Ecoulements à surface libre – MEC426 TD 3 : ondes et

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Philippe Belleudy
Ecoulements à surface libre – MEC426
TD 3 : ondes et propagation
1. tsunami et mascaret
1.1 onde longue
Le tsunami est une onde provoquée par un séisme sous-
marin. On admet dans cet exercice un train d’onde
sinusoïdal au large de longueur d’onde L=100 km. La
profondeur est h0=4000 m : En comparant L et h0, on dira
qu’on est dans le domaine des petites profondeurs, ou des
ondes longues.
Cette onde, d’amplitude A0=0.50 m se propage avec la
célérité C. On écrit la relation de Bernoulli dans un repère
mobile qui se déplace à la célérité C. Donnez une
expression de C en fonction de la hauteur d’eau.
Quelle est la distance qui sépare les isochrones tracées sur
la figure 1 ?
La profondeur est h (je laisse tomber l’indice ici…). Dans un repère
qui de déplace avec l’onde à la célérité C :
La vitesse d’écoulement est –C et le débit par unité de largeur est
–Ch.
g2
'C
Ah
g2
C
hH
22
++=+=
Par continuité :
Ah
h
C'C + =
Il vient alors :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
h
A
2
1
1
h
A
1
ghC
2
2
L’amplitude A est faible devant h, donc en première approximation ghC =.
Si on développe au premier ordre :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+= h
A
4
3
1ghC
A.N. : h=4000 m, g=10 ms-2, C≈200 ms-1=720 km/h .
Distance qui sépare les isochrones ? Première définition du mètre : Un arc terrestre (90°) a une longueur de
10000 km. Donc 1° d’arc terrestre représente 110km environ. On compte approximativement sur la figure
3 isochrones pour 10° d’arc, soit 1100 km. On calcule alors que l’espacement des isochrones est de est de
30 minutes.
1.2
Sauriez vous expliquer les caractéristiques de ces isochrones (direction et espacement) dans le
détroit de la Sonde (entre l’île de Sumatra et la péninsule de Malaisie) ?. Calculez approximativement
la profondeur du détroit.
L’onde qui se propage a son origine à l’entrée du détroit. On garde une direction sensiblement parallèle aux
côtes. Les isochrones sont resserrées, ce qui équivaut à une célérité bien plus faible. Ceci s’explique parce que
la profondeur est plus faible.
S
UMATRA
M
ALAISIE

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On compte approximativement sur la figure que les isochrones sont 5 fois plus nombreuses : la célérité est donc
5 fois plus faible et donc la profondeur dans un rapport 1/25. Soit h=160 m.
1.3 la plage
Dans l’océan (profondeur h0=4000 m), la vague a un amplitude A0 et une longueur d’onde L0. Calculez
la longueur d’onde et l’amplitude de cette vague au large d’une plage : h=40 m. On admettra ici que
l’énergie E de l’onde est proportionnelle à sa célérité C et au carré de son amplitude A : 2
CAE λ= .
Au large de la plage (h=40 m), la profondeur est 100 fois moindre qu’au large. La célérité de propagation de
l’onde est donc divisée par 10 : soit C=20m/s. La longueur d’onde est donc aussi divisée par 10 : L=10km. (on
peut imaginer un train d’onde de période T, la période est conservée…).
L’énergie E se conserve et la célérité est divisée par 10. Donc A2 est 10 multiplié par 10. L’amplitude est
multipliée par √10≈3.16. L’amplitude sera donc d’environ 1.6 m. Cette amplitude va encore croître quand la vague
va approcher des côtes, mais les forces de frottement ne seront plus négligeables (de plus, la longueur d’onde
diminue et la vague va éventuellement déferler).
1.4 Léopoldine fait du surf
(On change de cadre pour rester dans le bon goût ; quoique…). La marée générée dans l’Atlantique se propage
dans la Manche moins profonde. La force de Coriolis dévie ensuite cette onde de marée vers les cotes françaises
et l’onde aborde alors l’estuaire de la Seine orientée dans l’axe de cet estuaire. La largeur de l’estuaire diminue
(de manière logarithmique en général). Le fond remonte vers l’amont. L’onde rencontre le débit de la rivière. La
mer est salée et la Seine non… Décrivez les malheurs de Léopoldine, la fille de Victor Hugo, en promenade à
Villequier le 3 septembre 1846.
Elle boit la tasse. Est-elle salée ?
2. prise d’eau dans un canal d’irrigation
Un (grand !) canal d’irrigation, dont on supposera la section rectangulaire (b=20 m) a une longueur
L=10000 m. A l’extrémité de ce canal, une retenue maintient une profondeur constante (hamont=2m). A
l’aval, une vanne, initialement fermée, empêche le débit dans le canal. Derrière la vanne, le niveau est
haval (maintenu constant par une autre retenue).
2.1
La vanne est retirée instantanément au temps t=0. Tracez de manière qualitative les lignes d’eau
successives dans le canal. Tracez aussi l’évolution des débits et des niveaux à l’aval du canal, au
milieu du canal, à l’amont du canal.
2.2
Le coefficient de rugosité Strickler de ce canal est kstr=70. La profondeur haval est 1.2 m. Donnez une
estimation du débit Qperm à l’équilibre.
Débitance 3
2
hstr ARkK =pour h=2m : K=3936 m3/s.
Débitance pour h=1.2m : K=1759 m3/s.
La différence de charge entre le réservoir amont et le réservoir aval est Dh=2.0-1.2=0.8 m. Ce qui donne une
pente moyenne S=Dh/L=8.10-5. Ces petits calculs permettent d’encadrer la valeur du débit à l’équilibre (régime
permanent) : Avec la débitance amont et la pente moyenne, on obtient un majorant de ce débit : Q1=35.2 m3/s.
Avec la débitance aval et la pente moyenne, on obtient un minorant : Q2=15.7 m3/s. Le débit permanent Qperm à
l’équilibre est compris entre ces deux valeurs.
2.3
Quel est le débit Qdeb au moment où l’on retire la vanne ?
On calcule l’invariant de Riemann à la limite aval pour t<0 (la vitesse dans le
canal est nulle et la profondeur est la profondeur initiale h0=2 m :
0000 gh2gh2VJ −=−=
−
A proximité de la vanne, cette valeur est conservée dans les premiers instants :
−
−=−= 0
Jgh2VJ , avec h=haval, et V=vitesse moyenne d’écoulement.
On calcule :
s/m9.47)gh2gh2(bhVbhQ 3
0avalavalaval −=−==
t
x
C

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Ici, la direction de la caractéristique est vers l’amont. Ce débit négatif est donc vers l’aval. On aurait pu tout aussi
bien calculer la caractéristique vers l’aval avec J+, et on trouve alors Q=+47.9 m3/s.
Au moment où on retire la vanne, les frottements sont négligeables, c’est ici l’inertie qui ‘retient’ l’eau. Cette
valeur va ensuite décroître vers Qperm au fur et à mesure où l’écoulement s’installe dans le canal et que les
frottements contrôlent le débit.
2.4
Quel est le débit maximum instantané que l’on
peut soutirer de ce canal (en baissant haval)?
L’expression de Q, dans la question précédente,
est une fonction de haval. Ce débit atteint un
maximum pour la valeur de haval qui annule
dQ/dhaval.
On calcule :
()
2
1
0aval
2
3
aval
aval
hhhgb2
dh
dQ −= qui s’annule
pour 0aval h
9
4
h=
A.N. : haval=0.88 m et Qmax=52.50 m3/s
3. propagation d’une onde dans un canal
On considère un canal de section rectangulaire, largeur b. Ce canal est équipé d’un piston qui peut se
déplacer selon l’axe du canal. Le frottements sont négligeables et la pente du canal est nulle.
Le canal est initialement au repos, profondeur h1 et vitesse d’écoulement nulle. On déplace alors de
piston à la vitesse V dans le sens des x croissants. Ce déplacement induit la formation d’une
intumescence de hauteur dh qui se propage à la célérité C dans la direction des x croissants. Pour un
x suffisamment grand qui n’a pas encore subi l’intumescence, la vitesse d’écoulement est nulle et la
profondeur d’eau est h1. Quand l’intumescence est passée, la hauteur d’eau est h2=h1+dh et la
vitesse moyenne d’écoulement est identique à celle du piston : V.
On se propose de trouver une expression de la célérité C.
3.1 conservation des volumes
Ecrivez une relation entre la vitesse V, la célérité C et la hauteur de l’intumescence dh.
1
1
h
dhh
VC + =
3.2 théorème des quantités de mouvement
On considère le volume élémentaire en avant de l’intumescence au temps t1, et qui sera recouvert par
l’intumescence au temps t2=t1+dt.
Quel est l’incrément de quantité de mouvement de ce volume d’eau entre t1 et t2 ?
Quelles sont les forces qui s’exercent sur ce volume ?
Appliquez le théorème de la qdm pour déduire une nouvelle relation entre C, V et la hauteur de
l’intumescence dh.
Eliminez la vitesse V des deux expressions et déduisez une expression de la célérité C de
l’intumescence.
4. réflexions d’ondes dans un canal
5. calcul de l’onde de rupture d’un barrage
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
0 102030405060
Q (m3/s)
h1 (m)