11.1 et 11.2 Roue

11.1 Cinématique de rotation
Roulement : Cas particulier de rotation
Quelles équations prendrons-nous pour traiter le
mouvement d’une roue qui roule sans glisser?
Autrement dit , qui effectue à la fois un mouvement de translation et
de rotation soit un roulement
Sans glisser
Que se passe-t-il avec du glissement?
Pas de relation simple.
1
11.1 Cinématique de rotation
Cherchons d’abord la relation entre la vitesse du centre de masse de
la roue et sa vitesse angulaire lors que la roue roule sans glisser
ω
vCM
Quel déplacement la roue aura-t-elle effectué après un tour?
ω
vCM
C = 2πR
vCM
donc
car
2πR
=
T
vCM = ωR
2π
ω=
T
2
11.1 Cinématique de rotation
ω
vCM
Donc à chaque instant lorsque la roue roule sans glisser, la relation
entre la vitesse de la roue et sa vitesse angulaire est
vCM = ωR
m/s
Si la roue glisse, c’est plus compliqué, il faut plus d’informations
Que peut-on dire de l’accélération de la roue ( centre de masse ) et
de son accélération angulaire lorsque la roue roule sans glisser?
Par définition, nous aurons :
aCM = αR
m/s2
3
11.1 Cinématique de rotation
Exemple : Une automobile munie de freins ABS, dont les pneus ont
un rayon de 25 cm et qui roule à 100 km/h s’arrête sur 50 m sans
bloquer les roues. Déterminez,
a) l’accélération angulaire des roues
b) le nombre de tours effectués par les roues avant de s’arrêter
Situation:
∆x
Problème :
Je cherche α
4
11.1 Cinématique de rotation
vCM
Situation:
aCM
∆x
Solution possible: Pour le centre de masse, selon les équations du
m.r.u.a nous aurons
x
v 2 = vo2 − 2a∆x
0 = vo2 − 2a∆x
2
vo2
(27,8)
a=
=
= 7,72 m/s 2
2∆x 2 × 50
Puisque le freinage se fait sans glisser, nous avons
aCM = αR
5
11.1 Cinématique de rotation
vCM
Situation:
aCM
∆x
Puisque le freinage se fait sans glisser, nous avons
D’où
aCM = αR
x
aCM 7,72
α=
=
= 30,9 rad/s 2
,25
R
Résultat probable :La décélération angulaire α des pneus de l’automobile sera
de 30,9 rad/s2
6
11.1 Cinématique de rotation
vCM
Situation:
aCM
∆x
b) Combien de tours les roues ont-elles faits avant de s’arrêter?
x
Problème : Je cherche Nb de tours ?
Solution possible:
∆x
Nb de tours =
2πR
Puisque sans
glissement
50
Nb =
= 31,8 tours
2π × 0,25
Résultat probable : Le nombre de tours sera de 31,8
7
11.1 Cinématique de rotation
Considérons maintenant une règle qui tombe en effectuant une
rotation autour de son point de contact au sol.
Quelle sera la vitesse linéaire du centre de masse de la tige et
du point situé à l’extrémité de la règle à leur arrivée au sol?
Situation
8
11.1 Cinématique de rotation
Considérons maintenant une règle qui tombe en effectuant une
rotation autour de son point de contact au sol.
Quelle sera la vitesse linéaire du centre de masse de la tige et
du point situé à l’extrémité de la règle à leur arrivée au sol?
Situation
ω
ω
La vitesse angulaire augmente, mais pour chaque
position sur la règle la vitesse angulaire est la même pour
chaque point de la règle
9
11.1 Cinématique de rotation
Situation
ω
vt
vCM
ω
La vitesse angulaire augmente, mais pour
chaque position sur la règle la vitesse angulaire
est la même pour chaque point de la règle
Nous avons donc
Par conséquent
v t = ωL
vCM =
vCM
vt
ωL
2
vt = 2vCM
10
11.1 Cinématique de rotation
roulement
Considérons encore une fois, une roue qui tourne sans glisser
ω
vCM
vt
vCM
Quelle relation pouvons-nous établir entre la vitesse du centre
de masse de la roue et la vitesse tangentielle du dessus de la
roue ?
vt = 2vCM
On constate que la vitesse tangentielle au sommet de la roue est deux
fois plus grande que la vitesse du centre de la roue par rapport à la
route
La roue tourne comme si elle effectuait à chaque instant
une rotation autour d’un point de contact fixe au sol.
11
11.1 Cinématique de rotation
Autrement dit, on peut voir le roulement d’une roue comme un
mouvement de translation de la roue superposé à un mouvement de
rotation autour du centre de masse.
2 vCM
vCM
CM
vCM
Translation
du CM
rotation
autour du
CM
roulement
Par conséquent, pour l’énergie cinétique nous aurons
K (translation)
KCM
+
+
K (rotation)
K rel
=
K( roulement)
=
Ktotale
12
11.1 Cinématique de rotation
Transmission du mouvement de rotation
Dans plusieurs situations le mouvement de rotation est transmis par une
chaîne, une courroie ou un engrenage.
C’est le cas notamment du mouvement d’une bicyclette
Comment allons-nous analyser ce type de mouvement?
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
ωp
(pignon)
ωe
pédalier
re
ra
vCM
rp
13
11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette fig.
11.9 page 328
ωa
Engrenage
ωp
(pignon)
ωe
pédalier
re
ra
vCM
rp
Comment déterminer la vitesse de la bicyclette « vCM » en fonction
de la vitesse angulaire du pédalier « ωp » ?
En fait, cela dépend du rapport entre les rayons des différentes
roues : ra , re , rp
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11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
vtp
ωp
pédalier
re
vCM
ra
rp
Cela dépend du rapport entre les rayons des différentes roues
Premièrement les vitesses tangentielles de l’engrenage et de
pédalier sont les mêmes, puisque la chaîne n’est pas élastique
vte = vtp
15
11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vtp
vte
ωp
pédalier
re
vCM
ra
rp
vte = vtp
Par conséquent
ω e re = ω p rp
On cherche vCM de la roue arrière en fonction de ωp
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11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
vtp
ωp
pédalier
re
ra
Pour la roue arrière
On sait que
vCM
rp
va = vCM = ω a ra
ω e re = ω p r p
On cherche vCM de la roue arrière en fonction de ωp
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11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vtp
vte
pédalier
re
vCM
ra
rp
va = vCM = ωara
Puisque
ωp
ωe = ωa
ωe =
ω e re = ω p rp
Puisque les roues sont solidaires
ω p rp
re
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11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vtp
vte
pédalier
re
vCM
ra
va = vCM =ωara
ωp
rp
ωe = ωa
v CM = v a = ω a ra =
Vitesse de la roue arrière
ω p r p ra
re
ωe =
ω p rp
re
Donc, plus le rayon de
l’engrenage est petit plus
la vitesse de la
bicyclette sera grande
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11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vtp
vte
pédalier
re
vCM
ra
va = vCM =ωara
ωp
rp
ωe = ωa
v CM = v a = ω a ra =
Vitesse de la roue arrière
ω p r p ra
re
ωe =
ω p rp
re
Donc, plus le rayon de
l’engrenage est petit plus
la vitesse de la
bicyclette sera grande
20
11.1 Cinématique de rotation
Considérons les différentes parties d’une bicyclette
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vtp
vte
ωp
re
vCM
ra
rp
Que se passe-t-il pour les accélérations ?
aa = αara
pédalier
αe = αa
a CM = a a = α a ra =
α p r p ra
Accélération de la bicyclette
re
αe =
α p rp
re
Plus le rayon de
l’engrenage est petit plus
l’accélération de la
bicyclette sera grande
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11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
vtp
ωp
pédalier
re
ra
vCM
rp
Exemple : Soit la bicyclette ci-dessus dont les rayons sont : ra = 30 cm .
rp = 10 cm et re = 3,0 cm
Partant du repos, vous accélérez de façon uniforme, et après 50 s, le
plateau du pédalier atteint une fréquence de 1,0 tours/s
A) En supposant que la roue arrière tourne sans glisser, déterminez la
vitesse de la bicyclette à cet instant ?
22
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
vtp
ωp
pédalier
re
ra
vCM
rp
Exemple : Soit la bicyclette ci-dessus dont les rayons sont : ra = 30 cm .
rp = 10 cm et re = 3,0 cm
A) En supposant que la roue arrière tourne sans glisser, déterminez la
vitesse de la bicyclette à cet instant ?
On cherche va =vCM
Solution possible, nous avons vu que
va = ω a ra =
ω p rp ra
re
23
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
ωp
vtp
pédalier
re
ra
vCM
rp
va = ω a ra =
On cherche va =vCM
ω p rp ra
re
La vitesse angulaire et fréquence sont reliées par
l’équation suivante
ω p = 2πf p
donc
va =
2πf p rp ra
re
24
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
vtp
vte
ωe
pédalier
re
vCM
ra
rp
La vitesse angulaire et fréquence sont reliées par
l’équation suivante
va =
ωp
2πf p rp ra
re
ω p = 2πf p
On obtient
va =
2π ×1×,10×,30
= 6,28
,03
m/s
Résultat probable :la vitesse de la bicyclette est de 6,28 m/s ou 22,6
km/h.
25
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
ωp
vtp
pédalier
re
vCM
ra
rp
b) Quelle est la vitesse tangentielle du point au sommet de la roue par
rapport à la route ?
Puisque vt = 2 vCM
, on obtient 45,2 km/h
b) Combien de tours , la roue arrière de la bicyclette a-t-elle effectués
pendant ce temps?
1
On cherche : ∆θ de la roue
arrière
Solution
possible :
∆θ = ω 0 t + αt 2
2
ω = ω 0 + αt
26
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
ωp
vtp
pédalier
re
ra
vCM
rp
b) Combien de tours de roues la roue arrière de la bicyclette a-t-elle
effectués ?
On cherche : ∆θ de la roue
arrière
Solution
possible :
1 2
∆θ = αt
2
car
va 6,28
ω= =
= 20,9 rad/s
ra
0,3
ω
ω = αt
ω0 = 0
20,9
α= =
= 0,419 rad/s 2
50
t
27
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
ωp
vtp
pédalier
re
ra
vCM
rp
b) Combien de tours de roues la roue arrière de la bicyclette a-t-elle
effectués ?
ω=
va 6,28
=
= 20,9 rad/s
ra
0,3
ω
20,9
α= =
= 0,419 rad/s 2
50
t
1 2 1
∆θ = αt = × 0,419 × (50) 2 = 523 rad
2
2
28
11.1 Cinématique de rotation
ωa
Engrenage
(pignon)
ωe
vte
vtp
ωp
pédalier
re
ra
vCM
rp
c) Combien de tours de roues la roue arrière de la bicyclette a-t-elle
effectués ?
1
1
∆θ = αt 2 = × 0,419 × (50) 2 = 523 rad
2
2
523
∆θ = 523 rad =
= 83,3 tours
2×π
résultat probable : La roue arrière fera 83,3 tours
29