Mouvement des particules chargées dans un

Exercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
dans un champ électromagnétique
Exercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
dans un champ électromagnétique
Exercices
Exercice 1 : Force de Lorentz [♦♦]
Tracer sur les schémas ci-dessous le vecteur force de Lorentz en décomposant ses composantes électrique et
magnétique. On suppose que les particules ont toutes une charge positive.
On rappelle qu’un vecteur noté est de direction perpendiculaire au plan de la feuille et orienté de la feuille
vers vous (il « sort » de la feuille), alors qu’un vecteur noté ⊗est lui aussi de direction perpendiculaire au plan de la
feuille mais orienté de la feuille vers le sol (il « s’enfonce » dans la feuille).
(a)
#”
v
#”
E
#”
B
(b)
#”
v
⊗
#”
E
#”
B
(c)
#”
v
#”
E
#”
B
(d)
#”
v
#”
E
⊗
#”
B
Exercice 2 : Sélecteur de vitesse [♦♦]
Une particule de masse met charge qpénètre avec une vitesse #” v0=v0
#”
uxdans une zone où existent un champ
électrique #” E=E0
#”
uyet un champ magnétique #” B=B0
#”
uzuniformes et stationnaire.
1 - À quelle condition le vecteur vitesse de la particule reste-t-il inchangé ?
2 - Expliquer comment ce dispositif peut être adapté en sélecteur de vitesse.
Exercice 3 : Oscilloscope analogique [♦]
O
⊗
yz
x
z
P1
P2
écran
fluorescent
X
D L
Dans une époque pas si reculée où la touche autoscale n’existait pas, les
oscilloscopes analogiques exploitaient la déviation d’un faisceau d’électron sous
l’effet d’une tension à imager sur un écran. Cet exercice propose de comprendre
le principe de fonctionnement de ces anciens oscilloscopes.
Dans tout l’exercice, on se place dans un référentiel galiléen associé à un
repère (O, #” ux,#” uy,#” uz). Une zone de champ électrique uniforme est établie entre
deux plaques P1et P2, le champ est supposé nul en dehors de cette zone et
les effets de bord sont négligés. La distance entre les plaques est notée d, la
longueur des plaques Det la différence de potentiel U=V(P2)−V(P1)est
supposée positive. Des électrons de charge q=−eet de masse maccélérés au
préalable pénètrent en Ola zone où existe le champ avec une vitesse #” v0=v0
#”
uz
selon l’axe Oz.
1 - Établir l’expression de la force subie par les électrons en fonction de U,qet d.
2 - Établir l’équation de la trajectoire x=f(z)de l’électron dans la zone du champ en fonction de d,Uet v0.
3 - Déterminer les coordonnées du point de sortie Kde la zone de champ et les composantes de la vitesse en ce point.
4 - Montrer que dans la zone entre les plaques chargées et l’écran fluorescent le mouvement est rectiligne uniforme.
5 - On note Lla distance entre la sortie de la zone de champ et l’écran fluorescent. Déterminer l’abscisse XIdu
point d’impact Ide l’électron sur l’écran en fonction de U,v0,D,det L.
6 - Question complémentaire : en déduire le principe de fonctionnement d’un oscilloscope analogique. À quelle
condition est-il raisonnable de supposer Uconstante ? Proposer une solution permettant d’obtenir un chronogramme
sur l’écran et pas seulement un point.
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Exercice 4 : Analyse de mouvements [♦♦]
On considère un point matériel de charge q > 0et de masse m, de vitesse initiale #” V0à l’entrée d’une zone où
règnent un champ électrique #” Eou un champ magnétique #” B. On suppose ces champs uniformes et indépendants du
temps, et on néglige toute autre force que celles provoquées par ces champs.
1 - La particule décrit une droite et possède une accélération constante a.
1.a - Déterminer la direction et la norme du ou des champs qui provoquent cette trajectoire.
1.b - Déterminer la position du point matériel en fonction du temps.
2 - La particule décrit une trajectoire circulaire de rayon R0dans un plan (xOy).
2.a - Déterminer la direction du ou des champs qui provoquent cette trajectoire.
2.b - Déterminer la norme du champ en fonction de V0et R0. Il est suggéré d’utiliser les coordonnées polaires.
Exercice 5 : Cyclotron [inspiré CCP PC 2014, ♦]
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques D1et D2, appelées « dees » en anglais, séparées d’une
zone étroite d’épaisseur a. Les dees sont situés dans l’entrefer d’un électroaimant qui fournit un champ magnétique
uniforme #” B=B#” ez, de norme B= 1,5 T. Une tension harmonique uest appliquée entre les deux extrémités de la
bande intermédiaire, si bien qu’il y règne un champ électrique orienté selon #” ex.
On injecte des protons au sein de la zone intermédiaire avec une vitesse initiale négligeable.
Données : masse d’un proton m= 1,7·10−27 kg.
D1
D2
z
y
x
#”
B
a
Figure 1 –Étude d’un cyclotron. Schéma de principe et photo du cyclotron de l’université de Rutgers, qui mesure
une trentaine de centimètres de diamètre.
1 - Montrer qu’à l’intérieur d’un dee la norme de la vitesse des protons est constante.
2 - En déduire le rayon de courbure Rde la trajectoire des protons ayant une vitesse vainsi que le temps que passe
un proton dans un dee.
3 - Quelle doit être la fréquence fde la tension pour que le proton soit accéléré de façon optimale à chaque passage
entre les dee ? Pour simplifier, on pourra supposer aR. Justifier le choix d’une tension harmonique au lieu, par
exemple, d’une tension créneau.
4 - La tension ua pour amplitude Um= 200 kV.
4.a - Déterminer en fonction de nle rapport des rayons Rnet Rn+1 de deux demi-cercles consécutifs. Le demi-
cercle n= 1 est celui qui suit la première phase d’accélération.
4.b - Calculer le rayon de la trajectoire après un tour (donc un passage dans chaque dee), puis après dix tours.
5 - Le rayon de la dernière trajectoire décrite par les protons accélérés avant de bombarder une cible est RN= 35 cm.
5.a - Déterminer l’énergie cinétique du proton avant le choc contre la cible proche du cyclotron.
5.b - Déterminer le nombre de tours parcourus par le proton.
Annale de concours
Exercice 6 : Électron dans un champ électromagnétique [ENAC 2016, ♦]
L’épreuve écrite du concours ENAC est un QCM sans calculatrice. Pour chaque question, entre 0 et 2
proposition(s) sont juste(e).
Un électron de masse me'10−30 kg et de charge e' −2·10−19 Cpénètre, avec un vecteur vitesse #” v0, dans une
région où règnent un champ électrostatique #” Eet un champ magnétostatique #” Buniformes, orthogonaux entre eux et
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Exercices M4 : Mouvement des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
à#” v0. Précisément, dans la base directe {#” ex,#” ey,#” ez}du repère cartésien Oxyz (x, y et zsont les coordonnées carté-
siennes de l’électron), #” E=E#” ex,#” B=B#” eyet #” v0=v0
#”
ez,E,Bet v0étant positifs. L’origine Odu repère cartésien
est prise à l’endroit où l’électron pénètre dans la région des champs. La norme v0de sa vitesse est de 1000 km ·s−1.
1 - On considère dans un premier temps que B= 0, de sorte que l’électron n’est soumis qu’au champ électrique #” E.
Quelle est l’équation vectorielle du mouvement ? Dans les propositions ci-dessous, #” aest le vecteur accélération.
(a) #” a=e#”
E
me
. (b) #” a=
#”
E
eme
. (c) #” a=−eme
#”
E. (d) #” a=−e#”
E
me
.l
2 - Quelles sont la nature et l’équation de la trajectoire de l’électron ?
(a) La trajectoire est une portion de parabole d’équation eE
mez v02
.
(b) La trajectoire est une portion de droite d’équation eE
me
z
v0
.
(c) La trajectoire est une portion de parabole d’équation −eE
2mez v02
.
(d) La trajectoire est une portion de droite d’équation −eE
2me
z
v0
.
3 - On place un écran d’observation parallèlement au plan Oxy en z0= 0,2 m. Sachant que E= 10 V ·m−1, calculer
l’abscisse xede l’impact de l’électron sur l’écran.
(a) xe'4 mm. (b) xe' −4 mm. (c) xe'4 cm. (d) xe' −4 cm.l
4 - On considère maintenant E= 0 et B6= 0, l’électron pénètre donc dans une zone où règne un champ magnéto-
statique uniforme. Donner l’expression de la force de Lorentz #” FLqui s’exerce sur l’électron au moment où il pénètre
dans la région du champ 1.
(a) #” FL=v0
#”
B. (b) #” FL=−e#” v0×#” B. (c) #” FL=e#” v0×#” B. (d) #” FL=ev0
#”
B.l
5 - Parmi les affirmations proposées, quelles sont celles qui sont exactes ?
(a) La trajectoire de l’électron est rectiligne de vecteur vitesse constant.
(b) La trajectoire de l’électron est parabolique.
(c) La trajectoire de l’électron est circulaire de rayon Rc=mev0
eB .
(d) La trajectoire de l’électron est circulaire de rayon Rc=ev0
meB.
6 - On a maintenant E6= 0 et B6= 0. Pour quel rapport E/B le mouvement de l’électron est-il rectiligne et uniforme?
(a) E/B =v0. (b) E=B. (c) B/E =v0. (d) On ne peut pas le déterminer. l
1. La notation ×est la notation anglo-saxone du produit vectoriel ∧. Il est un peu surprenant qu’elle apparaisse sans explication dans
un sujet niveau prépa ... !
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Exercices M4 : Mouvement des particules chargées Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
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Correction des exercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
dans un champ électromagnétique
Correction des exercices du chapitre M4 Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
dans un champ électromagnétique
Exercices
Exercice 1 : Force de Lorentz
(a)
#”
v
#”
E
#”
B
#”
FE=#” F
#”
FB=#” 0
(b)
#”
v
⊗#” E
#”
B
⊗
#”
FE,#” FB,#” F
(c)
#”
v
#”
E
#”
B#”
FE
#”
FB
#”
F
(d)
#”
v
#”
E
⊗
#”
B
#”
FE,#” FB
#”
FL
Exercice 2 : Sélecteur de vitesse
1La particule est soumise uniquement à la force de Lorentz. Le vecteur vitesse de la particule reste inchangé si son
vecteur accélération est nul, c’est-à-dire d’après la loi de la quantité de mouvement si la force de Lorentz est nulle,
#”
F=q#” E+#” v∧#” B=#” 0
ce qui donne
E0
#”
uy+v0B0(#” ux∧#” uz)=0 soit E0−v0B0= 0
Rappel : #” ux∧#” uz=−#” uy.
2On peut utiliser la contraposée de la question précédente : si le vecteur vitesse de la particule n’est pas égal à
v0
#”
uxalors elle est déviée. En plaçant par exemple un masque en sortie de la zone de champ, on peut ne garder que
les particules passant par un trou accessible seulement si elles ont la vitesse #” v0et bloquer les autres.
Exercice 3 : Oscilloscope analogique
1Comme toujours avec les particules chargées, le poids est négligeable devant la force de Lorentz. Ici, le potentiel
de la plaque P2est supérieur à celui de la plaque P1, donc #” Eest dirigé selon −#” ux. Comme il est dû à une différence
de potentiel entre deux plaques, sa norme vaut U/d, donc
#”
E=−U
d
#”
uxd’où #” F=−e#” E=eU
d
#”
ux
car on considère des électrons.
2Déterminons la trajectoire par application du PFD à l’électron dans le référentiel de l’oscilloscope, supposé
galiléen. Comme ni la force électrique, ni la vitesse initiale n’ont de composante sur #” uyalors le mouvement de l’électron
est limité au plan (xOz). En termes de composantes, les différentes intégrations avec les constantes déterminées à
partir des conditions initiales donnent
m¨x=e U
d
m¨z= 0
donc 
˙x=e U
m d t+ 0
˙z=v0
d’où 
x=e U
2m d t2+ 0
z=v0t+ 0
Pour obtenir la trajectoire, il faut éliminer tde l’une de ces équations. Cela se fait en remplaçant tpar z/v0dans
l’équation portant sur x, d’où
x=e U
2m d v 2
0
z2
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