Théor`eme de l`indice pour les revêtements - IMJ-PRG

Universit´e Paris VII-Denis Diderot
M´emoire de Master
«Math´ematiques fondamentales »
Th´eor`eme de l’indice pour les
revˆetements
d’apr`es Michael F. Atiyah
par
Fr´ed´eric Albert
Sous la direction de :
Moulay Tahar Benameur
et
Stefaan Vaes
Paris
2005-2006

SOMMAIRE
1.Introduction........................................................................................ 4
2.Rappels ............................................................................................... 6
2.1.Revˆetements et Fibr´es vectoriels ....................................................... 6
2.2.Op´erateurs de Fredholm ................................................................... 10
2.3.Th´eorie des distributions .................................................................. 12
2.4.Op´erateurs non born´es ..................................................................... 16
2.5.Op´erateurs diff´erentiels et pseudodiff´erentiels .................................. 18
2.6.Dimension de Von Neumann ............................................................ 26
3.Th´eor`eme de l’indice pour les revˆetements ............................... 29
3.1.Etude de l’op´erateur de projection sur le noyau de ˜ D...................... 31
3.2.Autour de l’action de Γ sur ˜ X.......................................................... 33
3.3.Sur le domaine de d´efinition de ˜ D∗................................................... 35
3.4.Expression analytique de la Γ-Trace ................................................. 38
3.5.Caract´erisation des op´erateurs `a Γ-Trace ......................................... 40
3.6.D´emonstration du th´eor`eme ............................................................. 44
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4.Nombres de Betti L2........................................................................... 49
4.1.D´efinition .............................................................................................. 49
4.2.Propri´et´es .............................................................................................. 53
4.3.G´en´eralisation de la notion de nombres de Betti L2............................. 55
5.Invariant ηpour les revˆetements ....................................................... 57
5.1.L’op´erateur de Dirac, Atiyah-Patodi-Singer et l’invariant η.................. 57
5.2.Sur le r´esultat de M. Ramachandran ..................................................... 60
6.Bibliographie .......................................................................................... 66
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1 Introduction
Une des mani`eres d’aborder la topologie consiste `a caract´eriser (`a hom´eomorphisme pr`es)
les espaces topologiques en essayant de leur associer un certain nombre d’invariants.
Historiquement, un des premiers invariants ainsi d´efinis (dans un cadre constructif) fut
la caract´eristique d’Euler. Elle est obtenue en soustrayant le nombre d’arˆetes aux nom-
bres de faces et de sommets de n’importe quelle triangulation d’une surface topologique.
C’est un invariant de type obstructif et d’apparence simple. N´eanmoins une ´etude plus
approfondie des vari´et´es (dans un cadre diff´erentiable) a permis de retrouver cette car-
act´eristique comme indice d’un op´erateur diff´erentiel (l’op´erateur de Gauss-Bonnet). Na-
turellement les math´ematiciens ont alors cherch´e `a g´en´eraliser ce r´esultat en calculant de
mani`ere syst´ematique les indices des op´erateurs sur les vari´et´es lisses. Seulement les choses
ne sont pas aussi simples, en effet, on ne peut pas d´efinir l’indice pour tous les op´erateurs,
cela d´epend:
•de l’op´erateur
•de la vari´et´e sur laquelle agit l’op´erateur
La th´eorie de l’indice s’est en fait dans un premier temps orient´ee dans deux directions, celle
d’un indice analytique (que l’on calcule par: Ind(A) = dim(Ker(A)) −dim(CoKer(A)))
et celle d’un indice topologique calcul´e uniquement `a partir des propri´et´es abstraites de la
vari´et´e ´etudi´ee (la formule fait intervenir le caract`ere de Chern ...). Le premier r´esultat
important dans ce domaine est le th´eorˆeme de l’indice obtenu au d´ebut des ann´ees 60 par
Atiyah et Singer pour les op´erateurs elliptiques sur les vari´et´es compactes. Ce th´eorˆeme
s’´enonce facilement; il nous dit que: Indana(A) = Indtop(A).
Le but de notre ´etude sera de comprendre une premi`ere g´en´eralisation de la d´efinition
de l’indice analytique, obtenue par Atiyah, pour les op´erateurs elliptiques sur des vari´et´es
paracompactes sous les hypoth`eses suivantes:
•Les vari´et´es ´etudi´ees sont des revˆetements de type galoisien de vari´et´es compactes;
•L’op´erateur consid´er´e commute au groupe de structure associ´e au revˆetement.
Les math´ematiques qui vont intervenir seront celles, classiques pour le domaine, de la
g´eom´etrie diff´erentielle, des op´erateurs diff´erentiels et pseudo-diff´erentiels, des distributions
et un peu de l’homologie. Mais quelque chose de neuf intervient n´eanmoins, la th´eorie des
Alg`ebres de Von Neumann pour renormaliser la dimension des espaces de solutions des
´equations elliptiques (`a priori infinie dans le cadre non compact) grˆace `a la dimension de
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