Théor`eme de l`indice pour les revêtements - IMJ-PRG

Université Paris VII-Denis Diderot
Mémoire de Master
« Mathématiques fondamentales »
Théorème de l’indice pour les
revêtements
d’après Michael F. Atiyah
par
Frédéric Albert
Sous la direction de :
Moulay Tahar Benameur
et
Stefaan Vaes
Paris
2005-2006
SOMMAIRE
1.Introduction........................................................................................ 4
2.Rappels ............................................................................................... 6
2.1.Revêtements et Fibrés vectoriels ....................................................... 6
2.2.Opérateurs de Fredholm ................................................................... 10
2.3.Théorie des distributions .................................................................. 12
2.4.Opérateurs non bornés ..................................................................... 16
2.5.Opérateurs différentiels et pseudodifférentiels .................................. 18
2.6.Dimension de Von Neumann ............................................................ 26
3.Théorème de l’indice pour les revêtements ............................... 29
3.1.Etude de l’opérateur de projection sur le noyau de D̃ ...................... 31
3.2.Autour de l’action de Γ sur X̃ .......................................................... 33
3.3.Sur le domaine de définition de D̃∗ ................................................... 35
3.4.Expression analytique de la Γ-Trace ................................................. 38
3.5.Caractérisation des opérateurs à Γ-Trace ......................................... 40
3.6.Démonstration du théorème ............................................................. 44
1
4.Nombres de Betti L2 ........................................................................... 49
4.1.Définition .............................................................................................. 49
4.2.Propriétés .............................................................................................. 53
4.3.Généralisation de la notion de nombres de Betti L2 ............................. 55
5.Invariant η pour les revêtements ....................................................... 57
5.1.L’opérateur de Dirac, Atiyah-Patodi-Singer et l’invariant η .................. 57
5.2.Sur le résultat de M. Ramachandran ..................................................... 60
6.Bibliographie .......................................................................................... 66
2
3
1
Introduction
Une des manières d’aborder la topologie consiste à caractériser (à homéomorphisme près)
les espaces topologiques en essayant de leur associer un certain nombre d’invariants.
Historiquement, un des premiers invariants ainsi définis (dans un cadre constructif) fut
la caractéristique d’Euler. Elle est obtenue en soustrayant le nombre d’arêtes aux nombres de faces et de sommets de n’importe quelle triangulation d’une surface topologique.
C’est un invariant de type obstructif et d’apparence simple. Néanmoins une étude plus
approfondie des variétés (dans un cadre différentiable) a permis de retrouver cette caractéristique comme indice d’un opérateur différentiel (l’opérateur de Gauss-Bonnet). Naturellement les mathématiciens ont alors cherché à généraliser ce résultat en calculant de
manière systématique les indices des opérateurs sur les variétés lisses. Seulement les choses
ne sont pas aussi simples, en effet, on ne peut pas définir l’indice pour tous les opérateurs,
cela dépend:
• de l’opérateur
• de la variété sur laquelle agit l’opérateur
La théorie de l’indice s’est en fait dans un premier temps orientée dans deux directions, celle
d’un indice analytique (que l’on calcule par: Ind(A) = dim(Ker(A)) − dim(CoKer(A)))
et celle d’un indice topologique calculé uniquement à partir des propriétés abstraites de la
variété étudiée (la formule fait intervenir le caractère de Chern ...). Le premier résultat
important dans ce domaine est le théorême de l’indice obtenu au début des années 60 par
Atiyah et Singer pour les opérateurs elliptiques sur les variétés compactes. Ce théorême
s’énonce facilement; il nous dit que: Indana (A) = Indtop (A).
Le but de notre étude sera de comprendre une première généralisation de la définition
de l’indice analytique, obtenue par Atiyah, pour les opérateurs elliptiques sur des variétés
paracompactes sous les hypothèses suivantes:
• Les variétés étudiées sont des revêtements de type galoisien de variétés compactes;
• L’opérateur considéré commute au groupe de structure associé au revêtement.
Les mathématiques qui vont intervenir seront celles, classiques pour le domaine, de la
géométrie différentielle, des opérateurs différentiels et pseudo-différentiels, des distributions
et un peu de l’homologie. Mais quelque chose de neuf intervient néanmoins, la théorie des
Algèbres de Von Neumann pour renormaliser la dimension des espaces de solutions des
équations elliptiques (à priori infinie dans le cadre non compact) grâce à la dimension de
4
Murray-Von Neumann, mais nous y reviendrons plus loin. La référence centrale de cette
étude est [Ati1].
Grâce à ce nouveau cadre, Atiyah a pu définir une (co)homologie dite (co)homologie l2 .
Théorie à laquelle il adjoint des nombres de Betti, que l’on appele naturellement nombres
de Betti l2 , et qui possèdent des propriétés intéressantes que nous verrons.
Plus récemment, Mohan Ramachandran a démontré que l’invariant η qui est un invariant spectral qui apparait lorsque l’on travaille sur l’indice d’opérateurs elliptiques agissant
sur des variétés à bord, peut être défini dans ce même cadre de revêtements galoisiens.
5
2
Rappels
On présente ici les outils qui nous serviront dans notre développement
2.1
Revêtements et Fibrés vectoriels
Revêtements et fibrés vectoriels au dessus d’un espace topologique X font partis d’une
même grande famille, celle des fibrés. Les premiers étant des cas particuliers pour lesquels
les fibres au dessus de chaque point sont des espaces discrets, alors que pour les seconds
les fibres sont des espaces vectoriels.
2.1.1
Revêtements
Le but de cette section n’est certainement pas de faire une étude détaillée aux revêtements.
Nous rappelons simplement des résultats qui nous permettrons de comprendre pourquoi le
cadre des revêtements galoisiens est adapté pour notre étude. Pour plus de détails voir par
exemple [God], [Hat1] et [Pau].
Définition 2.1 Soit X un espace topologique, Un revêtement de X est la donnée d’un
espace topologique X̃ et d’une application continue p : X̃ 7−→ X ayant la propriété de
trivialité locale suivante:
Pour tout point x de X il existe un voisinage V de x, un espace discret non vide F et
un homéomorphisme Φ : p−1 (V ) 7−→ V × F tel que le diagramme
p−1 (V )
FF
FF
F
p FFF
F#
Φ
V
/V ×F
yy
yy
y
yy q
y| y
soit commutatif.
X est la base du revêtement, X̃ l’espace total, p la projection et p−1 (x) la fibre au-dessus
du point x de X.
Remarque: Dans tout ce qui suit l’espace topologique X sera supposé connexe et localement connexe par arcs.
Parmi les revêtements, nous privilégierons ceux qui proviennent d’actions de groupes
sur des variétés, appelés Γ-revêtements.
6
Définition 2.2 Une action (à gauche) d’un groupe Γ sur une variété X̃ est un morphisme
ρ : Γ 7−→ σ(X̃) , g 7−→ ρ(g) : x 7−→ ρ(g)(x) = g.x (où σ(X̃) désigne les homéomorphismes
de X̃). Ainsi on a:
• g.(h.x) = (g.h).x pour tout g et h dans Γ et x dans X̃.
• eΓ .x = x pour tout x dans X̃
• ∀g ∈ Γ, ρ(g) est un homéomorphisme de X̃.
Qui dit action de groupe, dit espace des orbites de cette action. Il est alors légitime de
se demander dans quelles conditions l’action d’un groupe sur une variété donne naissance
à un espace d’orbites qui est aussi une variété. Pour cela nous allons considérer des actions
vérifiant certaines propriétés:
Définition 2.3 L’action d’un groupe Γ sur une variété X̃ sera dite propre et libre si tout
x ∈ X̃ possède un voisinage U tel que gU ∩ hU = ∅ et ce ∀g, h ∈ Γ tel que g 6= h.
On admet alors le résultat suivant (voir [Pau]):
Théorème 2.1 Si Γ est un groupe qui agit proprement et librement sur une variété X̃,
alors X = X̃/Γ est aussi un variété et l’application p : X̃ 7−→ X est un revêtement de X.
On dit alors que X̃ est un Γ-revêtement de X.
Nous allons maintenant voir comment établir un lien entre la notion générale de revêtement
et celle de Γ-revêtement, grâce aux notions d’homotopie et de groupe fondamental.
En effet, la théorie de l’homotopie étudie les déformations continues de lacets partant
d’un point x0 et y revenant, x0 appartenant à un espace topologique X. A équivalence
homotopique près elle les classifie. L’ensemble de ces classes d’équivalence, muni de la loi
de composition interne de concaténation des chemins, est alors un groupe appelé groupe
fondamental et noté π1 (X, x0 ). Et, si l’on étudie, en parallèle, les revêtements de ce même
espace X, il s’avère qu’il y en a un privilégié: le revêtement universel, qui à la propriété
d’être un revêtement de tous les revêtements de X. Un premier résultat important est le
suivant (pour une preuve voir [Hat1])
Théorème 2.2 Il y a bijection entre, d’un coté l’ensemble des classes d’isomorphismes
de revêtements connexes par arcs préservant le point de base, p : (X̃, x˜0 ) 7−→ (X, x0 ),
et de l’autre l’ensemble des sous-groupes de π1 (X, x0 ). Elle est obtenue en associant le
sous-groupe p∗ (π1 (X̃, x˜0 ) au revêtement (X̃, x˜0 ). Et si l’on ignore le point de base, on
obtient une bijection entre les classes d’isomorphismes de revêtements connexes par arcs
p : X̃ 7−→ X et les classes de conjugaisons de π1 (X, x0 ).
7
Ainsi à tout revêtement de X on associe un sous-groupe du groupe fondamental de X.
Remarque: le groupe associé au revêtement universel est naturellement le groupe fondamental.
Une des idées se cachant derrière ce résultat consiste à considérer le groupe Aut(X̃) des
automorphismes d’un revêtement X̃ de X. On a alors le résultat suivant:
Proposition 2.3 Soit p : X̃ 7−→ X un revêtement. Le groupe Aut(X̃) agit proprement et
librement sur X̃.
DEMONSTRATION: Soient y un point de X̃, x = p(y), V un voisinage de x trivialisant
le revêtement et enfin U un voisinage de y tel que p|U soit un homéomorphisme de U sur
V . Si g ∈ Aut(X̃), g.U est un des ouverts V × {f }, donc g.U ∩ U est vide ou égal à U . Si
g.U ∩ U = U , g.y ∈ U , mais y est le seul point de U dont l’image par p est x, donc g.y = y.
Si l’action était libre on aurait g = Id ce qui achève le raisonnement. Reste à montrer que
l’action est libre. Pour cela on renvoie à [God].
Définition 2.4 Un revêtement p : X̃ 7−→ X est galoisien si le groupe Aut(X̃) opère
transitivement sur les fibres de X̃
Le théorème suivant , qui est une forme de correspondance galoisienne, explicite le lien
entre revêtements galoisiens d’une variété compacte et actions propres, libres et cocompactes d’un groupe discret sur une variété paracompacte (pour une preuve voir [Pau]).
Théorème 2.4 Soit p : X̃ 7−→ X un revêtement (séparé), avec X connexe et localement
connexe par arcs, y ∈ X̃, x = p(y), F = p−1 (x). Les conditions suivantes sont équivalentes:
• L’action de Aut(X̃) sur F est transitive.
• p∗ π1 (X̃, y) est distingué dans π1 (X, x).
• p∗ π1 (X̃, t) = p∗ π1 (X̃, z), pour tout t, z ∈ F
• Il existe un groupe discret Γ agissant librement sur X̃ et un homéomorphisme f :
X̃/Γ 7−→ X tel que si π : X̃ 7−→ X̃/Γ est la projection canonique, alors le diagramme
suivant commute:
f
X̃/Γ
aBB
BB
B
π BBB
p
X̃
8
/X
@
2.1.2
Fibrés vectoriels
L’importance des fibrés vectoriels est assez claire, ils fournissent le cadre général pour
l’étude des opérateurs sur les variétés. Ce sont des champs d’espaces vectoriels (localement
de même dimension) qui ressemble, autour de chaque point de la variété, au fibré trivial.
Pour ce qui suit, on ne rencontrera que des fibrés vectoriels complexes. Les livres [Ati2] et
[Hat2] possèdent de longs paragraphes sur le sujet.
Définition 2.5 Un fibré vectoriel complexe de dimension n est une application p : E 7−→
X tel que pour tout x ∈ X, p−1 (x) soit muni d’une structure d’espace vectoriel, et ce de
manière à avoir la propriété de trivialité locale suivante: Il existe un recouvrement de X
par des ouverts Ui pour lesquels il existe un homéomorphisme hi : p−1 (Ui ) 7−→ Ui × Cn
envoyant p−1 (x) sur {x} × Cn . Un tel hi est appelé trivialisation locale du fibré. X en est
la base, E l’espace total et p−1 (x) les fibres.
Remarque: cette définition est celle d’un fibré vectoriel topologique, nous allons en rencontrer qui seront lisses, il suffit de remplacer ”homéomorphisme” par ”difféomorphisme lisse”
dans la définition 2.5. Exemples:
• Le fibré trivial E = X × Cn avec p projection sur le premier facteur.
• Le fibré tangent au dessus d’une variété différentielle.
Définition 2.6 Une section d’un fibré vectoriel p : E 7−→ X est une application associant
à chaque x ∈ X un vecteur s(x) dans la fibre p−1 (x). (Exemple, les sections lisses du fibré
tangent d’une variété lisse sont les champs de vecteurs sur cette variété).
On peut faire, sous certaines hypothèses, des opérations sur les fibrés vectoriels. Par
exemple, la somme directe, ou le produit tensoriel.
Etant donné deux fibrés vectoriels p1 : E1 7−→ X et p2 : E2 7−→ X au dessus de la
même base X. On veut créer un troisième fibré vectoriel au dessus de X, dont les fibres
au dessus de chaque point de X seraient la somme directe des fibres de E1 et E2 au dessus
de ce même point. Cela nous amène à définir la somme directe de E1 et E2 comme suit:
E1 ⊕ E2 = {(v1 , v2 ) ∈ E1 × E2 |p1 (v1 ) = p2 (v2 )}
Il y a alors une projection E1 ⊕ E2 7−→ X envoyant (v1 , v2 ) sur le point p1 (v1 ) = p2 (v2 ).
Les fibres de cette projection sont les sommes directes des fibres de E1 et E2 comme espéré.
Pour ce qui concerne la trivialisation locale on commence par deux remarques:
• Etant donné un fibré vectoriel p : E 7−→ X et un sous espace Y ⊂ X, alors p :
p−1 (Y ) 7−→ Y est clairement un fibré vectoriel appelé restriction de E à Y
9
• Etant donné deux fibrés vectoriels p1 : E1 7−→ X et p2 : E2 7−→ Y , alors p1 × p2 :
−1
E1 × E2 7−→ X × Y est encore un fibré vectoriel avec pour fibres les p−1
1 (x) × p2 (y).
Si h1 et h2 sont des trivialisations locales respectivement de E1 et E2 , alors h1 × h2
est une trivialisation locale de E1 × E2 .
Ainsi, si E1 et E2 ont la même base X, la restriction du fibré E1 × E2 à la diagonale de
X × X est exactement E1 ⊕ E2 .
De plus les fibrés vectoriels peuvent (parfois) être munis d’une structure hermitienne.
Définition 2.7 Un produit hermitien dans un fibré vectoriel p : E 7−→ X est une application
<, >: E ⊕ E 7−→ C
qui restreinte à chaque fibre est un produit scalaire hermitien.
Exemple: le complexifié du fibré tangent au dessus d’une variété différentielle.
Proposition 2.5 Un produit hermitien existe pour un fibré vectoriel p : E 7−→ X dès que
X est paracompacte
Preuve: voir [Hat1].
On montre aussi facilement qu’étant donné deux fibrés vectoriels p1 : E1 7−→ X et
−1
p2 : E2 7−→ X, la réunion disjointe des espaces vectoriels p−1
1 (x) ⊗ p2 (x) pour x ∈ X peut
être muni d’une topologie qui en fait un fibré vectoriel au dessus de X noté E1 ⊗ E2 , et
appelé produit tensoriel de E1 et E2 .
2.2
Opérateurs de Fredholm
Les opérateurs de Fredholm sont ceux pour lesquels on peut définir l’indice dans Z. Voir
[Ben].
Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert, B(H1 , H2 ) l’espace de Banach des opérateurs
bornés A : H1 7−→ H2 . Pour tout A ∈ B(H1 , H2 ) on note:
• Ker(A) = {x|x ∈ H1 , Ax = 0}
• Im(A) = {y = Ax|x ∈ H1 }
• Coker(A) = H2 /Im(A)
Ainsi Ker(A) est un sous-espace fermé de H1 , Im(A) est un sous espace (pas forcément
fermé de H2 et Coker(A) est un espace vectoriel. Si Im(A) est fermé alors il y a un
isomorphisme entre Coker(A) et (Im(A))⊥ = Ker(A∗ ).
10
Définition 2.8 Un opérateur A ∈ B(H1 , H2 ) est dit de f redholm si dim(Ker(A)) < ∞
et dim(Coker(A)) < ∞. Son indice est alors l’entier naturel
Ind(A) = dim(Ker(A)) − dim(Coker(A))
On notera F(H1 , H2 ) l’ensemble des opérateurs de Fredholm de H1 dans H2 .
Le théorème suivant va nous servir pour montrer que les opérateurs elliptiques sur des
variétés compactes sont de type Fredholm.
Théorème 2.6 Soient H1 et H2 des espaces de Hilbert et T : H1 7−→ H2 un opérateur
linéaire continu. Supposons qu’il existe des opérateurs linéaires continus S1 : H2 7−→ H1
et S2 : H2 7−→ H1 tels que
T S2 − I et S1 T − I
sont des opérateurs compacts. Alors T à la propriété de Fredholm.
DÉMONSTRATION. On commence par montrer que le fait d’avoir des inverses à gauche
et à droite modulo les compacts, implique celui d’avoir des inverses à gauche et à droite
modulo les opérateurs de rang fini. S1 T = I − K1 avec K1 compact. On trouve P1 de rang
fini tels que kP1 − K1 k < 1/2 (par densité des opérateurs de rang fini dans les opérateurs
compacts). On a
I − K1 = I − (K1 − P1 ) − P1 = (I − (K1 − P1 ))[I − (I − (K1 − P1 ))−1 P1 ]
qui a un sens car
(I − (K1 − P1 ))−1 = I + (K1 − P1 ) + (K1 − P1 )2 + ...
la série convergeant en norme d’opérateur. Alors en prenant
S˜1 = (I − (K1 − P1 ))−1 S1 et P˜1 = (I − (K1 − P1 ))−1 P1
on obtient S˜1 T = I − P˜1 , S˜1 ∈ B(H2 , H1 ), P˜1 ∈ Bf in (H1 ). De même on peut construire
˜
S2 ∈ B(H2 , H1 ), P˜2 ∈ Bf in (H2 ) tel que T S˜2 = I − P˜2 , ce qui prouve notre premier résultat.
Montrons maintenant que l’existence d’inverses à gauche (K1 ) et à droite (K2 ) modulo
les opérateurs de rang fini pour T implique la propriété de Fredholm.
En fait, on remarque que KerT ⊂ Ker(I − K1 ) et ImT ⊃ Im(I − K2 ). Ainsi
dimKerT < ∞ et dimCokerT < ∞. Donc T est de Fredholm. (on utilise la remarque suivante:
11
Si K est opérateur de rang fini alors
dim(Ker(I − K)) < ∞, dim(Coker(I − K)) < ∞
car clairement
Ker(I − K) ⊂ Im(K), Ker(K) ⊂ Im(I − K)
et codim(Ker(K)) = dim(Im(K)). En particulier I − K est de Fredholm.)
L’application Ind : F(H1 , H2 ) 7−→ Z est en fait continue (Cf [Ben]), ainsi on peut
démontrer la proposition suivante:
Proposition 2.7
• Si T : [0, 1] 7−→ F(H1 , H2 ) est une application continue, alors
IndT (0) = IndT (1).
• Si T est de Fredholm et K est compact, alors T + K est de Fredholm et Ind(T + K) =
IndT .
DÉMONSTRATION. (1)L’application d’indice composée avec T est continue du connexe
[0, 1] dans le discret Z, elle est donc constante.
(2) on conclut en appliquant le premier point à T (t) := T + tK. 2.3
Théorie des distributions
Régulièrement dans notre étude nous serons amené à étudier des opérateurs à noyaux,
certains d’entre eux seront des opérateurs à noyaux classiques (i.e. de type intégrable, continu, lisse ...) d’autres, dans un cadre plus général, auront des noyaux de type distribution.
Cela va provenir d’une considération d’inclusion continue entre divers espaces fonctionnels
et d’un théorème trés fort de Laurent Schwartz. Des références sont [Sch] et [Hor].
Le cadre d’étude sera le suivant: X est une variété lisse, E un fibré vectoriel complexe
au-dessus de X, C ∞ (X, E) l’espace des sections lisses de E et Cc∞ (U ) celui des sections
lisses à support compact.
On va munir ces espaces de nouvelles topologies (topologies de Schwartz). Mais commençons par un cadre plus restrictif, le cadre euclidien.
Définition 2.9 Soit U un ouvert de Rn et posons E = U × Cm . Soit K ⊆ U un compact.
Pour tout multi-indice α et tout u ∈ C ∞ (U, E), posons
NK,α (u) := supx∈K |∂ α u(x)|
12
L’espace C ∞ (X, E) muni de la topologie engendrée par ces semi-normes est un espace
vectoriel topologique noté E(U, E).
Remarque: Reste à transcrire cela pour les variétés. Pour cela on considère un atlas
(ψi , Ui ) de X qui trivialise le fibré E. Une carte ψi de cet atlas induit une bijection entre
C ∞ (Ui , E|Ui ) et C ∞ (ψi (Ui ), ψi (Ui ) × Cm ) et permet alors de transporter la topologie de
E(ψi (Ui ), ψi (Ui ) × Cm ) sur C ∞ (Ui , E|Ui ). On munit alors C ∞ (X, E) de la topologie la
moins fine qui rend continue les restrictions
ri : C ∞ (X, E) 7−→ C ∞ (Ui , E|Ui )
Cette topologie est intrinsèque. On note alors E(X, E) l’espace C ∞ (X, E) muni de cette
topologie.
Définition 2.10 Soit U un ouvert de Rn et posons E = U × Cm . Soit K ⊆ U un compact.
Pour tout multi-indice α et tout u ∈ C ∞ (U, E) avec suppu ⊆ K, posons
Nα (u) := supx∈U |∂ α u(x)|
L’ensemble {u ∈ C ∞ (U, E)|suppu ⊆ K} muni de la topologie engendrée par ces seminormes est un espace vectoriel noté DK (U, E).
Comme pour l’espace précédent on peut transporter la topologie sur les variétés.
Cette définition est une transition pour permettre de définir l’espace séminal de la
théorie des distributions:
Définition 2.11 Soit P l’ensemble de toutes les semi-normes p sur Cc∞ (X, E) telles que
pour tout compact K ⊆ X la restriction p|DK (X,E) est une semi-norme continue sur
DK (X, E). L’espace Cc∞ (X, E) muni de la topologie engendrée pa P est un espace vectoriel topologique noté D(X, E).
Les distributions sont alors définies comme suit:
Définition 2.12 Une section distribution est une forme linéaire continue sur l’espace
D(X, E). On note D0 (X, E) l’espace des sections distributions du fibré vectoriel E au
dessus de X.
Le but de ce paragraphe n’étant pas de faire une introduction exhaustive aux distributions, allons à l’essentiel, c’est à dire, pour nous, la notion de dérivée au sens des
distributions et surtout, le théorème des noyaux de Schwartz.
On commence par une notation: Si f est une distribution à laquelle on applique u,
nous noterons < f, u > au lieu de f (u).
13
Exemple:
Soit f ∈ L1loc (U ) une fonction localement intégrable sur U . On peut voir f comme une
distribution Tf en notant pour tout u ∈ D(U ):
Z
< Tf , u >=
f (x)u(x)dx
U
La notion de dérivée au sens des distributions nous sera utile dans le paragraphe suivant
pour définir les espaces de Sobolev.
Définition 2.13 Soit f ∈ D0 (U ) une distribution et α un multi-indice. On appelle α-ième
dérivée de f , et on note ∂ α f la distribution définie par
< ∂ α f, u >= (−1)|α| < f, ∂ α u >
pour tout u ∈ D(U )
Comme annoncé dans l’introduction à ce paragraphe, nous allons un peu nous attarder sur
la notion de noyau et plus particulièrement celle de noyau de type distribution.
Proposition 2.8 Soient X et Y des variétés, et notons Z = X × Y . L’application
φ : Cc∞ (X) ⊗ Cc∞ (Y ) 7−→ Cc∞ (Z)
définie par φ(u ⊗ v)(x, y) = u(x)v(y) est injective, et son image est dense dans Cc∞ (Z)
DÉMONSTRATION. Soient u1 , ..., um ∈ Cc∞ (X) et v1 , ..., vm ∈ Cc∞ (Y ) et supposons
X
ui ⊗ vi ∈ Kerφ
1≤i≤m
Sans perte de généralité supposons que v1 , ..., vm sont linéairement indépendants sur C.
Comme par hypoytèse
X
ui (x)vi = 0
1≤i≤m
pour tout x ∈ X, on a ui = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ m, donc
X
ui ⊗ vi = 0
1≤i≤m
14
Ce qui montre que φ est injectif. Pour la densité, au lieu de montrer que Imφ est dense
dans Cc∞ (Z), on peut aussi montrer que toute forme linéaire continue sur Cc∞ (Z) dont la
restriction à Imφ est nulle est déjà nulle sur Cc∞ (Z), c’est à dire on utilise un résultat
d’analyse fonctionelle
Imφ est dense ⇐⇒ T r : D0 (Z) 7−→ (Imφ)0 est injectif
Choisissons alors f ∈ KerT r, et montrons que f = 0. Il suffit de montrer que suppf =
∅, c’est à dire que x ∈
/ suppf pour tout x ∈ X. Quitte à choisir une carte appropriée, il
suffit de montrer l’assertion dans le cas X = Rn , Y = Rm et x = (0, 0). On choisit des
fonctions µ ∈ Cc∞ (X) et ν ∈ Cc∞ (Y ) à valeurs dans [0, 1] telles que µ(s) = 1 et ν(t) = 1
dans un voisinage de 0 de X respectivement Y , et telles que
R
µ(s)ds = 1 et
R
ν(t)dt = 1
Pour tout > 0 posons
h (x, y) := −(n+m) (µ(s−1 ) ⊗ ν(t−1 ))
Les fonctions h ainsi définies forment une unité approchée de D0 (Z). On a d’une part
lim(f ? h ) = f
et d’autre part
f ? h (x, y) = 0
Par hypothèse sur f , ce qui montre que f = 0. Définition 2.14 Soit U un ouvert de Rn et T : Cc∞ (U ) 7−→ C ∞ (U ) une application
linéaire continue. On appelle noyau de distribution de T la distribution K sur U × U
définie par
< T v, u >=< K, u ⊗ v >
pour tout u, v ∈ Cc∞ (U )
Remarque: Cette définition appelle, bien entendu, une justification, surtout pour ce
qui concerne l’existence et l’unicité d’une telle distribution K. Le théorème suivant, du à
Laurent Schwartz, répond à cette question.
Théorème 2.9 (Noyaux de Schwartz). Soit K ∈ D0 (X1 × X2 ). L’application
T : D(X2 ) 7−→ D0 (X1 )
15
définie par < T v, u >= K(u ⊗ v) est linéaire et continue dans le sens que limT vj = 0
dans D0 (X1 ) si limvj = 0 dans D(X2 ).
Réciproquement, pour toute application linéaire continue T : D(X2 ) 7−→ D0 (X1 ) il
existe une distribution unique K ∈ D0 (X1 × X2 ) telle que < T v, u >= K(u ⊗ v).
DÉMONSTRATION. Voir [Hor]. Par exemple, et cela nous servira par la suite, la suite d’inclusions continues d’espaces
fonctionnels suivante:
Cc∞ (X) = D(X) ⊂ L2 (X) ⊂ D0 (X)
Nous permet de parler de noyau distribution pour les opérateurs bornés de L2 (X). En
effet, il suffit de considérer le diagramme suivant:
L2 (X) −→ L2 (X)
↑
↓
D(X) −→ D0 (X)
2.4
Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert
On donne une description rapide de résultats fondamentaux de la théorie de ces opérateurs,
la plupart du temps sans démonstration (voir par exemple [RSR]).
Soit H un espace de Hilbert. Un opérateur linéaire est une application linéaire
A : D(A) 7−→ H
où D(A) est un sous espace vectoriel de H
Si D(A) est dense dans D on dit que A est densément défini.
L’opérateur inverse existe si et seulement si Ker(A) = 0 et dans ce cas D(A)−1 = Im(A)
Si A et B sont des opérateurs linéaires
D(BA) = {f |f ∈ D(A), Af ∈ D(B)}
16
Le graphe d’un opérateur linéaire A est
GA = (f, Af )|f ∈ D(A)} ⊂ H ⊕ H
A sera dit fermé si son graphe est fermé, il sera dit fermable si l’adhérence de son graphe
est le graphe d’un opérateur linéaire A.
Supposons que A est densément défini, on définit alors l’adjoint A∗ de A comme suit:
D(A∗ ) est l’espace des g ∈ H tels que il existe g ∗ ∈ H vérifiant
< Af, g >=< f, g ∗ >, f ∈ D(A)
puisque D(A) est dense, le vecteur g ∗ est unique et donc on peut définir A∗ g = g ∗ .
Remarque: A∗ est toujours fermé.
Lemme 1 A∗ est densément défini si et seulement si A est fermable. Alors
A = A∗∗
Définition 2.15 Un opérateur linéaire A est dit symmétrique si
< Af, g >=< f, Ag >, f, g ∈ D(A)
Si A est densément défini cela équivaut à dire que A∗ est une extension de A.
Un opérateur A est dit autoadjoint s’il est densément défini et si A∗ = A
Définition 2.16 Un opérateur A est dit essentiellement autoadjoint s’il est fermable et si
A est autoadjoint.
Définition 2.17 Soit A un opérateur linéaire sur H, soit z ∈ C. On dit que z est un
point régulier pour A si (A − zI)−1 existe et est défini partout (et donc borné d’après le
théor`‘eme du graphe fermé). Le spectre σ(A) est le complémentaire dans C de l’ensemble
des points réguliers.
Nous allons maintenant donner deux résultat dans le cadre non borné similaires au cas
borné.
Théorème 2.10 (Spectral) Soit A un opérateur autoadjoint d’un espace de hilbert H;
Alors il existe un espace mesuré (X, µ), un opérateur unitaire U : H 7−→ L2 (X) et une
fonction mesurable définie presque partout f , tels que
A = U −1 Mf U
On pourra donc définir le calcul fonctionnel borélien pour de tels opérateurs.
Théorème 2.11 (Décomposition polaire) Soit A un opérateur fermé et densément défini
sur H. Alors A peut être, de manière unique, représenté sous la forme A = U S où S est
autoadjoint positif et U est une isométrie partielle telle que
Ker(U ) = Ker(S) = (Im(S))⊥
17
2.5
Opérateurs différentiels et pseudo-différentiels
Ils sont au centre de cette étude, on les définit d’abord dans un cadre euclidien, puis d’une
manière plus générale sur des variétés lisses (qui seront les espaces privilégiés ici). On peut
regarder [Shu] et [Hor] pour aller plus loin
Parmi ces opérateurs, nous étudierons plus spécifiquement les opérateurs dits elliptiques
qui ont les propriétés agréables suivantes :
• Les solutions faibles (i.e. distributions) de Du = 0 sont solutions fortes (i.e. lisses)
• Ce sont des opérateurs de Fredholm
Afin d’accepter aisément la première propriété (que l’on admet) de ces opérateurs,
donnons un exemple simple:
L’opérateur Laplacien D est elliptique. Les solutions de Df = 0 sont appelées fonctions
harmoniques. Or les fonctions harmoniques sont aussi caractérisées par le fait d’être partie
réelle de fonctions analytiques. Ce qui va dans le sens de la propriété de régularité des
solutions d’équations elliptiques.
Le but de ce chapitre est en fait de démontrer des résultats importants pour les
opérateurs elliptiques. Tout d’abord, le fait qu’un opérateur elliptique sur une variété
compacte sans bord est de type Fredholm (dans des espaces de Hilbert appropriés). Ces
espaces de Hilbert seront des espaces de Sobolev. Pour démontrer le résultat, on va aussi
faire appel au théorème 2.6. La technique qui permettra de construire des inverses modulo
les opérateurs compacts sera celle des opérateurs pseudo-différentiels.
2.5.1
Opérateurs différentiels
On commence par considérer un ouvert U ⊂ Rn .
Définition 2.18 Un opérateur différentiel sur U est un opérateur A : C ∞ (U ) 7−→ C ∞ (U )
de la forme:
X
A=
aα (x)Dα ,
|α|≤m
où m est un entier ≥ 0, α un multi-indice et Dα la différenciation classique associée à α,
avec Dj = −i ∂x∂ j . On notera alors ordA ≤ m.
18
Si on définit a : U × Rn 7−→ C par a(x, ξ) =
X
aα (x)ξ α , alors a ∈ C ∞ (U × Rn )
|α|≤m
∞
est appelé le symbole
Xde A. C’est un polynôme en ξ à coefficients dans C (U ). La
α
aα (x)ξ est nommée symbole principal de A. C’est un polynôme
fonction am (x, ξ) =
|α|=m
homogène en ξ de degré m.
On notera A = a(x, D).
Définition 2.19 Un opérateur différentiel A sera dit elliptique d’ordre m si ordA ≤ m et
si ξ 6= 0 =⇒ am (x, ξ) 6= 0.
Donnons maintenant un première généralisation de cette définition, qui nous servira
pour définir les opérateurs différentiels opérant sur les sections d’un fibré vectoriel au
dessus d’une variété.
On va considérer deux entiers positifs p et q. Un opérateur
A : C ∞ (U )p 7−→ C ∞ (U )q
est appelé opérateur différentiel s’il peut être écrit sous la forme
X
aα (x)Dα , mais cette
|α|≤m
fois ci les aα (x) sont des fonctions à valeurs dans les matrices p × q à coefficient dans
C ∞ (U ), i.e. dans Mp,q (C ∞ (U )). Alors le symbole principal est aussi une fonction à valeurs
matricielles. Un tel opérateur sera dit elliptique si p = q et si am (x, ξ) ∈ Mp (C ∞ (U )) est
inversible en chaque point (x, ξ) de U × (Rn − {0}).
Passons maintenant aux variétés. Soit X une variété lisse. Un opérateur
A : C ∞ (X) 7−→ C ∞ (X)
sera dit différentiel sur X si pour toutes cartes U ⊂ X et toutes fonctions f ∈ C ∞ (X), la
restriction (Af |U ) ne dépend que de U , et dans les coordonnées locales dans U , f |U 7−→
(Af |U ) est un opérateur différentiel sur U . L’opérateur A sera dit elliptique si ses restrictions aux cartes sont elliptiques. Ajoutons à cette ”construction”, mais nous n’irons pas
dans le détail, que le symbole principal de l’opérateur A a un sens modulo les difféomorphismes,
on peut donc parler de symbole pour les opérateurs différentiels sur les variétés. En fait le
symbole principal de A est une fonction bien définie du fibré cotangent de X, T ∗ X.
On en arrive au cadre de notre étude.
Soient E, F des C-fibrés vectoriels lisses au dessus de la variété lisse X. On considère
un opérateur
19
A : C ∞ (X, E) 7−→ C ∞ (X, F )
où C ∞ (X, E) et C ∞ (X, F ) sont les espaces vectoriels des sections lisses de E et F . Un tel
opérateur sera dit différentiel si on peut le voir comme un opérateur différentiel matriciel
(voir plus haut)
A : C ∞ (U )p 7−→ C ∞ (U )q
dans n’importe quelle carte U ⊂ X réalisant une trivialisation de E|U et de F |U (p et q
étant les dimensions des fibres de E et F respectivement). Les trivialisations locales induisent les isomorphismes suivants C ∞ (U, E) ∼
= C ∞ (U )p et C ∞ (U, F ) ∼
= C ∞ (U )q . Comme
précédemment on étudie le comportement du symbole principal qui ici devient, localement,
une fonction à valeurs matricielles.
Exemples....
2.5.2
Espaces de Sobolev
Soit U ⊂ Rn un ouvert, et s un entier positif.
Définition 2.20 L’espace de Sobolev H s (U ) est l’espace de toutes les fonctions f ∈ L2 (U )
telles que Dα f ∈ L2 (U ) pour tout multi-indice α , |α| ≤ s. Dα étant compris au sens des
distributions (voir le paragraphe qui leur est consacré).
Clairement H 0 (U ) = L2 (U ) et H s (U ) ⊂ H t (U ) si s > t.
On donne ensuite quelques résultats sans démonstration.
• H s (U ) est un espace de Hilbert avec le produit scalaire
XZ
< f, g >=
Dα f.Dα gdx
|α|≤s U
.
• Si s > n/2+k où s et k sont des entiers positifs, alors H s (U ) ⊂ C k (U ). En particulier,
\
H s (U ) ⊂ C ∞ (U ).
s>0
• (Théorème de compacité) Si s > t et U est borné, alors l’inclusion H s (U ) ⊂ H t (U )
est un opérateur compact.
20
On en tire qu’un opérateur différentiel A =
X
aα (x)Dα sur U , tel que toutes les
|α|≤m
dérivées Dβ aα sont bornées sur U , défini un opérateur linéaire borné
A : H s+m (U ) 7−→ H s (U )
pour tout s entier positif.
Ces définitions et résultats se transportent sans difficulté sur les variétés lisses compactes
et leurs revêtements galoisiens ainsi que pour les sections de fibrés (au dessus de variétés
lisses...). On détaille un peu pour les fibrés.
Soit E un fibré vectoriel lisse au dessus d’une variété compacte lisse X. Si U est
une carte de X trivialisant E|U , alors les sections de E|U sont identifiées à des fonctions
s
vectorielles,
[ ainsi les espaces de Sobolev H (U, E) de telles sections sont définis. Si on a
X=
Uj (les Uj étant des ouverts trivialisants) alors,
1≤j≤n
H s (X, E) = {f : f ∈ L2 (X, E), φj f |Uj ∈ H s (Uj , E), j = 1....n}
avec (φj ){j} partition de l’unité subordonnée au recouvrement (Uj ){j} de X.
H s (X, E) est encore un espace de Hilbert...
2.5.3
Opérateurs pseudo-différentiels
Soit une fonction u ∈ Cc∞ (U ) où U est un ouvert de Rn . Nous pouvons la représenter grâce
au théorème d’inversion de Fourier par:
Z
−n
eix.ξ û(ξ)dξ
u(x) = (2π)
Rn
On suppose maintenant que A = a(x, Dx ) est un opérateur différentiel dans U avec pour
symbole a = a(x, ξ). Puisque Dx eix.ξ = eix.ξ ξ on a:
Z Z
Au(x) = (2π)−n
ei(x−y).ξ a(x, ξ)dydξ
L’idée consiste alors à étendre la classe des symboles de cette formule des fonctions
polynomiales en ξ à des fonctions plus générales.
21
Définition 2.21 Pour tout m ∈ R on éfinit S m (U × Rn ) comme l’ensemble des fonctions
a ∈ C ∞ (U × Rn ) vérifiant:
|∂ξα ∂xβ a(x, ξ)| ≤ CαβK (1 + |ξ|)m−|α|
où K est
espace compact de U , α, β sont des multi-indices. On définit aussi
T un sous
−∞
m
S
= m∈R S (U × Rn ).
On arrive alors à une première définition des opérateurs pseudodifférentiels:
Définition 2.22 Ψm (U ) est la classe des opérateurs A : Cc∞ (U ) 7−→ C ∞ (U ) qui sont de la
forme A = a(x, Dx ) + T où a ∈ STm (U × Rn ) et T est un opérateur avec noyau de Schwartz
lisse. On définit aussi Ψ−∞ = m∈R Ψm (U ) qui est la classe des opérateurs T à noyau
infini.
On décrit ensuite une autre classe d’opérateurs pseudodifférentiels appelés pseudodifférentiels classiques
m (U × Rn est la classe des fonctions a ∈ C ∞ (U × Rn ) telles qu’il existe
Définition 2.23 Scl
des fonctions am−j = am−j (x, ξ) ∈ C ∞ (U × Rn − 0), j = 0, 1, 2, ... qui sont positivement
homogènes d’ordre m − j en ξ, i.e.:
am−j (x, tξ) = tm−j am−j (x, ξ), (x, ξ) ∈ U × Rn − 0, t > 0
et a(x, ξ) est présentée comme une somme asymptotique
X
a(x, ξ) =
am−j (x, ξ)
j∈N
dans le sens suivant: si χ ∈ C ∞ (Rn ), χ(ξ) = 0 près de 0 et χ(ξ) = 1 près de l’∞, alors
X
a(x, ξ) −
χ(ξ)am−j (x, ξ) ∈ S m−n (U × Rn )
0≤j≤n−1
pour tout n = 1, 2, 3, ...
Notons que χ(ξ)am−j (x, ξ) ∈ S m−j (U × Rn ) ainsi
m
Scl
(U × Rn ) ⊂ S m (U × Rn )
∞
∞
Définition 2.24 Ψm
cl (U ) est la classe des opérateurs A : Cc (U ) 7−→ C (U ) qui sont de la
m
n
forme A = a(x, Dx ) + T où a ∈ Scl (U × R ) et T est opérateur de lissage. Alors la fonction
am est appelée symbole principal de A. Un opérateur sera dit elliptique si am (x, ξ) 6= 0
pour tout (x, ξ) ∈ U × (Rn − 0).
22
Une des plus importantes propriétés des opérateurs pseudodifférentiels est donnée par
le lemme (admis, voir [Shu]) suivant:
Lemme 2 Pour tout A ∈ Ψm (U ), son noyau de Schwartz est lisse dans le complément de
la diagonale ∆ de U × U . En d’autres termes KA ∈ C ∞ (U × U − ∆).
Remarque: la propriété de A donnée dans le lemme ci dessus est aussi énoncée en disant
que A est pseudolocal, ce qui signifie que
singsupp(Au) ⊂ singsupp(u)
où u ∈ E 0 (U ) (i.e. une distribution à support compact dans U ), A est étendu à E 0 (U )
par continuité et singsupp(u) est le complément (dans U ) du plus grand ouvert V ⊂ U tel
que u|V soit lisse.
Lemme 3 Si A ∈ Ψm (U ) et V est un voisinage de la diagonale ∆ alors A peut être
représenté sous la forme A = A1 + T où T ∈ Ψ−∞ (U ) et supp(KA1 ) ⊂ V .
Preuve. Soit χ ∈ C ∞ (U ×U ) choisie telles que supp(χ) ⊂ U et χ = 1 dans un voisinage plus
petit de la diagonale. On considère alors A1 avec pour noyau KA1 (x, y) = χ(x, y)KA (x, y),
et T = A − A1 . Le lemme précédent nous assure que KT est lisse et cela suffit à démontrer
le résultat.
On peut choisir V avec la propriété suivante: si on prend la fermeture V de V dans
U × U , alors pour tout compact K ⊂ U , π1−1 (K) ∩ V et π2−1 (K) ∩ V sont des compacts
de U × U . (Ici π1 , π2 : U × U 7−→ U sont les projections de U × U sur les premier et
second facteur respectivement). On dit alors que ces projections de V dans U sont des
applications propres. La même chose est vérifiée par supp(KA1 ).
Définition 2.25 Un opérateur A : Cc∞ (U ) 7−→ C ∞ (U ) avec KA pour noyau de Schwartz,
est dit proprement supporté si chacune des projections π1 , π2 : supp(KA ) 7−→ U est propre.
Dans ce cas supp(Af ) ⊂ π1 (supp(KA ) ∩ π2−1 (supp(f ))) et il s’en suit que pour tout
compact K ⊂ U il existe un compact K̃ ⊂ U tel que
{f ∈ Cc∞ (U ), supp(f ) ⊂ K} =⇒ {supp(Af ) ⊂ K̃}
Ainsi A envoie Cc∞ (U ) dans Cc∞ (U ). De plus, pour tout compact K ⊂ U il existe un
compact K̃ 0 ⊂ U tel que Au|K ne dépende que de u|K̃ 0 . Aussi A se prolonge naturellement
en un opérateur A : C ∞ 7−→ C ∞ .
On en arrive au théorème important suivant:
23
Théorème 2.12 Soit A ∈ Ψm
cl (U ) un opérateur elliptique. Alors il existe un opérateur
B ∈ Ψ−m (U ) tel que B est proprement supporté et
BA = I − T1 , AB = I − T2 , Ti ∈ Ψ−∞ (U )
L’opérateur B est aussi elliptique. Il est unique modulo Ψ−∞ (U ). De plus, si B̃ ∈ Ψk (U )
est proprement supporté (pour tout réel k) et, soit B̃A − I ∈ Ψ−∞ , soit AB̃ − I ∈ Ψ−∞ ,
alors B̃ − B ∈ Ψ−∞ .
Preuve. Voir [Shu].
On dit alors que B est une paramétrix de A.
Regardons maintenant l’action des opérateurs pseudodifférentiels sur les espaces de
Sobolev. On commence par introduire les espaces de Sobolev d’indice s négatif.
Définition 2.26 H s (U ) pour un entier s < 0 est l’espace dual de H −s (U ) au sens suivant:
H s (U ) = {f |f ∈ D0 (U ); φ 7−→< f, φ > peut être étendue de Cc∞ (U ) à une forme
linéaire continue de H −s (U )}.
On a alors le théorème suivant:
Théorème 2.13 Soit A ∈ Ψm (U ), φ, ψ ∈ Cc∞ (U ). Alors l’opérateur u 7−→ φA(ψu) s’étend
0
de Cc∞ (U ) à un opérateur linéaire borné H s (U ) 7−→ H s (U ) pour s0 > s+m. En particulier,
si m ∈ Z, alors φAψ s’étend en un opérateur linéaire borné H s+m (U ) 7−→ H m (U ) pour
tout s ∈ Z.
On va maintenant voir comment appliquer ce résultat pour prouver la régularité locale
des solutions d’équations elliptiques.
Définition 2.27 Les espaces de Sobolev locaux sont:
s
(U ) = {u|u ∈ D0 (U ), φu ∈ H s (U ), ∀φ ∈ Cc∞ (U )}
Hloc
Théorème 2.14 Considérons l’équation Au = f où u, f ∈ D0 (U ), A est un opérateur
s (U ) pour un ouvert U ⊂ U . Alors u ∈
elliptique d’ordre m. Supposons que f ∈ Hloc
0
0
s+m
Hloc (U0 ). En particulier, si f est lisse, u est lisse (ce sera le cas pour notre étude car on
aura f = 0).
Preuve. Choisissons une paramétrix proprement supportée B de A, telle que BA = I − T
avec T opérateur de lissage. Il s’en suit que T est aussi proprement supporté. En appliquant
B aux deux cotés de l’équation Au = f on obtient u = Bf + T u. Clairement T u ∈ C ∞ (U ).
24
Choisissons maintenant un ouvert U1 ⊂ U0 tel que U1 soit compact dans U0 . Il est suffisant
s+m
de prouver que Bf ∈ Hloc
(U1 ) pour tout U1 de ce type. Soit alors χ ∈ Cc∞ (U0 ) telle que
s+m
χ = 1 dans un voisinage de U1 . Alors B(χf ) ∈ Hloc
(U ) en vertu du théorème précédent,
∞
s
car χf ∈ H (U ). De plus B((1 − χ)f )|U1 ∈ C (U1 )s en raison du caractère pseudolocal
s+m
de B. Ainsi Bf = B(χf ) + B((1 − χ)f ) ∈ Hloc
(U1 ) . Remarque: pour ne pas surcharger ce qui est déjà lourd, on admet que tout ces résultats
se transpose en terme de variété et pour le cadre des fibrés vectoriels au dessus des variétes.
Théorème 2.15 Soit X une variété lisse et soit D ∈ Ψm (X) proprement supporté. Soient
s, s0 ∈ R tels que s0 < s − m et soit K une partie compacte de X, et K 0 une partie compacte
0
de X telle que DE 0 (K) ⊆ E 0 (K 0 ). Alors l’opérateur D : H s (K) 7−→ H s (K 0 ) est compact.
DÉMONSTRATION. Une partie compacte K 0 ⊆ X telle que DE 0 (K) ⊆ E 0 (K 0 ) existe
par la poposition précédente. Cette même proposition assure que pour un tel K 0 on
peut prolonger D en un opérateur continu D : H s (K) 7−→ H s−m (K 0 ). Or l’inclusion
0
i : H s−m (K) 7−→ H s (K) est un opérateur compact. L’opérateur en question est la composition d’un opérateur continu et d’un opérateur compact, il est donc compact. On peut alors énoncer le résultat substanciel qui nous dit qu’un opérateur elliptique
sur une variété lisse compacte est de type Fredholm.
Théorème 2.16 Soit X une variété lisse compacte et A opérateur elliptique sur X. Pour
s ∈ R notons As le prolongement par continuité de A à H s (X). Alors:
• As : H s (X) 7−→ H s−m (X) a la propriété de Fredholm.
• KerAs ⊆ C ∞ (X). En particulier KerAs ne dépend pas de s.
• Ind(As ) ne dépend pas de s.
0
• ∀m0 < m et P ∈ Ψm (X) on a Ind(A + P ) = Ind(D).
DÉMONSTRATION. Comme A est elliptique, il existe un inverse modulo Ψ−∞ (X) de A,
c’est à dire un opérateur B elliptique tel que:
AB − I =: S ∈ Ψ−∞ (X)
BA − I =: T ∈ Ψ−∞ (X)
Soit s ∈ R. En vertu du théorème 2.13 et l’hypothèse que X est compacte on peut prolonger
A, B, S et T en des opérateurs linéaires continus
25
As : H s (X) 7−→ H s−m (X)
Bs : H s−m (X) 7−→ H s (X)
Ss : H s−m (X) 7−→ H s−m (X)
Ts : H s (X) 7−→ H s (X)
On a As Bs − I = Ss et Bs As − I = Ts . Les opérateurs Ss et Ts sont compacts car leur
noyau est lisse. Comme H s (X) et H s−m (X) sont des espaces de Hilbert, on peut appliquer
le théorème 2.6 et conclure que As et Bs ont la propriété de Fredholm. On a, grâce à la
version variété du théorème 2.12 que Ker(As ) ⊂ C ∞ (X). Pour la troisième partie du
théoème considérons l’adjoint formel A∗ de A. A∗ est elliptique et on sait que
IndAs = dimKerAs − dimKerAs ∗
Comme les dimensions des noyaux dans le terme de droite de l’équation ci dessus ne
dépendent pas de s (par la deuxième partie du th), IndAs ne dépend pas de s non plus.
Finalement, le prolongement de P à Ps : H s (X) 7−→ H s−m (X) est compact, vu le théorème
précédent. On conclut, grâce à la proposition 2.7. 2.6
Dimension de Von Neumann
Comme indiqué plus haut, la dimension de Von Neumann va nous permettre d’évacuer le
problème de la dimension classique (infinie) des espaces de solutions d’équations elliptiques
sur des variétés paracompactes. On trouve plus de résutats la concernant dans [Luc] ou
[Jon].
En préambule à ce paragraphe nous devons introduire la notion de A-module lorsque
A est une algèbre de Von Neumann.
Soit A une algèbre de Von Neumann qui possède une trace finie fidèle normale τ (en
abrégé trace). On suppose que τ (1) = 1. τ munie A d’une structure préhilbertienne (via
τ (ab∗ ), on note (H, τ ) sa complétion hilbertienne. Lorsque la trace est sous-entendue on
la note seulement H. De manière naturelle (par multiplication à gauche ou à droite) A se
représente linéairement dans H. On note L la représentation gauche et R la représentation
droite. Elles sont fidèles (i.e. A se plonge dans B(H)) et R0 = L et vice-versa.
En résumé (A, τ ) a un espace de représentation favori H (appelée encore représentation
GNS) et une algèbre commutante favorite munie elle aussi d’une trace aussi notée τ .
26
On considère maintenant H ⊗ L2 (I) l’espace hilbertien somme
directe dénombrable
M
i
2
indexée par I de copies de H (en d’autre termes H ⊗ L (I) =
H = HI ).
i∈I
Définition 2.28 On appelle A-module de Hilbert un espace Hilbertien V qui est muni
d’une représentation ρ de A dans V , pour lequel il existe un plongement isométrique Aéquivariant φ de V dans H ⊗ L2 (I). On appelle A-dimension (ou dimension de Von Neumann) du A-module de Hilbert V , la trace du projecteur orthogonal PV de H ⊗ L2 (I) sur
l’image de φ.
X
dimA (V ) := T r(PV ) =
τ (pi,i )
i∈I
Par exemple la A-dimension de Von Neumann de la représentation GNS de A est 1.
Définition 2.29 Si A = L(Γ) (i.e. l’algèbre de Von Neumann engendrée par la représentation
régulière gauche d’un groupe discret Γ) alors dimΓ (V ) = T rΓ (PV ) si V est un A-module,
que dans ce cas particulier (qui sera notre dans le reste de l’étude) on nomme Γ-module de
Hilbert.
Théorème 2.17 Soit V un A-module. Si u : V 7−→ H ⊗ l2 (I) est une isométrie
équivariante alors T r(uu∗ ) = dimA (V ) est indépendante de u.
Preuve. Si v est une autre isométrie équivariante, comme T r(ab) = T r(ba), on a
T r(uu∗ ) = T r((vu∗ )(uv ∗ )) = T r(vv ∗ ). Donnons quelques propriétés de cette dimension dans le cadre qui nous intéresse, i.e.
celui de Γ-modules.
Proposition 2.18 La dimension de Von Neumann dimΓ a les propriétes suivantes:
• dimΓ (L2 (Γ)) = 1 et dimΓ (0) = 0
• dimΓ (L2 (Γ) ⊗ H0 ) = dimC (H0 )
• dimΓ (M ⊕ N ) = dimΓ (M ) + dimΓ (N ) pour M, N Γ-modules
• si M ⊂ N alors dimΓ (M ) ≤ dimΓ (N ) avec égalité si et seulement si M = N .
27
Il s’en suit que l’ensemble de toutes les valeurs possibles prises par cette dimension est
un semi-groupe additif dans [0, ∞].
Exemple 1/ si Γ = {e}, la dimension de von Neumann est la dimension classique.
Exemple 2/ si Γ est fini les valeurs de dimΓ sont dans {k/n, k ∈ Z+ } et ∞, avec n ordre
de Γ.
Exemple 3/ si Γ est i.c.c (i.e. L(Γ) est un facteur de type II1 ) la dimension de Von
Neumann prend ses valeurs dans R+
Maintenant, il est légitime de détailler un peu plus en quoi cette dimension va intervenir
dans notre problème.
On rappelle que l’on étudie le ”noyau lisse” d’un opérateur elliptique D (i.e. les solutions
lisses de Du = 0) sur une variété X paracompacte. A priori l’espace vectoriel de ces
solutions est de dimension infinie. On va alors imposer à ces solutions d’être aussi L2 . La
dimension est encore infinie, mais le cadre hilbertien est plus agréable. En fait, on verra
vite que cet espace est un sous espace fermé de L2 (X) i.e. un espace de Hilbert V . Sa
dimension est infinie mais on peu voir V comme un L(G)-module (L(G) étant l’algébre
de Von Neumann régulière gauche associée au groupe G) et donc calculer sa dimension de
Von Neumann, qui elle sera finie.
28
3
Théorème de l’indice pour les revêtements
Le cadre d’étude est celui présenté en introduction:
• X̃ est une variété lisse paracompacte munie d’une mesure µ.
• Ẽ et F̃ sont des fibrés vectoriels au dessus de X̃, munis d’un produit hermitien noté
<, >.
• Γ est un groupe discret agissant sur X̃ (noté Γ y X̃), avec une action libre (i.e. le
quotient X = X̃/Γ est encore une variété lisse) et cocompacte (X est compacte) et
préservant la mesure µ.
• D̃ : C ∞ (X̃, Ẽ) 7−→ C ∞ (X̃, F̃ ) est un opérateur elliptique d’ordre m sur X̃ qui commute à l’action de Γ (i.e. Lg D̃ = D̃Lg , ∀g ∈ Γ)
Tout cela étant mis en place afin de définir proprement ce que sera l’indice IndΓ d’un
opérateur elliptique agissant sur les fibres au dessus d’une variété non-compacte, pour
ensuite démontrer le théorème d’Atiyah qui se résume ainsi:
IndΓ (D̃) = Ind(D)
Les hypothèses de cette étude sont fortes et on pourrait imaginer une résolution directe
du problème. En effet, tout est fait pour que chaque information sur X̃, Ẽ, D̃... provienne
d’une information sur X, E, D..., i.e. du cas compact bien connu.
En particulier si l’on étudie l’opérateur positif P̃ de projection sur l’espace (de Hilbert)
des solutions L2 de D̃u = 0 on montre que son noyau de Schwartz est lisse. Or en travaillant
autour des notions de Γ-dimension et d’opérateurs à Γ-trace, on obtient justement que de
tels opérateurs sont à Γ-trace, et si l’on se donne un domaine fondamental U de Γ y X̃
on a la formule
Z
Z
T rΓ (P̃ ) =
tr(p(x))dµ(x) =
tr(p(x))dµ(x)
U
X
où p(x) est l’élément agissant sur X dont le relevé à X̃ est le noyau p̃(x̃, x̃) de P̃ .
Mais, si ce p(x) était justement le noyau p(x, x) de l’opérateur P de projection sur les
solutions de Du = 0, et en faisant la même chose pour le conoyau, on aurait fini. En effet,
on pourrait alors écrire:
Z
T rΓ (P̃ ) =
tr(p(x, x))dµ(x) = T r(P )
X
et de même pour les conoyaux
29
T rΓ (P̃ 0 ) = T r(P 0 )
alors:
IndΓ (D̃) := T rΓ (P̃ ) − T rΓ (P̃ 0 ) = T r(P ) − T r(P 0 ) = Ind(D)
C’est à dire ce qu’on cherche à démontrer.
Sauf que les informations contenues dans le noyau de P̃ sont globales et, si les hypothèses
font que p̃ provient d’une section du fibré Hom(E, E) au dessus de X × X, cette section
n’est pas le noyau de l’opérateur P . Pour que tout se passe bien, il eut fallu que p̃ soit
proprement supporté.
Mais, qu’à cela ne tienne, Atiyah contourne le problème en se rappelant que l’indice
analytique d’un opérateur elliptique sur un variété compacte se calcule de diverses manières,
dont une utilisant l’existence de paramétrix presque locaux pour de tels opérateurs.
On travaille donc à partir de D. On se donne une paramétrix Q proprement supporée
tel que
QD = 1 − S0
DQ = 1 − S1
avec S0 et S1 opérateurs de lissage.
Atiyah montre alors que
Ind(D) = T r(P ) − T r(P 0 ) = T r(S0 ) − T r(S1 )
C’est cette égalité qui est fondamentale, car la presque localité de Q et des Si fait que
leurs relevés à X̃ vérifient :
Q̃D̃ = 1 − S˜0
D̃Q̃ = 1 − S˜1
et ”les noyaux de Schwartz en haut sont les relevés de ceux d’en bas”.
On aura donc
T rΓ (S˜0 ) − T rΓ (S˜1 ) = T r(S0 ) − T r(S1 ) = Ind(D)
Restera alors à montrer que
T rΓ (P̃ ) − T rΓ (P̃ 0 ) = T rΓ (S˜0 ) − T rΓ (S˜1 ).
30
3.1
Etude de l’opérateur de projection sur le noyau de D̃
En fait, on va étudier cet opérateur dans le cadre plus général des variétés non compactes,
sans parler d’action de groupe discret... D désignera, seulement pour ce paragraphe, notre
opérateur elliptique et on notera X notre variété.
La première problématique est la suivante: La variété sur laquelle on considère notre
opérateur D n’est pas compacte, ceci entraı̂ne la non-finitude de la dimension de l’espace des
solutions de l’équation Du = 0. En particulier, on ne peut pas calculer l’indice analytique
de D. On va, en fait, choisir des conditions de croissance particulières pour les solutions
de cette équation elliptique. On leur impose d’être L2 . Si l’on note alors H(D) l’espace de
telles solutions, et si on se rappelle que les solutions faibles des équations elliptiques sont
en fait lisses, on obtient l’inclusion suivante:
H(D) ⊂ C ∞ (X̃, E) ∩ L2 (X, E).
Dans tout les cas, H(D) est un sous espace vectoriel de L2 (X, E) qui est un espace de
Hilbert. Mais on a mieux, en effet si uj est une suite dans H(D) convergeant vers u dans
L2 (X, E), alors Duj tend vers Du (vues comme distributions) ainsi u est solution L2 et
faible de Du = 0 et donc est solution L2 et lisse, donc u ∈ H(D). En résumé H(D) est un
sous espace fermé de L2 (X, E), i.e. un espace de Hilbert.
On peut alors parler de la projection orthogonale P de L2 (X, E) sur H(D). C’est un
opérateur borné de L2 (X, E).
Proposition 3.1 Le noyau p(x, y) de la projection P sur l’espace H(D) des solutions L2
de l’équation elliptique Du = 0 est lisse.
Preuve. D’aprés le théorème des noyaux de Schwartz, vu comme opérateur continu de
D(X, E) dans D0 (X, E), P a un noyau distribution p(x, y). Comme nous l’a indiqué notre
étude plus haut sur les fibrés vectoriels, ce noyau p est tel que p(x, y) ∈ Hom(Ey , Ex ) =
Ex ⊗ Ey0 . En fait p est une section lisse car elle vérifie une équation elliptique. En effet
D ◦ P = 0 par définition de P . Alors:
Z
0 = D ◦ P (f )(x) =
Dx (p(x, y))f (y)dy
X
pour tout f ∈ L2 (X, E), et tout x, y ∈ X. Aussi, (1) Dx p(x, y) = 0. On cherche ensuite
une nouvelle équation (en y cette fois-ci) pour p(x, y). Pour cela on considère l’équation
conjuguée de (1), i.e. (Dx )p(x, y) = 0 (avec D = Mh DMh−1 où h est l’isomorphisme
antilinéaire induit par la structure hermitienne sur E, h : E 7−→ E 0 x 7−→< ., x >), or
P = P ∗ , donc p(x, y) = p(x, y). Ainsi
Dy p(x, y) = 0
31
Puis
∗
(Dx∗ Dx + Dy Dy )p(x, y) = 0
qui est une équation elliptique en x et y vérifiée par p. p est donc bien un noyau lisse, en
vertu de la régularité des solutions d’équations elliptiques. La lissité du noyau de l’opérateur de projection étant établie, nous allons maintenant
chercher à écrire ”explicitement” ce noyau. Pour cela commençons par une constatation simple. Si H = L2 (X) est un espace de Hilbert de base hilbertienne (fi )i∈I , H 0 =
vect(f1 , ..., fn ) sous espace fermé de H et PH 0 la projection orthogonale sur H 0 . Cet
opérateur
est à noyau et on voit facilement que son noyau n’est autre que pH 0 (x, y) =
X
fi (x)fi (y).
1≤i≤n
Il en va presque de même pour notre étude sauf que l’espace de Hilbert sur lequel on
projette est de dimension infini, aussi doit on étudier de plus près la convergence de la
somme.
Proposition 3.2 Si (fi )i∈I une base orthonormale de H(D), alors
X
p(x, y) =
fi (x)fi (y)
i∈I
les sommes partielles convergeant uniformément sur les compacts de X ×X, ainsi que leurs
dérivées.
Comme ci-dessus, notons (fi )i∈I une base orthonormale de H(D). On considère les
séries
X
fi (x)fi (y)
i∈I
où fi = hfi donne la base orthonormale correspondante de H(D). Les sommes partielles
pn (x, y) sont noyaux de projections Pn de rang fini. La suite des Pn converge vers P pour la
topologie forte des opérateurs de L2 . En particulier Pn (f ) tend vers P (f ) dans D0 pour tout
f ∈ D. Ce qui signifie que les noyaux pn des Pn convergent faiblement (dans L(Dy , Dx ))
vers le noyau p de P . Les convergences faibles et fortes dans L(Dy , Dx ) coincidant sur les
bornés, la convergence est donc forte. Le théorème des noyaux de Schwartz nous assurant
0
un isomorphisme entre Dx,y
et L(Dy , Dx ) muni de la topologie forte, on a donc que pn
converge vers p au sens des distributions sur X × X
On admet alors le résultat suivant (voir [Sch] et [Ati1]) qui permet de conclure:
Lemme 4 Si une suite fi de solutions d’une équation elliptique converge vers f au sens
des distributions alors elle converge aussi vers f dans C ∞ .
32
Remarque: si on regarde x = y, alors p(x, x) ∈ Ex ⊗ Ex0 = Hom(Ex , Ex ) et donc
prendre sa trace a un sens, il s’agit, en fait, de la fonction de x suivante:
X
tr(p(x, x)) =
|fi (x)|2
i∈I
Après ces considérations générales sur le noyau L2 d’un opérateur elliptique agissant
sur une variété paracompacte, il est temps de faire intervenir notre action de groupe libre,
cocompacte... en commençant par remplacer X par X̃, D par D̃...
3.2
Autour de l’action de Γ sur X̃
J’ai choisi, au risque de la redondance, de m’attarder un peu sur cet action Γ y X̃ afin
de décrire ce qui se passe et, au passage, d’introduire des objets qui nous servirons par la
suite.
Soit Γ un groupe discret agissant librement et de manière cocompacte sur une variété
lisse paracompacte X̃, munie d’une mesure Γ-invariante µ (on ne parle pas encore de fibrés).
La première notion importante à considérer est celle de domaine fondamental de Γ y X̃.
Définition 3.1 Un domaine ouvert U ∈ X̃ sera dit fondamental pour Γ y X̃ si:
• gU ∩ hU = ∅ pour tout g, h ∈ Γ, g 6= h
S
• µ(X̃ − g∈Γ gU ) = 0
Dans notre cadre, un domaine fondamental existe toujours, il suffit de considérer un
recouvrement fini (Vi ) de X = X̃/Γ par des boules ouvertes
alors des
S assez petites, on a S
sections si de X̃ 7−→ X au dessus de Vi . Notons Wi = Vi − j<i Vj ∩Vi . Alors U = i si (Wi )
est un bon candidat.
Le groupe Γ se représente unitairement dans L2 (X̃) par g 7−→ Lg où Lg (f )(x) =
Aussi, si l’on se donne un domaine fondamental U de Γ y X̃ on va avoir une
décomposition X̃ ' Γ × U et ce à ensemble de mesure nulle prés. Cette identification se
fait en associant à gx ∈ X̃ l’élément (g, x), g ∈ Γ, x ∈ U . L’action de Γ sur X̃ devient alors
l’action h.(g, x) = (hg, x) sur Γ × U . Cela donne un isomorphisme unitaire
f (g −1 x).
u : L2 (X̃) 7−→ L2 (Γ) ⊗ L2 (U )
et l’action de Lg sur L2 (X̃) devient Lg ⊗ Id sur L2 (Γ) ⊗ L2 (U ).
On va alors définir ce qui sera l’algèbre de Von Neumann qui justifiera l’introduction
des Γ-dimension et Γ-trace.
33
Définition 3.2 Soit MΓ l’algèbre de Von Neumann des opérateurs A ∈ B(L2 (X̃)) qui
commutent avec les translations à gauche {Lg |g ∈ Γ}.
Remarque: MΓ est bien une algèbre de Von Neumann car elle est l’algèbre commutante
de L(Γ) ⊗ Id et le commutant est toujours une algèbre de Von Neumann.
De plus en utilisant l’isomorphisme u vu plus haut, on obtient
MΓ = R(Γ) ⊗ B(L2 (U ))
où R(Γ) = L(Γ)0 est l’algèbre représentation régulière droite de Γ.
On notera T rΓ la trace naturelle sur MΓ i.e. τ ⊗ T r avec τ :=< .δe , δe > et T r la trace
semi-finie classique sur B(L2 (U )). En particulier MΓ est une algèbre de type II∞
Une remarque pour finir: la projection π : X̃ 7−→ X est un isomorphisme des espaces
mesurés (U, µ) et (X, µ), à ensemble de mesure nulle prés. Ainsi dans les considérations
qui précèdent on peut partout remplacer L2 (U ) par L2 (X).
Il faut maintenant généraliser cela aux Γ-fibrés i.e. aux fibrés vectoriels complexes
p : Ẽ 7−→ X̃ sur lesquels Γ agit de manière à ce que, pour tout x ∈ X̃, tout g ∈ Γ définisse
un isomorphisme linéaire gx : Ẽx 7−→ Ẽgx . Dans ce cadre on peut alors identifier Ẽ avec
π ∗ (E) où E est un fibré vectoriel au dessus de X et π : X̃ 7−→ X est la projection canonique
(on rappelle que la fibre en x ∈ X̃ de π ∗ (E) s’identifie à la fibre de E en π(x), identification
faites via l’action de Γ). On peut alors mettre sur chaque fibre Ẽx un produit hermitien
de manière à ce que gx soit une isométrie (on le fait en relevant une structure hermitienne
sur E). Alors L2 (X̃, Ẽ) espace des sections de carré intégrable est bien défini.
De manière similaire à ce qui précède, on définit l’action de Γ y L2 (X̃, Ẽ) par la
formule
(Lg f )(x) = gx f (g −1 x)
puis l’algèbre des opérateurs commutant à Γ: MΓ (Ẽ), en passant par l’isomorphisme
L2 (X̃, Ẽ) = L2 (Γ) ⊗ L2 (X, E)) et T rΓ = τ ⊗ T r.
Regardons comment se comportent les opérateurs de MΓ . Comme prévu les choses ne
sont pas aussi agréables que dans le cas compact, en particulier il se peut qu’un opérateur
Γ-invariant, dont le noyau de Schwartz est lisse, soit non-borné. Pour éluder cette difficulté,
on privilégiera les opérateurs proprement supportés, qui, ayant un noyau de Schwartz dont
le support est proche de la diagonale, seront bornés.
Supposons qu’une distance d est introduite sur notre variété, un opérateur Γ-invariant
A est proprement supporté si son support est compact dans (X̃ × X̃)/Γ, ou de manière
équivalente si kA (x, y) = 0 dès que d(x, y) > C pour une constante C ≥ 0. Il sera dit
-local si C = . Par exemple les opérateurs différentiels sont tous 0-locaux.
34
Proposition 3.3 Definissons r0 = inf {d(x, g.x)|x ∈ X̃, g ∈ (Γ − e)} > 0. Soit A0 un
opérateur -local sur X avec < r0 /2. Alors il existe un unique relèvement -local A de
A0 , sur X̃, vérifiant A(π ∗ u) = π ∗ A0 u, où u ∈ C ∞ (X) et π est la projection canonique de
X̃ sur X.
Preuve. la condition < r0 /2 implique que sur X̃ on a d(x, y) < =⇒ d(g.x, y) > pour tout g ∈ (Γ − e), en effet
d(g.x, y) ≥ d(g.x, x) − d(x, y) > r0 − > .
Maintenant, si k0 est le noyau de A0 , alors on construit A comme l’opérateur dont le noyau
k vérifie: k(x, y) = k0 (πx, πy) si d(x, y) < et k(x, y) = 0 sinon. Le résultat suivant est admis
Théorème 3.4 Soit A un opérateur pseudodifferentiel sur (X̃, Ẽ, F̃ ), Γ-invariant et proprement supporté. Alors pour tout réel s, A se prolonge en un opérateur borné
A : H s (X̃, Ẽ) 7−→ H s−m (X̃, F̃ )
qui commute à Γ.
Note: J’ai écrit la section qui précède afin de souligner le fait, annoncer en introduction,
que tout est fait pour que l’opérateur pseudo-différentiel ”en haut” se comporte de manière
similaire à son vis à vis ”en bas” (D̃ opérant sur X̃, Ẽ étant justement choisi dans l’algèbre
MΓ (Ẽ)).
Cette longue parenthèse étant close, on en revient à des considérations plus techniques
avec en particulier un lemme concernant les domaines de définitions minimaux et maximaux
de notre opérateur D̃.
3.3
Sur le domaine de définition de D̃∗
Pour un opérateur différentiel A, défini dans un premier temps sur les sections lisses à
support compact, on peut considérer sa fermeture A comme un opérateur de L2
Définition 3.3 Le domaine minimal de A est l’espace des u ∈ L2 pour lesquels il existe
une suite uj telle que uj −→ u et Auj −→ Au le tout dans L2 .
Définition 3.4 le domaine maximal de A est l’espace des u ∈ L2 tels que Au ∈ L2 (comme
distribution)
35
Remarque: le domaine minimal est toujours inclus dans le domaine maximal.
Sachant que le domaine maximal de A se trouve être le domaine de son adjoint A∗ , la
proposition suivante lève les ambiguités éventuelles sur D̃∗ :
Proposition 3.5 Les domaines minimaux et maximaux de D̃ coincident.
Preuve. Soit u ∈ L2 (X̃; Ẽ) avec D̃u ∈ L2 (X̃; F̃ ), le but est de construire une suite
uj ∈ Cc∞ (X̃, Ẽ qui converge vers u au sens L2 et telle que D̃uj converge vers D̃u dans
L2 . Un première étape va consister à régulariser les objets pour ensuite travailler sur leur
support.
Pour la première étape nous allons avoir besoin d’une paramétrix Q̃ de D̃. Commençons
par nous placer ”en bas”, i.e. sur D : C ∞ (X, E) 7−→ C ∞ (X, F ) d’après nos rappels sur
les opérateurs elliptiques sur les variétés compactes, il existe une paramétrix proprement
supportée Q pour D. Comme localement les fibrés E et F ressemblent au fibré trivial et
comme Q est presque-locale, il se relève en Q̃ qui va être une paramétrix de D̃ i.e.:
Q̃D̃ = Id − S˜0
D̃Q̃ = Id − S˜1
où les S̃i sont des opérateurs de lissage (donc bornés car proprement supportés dans L2 )(Q̃
est aussi borné sur L2 pour la même raison) .
Soit maintenant une suite vj ∈ Cc∞ (X̃, F̃ ) convergeant au sens L2 vers v = D̃u, alors
wj = Q̃vj ∈ Cc∞ (X̃, Ẽ) puisque Q̃ est proprement supporté. Par ailleurs, la continuité de
Q̃, S˜0 et S˜1 nous assure que:
wj −→ Q̃D̃u = u − S˜0 u
et
D̃wj = D̃Q̃vj = vj − S˜1 vj −→ v − S˜1 v
La convergence se faisant au sens L2 . Donc u − S˜0 u est dans le domaine minimal de D̃,
on est donc ramené à montrer que w = S˜0 u est dans le domaine minimal. Mais S˜0 étant
un opérateur régularisant à support proche de la diagonale, si u est dans L2 , S˜0 u est lisse,
donc w ∈ C ∞ ∩ L2 .
Dans la seconde partie de la démonstration nous allons travailler sur w Pour ce faire,
nous allons avoir besoin d’une partition de l’unité lisse, subordonnée à l’action
P de Γ. On
entend par là, une fonction lisse σ sur X̃ à support compact et telle que g∈Γ g.σ = 1.
Notons que, pour tout x̃ ∈ X̃, seul un nombre fini de g.σ sont non nuls, la somme est donc
essentiellement finie. Pour construire une telle fonction on regarde une partition de l’unité
lisse sur X: φi avec supp(φi ) ⊂ Vi , on relève φi en φ̃i sur X̃ en utilisant les sections si et
36
P
on pose σ = i φ̃i . (Les notations Vi , si désignant les mêmes éléments que plus haut, lors
de la démonstration de l’existence d’un domaine fondamental...).
Notons maintenant ΓnP⊂ Γ les n ”premiers” éléments de Γ (qui rappelons le est
dénombrable). Soit σn = g∈Γn g.σ, c’est clairement une fonction de Cc∞ et σn w −→ w
dans L2 .
Notre but est alors de montrer que φn = D̃(σn w) converge au sens L2 vers D̃w. Puisque
D̃◦Mσ est un opérateur d’ordre m à support compact (avec Mσ opérateur de multiplication
par σ) et comme D̃ est elliptique d’ordre m on a l’inégalité suivante
||D̃(σf )|| ≤ C(||χf || + ||χD̃f ||)
où C est une constante dépendant de D̃ et σ, f ∈ C ∞ (X̃, Ẽ) et χ ∈ Cc∞ est égale à 1 sur
un voisinage de supp(σ). En prenant f = g −1 .w et en se rappelant que pour tout g ∈ Γ,
Lg est un unitaire qui commute à D̃, on obtient:
||D̃(g.σw)||2 = ||D̃(σg −1 (w))||2 ≤ C(||χg −1 (w)||2 + ||χD̃g −1 (w)||2 )
en utilisant l’inégalité vu au dessus, et donc
||D̃(g.σw)||2 ≤ C(||g.χw||2 + ||g.χD̃w||2 )
Alors
||D̃w − φn ||2 ≤ C
X
(||g.χw||2 + ||g.χD̃w||2 )
g ∈Γ
/ n
P
Enfin, si l’on note M = sup g∈Γ |g.χ|2 (qui est fini car χ est à support compact par
S
hypothèse) et X̃n = g∈Γ
/ n on aboutit à:
2
Z
||D̃w − φn || ≤ CM
(|w|2 + |D̃w|2 )dµ̃
X̃n
Mais étant donné n’importe quel compact K ⊂ X̃ il n’y a qu’un nombre fini de g ∈ Γ
tels que K ∩ g(supp(χ)) 6= ∅, donc pour n = n0 assez grand K ∩ X˜n = ∅. Puisque w et D̃w
sont dans L2 cela implique
Z
(|w|2 + |D̃w|2 )dµ̃ < , n > n0
X˜n
et finalement ||Dw − φn ||2 < CM pour n assez grand. Donc φn −→ D̃w dans L2 comme
voulu, et donc w est bien dans le domaine minimal de D̃ 37
Ce long résultat technique étant derrière nous, nous pouvons en revenir à l’étude du
projecteur P̃ sur le noyau L2 (noté H(D̃))de D̃. Soit p̃(x̃, ỹ) son noyau de Schwartz, on
a déjà vu qu’il était lisse. Puisque Γ commute avec D̃ et préserve le produit hermitien, il
agit sur H(D̃) et commute avec P̃ . Donc
p̃(g.x̃, g.ỹ) = p̃(x̃, ỹ)
pour tout g ∈ Γ
En particulier, si on regarde x̃ = ỹ, on voit que p̃(x̃, x̃) est une section Γ-invariante
de Hom(Ẽ, Ẽ) et donc est le relevé d’une section p(x) de Hom(E, E) sur X. Il faut
alors absolument noté que le vis-à-vis p(x) de p̃(x̃, x̃) n’est pas le noyau de Schwartz de
l’opérateur de projection P sur l’espace des solutions de Du = 0. En effet, quand on
cherche les solutions de D̃u = 0 en fait on a besoin de la connaissance de l’operateur sur
toute la variete et c’est donc le noyau est une donnee globale. P̃ (f )(x) ne depend pas
seulement des valeurs de f sur un petit voisinage de x comme c’est le cas de D̃, mais de
toutes les valeurs de f . Pour que P̃ (f )(x) ne depende que des valeurs de f sur un petit
voisinage de x, il aurait fallut que p̃(x̃, x̃) ait un support assez proche de la diagonale, i.e.
soit presque local ce n’est pas le cas ici. Et naturellement pour que les choses se relèvent
bien de X à X̃ il faut voir les choses localement ce qui pose problème pour notre P̃ .
Cette constatation faites, on va quand même s’intéresser à des calculs de traces autour
de cet opérateur.
3.4
Expression analytique de la Γ-Trace
Avant d’en arriver là, il faut définir une trace convenable pour ce type d’opérateur, ce sera
la Γ-Trace.
Commençons par un théorème admis:
Théorème 3.6 Soit X une variété compacte, µ mesure sur X. Soit A un opérateur à
trace opérant dans L2 (X) et kA son noyau de Schwartz qui est continue sur X × X. Alors
Z
T r(A) =
kA (x, x)dµ(x)
X
Remarque: Si on suppose que A n’agit pas sur L2 (X) mais sur un espace similaire de
fonctions à valeurs vectorielles ou plus généralement sur L2 (X, E) avec E fibré vectoriel
hermitien au dessus de X. Alors, comme nous l’avons déjà vu, kA (x, y) devient un opérateur
38
linéaire (agissant sur la fibre au dessus de y à valeur dans la fibre au dessus de x). Et la
formule de la trace devient
Z
tr(kA (x, x)dµ(x).
T r(A) =
X
On est alors tenté de définir quelque chose d’équivalent pour la Γ-Trace...On se remet
dans le contexte:
On considère l’algèbre de Von Neumann MΓ des opérateurs de L2 (X̃) qui commutent
à Γ y X̃, algèbre qui possède une trace T rΓ définie plus haut.
On se souvient aussi que si U est un domaine fondamental de Γ y X̃ on a l’isomorphisme
suivant L2 (X̃) ' L2 (Γ) ⊗ L2 (U ) en particulier cela nous dit que l’on peut voir
M
L2 (X̃) =
L2 (U )
g∈Γ
et tout opérateur A de B(L2 (X̃) est donc représenté par une matrice par blocs [Ag,h ]g,h∈Γ
avec des entrées Ag,h ∈ B(L2 (U )). Si maintenant A est un élément positif de cette algèbre,
sa Γ-trace (finie ou non) est définie par T rΓ (A) = T r(Ae,e ) (en effet on se souvient que la
trace sur R(Γ) est τ :=< .δe , δe > et que T rΓ = τ ⊗ T r). Il s’en suit que A est à Γ-trace
implique Ae,e est un opérateur à trace classique.
Puisque Ae,e est opérateur à trace, il est en particulier de type Hilbert-Schmidt sur
L2 (U ), et donc il possède un noyau de Schwartz k ∈ L2 (U × U ). Par ailleurs, le noyau
de Schwartz kA doit vérifier kA |U ×U = k. Et donc, comme T rΓ (A) = T r(Ae,e ), par le
théorème précédent:
Z
kA (x, x)dµ(x).
T rΓ (A) =
U
Lemme 5 Soit A ∈ B(L2 (X̃)), kA son noyau de Schwartz. Alors A ∈ MΓ est équivalente
aux relations
kA (g.x, g.y) = kA (x, y), ∀g ∈ Γ, ∀x, y ∈ X̃
Demo. Pour simplifier on considère le cas où kA ∈ L2loc (X̃ × X̃. Si u est dans L2 (X̃) à
support compact alors:
Z
Z
−1
−1
−1
−1
Lg ALg (u)(x) = Lg
kA (x, y)u(g .y)dµ(y) = Lg
kA (x, g.y)u(y)dµ(y)
X̃
X̃
et donc
L−1
g ALg (u)(x)
Z
=
kA (g.x, g.y)u(y)dµ(y)
X̃
39
Donc (x, y) 7−→ kA (g.x, g.y) est le noyau de Schwartz de L−1
g ALg et la coincidence de
ces opérateurs est équivalente à celle de leur noyau de Schwartz.
Remarque: Comme plus haut, on se souvient que U est isomorphe (en tant qu’espace
mesuré) à X et donc on peut réécrire la formule de la trace:
Z
T rΓ (A) =
kA (x, x)dµ(x).
X
Remarque 2: Pour le cas des sections L2 de fibrés vectoriels on aura:
Z
tr(kA (x, x))dµ(x).
T rΓ (A) =
X
où tr désigne la trace matricielle classique.
3.5
Caractérisation des opérateurs à Γ-Trace
Nous allons maintenant essayer de caractériser les opérateurs Γ-Trace ou Γ-Hilbert-Schmidt.
Théorème 3.7 Dans notre cadre d’étude, pour un opérateur A ∈ MΓ les conditions suivantes sont équivalentes:
• 1/ A est Γ-Hilbert-Schmidt
• 2/ A a un noyau de Schwartz kA ∈ L2 ((X̃ × X̃)/Γ)
• 3/ Mφ ◦ A et A ◦ Mφ sont Hilbert-Schmidt sur L2 (X̃) pour toute fonction φ mesurable
bornée et à support compact.
Pour prouver 2/ ⇐⇒ 3/ il suffit de considérer un domaine fondamental de Γ y X̃ × X̃
de la forme U × X̃ par exemple (avec U domaine fondamental de Γ y X̃).
Pour le reste, soit A un opérateur Γ-H.S. Soit χU la fonction caractéristique de U . Alors
pour tout T ∈ MΓ l’opérateur Te,e ∈ B(L2 (U )) peut être vu comme: MχU ◦ T ◦ MχU . Donc
si on en revient à A, MχU ◦ A∗ A ◦ MχU devrait être un opérateur Γ-Trace, ce qui équivaut
à dire que A ◦ MχU est H.S dans L2 (X̃, ce qui est équivalent à 3/ car on peut faire varier
le domaine fondamental U et qu’on se souvient que les H.S forment un idéal. Corollaire. Soit A un opérateur Γ-Trace, φ, ψ ∈ L∞
c (X̃, µ). Alors Mφ ◦ A ◦ Mψ est à
Trace.
Preuve. Soit une factorisation A = BC, B, C de type Γ-H.S. Alors Mφ ◦ A ◦ Mψ =
(Mφ ◦ B)(C ◦ Mψ ) et Mφ ◦ B, C ◦ Mψ sont H.S d’après le th. donc Mφ ◦ A ◦ Mψ est à Trace.
La réciproque est vraie pour les opérateurs positifs:
40
Théorème 3.8 Soit A ∈ M+
Γ . les conditions suivantes sont équivalentes:
• 1/ A est à Γ-Trace.
• 2/ Mφ ◦ A ◦ Mψ est à Trace pour tout φ, ψ ∈ L∞
c (X̃, µ).
• 3/ A1/2 est Γ-Hilbert-Schmidt
Demo. 1/ ⇐⇒ 3/ par la théorie générale des opérateurs à trace et H.S. 1/ =⇒ 2/
est dans le corollaire ci-dessus. Si maintenant 2/ est vraie, prenons φ = ψ on obtient
Mφ ◦ A ◦ Mψ = (A1/2 Mψ )∗ (A1/2 Mψ ), et donc (A1/2 Mψ ) est H.S pour toute ψ ∈ L∞
c (X̃, µ)
et A1/2 est Γ-H.S. Lemme 6
• Il existe φ ∈ Cc∞ (X̃) telle que
X
Lg φ = 1.
g∈Γ
• Il existe φ, ψ ∈ Cc∞ (X̃) telles que
X
Lg (φψ) = 1.
g∈Γ
Preuve. Pour le premier point, on choisi φ1 ∈P
Cc∞ (X̃) telle que φ1 > 0 sur la fermeture
d’un domaine fondamental, puis on définit φ̃1 = g∈Γ Lg φ1 . Alors φ̃1 ∈ C ∞ (X̃), φ̃1 sur X̃
et Lg φ̃1 = φ̃1 , ∀g ∈ Γ. Maintenant φ = φ̃−1
1 × φ1 satisfait aux conditions cherchées.
Pour le second point, avec la même φ que ci-dessus, on choisi ψ ∈ Cc∞ (X̃) telle que
ψ = 1 sur supp(φ) et le couple (φ, ψ) convient. Théorème 3.9 Soit A opérateur à Γ-Trace, et soient φ, ψ ∈ L∞
c (X̃) telles que
X
Lg (φψ) = 1
g∈Γ
Alors
T rΓ (A) = T r(Mφ ◦ A ◦ Mψ )
Commençons par remarquer que si φ = ψ = χU où U est un domaine fondamental
fermeture compacte alors le résultat est direct. Reste alors à montrer que T r(Mφ ◦ A ◦ Mψ )
41
ne dépend pas de φ, ψ. Soit (φ0 , ψ 0 ) un autre couple satisfaisant les hypothèses de l’énoncé.
Comme φ, φ0 sont à support compact, il existe un sous ensemble fini H ⊂ Γ tel que
supp(Lg (φ0 ) ∩ supp(φ) 6= ∅ =⇒ g, g −1 ∈ H
Aussi
X
Lg (φ0 ψ 0 )φ =
g∈H
X
Lg (φ0 ψ 0 )φ = φ
g∈Γ
puis
T r(φAψ) = T r(
X
Lg (φ0 ψ 0 )φAψ) =
g∈H
=
X
T r[Lg (φ0 )φAψLg (ψ 0 )] =
g∈H
X
T r[Lg (φ0 ψ 0 )φAψ]
g∈H
X
0 −1
T r[(Lg φ0 L−1
g )φAψ(Lg ψ Lg )]
g∈H
(où l’on utilise que T r(ab) = T r(ba))
X
−1
0 −1
=
T r[(Lg φ0 L−1
g )φ(Lg ALg )ψ(Lg ψ Lg )]
g∈H
(car A commute avec Lg )
=
X
−1
0 −1
T r[Lg φ0 (L−1
g φLg )A(Lg ψLg )ψ Lg ]
g∈H
=
X
−1
0
T r[φ0 L−1
g φALg (ψ)ψ ] =
g∈H
X
0
0
T r[L−1
g (φψ)φ Aψ ]
g∈H
(encore une fois par des considérations de commutativité.) Enfin
X
X
0
0
0
0
0
0
= T r(
L−1
L−1
g (φψ)φ Aψ ) = T r[(
g (φψ))φ Aψ ] = T r(φ Aψ )
g∈H
g∈H
Nous allons maintenant donner des résultats de type convergence dominée pour la ΓTrace.
Rappelons que si H est un espace de Hilbert, T un opérateur à trace sur H et {Ai , i ∈ I}
une suite généralisée telle que:
• Il existe C > 0 telle que ||Ai || ≤ C pour tout i ∈ I
• Les Ai convergent pour la topologie faible vers A
42
Alors T r(T Ai ) converge vers T r(T A).
En effet la trace est ultrafaiblement continue et les topologie faible et ultrafaible coincident sur les bornés.
Même si ce n’est pas vraiment nécessaire, on détaille un peu ce qui se passe de manière
équivalente pour la Γ-Trace:
Théorème 3.10 Soit X̃ une Γ-variété munie d’une mesure Γ-invariante µ, avec X = X̃/Γ
compacte. Soit T un opérateur à Γ-trace sur L2 (X̃) et {Ai , i ∈ I} une suite généralisée
d’opérateurs de MΓ telle que:
• Il existe C > 0 telle que ||Ai || ≤ C pour tout i ∈ I
• Les Ai convergent pour la topologie faible vers A
Alors T rΓ (T Ai ) converge vers T rΓ (T A)
Preuve. Soit U un domaine fondamental à fermeture compacte, χU sa fonction caractéristique. Alors T rΓ (T Ai ) = T r(χU T Ai χU ) et on se ramène donc au cas classique vu
juste avant (car χU T Ai χU est un opérateur à trace classique).
Avec le même type d’argument on peut montrer que:
Proposition 3.11 Soient A, B ∈ MΓ , alors:
T rΓ (AB) = T rΓ (BA)
Preuve. Avec les mêmes notations que ci-dessus, on a:
T rΓ (AB) = T r((χU AχU )(χU BχU )) = T r((χU BχU )(χU AχU )) = T rΓ (BA)
.
égalité que l’on utilisera à de nombreuses reprises dans la démonstration du résultat
d’Atiyah.
On en revient maintenant à l’étude d’opérateurs de notre algèbre de Von Neumann MΓ
dont le noyau de Schwartz est lisse (P̃ par exemple). On donne une condition suffisante
pour qu’un tel opérateur soit à Γ-Trace:
Proposition 3.12 Soit A ∈ MΓ dont le noyau Ã(x̃, ỹ) est lisse. Supposons que
• A est positif
43
• ou bien, que le noyau de Schwartz de A est à support compact dans (X̃ × X̃)/Γ.
Alors A est à Γ-Trace et
Z
A(x)dµ
T rΓ (A) =
X
où A(x) est la fonction lisse sur X qui se relève en Ã(x̃, x̃) sur X̃.
Demo. Si A est positif, T rΓ (A) = T r(Ae,e ) est bien défini, mais peu être infini. Mais,
on a en plus que le noyau de A est lisse, donc provient d’une fonction lisse de X × X (avec
X qui est compact). En particulier le noyau de Ae,e est aussi lisse et à support compact,
donc Ae,e est à trace, d’où le résultat.
Si on est dans l’autre cas, on démontre d’abord un lemme:
Lemme 7 Soit A un opérateur pseudo différentiel Γ-invariant d’ordre l, l < −n/2, où
n = dim(X̃). On suppose que A est proprement supporté. Alors c’est un opérateur ΓHilbert-Schmidt.
Preuve. A l’aide d’une partition de l’unité subordonnée à un recouvrement de X̃ par des
cartes, on décompose A en une somme d’opérateurs à noyau lisse, donc en particulier dans
L2loc (X̃ × X̃), et d’opérateurs dont le noyau est de la forme
Z
−n
φ(x)ei(x−y.ξ a(x, ξ)ψ(y)dξ
k(x, y) = (2π)
où φ, ψ sont des fonctions lisses associées à une carte U tel que φAψ soit dans Ψl (U ) et
a ∈ S l (U × Rn ). Mais l < −n/2 implique a(x, .) ∈ L2loc car par définition des symboles on a
|a(x, ξ)| ≤ C(1 + |ξ|)l (on choisi l < −n/2 pour le cas limite où n = 1 et donc (1 + |ξ|)−1/2
n’est pas de carré intégrable). Finalement on en déduit que le noyau de Schwartz de A
est dans L2loc . Mais, A étant proprement supporté, supp(kA ) est compact dans (X̃ × X̃)/Γ
donc kA ∈ L2 ((X̃ × X̃)/Γ) et donc est Γ-H.S.
Pour terminer la démo de la proposition, on se donne un opérateur B, Γ-invariant et
elliptique d’ordre l/2. Soit Q une paramétrix de B proprement supporté. Alors
QB = Id − T
où T à son noyau porté dans (X̃ × X̃)/Γ par un compact (en particulier T est Γ-HS). En
multipliant par A on obtient:
A = T A + QBA
Puisque Q est une paramétrix d’ordre −n/2, par le lemme précédant c’est aussi un Γ-HS
et donc comme les Hilbert-Schmidt forment un idéal, A, T, BA étant Γ-HS, on en déduit
que T A et QBA sont à Γ-Trace, donc A aussi.
44
Comme souvent auparavant nous n’avons regarder que le cadre variété, pour les fibrés
vectoriels il en irait de même; modulo les changements dans les formules de traces déjà
vues avant.
3.6
Démonstration du théorème d’Atiyah
Si l’on résume la situation, on a montré que les opérateurs positifs qui ont un noyau de
Schwartz lisse sont des opérateurs à Γ-Trace. C’est justement le cas de notre opérateur
P̃ de projection sur le noyau L2 , H(D̃), de D̃. On note alors, comme vu en rappel,
dimΓ (D̃) = T rΓ (P̃ ) (Ok, car H(D̃) est bien un Γ module). Ayant vu qu’il n’y avait pas de
problème de définition pour D̃∗ et en utilisant l’égalité entre le conoyau de D̃ et le noyau
de D̃∗ , on définit (enfin) l’indice analytique de D̃ comme suit:
indΓ (D̃) = dimΓ (D̃) − dimΓ (D̃∗ ) = T rΓ (P̃ ) − T rΓ (P̃ 0 )
où P̃ 0 est le projecteur sur le noyau L2 de D̃∗ .
Notre but consiste maintenant à montrer:
Théorème 3.13 (Atiyah) Si X̃ est une variété paracompacte sur laquelle le groupe discret
Γ agit proprement, librement et de manière cocompacte. Si D̃ est un opérateur elliptique
agissant sur les sections d’un Γ-fibré vectoriel Ẽ au-dessus de X̃, et si D̃estΓ-invariant,
alors
indΓ (D̃) = ind(D)
La démonstration de ce résultat va nous occuper jusqu’à la fin du chapitre: Commençons
à noter qu’avec ce qui précède on se ramène à démontrer que
T rΓ (P̃ ) − T rΓ (P̃ 0 ) = ind(D)
Le fait que l’opérateur P̃ soit de type Γ-Trace nous sert pour la définition de l’indice
de D̃, mais comme on l’a vu plus haut , il ne peut résoudre tout nos problème puisque son
caractère globale empêche tout lien direct (au niveau des noyaux de Schwartz) avec son
vis-à-vis P pour D, opérateur qui justement donne l’indice de D.
Afin de palier à cette lacune, on va donner une autre manière de calculer l’indice d’un
opérateur elliptique D sur une variété X compacte, elle ne fera intervenir que des objets
proprement supporté dont les propriétés pourront se relever sans problème à X̃.
45
Avec les notations déjà utilisées la formule de l’indice de D est :
ind(D) = T r(P ) − T r(P 0 )
Or ces opérateurs P et P 0 nous pouvons les retrouver associés à une paramétrix particulière de D, à savoir l’opérateur de Green G qui est l’opérateur défini par G : L2 (X, E) 7−→
H m (X, E), G = 0 sur Ker(D) et G = (D|H m (X,E)∩Ker(D)⊥ )−1 sur Ker(D)⊥ , m étant
l’ordre de D.
On a:
GD = 1 − P, DG = 1 − P 0
L’idée consiste alors à faire varier les paramétrix, en choisir une proprement supportée
Q, et montrer que l’indice peut s’exprimer en termes d’objets directement liés à Q.
En fait, plus généralement, pour n’importe quel autre paramétrix Q on a:
QD = 1 − S0 , DQ = 1 − S1
où les Si sont des opérateurs de lissage.
Mais alors de ces 4 dernières équations on tire:
P = S0 P ; P 0 = P 0 S1 ; DS0 = S1 D
Utilisant le fait que les Si et DS0 ont des noyaux lisses, et donc sont à trace et le fait
que G, DG et GD sont bornés, on a les formules suivantes:
T r(DS0 G) = T r(GDS0 ) = T r(S0 GD) = T r(S0 ) − T r(P )
T r(S1 DG) = T r(DGS1 ) = T r(S1 ) − T r(P 0 )
et, comme DS0 G = S1 DG on en déduit
ind(D) = T r(P ) − T r(P 0 ) = T r(S0 ) − T r(S1 )
Le gros avantage étant qu’avec une paramétrix proprement supportée Q de D, on pourra
tout relever tout en gardant un lien avec l’indice de D.
En liftant une telle paramétrix à X̃ on trouve un opérateur Q̃ qui sera une paramétrix
proprement supportée de D̃, donc:
Q̃D̃ = 1 − S̃0 ; D̃Q̃ = 1 − S̃1
46
Maintenant, les opérateurs S̃i ont des noyaux dont le support est compact dans (X̃ ×
X̃)/Γ (car ils sont proprement supportés) et donc ils sont à Γ-Trace et
T rΓ (S̃i ) = T r(Si )
.
Pour prouver le résultat d’Atiyah il suffit donc de voir si
(1)T rΓ (P̃ ) − T rΓ (P̃ 0 ) = T rΓ (S̃0 ) − T rΓ (S̃1 )
Les équations liées à la paramétrix Q̃ nous donnent P̃ = S̃0 P̃ et P̃ 0 = P̃ 0 S̃1 . Notons
alors
T0 := (1 − P̃ )S̃0 (1 − P̃ )
T1 := (1 − P̃ 0 )S̃1 (1 − P̃ 0 )
. Puisque T rΓ (ab) = T rΓ (ba) et comme P̃ 2 = P̃ ; P̃ 02 = P̃ 0 l’équation (1) peut se réécrire
T rΓ (T0 ) = T rΓ (T1 ).
D’un autre coté en composant les équations (2) Q̃D̃ = 1 − S̃0 et D̃Q̃ = 1 − S̃1 avec D̃
on obtient:
D̃S̃0 = S̃1 D̃
Ce qui implique, en réappliquant (2)
D̃T0 = T1 D̃.
Si D̃ était un opérateur borné inversible, on aurait pu appliquer D̃−1 à cette dernière
équation et donc obtenir T rΓ (T0 ) = T rΓ (T1 ). Mais bon, ni D̃ ni son inverse (sur (H(D̃∗ ))⊥ )
ne sont bornés, il faut donc procéder autrement.
On va étudier l’opérateur autoadjoint D̃∗ D̃. Le calcul fonctionnel pour les opérateurs
non-bornés, nous donne une unique racine carrée A pour cet opérateur. La décomposition
polaire de D̃ s’écrit D̃ = U A, où U est une isométrie partielle vérifiant:
U ∗ U = 1 − P̃ ; U U ∗ = 1 − P̃ 0 .
Parce que la décomposition polaire est unique, les opérateurs U et A doivent commuter
−1
à Γ (en effet si ce n’était pas le cas, pour tout g ∈ Γ, (Lg U L−1
g , Lg ALg ) serait une autre
écriture polaire de D̃) et donc les projections spectrales de A aussi.
Si l’on note
T2 = U ∗ T1 U = U ∗ (1 − P̃ 0 )S̃1 (1 − P̃ 0 )U = (1 − P̃ )U ∗ S̃1 U (1 − P̃ )
47
(où la deuxième égalité provient du fait que: U ∗ U U ∗ = U ∗ (1 − P̃ 0 ) = (1 − P̃ )U ∗ ), on trouve
que
(3)T rΓ (T2 ) = T rΓ (T1 )
alors que l’égalité D̃T0 = T1 D̃ donne
(4)AT0 = T2 A.
Soit alors Pn la projection spectrale de A correspondant à l’intervalle [1/n, n] et notons
T0n = Pn T0 Pn , T2n = Pn T2 Pn ,
puis
An = Pn APn + (1 − Pn ).
En composant (4) des deux cotés avec Pn , et en se rappelant que Pn commute avec A,
on obtient
An T0n = T2n An .
Ensuite, An est, par construction, borné et inversible, donc on peut écrire
An T0n A−1
n = T2n .
Comme tout les opérateurs de cette équation sont Γ-invariant et bornés, on peut prendre
leur Γ-Trace et en déduire
(5)T rΓ (T0n ) = T rΓ (T2n ).
Puisque
T rΓ (Tin ) = T rΓ Pn (Ti Pn ) = T rΓ (Ti Pn2 ) = T rΓ (Ti Pn ); i = 0, 2
et parce que Pn converge fortement vers 1 − P̃ , on peut appliquer le théorême de
convergence dominée pour la Γ-Trace afin d’obtenir
lim(T rΓ (Tin )) = T rΓ (Ti (1 − P̃ ))
mais, par définition des Ti , onaTi (1 − P̃ ) = Ti (pour i = 0, 2), et donc en utilisant (5)
T rΓ (T0 ) = T rΓ (T2 )
ce qui combiné avec (3) donne l’équation voulue:
T rΓ (T0 ) = T rΓ (T1 )
et achève la preuve du théorème d’Atiyah. 48
Nombres de Betti L2
4
4.1
Définition
Nous allons maintenant nous intéresser à une situation particulière contenue dans le cadre
général présenté plus haut. Elle est présentée dans [Gil] pour le cadre compact, puis dans
[Ati]. [Eck], [Gab] et [Luck] pour des généralisations.
Soit X̃ une variété riemannienne. La métrique riemannienne induit un produit scalaire
sur les fibrés tensoriels au dessus de X̃, c’est le cas, par exemple, pour les puissances
extérieures p-ièmes du fibré cotangent (noté Λp T ∗ X̃). Ce qui nous donne un produit
hermitien sur le complexifié Λp T ∗ X̃ ⊗ C ainsi que dans l’espace des sections de ces fibrés
qui ont un support compact (Λpc (X̃) = Cc∞ (X̃, Λp T ∗ X̃ ⊗ C)). Si l’on note <, > ce produit
scalaire, on peut regarder la complétion de Λpc (X̃) pour la norme induite par ce p.s.. C’est
un espace hilbertien noté logiquement L2 Λp (X̃), il est constitué des p-formes extérieures
sur X̃ qui prennent des valeurs complexes et dont le carré est intégrable.
Remarque: Λp (X̃) désigne l’espace des p-formes lisses à valeurs complexes sur X̃, i.e.
= C ∞ (X̃, Λp T ∗ X̃ ⊗ C).
Λp (X̃)
Considérons maintenant l’opérateur de différentiation extérieure
d : Λp (X̃) 7−→ Λp+1 (X̃)
C’est un opérateur différentiel d’ordre un. Il définit deux opérateurs linéaires non bornés
dmin et dmax , agissant tout les deux de L2 Λp (X̃) dans L2 Λp+1 (X̃). dmin est la fermeture
de d vu comme opérateur dont le domaine est Λpc (X̃), quand à dmax sont domaine est
D(dmax ) = {w|w ∈ L2 (Λp (X̃)), dw ∈ L2 (Λp+1 (X̃))}
où d est appliqué au sens des distributions. Soit δ l’adjoint formel de d, i.e.
δ : Λp+1 (X̃) 7−→ Λp (X̃)
< dw, α >=< w, δα >, w ∈ Λpc (X̃), α ∈ Λp+1
c (X̃)
Alors dmax = δ ∗ . Notons que d∗ est densément défini, donc, d’après un lemme vu dans
la section sur les opérateurs non bornés, la fermeture dmin de d est bien définie.
Nous allons noter dp := d : Λp (X̃) 7−→ Λp+1 (X̃) pour, dans nos calculs à venir, toujours
savoir sur quoi agit d, ce sera aussi pratique pour définir les divers groupes de cohomologie
L2 . De même δp := δΛp+1 (X̃) 7−→ Λp (X̃). On définit alors l’opérateur auquel nous allons
49
appliquer la théorie d’Atiyah, c’est l’opérateur laplacien ∆ := δd + dδ : Λp (X̃) 7−→ Λp (X̃)
ou encore, pour lever l’ambiguité sur le domaine de définition, ∆p := ∆ = δp dp + dp1 δp−1 .
Attardons nous un peu sur ce Laplacien. Nous ne démontrerons pas les résultats le
concernant mais, l’étude dans le cas particulier p = 0 nous donnera l’intuition.
Tout d’abord notons que, par convention, d−1 = 0, δ−1 = 0, donc si on considère le
Laplacien pour les fonctions (i.e. p = 0), on aura ∆ = δd, essayons de voir maintenant
comment opère notre δ dans le cas simple où X̃ = R. Soient f, g ∈ Cc∞ (R), par définition
< df, dg >=< f, δd(g)) >=< f, ∆(g) >
mais:
Z
0
Z
0
g (x)f (x)dx = −
< df, dg >=
R
f (x)g 00 (x)dx = − < f, g 00 >
R
où l’on a fait une intégration par partie, et utilisé que les fonctions sont à support compact.
Donc, dans ce cas très élémentaire, on retrouve bien la formulation classique du laplacien:
∆f = −
d2 f
dx2
Pour ce qui concerne les fonctions de Rn on aura:
∆ = −(
∂2
∂2
∂2
+ 2 + ... + 2 )
2
∂xn
∂x1 ∂x2
Le résultat important pour la suite consiste en l’ellipticité du Laplacien ∆. Pour le voir
regardons ce qui se passe dans Rn .
Vu la définition de ∆ dans ce cas, on voit très vite que son symbole principal en (x, ξ)
est ξ12 + ... + ξn2 i.e |ξ|2 qui est nul ssi ξ = 0 d’où l’ellipticité de ∆.
De manière plus générale on doit pouvoir montrer que le symbole principal de ∆ en
(x, ξ) ∈ T ∗ X̃ est |ξ|2 Id où Id est l’identité de Λp Tx∗ X̃ ⊗ C en tout point x ∈ X̃, la norme
provenant de la métrique riemannienne.
Définition 4.1 L’espace des formes harmoniques de degré p sur X̃ est:
Hp (X̃) = Ker(dp,max ) ∩ Ker(δp−1,max ) = {w|w ∈ L2 Λp (X̃), dw = 0, δw = 0}
où d et δ sont appliqués au sens des distributions.
Lemme 8 Hp (X̃) ⊂ Λp (X̃) (soit le fait que les formes harmoniques, à priori L2 , sont en
fait lisses).
50
Preuve. Les opérateurs dp,max , δp−1,max étant fermés, Hp (X̃) est fermé dans L2 Λp (X̃).
De plus Hp (X̃) ⊂ Ker(∆) (car si w ∈ Hp (X̃), alors dw = 0, δw = 0 et donc (δd+dδ)(w) = 0
, or ∆ est elliptique, donc les éléments de son noyau sont lisses, d’où le lemme. Proposition 4.1 (Décomposition de Hodge) (voir [Eck]) Il y a une décomposition orthogonale
L2 Λp (X̃) = dΛcp−1 (X̃) ⊕ Hp (X̃) ⊕ δΛp+1
c (X̃)
De plus
Ker(dp,max ) = dΛcp−1 (X̃) ⊕ Hp (X̃)
Ker(δp−1,max ) = Hp (X̃) ⊕ δΛp+1
c (X̃)
Démonstration. Une des propriétés fondamentales de la différentielle extérieure est de
p+1
vérifiée d2 = dp+1 dp = 0, en particulier, on en déduit que les espaces dΛp−1
c (X̃) et δΛc (X̃)
sont orthogonaux et donc leur fermeture aussi.
Maintenant, il suffit de regarder l’orthogonal de la somme directe de ces deux espaces:
p+1
⊥
p−1
⊥
p+1
⊥
(dΛp−1
c (X̃) ⊕ δΛc (X̃)) = (dΛc (X̃)) ∩ (δΛc (X̃))
cet espace consiste en les w ∈ L2 ∆p (X̃) qui vérifient δw = 0 et dw = 0 au sens des
distributions. Il s’agit donc bien, par définition, de l’espace des p-formes harmoniques, ce
qui prouve la première partie de la proposition.
p
Pour la suite il suffit de voir que dΛp−1
c (X̃) ⊂ Ker(dp,max ), et que H (X̃) ⊂ Ker(dp,max ).
Donc
p
dΛp−1
c (X̃) ⊕ H (X̃) ⊂ Ker(dp,max )
pour l’égalité, vérifions que Ker(dp,max ) ∩ δΛp+1
c (X̃) = {0}.
En fait Ker(dp,max ) ⊥ δΛp+1
c (X̃) donc
Ker(dp,max ) ⊥ δΛp+1
c (X̃)
ce qui achève la démonstration. Nous allons maintenant donné un résultat qui n’est pas vrai pour tout variété riemannienne:
Proposition 4.2 Soit X̃ une Γ-variété riemannienne telle que X = X̃/Γ soit compacte.
Alors ∆p,min = ∆p,max = ∆p (c’est à dire ∆p est essentiellement autoadjoint), et
Hp (X̃) = Ker(∆p )
dp,min = dp,max , δp,min = δp,max
51
Commençons par remarquer que l’égalité ∆p,min = ∆p,max provient d’un résultat plus
général qui nous assure que si A est un opérateur elliptique Γ-invariant qui est symmétrique
dans L2 , alors il est essentiellement autoadjoint (remarque: le même résultat est vrai
si A n’est pas supposé Γ-invariant et que X̃ est une variété complète pour sa métrique
riemanienne).
On aura besoin du lemme (voir [Shu] pour une preuve) suivant:
Lemme 9 Soit A : H1 7−→ H2 et A+ : H2 7−→ H1 des opérateurs linéaires (non bornés)
tels que
< Au, v >2 =< u, A+ v >1 , u ∈ D(A), v ∈ D(A+ )
Supposons que l’opérateur A+ A soit essentiellement autoadjoint. Alors les fermetures de
A et A+ sont mutuellement adjointes, i.e. A = (A+ )∗ et A+ = A∗ .
Revenons à la démonstration de la proposition.
On travaille d’abord sur dp et δp , si l’on regarde comment agit ∆p dans la décomposition
p
de Hodge, il est clair qu’il est de la forme dδ, 0, δd sur les espaces dΛp−1
c (X̃), H (X̃),
p+1
δΛc (X̃) respectivement. Ainsi, la fermeture ∆p se comporte aussi de manière décomposée
dδ, 0, δd. Tout aussi clairement l’adjoint ∆∗p se décompose en somme directe des opérateurs
(dδ)∗ , 0, (δd)∗ et comme ∆∗p = ∆p , on voit que dδ = (dδ)∗ et δd = (δd)∗ , ce qui signifie que
dδ et δd sont essentiellement autoadjoints.
Reste alors à appliquer le lemme précédent qui nous donne
d∗ = δ, δ ∗ = d
dans les espaces de hilberts correspondants et dons dans L2 Λp (X̃). Ce qui nous donne le
deuxième point de la proposition.
Le premier est un corollaire de cela, car ce qu’on a vu implique
∗
∆max = ∆min = d∗max dmax + δmax
δmax
et donc, Ker(∆p,max ) = Ker(dp,max ) ∩ Ker(δp−1,max ) = Hp (X̃). Nous allons enfin pouvoir définir les nombres de Betti L2 . Mais avant cela il faut une
définition propre de la cohomologie L2 pour notre cadre:
Définition 4.2 La L2 -cohomologie réduite de degré p d’une variété riemannienne X̃ est
l’espace de Hilbert
p
H (2) (X̃) = Ker(dp,max )/dΛp−1 (X̃)
52
La décomposition de Hodge implique alors un isomorphisme topologique
p
Hp (X̃) ' H (2) (X̃)
via w 7−→ w[dΛp−1 (X̃)].
Maintenant, si on suppose en plus que X̃ est Γ-invariante, ainsi que sa métrique, alors
les espaces L2 Λp (X̃) deviennent des Γ-modules de Hilbert, et il en va de même pour
p
Ker(dp,max ), dΛp−1 (X̃), Hp (X̃) et H (2) (X̃).
p
Définition 4.3 Les Γ-dimensions des Γ-modules de Hilbert H (2) (X̃) sont appelées nombres
(2)
(2)
de Betti L2 , et sont notés bp (X̃, Γ) ou plus simplement bp (X̃), en résumé:
p
(2)
p
b(2)
p (X̃, Γ) = bp (X̃) = dimΓ (H (2) (X̃)) = dimΓ (H (X̃))
Remarque: vues les propriétés de la dimension de Von Neumann, à priori ces nombres
sont des réels positifs, voire infinis.
Nous allons, dans le paragraphe suivant, donner quelques propriétés de ces nombres de
Betti L2 .
4.2
Propriétés
Commençons par lever le suspense de la dernière remarque:
(2)
Lemme 10 Si l’action Γ y X̃ est cocompacte, alors bp (X̃) < ∞ pour tout p = 0, 1..., n, n =
dimX̃.
Preuve: La projection orthogonale sur Hp (X̃) est un Γ-opérateur de lissage, donc, d’après
la théorie d‘eveloppée autour du théorème d’Atiyah, c’est aussi un opérateur à Γ-Trace. La cohomologie dont nous discutons ici est un équivalent L2 de la cohomologie de De
Rham classique pour les formes différentielles. Dans le cadre classique, De Rham a défini les
nombres de Betti classiques bp (X) qui sont la dimension du p-ième groupe de cohomologie
H p (X, C), quotient des p-formes fermées par les p-formes exactes. Il a aussi démontré que
la somme alternée des bp (X) est égale à la caractéristique d’Euler χ(X) de X. On va voir
que cette propriété est encore vérifiée par les nombres de Betti L2 .
On se place dans sous les hypothèses du dernier lemme, i.e. X = X̃/Γ est compacte.
Alors:
X
χ(X) =
(−1)p bp (X)
0≤p≤n
53
Théorème 4.3 Avec les notations vues plus haut:
X
(−1)p b(2)
p (X̃) = χ(X)
0≤p≤n
i.e. la caractéristique d’Euler L2 de X̃ est égale à celle, classique, de X.
Preuve: Considérons l’opérateur différentiel
M
M
A=d+δ :
Λ2p (X̃) 7−→
Λ2p+1 (X̃)
p
p
Clairement
A∗ = d + δ :
M
Λ2p+1 (X̃) 7−→
M
p
Puisque
d2
=
δ2
= 0, on a (d +
Λ2p (X̃).
p
δ)2
= dδ + δd = ∆, ou, plus précisement,
M
M
A∗ A =
∆2p , AA∗ =
∆2p+1
p
p
∆ étant elliptique, il s’en suit que A est elliptique et
M
M
Ker(A) =
H2p (X̃), Ker(A∗ ) =
H2p+1 (X̃)
p
p
Donc
indΓ (A) =
X
(−1)p dimΓ (Hp (X̃)) =
p
X
(−1)p b(2)
p (X̃)
p
clairement le relevé à X̃ du même opérateur d + δ sur X, dont l’indice est
P Mais A est
p b (X) = χ(X), pour les mêmes raisons qu’exposé au dessus (Notons que tout
(−1)
p
0≤p≤n
se relève bien puisque ∆ est différentiel, donc, mieux que presque local, il est carrément
local).
Le résultat provient alors directement du théorème d’Atiyah. Donnons un exemple pour lequel les nombres de Betti L2 peuvent diffèrés des nombres
de Betti classiques.
(2)
Lemme 11 Soit X̃ une variété sans composantes connexes compacte. Alors b0 (X̃) = 0
En effet, H0 (X̃) consiste en les fonctions locallement constantes de carré intégrable, et
donc par hypothèse, son seul élément est la fonction nulle.
Notons que la dualité de Poincaré marche aussi pour les nombres de Betti L2
54
p
n−p
Lemme 12 Supposons que X̃ soit orientable. Alors H (2) (X̃) et H (2) (X̃) sont isomorphes
(2)
(2)
comme Γ-modules. En particulier bp (X̃) = bn−p (X̃), p = 0, 1, ..., n.
Remarque: Si n est impair la caractéristique d’Euler est donc nulle.
Autre propriété admise, qui souligne cette fois la singularité des nombres de betti L2
(voir [Eck]):
Proposition 4.4 Si X̃ est un revêtement de degré m de X (i.e. les fibres sont toutes de
(2)
(2)
cardinal m). Alors bp (X̃) = m × bp (X)
4.3
Généralisations de la notion de nombre de Betti L2
Comme on le sait, il existe diverses théories de l’homologie. Nous venons de définir les
nombres de Betti L2 dans le cadre de la cohomologie de De Rham, nous allons chercher à
les définir dans un cadre simplicial.
Soit X̃ une Γ-variété telle que X = X̃/Γ soit compacte. Alors X peut être repréntée
par un complexe simplicial fini K. On peut relever tous les simplexes à X̃ ce qui fait
de X̃ un Γ-complexe simplicial (à priori infini, si Γ l’est) K̃. Par Γ-complexe, on entend
que Γ agit librement sur l’ensemble des simplexes de toutes dimensions et que cette action
commute avec l’opérateur de bord ∂.
Avant d’aller plus loin attardons nous sur des complexes simpliciaux tels que K̃. On
considère dons un Γ-complexe simplicial K̃ dont le complexe quotient K = K̃/Γ est fini.
Par définition, une chaı̂ne L2 de K̃, c, est une combinaison
P linéaire formelle
P de simplexes
orientés de K̃ qui soit ”de carré sommable”, i.e. c = σ cσ σ, cσ ∈ C et σ |cσ |2 < ∞.
Clairement l’espace des L2 -chaı̂nes est un espace de Hilbert noté C (2) (K̃). C’est un Γ(2)
module de Hilbert. Notons Cp (K̃) son sous espace consistant en les combinaisons linéaires
L2 de simplexes de dimensions p. C’est aussi un Γ-module. L’opérateur de bord, qui à
priori n’est défini que sur les Γ-complexes finis, se prolonge en un opérateur linéaire borné
(2)
∂ : Cp(2) (K̃) 7−→ Cp−1 (K̃)
tel que ∂ 2 = 0.
Remarque: ∂ est un morphisme de Γ-modules.
55
(2)
(2)
p
Soit C(2)
(X̃) = (Cp (K̃))0 c’est à dire le dual de Cp (K̃); C’est aussi un espace de
(2)
Hilbert qui peut être identifié à Cp (K̃) (c’est le classique théorème de Riez). On a aussi
un morphisme de Γ-modules
p
p+1
d : C(2)
(X̃) 7−→ C(2)
(X̃)
qui se trouve être l’adjoint de ∂. d2 = 0.
On peut maintenant parler de L2 -homologie et L2 -cohomologie simpliciale, avec leurs
p
groupes associés respectifs H p (K̃) et H (K̃) qui sont l’homologie et la cohomologie as(2)
p
sociées aux complexes hilbertiens (Cp (K̃), ∂) et C(2)
(K̃), d). On montre aussi que H p (K̃)
p
et H (K̃) sont des Γ-modules duaux (donc en particulier isomorphes) et donc les nombres
de Betti L2 simpliciaux
p
b(2)
p (K̃, Γ) = dimΓ (H (K̃)) = dimΓ (H p (K̃))
sont bien définis en tant que nombres réels.
On admet le théorème suivant
Théorème 4.5 Soit K̃ un Γ-complexe simplicial dont le quotient K est fini. Les nombres
(2)
de Betti L2 simpliciaux bp (K̃) sont des invariants homotopiques de la paire (|K̃|, Γ), où
|K| est le Γ espace topologique défini par le Γ-complexe K̃.
56
5
Invariant η pour les revêtements
Le propos de ce paragraphe va consister, encore une fois grâce au théorème d’ Atiyah, à
généraliser la notion d’invariant η pour les revêtements de variétés riemanniennes. Pour
l’introduction de cet invariant, voir [APS], pour sa définition sur les revêtements, voir [BF],
puis [Ram] et [Per].
5.1
L’opérateur de Dirac, Atiyah-Patodi-Singer et l’invariant η
Commençons par des considérations rapides sur les algèbres de Clifford (voir [Roe]).
Définition 5.1 Soit V un espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire symmetrique notée
< ., . >. Une algèbre de Clifford pour V est par définition une algèbre avec unité A équippée
d’une application φ : V 7−→ A telle que (φ(v))2 = − < v, v > 1, et qui est universelle pour
cette propriété.
par exemple si < ., . > est la forme bilinéaire identiquement nulle, son algèbre de Clifford
associée est l’algèbre extérieure.
Pour tout espace vectoriel V , une algèbre de Clifford existe et est unique à isomorphisme
près, on la note Cl(V ). Si dimV = n alors dim(Cl(V )) = 2n
Soit V un espace vectoriel, muni d’une forme bilinéaire symetrique, Cl(V )) son algèbre
de Clifford. Nous parlerons de modules de Clifford lorsque l’on rencontrera des modules à gauche de l’algèbre de Clifford complexifiée Cl(V ) = Cl(V ) ⊗ C, soit, de manière
équivalente, les espaces vectoriels complexes S munis d’une application R-linéaire
c : V 7−→ EndC (S)
tels que (c(v))2 = − < v, v > 1 pour tout v ∈ V .
Cette construction va nous servir pour les variétés riemanniennes.
En effet, soit X une telle variété, alors le fibré tangent T X est un fibré dont les fibres sont
des espaces vectoriels munis de produits scalaires. Parler du fibré d’algèbres de Clifford
Cl(T X) = {(x, Cl(Tx X), x ∈ X} a donc un sens. Soit alors S un fibré de modules de
Clifford. On aimerait différentier les sections de S, pour cela nous aurons besoin d’une
connection sur S. Rappelons ce qu’est une connection
57
Définition 5.2 Soit X une variété lisse et E un fibré vectoriel au dessus de X. Par
connection sur E on entend une application linéaire:
∇ : C ∞ (X, E) 7−→ C ∞ (X, T ∗ X ⊗ E)
qui vérifie
∇(f ξ) = (df ) ⊗ ξ + f (∇ξ), f ∈ C ∞ (X), ξ ∈ C ∞ (X, E)
c’est à dire un analogue de la formule de Leibnitz pour la dérivation des produits (rappelons
que C ∞ (X, T X) est un C ∞ (X)-module).
Si X est riemannienne, il existe une connection privilégiée sur T X, c’est la connection
de Levi-Civita ∇lc qui a la propriété d’être sans torsion et qui est compatible avec la
métrique g de X, c’est à dire que
g(∇lc (ψ), ξ) + g(ψ, ∇lc (ξ)) = d(g(ψ, ξ))
pour ψ, ξ ∈ C ∞ (X, E).
Une fois passé ce résumé pas très intuitif, revenons en à nos fibrés de modules de
Clifford;
Définition 5.3 Soit S un fibré de modules de Clifford au dessus d’une variété riemanienne
X. On dira que S est un fibré de Clifford s’il est équipé d’une métrique hermitienne et
d’une connection compatible avec la métrique telles que:
• L’action de Clifford cx de chaque vecteur de v ∈ Tx X sur Sx est anti-symmetrique,
i.e. < cx (v)(s1 ), s2 >= − < s1 , cx (v)(s2 ) >.
• La connection sur S est compatible avec la connexion de Levi-Civita sur T X
On arrive enfin à la définition de l’opérateur de Dirac:
Définition 5.4 L’opérateur de Dirac D d’un fibré de Clifford S est un opérateur différentiel
du premier ordre sur C ∞ (S) définit par les compositions suivantes:
C ∞ (X, S) 7−→ C ∞ (X, T ∗ X ⊗ S) 7−→ C ∞ (X, T X ⊗ S) 7−→ C ∞ (S)
où la première flêche correspond à la connection, la seconde à la métrique identifiant
les fibrés tangent et cotangent, et la troisième à l’action de Clifford.
Théorème 5.1 Si X est compacte, les opérateurs de Dirac sont essentiellement autoadjoints. Leur spectre est discret et est constitué d’une suite croissante vers ∞ de valeurs
propres. Si H = L2 (S), alors H se décompose en somme orthogonale dénombrable de Hλ ,
espaces spectraux de dimension finis de sections lisses et associés à la valeur propre λ.
58
Venons-en au cadre de la théorie d’Atiyah, Patodi et Singer.
Soit X une variété riemannienne à bord de dimension n paire, notons Y sont bord,
c’est aussi une variété riemannienne mais sans bord et de dimension n − 1 donc impaire.
De manière générale, les opérateurs elliptiques sur de telles variétés ne sont pas de type
Fredholm, pour palier à ce problème il est nécessaire de donner des conditions de bords,
dans [APS] Atiyah, Patodi et Singer en donne une non-locale qui fait des opérateurs de
Dirac des Fredholms.
Ils montrent aussi que, lorsque la métrique est bien choisie, notre opérateur de Dirac
∂
D peut s’ecrire, dans un voisinage du bord, sous la forme ±( ∂u
+ D0 ) où u est la variable
normale dans le voisinage de Y et D0 est l’opérateur de Dirac sur Y , donc essentiellement
autoadjoint et à spectre discret σ(D0 ).
Ils introduisent alors une fonction, la fonction η
X
η(s) =
sign(λ)|λ|−s
λ∈σ(D0 ),λ6=0
ils montrent que cette fonction converge absolument pour Re(s) grand, qu’elle se prolonge
en une fonction méromorphe du plan et que η(0) est fini. C’est ce η(0) que l’on nommera
invariant η et ce pour la raison suivante:
Théorème 5.2 Dans le cadre et avec les notations qui précèdent et sous les conditions de
bord de Atiyah, Patodi et Singer, notre opérateur de Dirac D est de type Fredholm et son
indice vaut:
Z
1
ind(D) =
AS − [dim(Ker(D0 )) + η(0)]
2
X
R
où X AS désigne l’intégrale permettant de calculer l’indice dans le cadre Atiyah-Singer,
c’est à dire pour les variétés sans bord, et η(0) est le terme de correction (du justement à
la condition de bord) défini plus haut.
Remarque: en travaillant sur la transformée de Mellin, on peut montrer que
Z
1
2
η(0) =
t−1/2 T r(D0 e−tD0 )dt
Γ(1/2) R+
2
Remarque 2: D0 e−tD0 est bien défini car les Dirac étant autoadjoints, on peut définir
2
leur calcul fonctionnel borélien. De plus D0 e−tD0 est un opérateur à trace car son noyau
de Schwartz est lisse. En effet toute section s ∈ H = L2 (S) possède un dévelloppement de
Fourier sous la forme
X
sλ
λ∈σ(D0 )
59
avec sλ la composante suivant Hλ de s. On remarque alors que s est lisse ssi ||sλ || =
O(|λ|−k ) pour tout k, i.e. les termes du développement de s sont à décroissance rapide.
Cela provient de l’ellipticité de D0 , on montre en fait que la condition de décroissance
rapide équivaut à la convergence du développement de s dans chaque espace de Sobolev.
2
On utilise alors ce résultat dans l’étude de f (D0 ) avec f = xe−tx qui est à décroissance
rapide. Voir [Roe] pour plus de détails.
Aux vues de ce théorème et de celui sur l’indice des opérateurs elliptiques pour les
revêtements, une question se pose:
Peut-on définir l’invariant η dans le cadre des revêtements galoisiens de variétés riemanniennes compactes ?
la réponse est oui et c’est Mohan Ramachandran qui a démontrer que l’intégrale qui
défini l’invariant η est bien fini dans ce cadre.
5.2
Sur le résultat de M. Ramachandran
Considérons donc X une variété riemanienne compacte à bord. Vue la définition de
l’invariant η, on va travailler sur le bord Y de X, qui est aussi une variété compacte
riemanienne mais sans bord.
Soit D un opérateur de Dirac sur S, S étant un fibré de Clifford au dessus de Y . Bismut
2
et Freed on montrés dans [BF] que T r(De−tD ) est un O(t1/2 ).
Soit alors Ỹ un revêtement galoisien de Y avec comme groupe associé, le groupe discret
Γ. Soient D̃ et S̃ les relevés de D et S à Ỹ . On défini la Γ-Trace comme avant. Notre but
est alors de montrer que l’intégrale
Z
1
2
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt
Γ(1/2) R+
est finie.
2
Pour cela il faudrait d’abord que D̃e−tD̃ soit bien un opérateur à Γ-Trace.
Définition 5.5 On note CB r (S̃) l’espace des sections s de S̃ qui sont r fois différentiables
aevc des dérivées bornées.
Remarque: CB r (S̃) muni de la norme sup sur les r dérivées, est un espace de Banach.
2
Un corollaire direct de la proposition suivante nous assure que D̃e−tD̃ est à Γ-Trace.
60
Proposition 5.3 Pour n’importe quelle fonction à décroissance rapide f sur R, l’opérateur
f (D̃) est un opérateur à noyau lisse.
La démonstration est une conséquence directe des deux résultats suivants (voir [Roe]).
Tout d’abord un équivalent du théoreme d’inclusion continue pour les espaces de
Sobolev, mais cette fois dans le cas non-compacte
Proposition 5.4 Soit n = dim(Ỹ ). Pour tout entier p > n/2 et pour tout r0 il existe une
constante C telle que
||s||CB r ≤ C(||s||L2 + ||D̃s||L2 + ... + ||D̃p+r s||L2
pour tout s dans le domaine de D̃p+r .
Vient ensuite le:
Lemme 13 Soit A un opérateur borné autoadjoint dans MΓ (S̃). Supposons que A envoie
de manière bornée L2 dans CB r , pour tout r. Alors A2 est un opérateur de à noyau lisse.
Ceci étant admis, il suffit de considérer f positive et à décroissance rapide. Alors f 1/2
est aussi à décroissance rapide, donc, d’après la proposition qui précède, f 1/2 (D̃) envoie de
manière bornée L2 (S̃) dans CB r pour tout r. De plus f 1/2 (D̃) est autoadjoint, borné et
dans MΓ (S̃). Donc d’après le lemme:
f (D̃) = f 1/2 (D̃)2
est un opérateur à noyau lisse.
2
2
Or xe−tx est à décroissance rapide pour t > 0, donc D̃e−tD̃ est à noyau lisse. Comme
il est en plus clairement positif, d’après la caractérisation des opérateurs à Γ-Trace vue
dans le paragraphe 3, on en déduit qu’il est aussi à Γ-Trace.
2
On note alors Kt (x, y) le noyau de Schwartz de l’opérateur e−tD̃ , kt (x, y) celui de e−t∆
2
où ∆ est l’opérateur de Laplace et D̃Kt (x, y) pour le noyau de D̃e−tD̃ . On a alors:
Lemme 14 On a l’inégalité suivante:
|T r(D̃Kt (x, x)| < At1/2
où A est une constante qui dépend de la géométrie locale de Ỹ , de S̃, de la dimension de
Ỹ et du rang de Ỹ .
61
Démonstration: Soit P (x, y, t) une paramétrix lisse de Kt (x, y) proprement supporté
dans un -voisinage de la diagonale Ỹ × Ỹ . Patodi a démontré, dans [Pat], que l’on peut
trouver une telle paramétrix vérifiant en plus:
P (x, y, t) ∈ Hom(S̃y , S̃x )
∂
+ D̃2 )P (x, y, t) = O(tm )
∂t
∂
D̃( + D̃2 )P (x, y, t) = O(tm−1 )
∂t
(
avec m tel que
Z
(t − s)−n/2 sm−1 ds = O(t1/2 ), n = dim(Y )
[0,t]
||P (x, y, t)||x,y ≤ At−n/2 , 0 ≤ t ≤ 1.
avec ||.||x,y désignant la norme d’application linéaire de la fibre au dessus de y à valeurs
dans la fibre au dessus de x.
On a en plus (Rosenberg):
||Kt (x, y)||x,y ≤ ect kt (x, y),
où c dépend seulement de la géométrie locale. On peut trouver des preuves de ce résultat,
avec des méthodes différentes, dans [Ros] et [Ram2].
∂
Rappelons ce que nous dit le principe de Duhamel pour l’équation de la Chaleur ( ∂t
+
= 0:
D2 )st
Proposition 5.5 Soit st une section C 2 de S. Alors il existe une unique section lisse s̃t de
S, différentiable en t et telle que s̃0 = 0, vérifiant l’équation de la chaleur non homogène:
(
∂
+ D2 )s̃t = st
∂t
En fait s̃ est donnée par la formule:
Z
s̃t =
0
2
e−(t−t )D s0t dt0
[0;t]
62
Comme Kt (x, y) est justement le noyau de l’opérateur équation de la chaleur et que
P (x, y, t) en est une paramétrix convenable on obtient après calculs que:
T r(D̃Kt (x, x)) = T r(D̃P (x, x, t))
Z
Z
∂
dsT r( Kt−s (x, y)( + D̃2 )D̃P (x, y, s)dvolỸ (y)).
+
∂t
Ỹ
[0,t]
Bismut et Freed dans l’article déjà cité on en plus montré que
|T r(D̃P (x, x, t))| ≤ At1/2 ,
Donc il reste à voir comment se comporte l’autre terme, on a:
Z
Z
∂
|
dsT r( Kt−s (x, y)( + D̃2 )D̃P (x, y, s)dvolỸ (y))|
∂t
[0,t]
Ỹ
Z
≤A
||Kt (x, y)|m−1 dvolỸ (y)
B(x,)
d’après la troisième propriété de la parametrix P qui est -locale. puis
Avol(B(x, ))(t − s)−n/2 sm−1
où l’on utilise une estimation du noyau de la chaleur pour l’opérateur de Laplace due à
Chavel
0 ≤ kt (x, y) ≤ At−n/2
Pour plus de détails voir [Cha] si vous le trouvez.
Enfin on conclut grace à la géométrie bornée de Ỹ , on obtient:
Z
Z
∂
dsT r( Kt−s (x, y)( + D̃2 )D̃P (x, y, s)dvolỸ (y)) ≤ At1/2
∂t
[0,t]
Ỹ
En jumelant ce résultat et celui de Bismut et Freed on obtient bien:
|T r(D̃Kt (x, x)| < At1/2
. ””
Avant de démontrer le théorème proprement dit, une petite considération d’analyse
harmonique:
Si S(R) désigne l’espace de Schwartz. On consière la forme linéaire suivante
I(f ) = T rΓ (f (D̃)), f ∈ S(R).
63
C’est donc une distribution tempérée, alors un resultat sur les distributions que l’on peut
trouver dans [Sch] nous dit que
Z
I(f ) =
f dmΓ ,
R
où mΓ est une mesure tempérée, i.e. il existe un entier k positif tel que
Z
1
dmΓ < ∞.
(1
+
|x|)k
R
On a tout en main pour démontré le résultat de Ramachandran:
Théorème 5.6 L’estimation suivante à lieu:
Z
1
2
|η(0)| = |
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt| ≤ A × vol(Y )
Γ(1/2) R+
où A est une constante satisfaisant les propriétés du lemme précédent. Comme Y est
compacte le membre de droite (et donc celui de gauche) est fini.
Démonstration. On va décomposer l’intégrale en deux parties.
Z
Z
1
1
2
2
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt =
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt
Γ(1/2) R+
Γ(1/2) [0,1]
Z
1
2
+
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt
Γ(1/2) [1;∞[
Maintenant
Z
1
2
|
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt|
Γ(1/2) [0;1]
Z
Z
≤
t−1/2 |T r(D̃Kt (x, x))|dvolỸ (y)dt
[0;1]
U
où l’on a utilisé la formulation analytique de la Γ-Trace avec U domaine fondamental de
Γ y Ỹ , puis:
Z
Z
−1/2 1/2
≤A
t
t dt
dvolỸ (y) = A × vol(Y )
[0;1]
U
. La dernière inégalité provenant directement du lemme vu juste avant.
Pour ce qui concerne l’autre moitié de l’intégrale
Z
1
2
|
t−1/2 T rΓ (D̃e−tD̃ )dt|
Γ(1/2) [1,∞[
64
1
|
Γ(1/2)
Z
t
−1/2
Z
[1,∞[
2
λe−tλ dmΓ (λ)dt|
R
où la mesure mΓ est celle définie plus haut
Z
Z
1
2
−1/2
≤
|λ|e−tλ dmΓ (λ)dt
t
Γ(1/2) [1,∞[
R
2
2
2
puis, grâce à Fubini et en décomposant e−tλ = e−(t−1)λ × e−λ :
Z
Z
1
2
−λ2
=
|λ|e
t−1/2 e−(t−1)λ dtdmΓ (λ)
Γ(1/2) R
[1,∞[
Z
2
2
e−λ dmΓ (λ) = T rΓ (e−D̃ )
≤
R
par définition de la fonction de la variable complexe Γ.
Pour finir, on utilise l’inégalité de Rosenberg pour avoir
2
T r(e−D̃ ) ≤ A × vol(Y ).
La combinaison des deux dominations obtenues donne le résultat final. 65
6
Bibliographie
Voici les références nécessaires à la compréhension du texte:
[APS] Spectral assymmetry and riemannian geometry, M.Atiyah, V.Patodi et I. Singer
dans Math.Proc. Camb. Phil. Soc 77
[Ati1] Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann algebras, Michael Atiyah,
Ast’erisque 32–33 (1976), 43–72
[Ati2] K-theory, Michael Atiyah, Chez Springer Verlag
[Ben] presentation generale du theoreme de l’indice , petite introduction aux operateurs
de fredholm + references utiles, Moulay Tahar Benameur sur le site:
http://graduateschool.upb.de/dp/ansicht/kunden/researchtraining/medien/anhaenge/k1m 49.pdf.
[BF] The analysis of elliptic families II. Dirac operators, eta invariants and the holonomy
theorem, JM Bismut et DS Freed dans communications in mathematical physics 107
[Cha] Eigenvalues in riemannian geometry. I Chavel, Academic Press New York 1984
[Eck] Introduction to l2 -methods in Topology: Reduced l2 -homology, Harmonic chains,
numbers, de Beno Eckmann, Israel Journal of Math. 117(2000), 183-219.
l2 -betti
[Gil] Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah Singer index theorem, de
Peter B Gilkey sur le site http://www.emis.de/monographs/gilkey/
[God] Elements de topologie algébrique, Claude Godbillon, aux éditions Hermann
[Hat1] Algebraic topology, Allen Hatcher, sur le site http://www.math.cornell.edu/ hatcher/
[Hat2] Vector bundles and K-theory, Allen Hatcher, sur son site http://www.math.cornell.edu/ hatcher/
[Hor] Analysis of Linear Partial Differential Operators 1,Lars Hormander, chez Springer
Verlag
[Jon] Von Neumann Algebras , Vaughan F.R. Jones, sur le site http://math.berkeley.edu/ vfr/
[Luc] L2 invariants: theory and applications to geometry and K-theory, Wolfgang
Luck,chez Springer
66
[Pat] Curvature and eigenforms of the Laplace operator, par V. Patodi dans J.Differential
geometry 5
[Pau] Topologie algébrique, Frederic Paulin sur le site http://www.dma.ens.fr/ paulin/
[Per] Eta invariants of Dirac operators on foliated manifolds. de Goran Peric Trans.
Amer. Math. Soc. 334 (1992)
[Ram] Von Neumann Index Theorems for manifolds with boundary. Mohan Ramachandran, dans J. Differential Geometry 38
[Ram2] Cheeger Gromov inequality for type II1 eta invariants. M. ramachandran,
university of colorado preprint.
[Roe] Elliptic operators, topology and asymptotics methods. de John Roe
[Ros] Semigroup domination and vanishing theorems. Steven Rosenberg dans Contemporary math 73
[RSR] Methods of Modern Mathematical Physics, de Stephen M. Reed, Barry Simon
et Michael Reed
[Shu] Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Mihai Shubin, Springer-Verlag.
[Sch] Theorie des distributions, Laurent Schwartz, chez Herman
67

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