3. Transformée de Fourier, diffraction et interférences : l`exemple des

3.
Transformée de Fourier,
diffraction et interférences :
l’exemple des ondes lumineuses
Généralité de la Transformation de Fourier
Sons (ou phénomène dépendants du temps) :
temps t et fréquence ! (ou fréquence angulaire " = 2 # !)
Espace (équation de la chaleur, équations d’onde) :
position x et «!fréquence spatiale!» k = 2 # / $
ˆ
f (k)=1
2 !
"#
+#
$f(x)e"ikx dx
f(x)=1
2 !
"#
+#
$ˆ
f (k)eikx dk
ˆ
f( ! )=1
2 "
#$
+$
%f(t)e#i
! tdt
f(t)=1
2 "
#$
+$
%ˆ
f( ! )ei
! td
!
Huygens, Traité de la Lumière (1690)
- Un «!front d’onde!» peut se décomposer
en sources secondaires émettant des
ondes sphériques (ondelettes)
- Le front d’onde se propage comme
l’enveloppe de ces ondelettes
Les ondes lumineuses :
de Huygens à Fresnel
Principe de Huygens-Fresnel (1818)
- L’amplitude de vibration d’une source
secondaire est proportionnelle à son aire
- Si S n’est pas une surface d’onde, il
faut tenir compte de la phase des sources
secondaires :
dA(! r)=A0(! r)ei
! (! r)d2!
r
x
y
z
r
Ecran dans le plan (x, y)
François Arago
(1786-1883)
Le Président
Denis Poisson
(1781-1840)
Un examinateur
Concours pour le Grand Prix de l’Académie des Sciences (1819)
Disque opaque
Triomphe
du modèle
ondulatoire !
Augustin Fresnel
(1788-1827)
Le Candidat

Diffraction et Transformation de Fourier
Phénomène étudié : diffraction à l’infini (Fraunhoffer)
* Ecran dans le plan (x, y)
* Transmission T(r) = T(x,y)
% &(r) ' &(0) = r . (ki - kd) = r . (k
A(kd) = Ai " d2r T(r) exp (- i r . (kd - ki))
= Ai " dx dy T(x,y) exp (- i x #kx - i y #ky)
Amplitude diffractée = TF à deux dimensions de T(x, y) !
x
y
z
ki
kd
r
- source et écran d’observation à l’infini :
amplitude diffractée dans la direction kd
- principe de Huygens-Fresnel :
* somme d’ondes partielles
* approximation scalaire : E -> A
Diffraction et Transformation de Fourier
Notations : ki (0, 0, k = 2 # / $)kd () k, * k, + k) , ), * << 1
Variables conjuguées de (x, y) : angles de diffraction ), * << 1
vecteur d’onde transverse
kx = ) k, ky = * k
A(), *) = Ai " dx dy T(x,y) exp (- i k () x + * y ) )
= Ai " dx dy T(x,y) exp (- 2 i # () x + * y ) / $)
x
y
z
kikd
r
)
*
kx
ky
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Ouverture rectangulaire de côtés (a, b) :
A(), *) = Ai "- a/2 dx "- b/2 dy exp (-2 i # () x + * y ) / $)
= Ai a b sinc (# ) a / $) sinc (# * b / $)
|A(k)|2= | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) sinc2 (# * b / $)
sinc( x)=sin( x)
x
a/2 b/2
sinc2 (u)
u = #) a/$
= kx a /2
Une dimension :
une fente de
largeur a
a
Pupille rectangulaire
|A(kx, ky)|2 =
sinc2 (kx a/2) sinc2 (ky b/2)
a
b
Pupille circulaire
|A(kr)|2 =
| J1 (kr a /2) / (kr a /2) | 2
J1 (x) : fonction de Bessel
a

Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
Deux fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :
(pour une fente la longueur b est très grande : * = 0)
A()) = Ai a b sinc (# ) a / $) ( 1 + exp (-2 i # ) d / $) )
|A())|2 = | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) ( 2 cos (# ) d / $) )2
A2 (u)
2 fentes
séparées de
d = 4 a
a a
u = #) a/$
= kx a /2
Fentes d’Young !
Diffraction et Transformation de Fourier : exemples
N fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :
série géométrique de raison q = exp (-2 i # ) d / $)
A()) = Ai a b sinc (# ) a / $) 1 ' exp (-2 i # N ) d / $)
1 ' exp (-2 i # ) d / $)
|A())|2= | Ai a b|2 sinc2 (# ) a / $) sin2 (N # ) d / $)
sin2 ( # ) d / $)
A2 (u)
4 fentes
séparées de
d = 4 a
u = #) a/$
= kx a /2
Réseau (ou maille cristalline) !
Diffraction par des fentes : résumé
Largeur d’une fente :
taille du lobe de diffraction
Distance entre les fentes :
interfrange
Nombre de fentes :
largeur des pics d’intensité
Ecran Figure de diffraction
Diffraction et Transformation de Fourier
Résultats très généraux :
- dépendent peu de la «!forme du trou!» (objet diffringent)
- valables pour des ondes lumineuses
… et pour des ondes de matière : | p | = ! k = h/$
- rôle crucial de la longueur d’onde :
tache de diffraction (angulaire) : , $ / a
interfrange (angulaire) : , $ / d
Exemples :
longueur d’onde (électromagnétique) des rayons X
, longueur d’onde (de de Broglie) des électrons
, quelques Angström (dizièmes de nm)
-> diffraction d’électrons ou de rayons X par des cristaux !
* Davisson et Germer (1927)
* Analyse structurelle (ex : alliages, ADN...)

4.
Les inégalités de Heisenberg
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
Fonction a (x) quelconque et sa transformée de Fourier â (k)
Isométrie : " dx | a (x) |2 = " dk | â (k) |2 = 1 (convention)
| a (x) |2 et | â (k) |2 peuvent alors être considérées comme des
densités de probabilité pour les variables aléatoires x et k.
dP(x) = | a (x) |2 dx " dP(x) = 1
dP(k) = | â (k) |2 dk " dP(k) = 1
| a (x) |2| â (k) |2
xk
dP(u) : probabilité pour
que la variable aléatoire
soit entre u et u + du
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
On peut alors définir les valeurs moyennes - x . et - k . :
- x . = " x dP(x) = " dx x | a (x) |2
- k . = " k dP(k) = " dk k | â (k) |2
… et les dispersions #!x et #!k :
#!x2 = " ( x - - x . )2 dP(x) = - x2 . - - x .2
#!k2 = " ( k - - k . )2 dP(k) = - k2 . - - k .2
En utilisant ces équations on montre que : !x !k " 1/2
(inégalités de Cauchy-Schwarz)
Pour les variables temps-fréquence on a : !t !" " 1/2
Ces inégalités sont des propriétés inhérentes à la TF !
Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
formalisation
Principe de la démonstration :
* On définit un polynome du second degré de la variable réelle $ :
I( ! )=dx x a(x)+ !
da
dx
"#
+#
$
2
=%x2" ! +%k2 !
2&0
I( $ ) doit être positif ou nul pour tout $ ,
donc le discriminant (b2 - 4 a c) doit être négatif ou nul :
1!4"x2"k2#0 $ "x"k%1 / 2 cqfd
* On considère les variables aléatoires centrées :
x = x - - x . , k = k - - k . et (x = (x , (k = (k

Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :
exemple de la diffraction
Plus une fonction a (x) (fente) est "étroite", plus sa transformée de
Fourier â (k) (lobe de diffraction) est "large", et réciproquement.
| a (x) |2| â (k) |2
xk
| a (x) |2| â (k) |2
xk
| a (x) |2| â (k) |2
xk
Des ondes lumineuses aux ondes de matière
Equation de Schrödinger pour une particule libre :
Solutions en ondes planes (non normalisables) :
i!
!" (" r,t)
! t=#!2 2m$
" (" r,t)
! (! r,t)= "
!
kei(
!
k.! r# $ t)=
%
!
pei(!
p.! r#Et )/"
Paquet d’ondes (superposition de solutions : solution générale !)
! (! r,t)="d3!
k
(2 # )3/2
$ (
!
k)ei(
!
k.! r% & t)
="d3!
p
(2 # ")3/2
' (! p)ei(!
p.! r%Et )/"
Transformées
de Fourier
(inverses) de
! (
!
k)e"i
# t
! (! p)e"iEt/"
! ! =!2k2
2m=E=p2 2m
! (! r,t)="d3!
k
(2 # )3/2
$ (
!
k)ei(
!
k.! r% & t)
="d3!
p
(2 # ")3/2
' (! p)ei(!
p.! r%Et )/"
* Le devient car on a 3 dimensions
* On fait le changement de variable et on pose aussi
pour normaliser toutes les fonctions :
2 !
( 2 ! )3
!
p="
!
k
! (
!
k)="3/2 " ("
!
k)
Remarque
sur les constantes
| ! (! r,t) |2d3! r=| " (
!
k,t) |2d3! k
#=|
$ (! p,t) |2d3! p=1
##
Transformée de Fourier et ondes de matière
Inégalités de Heisenberg
Les fonctions et étant reliées par TF, on a :
!x!px"!
2!y!py"! 2!z!pz"! 2
* Conséquences directes de la TF ! (cf. #x #kx $ 1/2 )
* Propriétés intrinsèques de la fonction d’onde :
* indépendantes de toute mesure
* … mais vérifiables en effectuant des mesures sur des
particules toutes préparées dans le même état.
* Importance fondamentale ! (cohérence de la théorie)
! (! r,t)
ˆ
! (! p,t)