3. Transformée de Fourier, diffraction et interférences : l`exemple des

Généralité de la Transformation de Fourier
Sons (ou phénomène dépendants du temps) :
temps t et fréquence ! (ou fréquence angulaire " = 2 # !)
3.
Transformée de Fourier,
diffraction et interférences :
l’exemple des ondes lumineuses
1
fˆ (! ) =
f (t) =
+$
2" %#$
f (t) e#i! t dt
+$
fˆ (! ) ei! t d!
1
2" %#$
Espace (équation de la chaleur, équations d’onde) :
position x et «!fréquence spatiale!» k = 2 # / $
1
fˆ (k) =
+#
1
+#
2! $"#
f (x) =
Les ondes lumineuses :
de Huygens à Fresnel
Huygens, Traité de la Lumière (1690)
- Un «!front d’onde!» peut se décomposer
en sources secondaires émettant des
ondes sphériques (ondelettes)
- Le front d’onde se propage comme
l’enveloppe de ces ondelettes
x
r
z
y
Ecran dans le plan (x, y)
Principe de Huygens-Fresnel (1818)
- L’amplitude de vibration d’une source
secondaire est proportionnelle à son aire
- Si S n’est pas une surface d’onde, il
faut tenir compte de la phase des sources
secondaires :
!
!
!
!
dA(r ) = A0 (r ) ei! ( r ) d 2 r
2 ! $"#
f (x) e "ikx dx
fˆ (k) eikx dk
Concours pour le Grand Prix de l’Académie des Sciences (1819)
François Arago
(1786-1883)
Le Président
Disque opaque
Augustin Fresnel
(1788-1827)
Le Candidat
Denis Poisson
(1781-1840)
Un examinateur
Triomphe
du modèle
ondulatoire !
Diffraction et Transformation de Fourier
Phénomène étudié : diffraction à l’infini (Fraunhoffer)
x
r
ki
y
Notations : ki (0, 0, k = 2 # / $)
- source et écran d’observation à l’infini :
amplitude diffractée dans la direction kd
- principe de Huygens-Fresnel :
* somme d’ondes partielles
* approximation scalaire : E -> A
k
d
z
* Ecran dans le plan (x, y)
* Transmission T(r) = T(x,y)
% &(r) ' &(0) = r . (ki - kd) = r . (k
A(kd) = Ai
= Ai
Diffraction et Transformation de Fourier
A(), *) = Ai
= Ai
" dx dy T(x,y) exp (- i k () x + * y ) )
" dx dy T(x,y) exp (- 2 i # () x + * y ) / $)
Variables conjuguées de (x, y) : angles de diffraction ), * << 1
vecteur d’onde transverse
x
kx = ) k, ky = * k
r
kx
ki
" d2r T(r) exp (- i r . (kd - ki))
" dx dy T(x,y) exp (- i x #kx - i y #ky)
z kd
)
y
ky
Amplitude diffractée = TF à deux dimensions de T(x, y) !
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Ouverture rectangulaire de côtés (a, b) :
A(), *) = Ai
a/2
b/2
"- a/2 dx "- b/2 dy
sinc( x) =
sin( x)
x
exp (-2 i # () x + * y ) / $)
|A(k)|2 = | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) sinc2 (# * b / $)
sinc2 (u)
u = #) a/$
= kx a /2
a
Pupille rectangulaire
|A(kx, ky)|2 =
2
sinc (kx a/2) sinc2 (ky b/2)
*
Pupille circulaire
|A(kr)|2 =
| J1 (kr a /2) / (kr a /2) | 2
J1 (x) : fonction de Bessel
a
b
= Ai a b sinc (# ) a / $) sinc (# * b / $)
Une dimension :
une fente de
largeur a
kd () k, * k, + k) , ), * << 1
a
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Deux fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :
(pour une fente la longueur b est très grande : * = 0)
A()) = Ai a b sinc (# ) a / $) ( 1 + exp (-2 i # ) d / $) )
|A())|2 = | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) ( 2 cos (# ) d / $) )2
Fentes d’Young !
2 fentes
séparées de
d=4a
a
Diffraction par des fentes : résumé
Ecran
N fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :
série géométrique de raison q = exp (-2 i # ) d / $)
A()) = Ai a b sinc (# ) a / $)
1 ' exp (-2 i # N ) d / $)
1 ' exp (-2 i # ) d / $)
|A())|2 = | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) sin2 (N # ) d / $)
sin2 ( # ) d / $)
Réseau (ou maille cristalline) !
A2 (u)
u = #) a/$
= kx a /2
a
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Figure de diffraction
Largeur d’une fente :
taille du lobe de diffraction
Distance entre les fentes :
interfrange
Nombre de fentes :
largeur des pics d’intensité
4 fentes
séparées de
d=4a
A2 (u)
u = #) a/$
= kx a /2
Diffraction et Transformation de Fourier
Résultats très généraux :
- dépendent peu de la «!forme du trou!» (objet diffringent)
- valables pour des ondes lumineuses
… et pour des ondes de matière : | p | = ! k = h/$
- rôle crucial de la longueur d’onde :
tache de diffraction (angulaire) : , $ / a
interfrange (angulaire) : , $ / d
Exemples :
longueur d’onde (électromagnétique) des rayons X
, longueur d’onde (de de Broglie) des électrons
, quelques Angström (dizièmes de nm)
-> diffraction d’électrons ou de rayons X par des cristaux !
* Davisson et Germer (1927)
* Analyse structurelle (ex : alliages, ADN...)
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
Fonction a (x) quelconque et sa transformée de Fourier â (k)
Isométrie :
4.
Les inégalités de Heisenberg
" dx | a (x) |2 = " dk | â (k) |2 =
" dP(x) =
" dP(k) =
dP(k) = | â (k) |2 dk
| a (x) |2
x
On peut alors définir les valeurs moyennes - x . et - k . :
-x.=
-k.=
" x dP(x) = " dx x | a (x) |2
" k dP(k) = " dk k | â (k) |2
(convention)
| a (x) |2 et | â (k) |2 peuvent alors être considérées comme des
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k.
dP(x) = | a (x) |2 dx
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
1
dP(u) : probabilité pour
que la variable aléatoire
soit entre u et u + du
1
1
| â (k) |2
k
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
Principe de la démonstration :
* On considère les variables aléatoires centrées :
x = x - - x . , k = k - - k . et (x = (x , (k = (k
* On définit un polynome du second degré de la variable réelle $ :
… et les dispersions #!x et #!k :
#!x2 =
#!k2 =
" ( x - - x . )2 dP(x) = - x2 . - - x .2
" ( k - - k . )2 dP(k) = - k2 . - - k .2
En utilisant ces équations on montre que :
(inégalités de Cauchy-Schwarz)
Pour les variables temps-fréquence on a :
!x !k " 1/2
!t !" " 1/2
Ces inégalités sont des propriétés inhérentes à la TF !
2
da
I(! ) = $ "# dx x a(x) + !
= %x 2 " ! + %k 2 ! 2 & 0
dx
+#
I($) doit être positif ou nul pour tout $ ,
donc le discriminant (b2 - 4 a c) doit être négatif ou nul :
1 ! 4"x 2 "k 2 # 0
$
"x "k % 1 / 2
cqfd
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
exemple de la diffraction
Plus une fonction a (x) (fente) est "étroite", plus sa transformée de
Fourier â (k) (lobe de diffraction) est "large", et réciproquement.
| a (x) |2
| â (k) |2
x
| â (k) |2
x
k
| a (x) |2
Equation de Schrödinger pour une particule libre :
"
!" (r,t)
!2
"
i!
=#
$" (r,t)
!t
2m
Solutions en ondes planes (non normalisables) :
k
| a (x) |2
Des ondes lumineuses aux ondes de matière
!!
! !
!
i( k .r #$ t )
!
! (r,t) = " k e
= % p! ei( p.r #Et )/"
!2k2
p2
!! =
=E=
2m
2m
Paquet d’ondes (superposition de solutions : solution générale !)
!
! (r,t) = "
| â (k) |2
=
x
k
Transformée de Fourier et ondes de matière
!
! i( k! .r! %& t )
d 3k
!
! (r,t) = "
$ (k ) e
3/2
"
!
d 3k
(2# )
!
d3 p
(2 # ")
=
"
!
d3 p
(2 # ")
3/2
! !
!
' ( p) ei( p.r %Et )/"
3/2
Transformées
de Fourier
(inverses) de
!
! ( k ) e"i# t
!
! ( p) e"iEt /"
! !
!
' ( p) ei( p.r %Et )/"
Inégalités de Heisenberg
!
!
Les fonctions ! (r,t) et !ˆ ( p,t) étant reliées par TF, on a :
(2# )
Remarque
sur les constantes
3/2
!!
!
$ ( k ) ei( k .r %& t )
!x !px "
!
2
!y !py "
!
2
!z !pz "
!
2
* Conséquences directes de la TF ! (cf. #x #kx $ 1/2 )
3
* Le 2! devient ( 2! ) car on a 3 dimensions
!
!
* On fait le changement de variable p = "k et on pose aussi
!
!
! ( k ) = " 3/2 " ("k ) pour normaliser toutes les fonctions :
! 2 3!
! 2 3!
!
!
|
!
(
r,t)
|
d
r
=
|
"
(
k,t)
| d k = # | $ ( p,t) |2 d 3 p = 1
#
#
* Propriétés intrinsèques de la fonction d’onde :
* indépendantes de toute mesure
* … mais vérifiables en effectuant des mesures sur des
particules toutes préparées dans le même état.
* Importance fondamentale ! (cohérence de la théorie)
Les ondes de De Broglie : une limite des paquets d’ondes
On considère le paquet d’ondes
et sa transformée de Fourier
! (x) = A e
! ( p) =
"
(x " x0 )2 # 2
2
A
!" 2
#
e
i
e
x p0
!
( p # p0 )2
2 !2 " 2
e
#i
x 0 ( p # p0 )
!
5.
dans le cas limite
Diffraction et Transformée de Fourier :
quelques expériences...
L’onde de de Broglie
correspond au cas
qui est non
physique à strictement parler (onde plane non normalisable)
«#Manipulations holographiques
d’ondes de matière#»
(Morinaga et al. , 1996)
Amplitude
représentée en
3 dimensions
Le "vrai" masque ...
Episodes suivants...
* Jusqu’à présent : équation de Schrödinger dans le vide
Que devient l’équation de Schrödinger
si des forces s’exercent sur la particule ?
* On a vu des exemples de mesures (position, impulsion…),
mais comment décrire de façon générale
le processus de mesure en mécanique quantique ?
Quel est l’objet mathématique
associé à une quantité physique ?