEFMBDUJWJUÏoOPVTBWPOTWVMBQSPQSJÏUÏTVJWBOUF
Propriété
Deux nombres et leur cube sont rangés dans le même ordre autrement dit :
Si a ≤ b alors a 3 ≤ b 3 .
Séquence 3 – MA11
13
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Une autre façon de dire la même chose est :
Propriété
La fonction « cube » est croissante sur x
oñ
ñ
x3
Remarque
Une démonstration de cette
propriété est proposée à
l’exercice d’approfondissement II.
b) Représentation graphique
8
Propriété
7
6
La courbe de la fonction « cube »
est symétrique par rapport à
l’origine du repère.
5
4
3
2
1
–3
–2 –1
0
–1
–2
–3
–4
y = x3
–5
–6
–7
–8
14
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Séquence 3 – MA11
0
1
2
C
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
VRAI / FAUX
Répondre en justifiant.
a)
0, 9 = 0, 3
… Vrai … Faux
b)
22, 09 = 4 , 7
… Vrai … Faux
… Vrai … Faux
c) Un cube est toujours positif
d) L’image de tout nombre réel a par la fonction « carré » puis par la fonction
… Vrai … Faux
« racine carrée » redonne a.
e) Le résultat sera le même, quelque soit l’ordre dans lequel on applique
les fonctions « carré » et « racine carrée », à partir d’un nombre réel a.
… Vrai … Faux
f) Pour tout nombre réel x, on a x 2 = x .
g) Pour tout x ∈  + ∞  , on a
( x)
2
… Vrai … Faux
= x2.
… Vrai … Faux
h) Une fonction constante est une fonction qui n’est ni croissante ni décroissante
… Vrai … Faux
i) Une fonction qui n’est ni croissante ni décroissante est une fonction constante
… Vrai … Faux
Exercice 2
Quelle(s) proposition(s) en implique(nt) une autre ? (justifier)
(P1) : «
3 ≤ 5 et
4≤ 5 »
(P2) : « la fonction x x FTUDSPJTTBOUFTVS<>x
1
jVOFSBDJOFDBSSÏFFTUUPVKPVSTQPTJUJWFx
(P4) : « la racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas »
(P5) : « la fonction « racine carrée » est définie sur +∞  »
(P6) : « la fonction « racine carrée » prend ses images dans +∞  »
Exercice 3
Un ballon de basket a un rayon compris entre 23,8cm et 24,5cm. Donner un
encadrement au cm3QSÒTEFTPOWPMVNFFODN3.
Exercice 4
Un grand bol ayant la forme d’une demi-sphère de diamètre 15 cm est rempli à raz
CPSEEFMBJU0OWFVUUSBOTWBTFSMFMBJUEBOTEFTQFUJUTCPMTEFGPSNFEFNJTQIÏrique, eux aussi) de diamètre 10 cm. Combien de petits bols suffit-il de prendre ?
Séquence 3 – MA11
15
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Exercice 5
Exercice 6
A l’aide de la courbe d’équation y = x résoudre :
a)
x =2
b)
x =7
c)
x ≥3
d)
x =0
e)
x = −1
f)
x ≤4
A quelle condition le calcul de x + 2 est possible ? Résoudre graphiquement
x +2 = 5 .
A quelle condition le calcul de x − 2 est possible ? Résoudre graphiquement
x −2 = 5 .
A quelle condition le calcul de 2− x est possible ? Résoudre graphiquement
2− x = 5 .
Exercice 7
Résoudre graphiquement l’inéquation x 3 + 2x 2 − 5x − 6 ≥ 0
a)%ÏWFMPQQFS ( x + 1)( x − 2)( x + 3)
b)3FUSPVWFSMFSÏTVMUBUEFMBRVFTUJPOQBSMFDBMDVM
16
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Séquence 3 – MA11
3 Nombre dérivé
A
Activités
Notion
(intuitive) de limite
1er cas
Considérons la fonction f définie sur  + ∞  par f ( x ) = 1+ 5x .
Dans un repère, sa courbe C f FTUUPVSOÏFWFSTjMBESPJUFx
"MBJEFEFMBDBMDVMBUSJDFSFNQMJSMFUBCMFBVPOEPOOFSBMFTWBMFVSTË 10−4 près)
x
4
4,5
4,8
5
4,9
5, 01
5,1
5, 5
5, 6
5, 7
f (x )
Compléter : « La limite de f ( x ) lorsque x UFOEWFSTFTUÏHBMFË ………0O
écrit lim f ( x ) =
x →5
……… ».
2e cas
x x −1
Considérons la fonction f définie sur 0 1 ∪  ø1 + ∞  par f ( x ) =
.
x −1
La fonction fOFTUQBTEÏmOJFFO2VFWBMFOUMFOVNÏSBUFVSFUMFEÏOPNJOB-
teur de f ( x ) lorsque x = 1 ?
"MBJEFEFMBDBMDVMBUSJDFSFNQMJSMFUBCMFBVPOEPOOFSBMFTWBMFVSTË 10−3
près)
x
0
0, 2
0, 5
0, 7
0, 9
0, 95
0, 99
1, 01
1,1
1, 2
f (x )
Tracer sa courbe C dans un repère à l’aide d’un logiciel de géométrie dynaf
NJRVF"WFD(FPHFCSBQBSFYFNQMFMBSBDJOFDBSSÏFEFx s’écrit sqrt(x).
Séquence 3 – MA11
17
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0CTFSWFSEFTQPJOUTEFMBDPVSCF C f dont les abscisses sont proches (de plus
FO QMVT
EF FU SÏQPOESF Ë RVFTUJPO TVJWBOUF 2VF TF QBTTFUJM QPVS f ( x )
lorsque x se rapproche de 1 en restant différent de 1 ?
:BUJMVOFSVQUVSF
ËQBSUJSEFRVFMMFWBMFVSEFx ?)
:BUJMVOFWBMFVSjMJNJUFx
MBRVFMMF 7PVTQPVWF[VUJMJTFSMPVUJM;PPNEVMPHJDJFMQPVSPCTFSWFSMBGPSNFEFMBDPVSCF
BVWPJTJOBHFEF x = 1 7PVTQPVWF[FOTVJUFQMBDFSVOQPJOUTVSMBDPVSCFQVJTMF
EÏQMBDFSFUPCTFSWFSMBWBMFVSEFTPO
Remarque
ordonnée lorsque son abscisse s’approche de 1. Le choix « Arrondi > 15
La démonstration de ce
EÏDJNBMFTxEVNFOVj0QUJPOTxQFSrésultat pourra se faire à
NFUEBGmOFSMPCTFSWBUJPO
l’issue de la séquence 6.
Nombre
dérivé : approche graphique
Dans un repère, on considère la courbe C f de la fonction f définie par
f ( x ) = x + 3 + 2.
a) 3FNQMJSMFUBCMFBVEFWBMFVSTTVJWBOUËo près
Point m (d’abscisse x)
x
m−3
m−2
m−1
m0
m0,5
m0,9
m11
,
m15
,
m2
m3
m4
−3
−2
−1
0
0, 5
0, 9
1,1
1, 5
2
3
4
f (x )
b. Dans un repère, tracer C f et placer les points m précédents.
a) Placer le point M de C , d’abscisse 1.
f
b) Pour chacun des points m du tableau précédent, tracer les droites (Mm)
(on les appelle des « sécantes » car elles coupent toutes la courbe C f ).
c) Calculer (à 10−2 près) les coefficients directeurs de chaque droite (Mm) et
SFNQMJSMFUBCMFBVTVJWBOU
Droite (Mm)
(Mm−3 ) (Mm−2 ) (Mm−1 ) (Mm0 ) (Mm0,5 ) (Mm0,9 ) (Mm11
, ) (Mm15
, ) (Mm2 ) (Mm3 ) (Mm4 )
Coefficient
directeur
18
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Séquence 3 – MA11
a) Effacer les sécantes précédentes (pour alléger le graphique) puis tracer, le
plus finement possible, une droite ∆ passant par le point M, en faisant en
TPSUFRVFDFUUFESPJUFOBJUFODPNNVOBWFD C f que le point M et lui seul.
(on dira que la droite ∆ est tangente à la courbe C f au point M).
b) Déterminer graphiquement (ou à l’aide du logiciel) son coefficient directeur
et le comparer à celui des sécantes (Mm0,9 ) et (Mm11, ).
Approche
historique
A la fin du 18ème siècle, Denis Diderot et Jean Le Rond d’Alembert font éditer leur
j&ODZDMPQÏEJF0V%JDUJPOOBJSF3BJTPOOÏ%FT4DJFODFT%FT"SUT&U%FT.ÏUJFSTx
L’extrait qui suit est la traduction de la définition d’un « Triangle différentiel »
EPOOÏFQBS*TBBD#BSSPX
R
M
m
T
p
P
a) Comment se dirait aujourd’hui la phrase « Pp sera la différentielle de l’abs-
cisse » ?
b) Réécrire le texte dans un langage actuel sans en changer le sens.
Dans l’encyclopédie, quelle est la définition adoptée implicitement pour la
tangente à une courbe ?
Expliquer à quoi fait référence le « triangle différentiel ».
Séquence 3 – MA11
19
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B
Cours
Au départ, on a besoin
d’une
d’un
fonction fEÏmOJFTVSVOJOUFSWBMMF*.
nombre réel B ∈* .
0OTFSFOEDPNQUFRVFEBOTDFSUBJOTDBTQMVTMFOPNCSFh se rapproche de zéro,
f (a + h ) − f (a )
plus le nombre
TF SBQQSPDIF EVOF WBMFVS QBSUJDVMJÒSF %BOT MFT
h
DBTPáDFDJBSSJWFPOEJURVFMBGPODUJPO fFTUEÏSJWBCMFFO a et on note f ′(a ) la
WBMFVSQBSUJDVMJÒSFQSÏDÏEFOUF
Définition
du nombre dérivé
Définition
f (a + h ) − f (a )
existe lorsque h UFOE WFST [ÏSP PO
h
dit que la fonction f est dérivable en a et on note f ′(a ) cette limite.
Quand la limite de
Le nombre f ′(a ) s’appelle le nombre dérivé de f en a.
0OÏDSJUBMPST f ′(a ) = lim
h →0
Exemple
f (a + h ) − f (a )
.
h
f ( x ) = x 2 et a = 0, 8
f (a + h ) − f (a )
pour h ≠ 0.
h
Ce calcul est facilité grâce au logiciel de calcul formel XCAS. Voici ce qu’on obtient :
Calculons
Attention :
Pour affecter à f ( x )
l’expression
x 2 , on ne
doit pas utiliser le signe =
mais le symbole d’affectation :=
%FNÐNFQPVSBGGFDUFSMBWBMFVSËMBWBSJBCMF a on doit écrire a := 0.8 (le
point est le séparateur décimal).
0OPCUJFOUEPOD
20
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Séquence 3 – MA11
f (a + h ) − f (a )
= 1, 6 + h.
h
Si h UFOE WFST [ÏSP BMPST 1, 6 + h UFOE WFST 1, 6 + 0 BVUSFNFOU EJU WFST 0O
f (a + h ) − f (a )
conclut que lim
= 1, 6 .
h →0
h
Finalement, la fonction fFTUEÏSJWBCMFFOFU f ′(0, 8 ) = 1, 6.
Interprétation
graphique du nombre dérivé
)
0OOPUF Cf la représentation graphique de f dans un repère (0 ,* , J .
,5
y=
f(a)
f
+1
x
)
’ (a
T
1
f ’(a)
Cf
A
1,5
J
O
I
a
Propriétés
Si fFTUEÏSJWBCMFFOBMFOPNCSFEÏSJWÏ f ′(a ) est le coefficient directeur de
la tangente à Cf au point A (a ; f (a )).
Exemple
0OSFQSFOE l’exemple précédent : f ( x ) = x 2 et a = 0, 8 . Le résultat f ′(0, 8 ) = 1, 6
signifie que la (droite) tangente à la parabole au point (sur la parabole) d’abscisse 0,8 a un coefficient directeur égal à 1,6. Nous tenons ici une illustration
HÏPNÏUSJRVFEVOPNCSFEÏSJWÏ
Séquence 3 – MA11
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0,6
y=
2,4
x–
2,6
1,6
y = x2
2,8
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,6
1,2
1
J
0,8
2
0,8 = 0,64
0,6
A
1
0,4
0,2
0 O
–0,4 –0,2 O 0 0,2 0,4 0,6 0,8
I
1
1,2 1,4 1,6 1,8
2
–0,2
Equation
de la tangente à la courbe d’une
fonction
Déterminons l’équation réduite y = mx + p de la tangente (c’est une droite) à
la courbe C f de la fonction f au point A d’abscisse aEFMBDPVSCF0ODIFSDIF
donc m et p.
Le
coefficient directeur m de la tangente à la courbe de la fonction f est égal à
f ′(a ). L’équation est donc y = f '(a )x + p. *MSFTUFËEÏUFSNJOFSp.
Les
coordonnées du point A sont a f (a )) puisque A est situé sur C f .
Comme la tangente (c’est une droite) à la courbe de la fonction f passe par
le point ATFTDPPSEPOOÏFTWÏSJmFOUMÏRVBUJPOEFMBUBOHFOUF"VUSFNFOUEJU
f (a ) = f '(a ) × a + p. D’où, p = f (a ) − a × f '(a ). Finalement, l’équation de la
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Séquence 3 – MA11
tangente est y = f '(a )x + f (a ) − f '(a )a. &DSJWPOTMËTPVTMBGPSNFQMVTBHSÏBCMF
DBSQMVTGBDJMFËSFUFOJS
TVJWBOUF
A savoir
y − f (a ) = f '(a )( x − a )
C
Exercice 1
- BWBOUBHFEFDFUUFÏDSJUVSFFTURVPOWÏSJmFGBDJMFNFOURVF
la droite dont c’est l’équation passe bien par A (lorsqu’on
fait x = a et y = f (a ) MÏRVBUJPOEFWJFOU 0 = 0 ) et que son
coefficient directeur (c’est le coefficient de x) est bien f '(a ).
Exercices d’apprentissage
+VTUJmFSMFTSÏQPOTFTTVJWBOUFT
%BOTMBEÏmOJUJPOEVOPNCSFEÏSJWÏh est toujours un nombre positif
… Vrai
… Faux
%BOTMBEÏmOJUJPOEVOPNCSFEÏSJWÏh peut être égal à zéro
… Vrai
… Faux
-FOPNCSFEÏSJWÏEVOFGPODUJPOQFVUÐUSFMFNÐNFFOEFVYQPJOUTEJGGÏSFOUT
… Vrai … Faux
Exercice 2
$BMDVMFSMFOPNCSFEÏSJWÏEFf en a dans chacun des cas :
f ( x ) = x 2 − 3x + 1 a = 3.
f (x ) =
1− x
1
a = .
2
7
f ( x ) = − x 3 + 2x 2 + 1 a = 2.
f (x ) =
Exercice 3
x −2
a = 2.
1− x
Voici la courbe C de la fonction f. Les tangentes aux points d’abscisses
−1 0 1 5 4 sont tracées en noir.
Séquence 3 – MA11
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5
4
3
2
1
0
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
 3
Lire f ( 0 ) f 1, 5) f ′ 0 f ′
 2  .
Donner une équation des tangentes à C aux points d’abscisses −1 0 1 5 4.
Préciser celles qui sont parallèles ? Justifier.
Exercice 4
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOf définie par f ( x ) = x + 3.
Montrer que
f (1+ h ) − f (1)
1
=
.
h
2+ 4 + h
$BMDVMFSMFOPNCSFEÏSJWÏEFf en a = 1.
Exercice 5
6OFVTJOFGBCSJRVFDIBRVFBOOÏFKVTRVËWPJUVSFTEFDPMMFDUJPO-FDPßUUPUBM
de fabrication de xWPJUVSFTFTUEPOOÏFOFVSPTQBSMBGPODUJPO
C ( x ) = 9 x 3 − 710 x 2 + 20000 x .
a. 2VFMFTUMFDPßUUPUBMEFGBCSJDBUJPOEFWPJUVSFT
b. 2VFMTFSBJUMFDPßUTVQQMÏNFOUBJSFQPVSMBGBCSJDBUJPOEFMBeWPJUVSF
0OBQQFMMFcoût marginal, la dépense occasionnée par la fabrication d’une
WPJUVSFTVQQMÏNFOUBJSF0OMFOPUFC m ( x ). 0OBEPODC m ( x ) = C ( x + 1) − C ( x ).
2VFWBVU C m (12) ?
Calculer C ′ (12) puis comparer C '(12) et C (12). Dans la suite, on admet
m
que C ′( x ) = 21x 2 − 1420 x + 20000.
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Séquence 3 – MA11
À MBJEFEVOUBCMFVSDPNQMÏUFSMFUBCMFBVTVJWBOU
0
x
1
2
3
4
…
0
…
C ( x + 1)
19299
…
Cm ( x )
19299
…
C ′( x )
20000
…
701
…
0,036
…
C (x )
Ecart C ′( x ) − C m ( x )
Ecart relatif
C ′( x ) − C m ( x )
Cm ( x )
28
29
30
2VFDPOTUBUF[WPVT
Séquence 3 – MA11
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4
Synthèse
de la séquence
Fonction
« racine carrée »
Propriétés
La fonction racine carrée est définie et croissante TVS MJOUFSWBMMF
0; +∞  .
Un nombre positif a étant donné, dire que r est la racine carrée de a signifie
que r est le nombre positif dont le carré est égal à a. En résumé,
r 2 = a
r = a FTUÏRVJWBMFOUË

r ≥ 0
Fonction
« cube »
Propriété
La fonction « cube » est croissante sur Nombre
dérivé
A savoir
0OEPOOFVOFGPODUJPOf et un nombre a.
f (a + h ) − f (a )
existe on l’appelle OPNCSFEÏSJWÏEF f en
h
a et on le note f ′(a ).
Si
la limite lim
h →0
0OEJUBMPSTRVFfFTUEÏSJWBCMFFOa.
Si fFTUEÏSJWBCMFFOa, le OPNCSFEÏSJWÏ f ′(a ). est le coefficient directeur
de la tangente à Cf au point A (a f a ) .
Une équation de la tangente à C au point A (a f a ) est donc :
f
y − f (a ) = f ′(a )( x − a ).
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Séquence 3 – MA11
)
)
5
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
Une fonction mystérieuse
6OÏMÒWFEFQSFNJÒSFWPVMBOUDBMDVMFS 163 à la calculatrice a fait une faute de
GSBQQFJMBBKPVUÏVOFWJSHVMFBWBOUMF*MBEPODFGGFDUVÏMFDBMDVMEF 160,3 .
-BDBMDVMBUSJDFMVJBSÏQPOEV*OUSJHVÏQBSDFSÏTVMUBUJMTBUUFOEBJUË
obtenir une erreur) il demande à sa calculatrice le calcul de 160,5 *MPCUJFOU*M
décide d’étudier plus finement la fonction f définie par f ( x ) = x 0,5 .
$PNQMÏUFSMFUBCMFBVEFWBMFVSTBSSPOEJFTË 10−4 TVJWBOU
X
o o o
0
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f (x )
Conjecturer à partir du tableau précédent, l’ensemble de définition de la fonction f.
$FSUBJOFTWBMFVSTEVUBCMFBVQSÏDÏEFOUQFVWFOUWPVTGBJSFQFOTFSRVFMBGPOD-
tion fSFTTFNCMFËVOFGPODUJPOÏUVEJÏFEBOTMFDPVST-BRVFMMF 0OMBOPUFg.
0ODPOTJEÒSF la fonction h définie par h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = x 0,5 − g ( x ). Tracer
la courbe de la fonction h. Quelle conjecture peut-on faire ? Proposez une
OPVWFMMFEÏmOJUJPOQPVSMBGPODUJPOg. Quel(s) intérêt(s) a cette définition ?
Exercice II
Démonstration de la croissance de la fonction « cube ».
Dans cet exercice, on souhaite donner une démonstration de la croissance de la
fonction cube. Pour cela, on se base uniquement sur le fait que le produit de deux
nombres positifs est positif.
%ÏWFMPQQFSQVJTTJNQMJmFS ( y − x )( x 2 + xy + y 2 )
Soit deux nombres réels x et y tels que x ≤ y .
/PVTEFWPOTEÏNPOUSFSRVF x 3 ≤ y 3 .
a) Pourquoi suffit-il de montrer que x 2 + xy + y 2 ≥ 0 ?
b) 1PVS DFMB OPVT EJTUJOHVPOT DBT TVJWBOU RVF MF OPNCSF j[ÏSPx FTU Ë
gauche, au milieu ou à droite des nombres x et y.
1er cas : supposons que 0 ≤ x ≤ y .
Montrer que dans ce cas x 2 + xy + y 2 ≥ 0 .
Séquence 3 – MA11
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2e cas : supposons que x ≤ 0 ≤ y .
Simplifier ( x + y )2 − xy puis montrer que dans ce cas x 2 + xy + y 2 ≥ 0 .
3e cas : supposons que x ≤ y ≤ 0.
En se ramenant au 1er cas, démontrer qu’on a encore, dans ce cas,
x 2 + xy + y 2 ≥ 0.
Exercice III
4
A
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
–1
–2
–3
La courbe précédente est celle d’une fonction fEÏmOJFFUEÏSJWBCMFTVSMJOUFSWBMMF
 −0 5 12, 5  . La droite de couleur est tangente à la courbe aux points d’abscisses 2 et 10, coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées 0 2) et passe
par le point A6 3) .
Déterminer par le calcul f ′( 2), puis f (10 ).
%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOTEFf.
1SÏDJTFSMFOPNCSFEFTPMVUJPOT
EFTÏRVBUJPOTTVJWBOUFT
a) f ′( x ) = 0.
1
b) f ′( x ) = .
2
c) f ′( x ) = −0,1.
d) f ′( x ) = −5.
Résoudre graphiquement l’équation f ′( x ) − f ′( 2) = 0.
Exercice IV
0O DPOTJEÒSF MB GPODUJPO
f ( x ) = x 3 − x 2 − x + 1.
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Séquence 3 – MA11
f
définie
pour
x ∈  − + ∞ 
par
a)®MBJEFEFMBDBMDVMBUSJDFSFNQMJSMFUBCMFBVEFWBMFVSTBSSPOEJFTËEFVY
EÏDJNBMFT
TVJWBOU
x
0
0,5
0,8
0,9
0,99 1,01
1,1
1,2
1,5
1,8
2
f (x )
x −1
b) Tracer la courbe de la fonction fTVSMÏDSBOEFWPUSFDBMDVMBUSJDF
a) Montrer que si l’on pose h = x − 1 alors
f (1+ h ) − f (1) f ( x )
=
.
h
x −1
b) Quand xUFOEWFSTWFSTRVPJUFOEh ?
%BOTMFDPVSTBWBOUEFEÏmOJSDFRVFTUMFOPNCSFEÏSJWÏEVOFGPODUJPO f en
x = a OPVTBWPOTQSJTMBQSÏDBVUJPOEJNQPTFSBVQSÏBMBCMFRVFMFRVPUJFOU
f (a + h ) − f (a ) admette une limite lorsque hUFOEWFST[ÏSPh restant différent
h
de zéro. Quel est l’intérêt de cette précaution ? (justifier à l’aide de la fonction f )
Exercice V
-FCVUEFDFUFYFSDJDFFTUEFDIFSDIFSËGBJSFMFMJFOFOUSFMFTWBSJBUJPOTEFMBGPODUJPOFUMFTJHOFEVOPNCSFEÏSJWÏ7PJDJMBDPVSCF C f de la fonction f. Les tangentes aux points d’abscisse −3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 sont tracées en couleur.
6
4
2
0
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Parmi les tangentes tracées, quelles sont celles de coefficient directeur négatif ?
positif ?
a)0OBDIPJTJVOQPJOUEFMBDPVSCFEBCTDJTTFDPNQSJTFFOUSFFUPOOFEJUQBT
lequel). En ce point, que dire du signe du coefficient directeur de la tangente ?
b)4VSMJOUFSWBMMF <1 3> , la fonction f est-elle croissante ? décroissante ?
$PNQMÏUFS MB QISBTF 4VS MFT EFVY JOUFSWBMMFT ……… et
la courbe
C f « monte » autrement dit la fonction f est …………… et les tangentes ont
toutes un coefficient directeur …………
………
Séquence 3 – MA11
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Exercice VI
Un mobile se déplace sur un axe 0 J ). Son abscisse (en mètre) à l’instant t (en
seconde) est x (t ) = t 2 − t + 1.
Quelle est l’abscisse de ce mobile à l’instant t = 2 ?
a) Quelle est la distance parcourue entre les instants t = 2 et t = 7 ?
b) Quel est le temps écoulé entre ces deux instants ?
-BWJUFTTFNPZFOOFEVNPCJMFFOUSFMFTJOTUBOUT t = 2 et t = 7 est définie
distance parcourue
par Vitesse moyenne =
temps écouléé
c)$BMDVMFSMBWJUFTTFNPZFOOFEVNPCJMFFOUSF t = 2 et t = 7 ?
Pour chaque instant t on écrit h = t − 2.
a) Que représente h ?
x (2 + h ) − x (2)
0ODBMDVMF f (h ) =
.
h
b)%ÏEVJSFEVOFRVFTUJPOQSÏDÏEFOUFTBOTFGGFDUVFSMFDBMDVM
MBWBMFVSEF
f (h ) pour h = 5 ?
Calculer lim f (h ) puis donner la signification physique de ce résultat.
h →0
Exercice VII
2VBUSFCVDIFTEFCPJTDVCJRVFTPOUSFTQFDUJWFNFOUQPVSDÙUÏFODN
x x + 1 x + 2 et x + 3.
x+3
x+2
x+1
x
-FWPMVNFPDDVQÏQBSMBQMVTHSBOEFEFDFTCVDIFTFTUÏHBMFËMBQMBDFPDDVQÏF
par les trois autres réunies.
Montrer que x est solution de l’équation f ( x ) = 0 où f ( x ) = x 3 − 6 x − 9.
A l’aide de la calculatrice, tracer la courbe de la fonction f et déterminer gra-
QIJRVFNFOUMBMFT
WBMFVST
EFx possible(s).
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■