Mécanique des fluides

Mécanique des fluides
I
© Les Presses de l’École des mines 2008
60, boulevard Saint-Michel - 75272 Paris Cedex 06 - France
email : [email protected]
http://www.ensmp.fr/Presses
ISBN : 978-2-911762-83-3
Dépôt légal : 2008
Achevé d’imprimer en 2008 (Paris)
Tous droits de reproduction, de traduction, d’adaptation et d’exécution réservés pour tous les pays
II
François Cauneau
Mécanique des fluides
III
COLLECTION
Les cours de l’École des mines de Paris
Dans la même collection
Introduction aux transferts thermiques
Dominique Marchio, Paul Reboux
Aide-mémoire de géostatistique linéaire,
Pierre Chauvet
Introduction au génie atomique,
Jacques Bouchard, Jean-Paul Deffain, Alain Gouchet
Matériaux pour l’ingénieur,
Anne-Françoise Gourgues-Lorenzon, Jean-Marc Haudin,,
Jacques Besson, Noëlle Billon, Sabine Cantournet, Yvan Chastel,
Bernard Monasse, Loeiz Nazé
Abrégé de thermodynamique,
Daniel Fargue
Introduction au traitement de l’énergie électrique,
Georges Pierron
Systèmes énergétiques,
Renaud Gicquel
Introduction à la physique quantique,
Bernard Degrange
Cours d’automatique,
Brigitte d’Andréa-Novel, Michel Cohen de Lara
Les imperfections des marchés,
Daniel Fixari
Introduction à la métallurgie générale,
Jacques Lévy
Comment maîtriser sa productivité industrielle,
Hugues Molet
Géostatistique linéaire – applications,
Margaret Armstrong, Jacques Carignan
IV
Remerciements
Ce cours se situe dans le prolongement des enseignements effectués par
mes prédécesseurs au poste de Professeur de Mécanique des Fluides à l'Ecole
Nationale Supérieure des Mines de Paris. Les emprunts et citations de leurs
travaux dans le présent ouvrage sont naturellement si nombreux qu'il m'est
impossible de les détailler: j'exprime toute ma gratitude, donc, envers les
Professeurs Paul Reboux, René Dehausse et Alain Neveu. Qu'ils soient remerciés
pour les conseils et encouragements qu'ils n'ont jamais manqué de me donner
durant ma carrière
François Cauneau
V
Avertissement au lecteur
AVERTISSEMENT AU LECTEUR
Ce support de cours est destiné aux lecteurs possédant un niveau équivalent
au niveau « L » (Licence) du cycle LMD du cycle universitaire et des écoles
d'ingénieurs, désirant une référence pour les applications de la mécanique des
fluides dans les métiers de l'ingénieur.
Ce programme de Mécanique des Fluides comporte sept chapitres, assortis
de séries de problèmes, permettant d'aborder les bases de la discipline. Les
deux premiers chapitres présentent des aspects généraux, et les équations
fondamentales permettant la description globale d'un fluide. Grâce à la notion
fondamentale de volume de contrôle, les lois de conservation (énergie, quantité
de mouvement) peuvent ainsi être mises en oeuvre dans un très grand nombre
de situations utiles à l'ingénieur, en particulier à l'aide du théorème de Bernoulli
et du théorème d'Euler. Ces applications sont illustrées au travers d'exemples
dans le troisième chapitre. Le quatrième chapitre aborde la description locale
des écoulements, avec les équations de Navier-Stokes, pour introduire la théorie
des similitudes. Cette théorie, grâce à la notion de nombres adimensionnels et
au théorème de Vaschy-Buckingham, fournit à l'ingénieur l'un des plus puissants
outils de la discipline pour appréhender les ordres de grandeur des phénomènes
en présence dans un écoulement, et pour déterminer quels en sont les
paramètres physiques et technologiques déterminants. Le cinquième chapitre
porte sur le fonctionnement des réseaux, l'attention du lecteur est attirée sur le
fait que le terme de réseau est ici pris au sens large, c’est-à-dire que les notions
abordées ici sont utiles pour toute installation de contrôle de transferts de
fluides, depuis les moteurs jusqu'aux raffineries par exemple. Le sixième
chapitre aborde le comportement général des fluides parfaits en régime
permanent, avec les applications des écoulements à potentiel. Le septième
chapitre permet un récapitulatif des notions acquises au travers de l'analyse du
fonctionnement des machines hydrauliques et des réseaux.
La lecteur désireux de compléter ses connaissances dans un domaine
spécifique de la Mécanique des fluides trouvera en annexe une bibliographie
complète: cours sur la turbulence, les fluides non newtoniens, ou encore
démonstrations mathématiques détaillées des théorèmes utilisés dans le cours.
VII
Mécanique des Fluides
1
I
GÉNÉRALITÉS
SUR LE COMPORTEMENT DES FLUIDES
A. LE FLUIDE AU REPOS
1. VARIABLES ET UNITÉS
2. MODÈLES DE COMPORTEMENT
3. FORCES S'EXERÇANT SUR UN MILIEU FLUIDE
B. LE FLUIDE EN MOUVEMENT
1. LE FLUIDE PARFAIT
2. PARTICULARITES DES ECOULEMENTS REELS
1) Viscosité
2) Turbulence
3) Cavitation
4) Décollements de veine
C. RANDEURS CINÉMATIQUES
1. VITESSE
1) Trajectoires
2) Lignes de courant
3) Écoulement permanent
4) débit à travers une surface
2
Chapitre I
2. ACCÉLÉRATION
1) Définition
2) Exemple
3) Généralisation
Mécanique des Fluides
3
A. LE FLUIDE AU REPOS
1. VARIABLES ET UNITÉS
Du point de vue thermodynamique, un fluide est un milieu matériel homogène
dont l'état est défini par deux variables indépendantes qui peuvent être choisies, par
exemple, parmi trois grandeurs physiques intuitives : la température, le volume
massique et la pression.
La température s'exprime en degrés et sa valeur dépend des échelles utilisées.
Celles préconisées par les normes internationales sont l'échelle Celsius (°C) et
l'échelle Kelvin (K), reliées par
T (K) = t (°C) + 273,15
Les différences de température s'expriment en kelvins (K).
Le volume massique s'exprime en mètres cubes par kilogramme. A cette notion
chère aux thermodynamiciens, les mécaniciens des fluides préfèrent celle de masse
volumique ρ qui s'exprime en kilogrammes par mètre cube (kg/m3).
La pression (p) s'exprime en pascals (Pa), mais c'est une unité très petite, qui ne
s'utilise que dans les calculs en raison de son appartenance au système SI. Dans la
pratique courante, on utilise des multiples tels que :
- l'hectopascal (hPa) pour les faibles différences de pression,
- le bar (bar), qui vaut 105 Pa, pour les pressions industrielles courantes.
Puisqu'il n'y a que deux variables, les trois grandeurs ci-dessus sont reliées par ce
que l'on appelle improprement l'équation d'état qui s'écrit symboliquement :
f (p, ρ, T) = 0
Bien entendu, un système à deux variables n'est pas forcément un fluide. Ce qui
caractérise un fluide, c'est la propriété décrite ci-après.
Une petite surface dS au sein d'un milieu matériel sépare localement le milieu en
deux zones 1 et 2 ; les particules de la zone 2 exercent sur celles de la zone 1 des
actions qui induisent, sur la surface dS, une force T.dn. De même, les particules 1
exercent sur les particules 2 une force égale et opposée, en vertu du principe de
l'égalité de l'action et de la réaction.
T s'appelle la contrainte au point M, centre de dS. Elle s'exprime en pascals (Pa).
La valeur de cette contrainte, ainsi que son orientation, dépendent de la nature du
milieu et des conditions locales. Dans un fluide au repos, la contrainte présente trois
particularités :
4
Chapitre I
1/ Elle est normale à la surface dS. Il
n'y a pas de force de cisaillement et ceci
explique que le milieu se déforme
facilement, ce qui correspond à la notion
intuitive de fluidité.
2
M
1
2/ C'est une compression ; les fluides ne
peuvent pas « travailler » en traction. Avec
les conventions de signe habituelles de la
géométrie des surfaces, les normales sont
orientées vers l'extérieur ; un milieu est
soumis sur une surface extérieure dS à une
force – p.n.dS, p étant la pression.
dS
-p n dS
3/ La valeur de p est indépendante de l'orientation de la normale n. On dit que
le tenseur des contraintes est sphérique ou isotrope.
2. MODÈLES DE COMPORTEMENT
Lorsqu'on modifie la pression d'un fluide, sa masse volumique en est affectée,
dans une mesure plus ou moins grande suivant la nature du fluide. Cette variation est
traduite par la loi de comportement, c'est-à-dire en définitive par l'équation d'état.
Les liquides sont très peu sensibles aux variations de pression, et leur
comportement est en général bien décrit par le modèle incompressible ρ = cte.
Les gaz sont au contraire très sensibles aux variations de pression. En outre, leur
comportement dépend de l'environnement thermique. Deux modèles extrêmes sont
envisagés :
1/ Le modèle isotherme, dans lequel le contact du fluide avec son
environnement est supposé parfait ; alors le gaz reste à une température constante.
2/ Le modèle adiabatique, qui suppose au contraire que le gaz n'échange aucune
chaleur avec l'extérieur.
Par exemple, pour le « gaz parfait » de la thermodynamique, les lois de
comportement s'écrivent respectivement
p/ρ = cte
γ
p/ρ = cte
La distinction compressible / incompressible ne coïncide pas exactement avec la
distinction liquide / gaz. Certains phénomènes en milieu liquide ne s'expliquent pas
avec le modèle incompressible ; c'est le cas de la propagation des ondes (ce que l'on
appelle vulgairement « les coups de bélier »). En fait, aucun fluide n'est
Mécanique des Fluides
5
rigoureusement incompressible, mais si la variation relative de masse volumique est
faible, on peut admettre qu'elle est proportionnelle à la surpression ; c'est le modèle
faiblement compressible :
∆ρ / ρ = ∆p / C
C est le module de compressibilité ; il est homogène à une pression. Pour l'eau à
la température ambiante, il vaut 20 000 bar. Ainsi, pour une surpression de 100 bar,
l'augmentation relative de masse volumique (ou la diminution relative de volume)
n'est que de 0,5 %.
En sens inverse, il n'est pas nécessaire d'avoir recours au modèle compressible si
l'on sait par avance (par la nature du problème traité) que les variations de pression
seront faibles. Alors, le modèle incompressible est suffisant : c'est le cas des
problèmes de traitement de l'air tel que la ventilation, la climatisation, etc.
3. FORCES S'EXERÇANT SUR UN MILIEU FLUIDE
On est amené à distinguer deux types de forces :
1/ Les forces massiques dues au fait que la
masse fluide est située dans un champ caractérisé
en chaque point par un vecteur F, généralement
variable d'un point à l'autre, tel que chaque
élément de masse dm est soumis à une force
F.dm ou, ce qui revient au même, que chaque
élément de volume dV est soumis à la force
F.ρ.dV. L'exemple le plus courant est le champ
de pesanteur qui, dans un repère habituel, est
caractérisé par un vecteur F(0,0,-g) que l'on peut
considérer comme uniforme pour les applications
courantes. Mais on peut également considérer
d'autres champs, électriques, magnétiques,
d'inertie, etc.
dV
Fρ dV
2/ Les forces de surface, qui s'exercent aux frontières du domaine. On sait que
dans un fluide au repos, ce sont uniquement des forces de pression, perpendiculaires
aux surfaces.
Répartition des pressions dans un milieu fluide au repos.— La résultante de
toutes les forces s'exerçant sur chaque élément fluide est nulle. Cette résultante a
donc ses trois composantes nulles. Il suffit d'écrire cette nullité sur l'un des axes ; la
relation obtenue se généralisera facilement.
6
Chapitre I
Considérons un petit parallélépipède de volume dV = dx.dy.dz, et donc de masse
dm = ρ dV.
1/ La force massique a sur Ox une
composante
z
Fx.dm = Fx.ρ. dx.dy.dz.
 p ∂ p dy dxdz
∂y
Ses composantes sur les axes Oy et Oz
ont des expressions analogues.
pdxdz
dz
d M
2/ Les forces de pression exercées par
l'extérieur sur les deux faces parallèles
ombrées d'aire dxdz ont les valeurs
indiquées sur la figure ; elles sont de
sens inverse, donc leur résultante vaut
dy
y
x
∂p
dy dx dz
∂y
Elle contrebalance la force massique, d'où
Fy=
∂p
∂y
et on a deux relations analogues en x et z, ce qui se résume par
1 

F= ∇
p

C'est la loi fondamentale de l'hydrostatique.
Cas particulier où les forces massiques se réduisent aux seules actions de la
pesanteur.— F a pour composantes (0, 0, –g), en choisissant l'axe Oz vertical. Ses
deux premières composantes étant nulles, les dérivées partielles de p par rapport à x
et y sont nulles. Donc p est une fonction de z seulement : la pression est uniforme
dans un plan horizontal. La troisième composante donne
dp = -ρ g dz
Ces deux résultats constituent la loi barométrique.
Exemples :
- pour l'eau, ρ vaut 1000 kg/m3 ; la pression augmente de 0,98 bar quand la
profondeur augmente de 10 m.
- dans les basses couches de l'atmosphère, la masse volumique de l'air peut être
considérée comme constante, égale à ρ = 1,2 kg/m3. La pression baisse de 11,76 hPa
quand on s'élève de 100 m. C'est le principe de fonctionnement des altimètres.
Mécanique des Fluides
7
Application : poussée d'Archimède
On démontre que la résultante R des forces de pression à la surface d'un corps
entièrement contenu dans un fluide homogène est une force :
- verticale de bas en haut,
- égale au poids du « fluide déplacé »,
- appliquée au centre de gravité du fluide déplacé.
Le corps peut être un solide, mais aussi une goutte liquide dans un gaz ou un autre
liquide non miscible, etc.
Il faut être très prudent dans
l'application du principe d'Archimède. Il
s'applique à coup sûr si le corps est
totalement immergé. Il en est de même
pour les corps flottants, à condition de
considérer comme volume du fluide
déplacé celui situé en dessous du plan
de flottaison.
R
C
Le principe peut être mis en défaut si
G
le corps a une liaison mécanique avec
l'extérieur comme le montre la figure cicontre : une roue traverse la paroi d'un
récipient et peut tourner autour d'un axe
C tangent à la paroi. Il semblerait que la
moitié immergée de la roue subisse une
force R appliquée à son centre de
gravité G. Cette force donne un couple
sur l'arbre C, capable d'entraîner une machine : c'est le mouvement perpétuel.
C'est évidemment faux : chaque action de pression étant perpendiculaire à la paroi,
la force correspondante passe par l'axe de la roue et ne peut donc pas créer de
couple.
Autre cas particulier : Liquide pesant soumis à une force centrifuge.— C'est le
cas si un récipient et le liquide qu'il contient tournent en bloc autour d'un axe
vertical. Par rapport à un système d'axes lié au récipient, le liquide est au repos et la
loi hydrostatique s'applique, mais le vecteur F a deux composantes :
sur Oz
Fz = – g
sur le rayon r
Fr = ω²r
8
Chapitre I
La loi hydrostatique s'écrit
∂p
=− g
∂z
∂p
2
=  r
∂r
 2 r 2
p=− g z
Cte
2
Les surfaces isobares (p = cte) sont des paraboloïdes d'axe Oz et d'équation
2 2
z=
 r
cte
2g
Le principe d'Archimède s'applique encore, mais en ajoutant (vectoriellement) au
poids du fluide déplacé la force centrifuge qui s'applique sur lui. Si le corps est plus
dense que le fluide, il est rejeté vers la périphérie ; s'il est plus léger, il est rejeté sur
l'axe de rotation. C'est le principe mis en œuvre dans les centrifugeuses. C'est
également valable pour les mélanges de liquides ou de gaz : c'est une des méthodes
de séparation des isotopes de l'uranium. Comme les densités sont très voisines,
l'enrichissement des combustibles nucléaires exige plusieurs milliers d'étages de
centrifugation, séparés par des opérations de fractionnement.
Mécanique des Fluides
9
B. LE FLUIDE EN MOUVEMENT
1. LE FLUIDE PARFAIT
Dans un fluide en mouvement, les forces s'exerçant sur une petite surface dS ne
sont généralement plus normales à cette surface ; elles varient en outre suivant son
orientation. On désigne par fluide parfait un milieu idéal qui, même dans son
mouvement le plus général, possède les propriétés suivantes :
- la force sur une petite surface dS est normale à dS et c'est une compression,
- sa grandeur p est indépendante de l'orientation de dS,
- sa valeur est donnée par les lois de la thermodynamique, c'est à dire que p
vérifie ce que l'on appelle l'équation d'état, symbolisée par f (p,ρ,T) = 0.
Bien entendu, la loi hydrostatique ne s'applique plus car il faut tenir compte des
effets d'accélération. Ce point sera précisé ultérieurement.
Aucun milieu ne répond strictement à ces critères ; le fluide parfait n'est qu'un
modèle, néanmoins précieux :
- d'abord parce que, dans bien des cas, l'approximation du fluide parfait donne
des résultats suffisamment proches de la réalité ; ceci est en particulier le cas pour les
fluides dits usuels, tel que l'air et l'eau,
- ensuite parce que l'étude du fluide parfait est une première étape qui peut être
complétée par des termes correctifs, obtenus généralement par voie empirique par
comparaison avec des situations similaires.
- de plus, pour les fluides usuels, le modèle du fluide parfait donne des résultats
suffisants dès lors que l'on considère des écoulements en dehors du voisinage des
parois matérielles, comme nous allons le voir ci-après.
2. PARTICULARITÉS DES ÉCOULEMENTS RÉELS
1) Viscosité
Considérons un courant fluide à filets parallèles, abordant tangentiellement une
plaque plane Ox avec une vitesse uniforme V0. Si le fluide est parfait, les interactions
avec la paroi sont perpendiculaires et n'ont donc aucune composante horizontale ; la
vitesse du fluide reste donc uniforme et égale à V0. Ce n'est pas ce que l'on constate.
10
Chapitre I
y
V0
FLUIDE
« SAIN »
0,99V0
δ
v
O
COUCHE
LIMITE
x
Dans une tranche située en aval de O, la vitesse est nulle à la paroi : la viscosité
a pour effet d'« accrocher » le fluide à la paroi. La vitesse v est une fonction de x, et
de la dimension perpendiculaire y. Pour y = 0, la vitesse est nulle ; pour y tendant
vers l'infini, v tend vers V0. Ceci traduit le fait que, plus on s'éloigne de la paroi,
moins son action se fait sentir.
Une convention (parmi d'autres) consiste à privilégier les points pour lesquels
v = 0,99 V0. Ils délimitent un volume appelé couche limite. Dans le reste du
domaine, la vitesse est quasi uniforme (à 1% près) et le fluide s'y comporte comme
un fluide parfait ; c'est la zone appelée fluide sain.
Le ralentissement du fluide dans la couche limite est lié aux gradients de vitesse
qui s'y développent (un peu comme un jeu de cartes que l'on ferait glisser les unes
par rapport aux autres, mais la comparaison s'arrête là, le frottement solide étant de
nature différente). Le gradient ∂ v/∂ y est maximum à la paroi (x = 0).
Un élément dS de cette paroi exerce sur le fluide une force retardatrice dT et on
pose
∂v
dT=−

∂ y y=0
µ est la viscosité dynamique. L'unité SI est le poiseuille (Pl), mais l'habitude a
consacré le pascal-seconde (Pa.s).
Ordres de grandeur :
eau à 20°C................0,001
huile de moteur.........0,05
air à 20°C.........1,8 x 10-5
La viscosité est très sensible à la température : elle baisse quand la température
des liquides augmente, c'est l'inverse pour les gaz.
Mécanique des Fluides
11
Pour simplifier l'écriture, on introduit souvent le « glissement » (terme impropre)
pour désigner le gradient transversal à la paroi.
Comme le comportement ̇= ∂v 
d'un fluide dépend de diverses forces,
∂y y=0 calcul fait souvent apparaître un autre
dont les forces d'inertie, le
coefficient, appelé viscosité cinématique :
=


L'unité SI n'a pas de nom particulier. Au point de vue dimensionnel, elle est
homogène à des mètres carrés par seconde.
2) Turbulence
Ce phénomène est mis en évidence par l'expérience de Reynolds. Sur l'axe d'un
tube parcouru par un fluide, on injecte un colorant. Aux faibles vitesses du fluide, les
gouttes de colorant s'alignent sur l'axe du tube comme on pouvait s'y attendre : les
vecteurs vitesse du fluide sont parallèles aux génératrices du tube. On dit que
l'écoulement est laminaire.
Aux vitesses plus importantes, les gouttes de colorant s'éparpillent puis
emplissent progressivement toute la section droite du tube. C'est donc que la vitesse
du fluide a des composantes transversales qui entraînent le colorant dans le sens
radial.
En analysant la vitesse réelle Vr du fluide avec
des moyens disposant d'un grand pouvoir
séparateur (anémomètre à fil chaud, laser), on
s'aperçoit que cette vitesse est la somme
vectorielle de deux termes :
V
v’
r
V
1/ Une vitesse V, qui est celle que l'on mesure habituellement par les procédés
basés sur les notions de débit ou de quantité de mouvement
2/ Une vitesse v' dite vitesse d'agitation dont les composantes v 'x , v 'y , v 'z
fluctuent très rapidement dans le temps et l'espace, chacune ayant une moyenne
12
Chapitre I
nulle ; elles ne participent donc pas au débit fluide. L'énergie cinétique massique
réelle est
1   2 1 2 1  2  
 Vv ' = V  v ' V v '
2
2
2
Le dernier terme est nul en moyenne et il reste finalement :
- l'énergie cinétique telle qu'on la mesure habituellement,
- l'énergie de turbulence égale à 0,5v ' x2v 'y2 v' z2  , la barre
supérieure signifiant que l'on prend la moyenne, laquelle n'est évidemment pas nulle.
Elle n'est pas observable par les moyens usuels et pourtant elle existe ; le fluide a dû
la puiser dans ses autres formes d'énergie. La turbulence est donc une cause de
dissipation d'énergie.
Commet savoir si l'écoulement est laminaire ou turbulent ? On a fait allusion à la
vitesse, mais les caractéristiques du fluide (ρ,µ) interviennent également : on conçoit
intuitivement que si le fluide est très visqueux, la turbulence apparaîtra moins
facilement. Il en sera de même si le diamètre du tube est faible car les mouvements
transversaux seront gênés. Pour cette morphologie très particulière du tube, le critère
est le nombre de Reynolds :
Re =
VD VD
=


C'est un nombre sans dimension : il est indépendant du système d'unités.
- Si Re < 2000, le régime est laminaire.
- Si Re > 10 000, le régime est turbulent.
- Entre les deux, c'est l'incertitude.
La plupart des écoulements usuels sont turbulents (pour l'eau par exemple, ν vaut
10-6, donc Re vaut 106 VD).
Seuls sont laminaires les écoulements de fluides très visqueux (graissage,
commandes hydrauliques), les écoulements dans des tubes très fins, les écoulements
en milieu poreux ou encore les écoulements des fluides biologiques à l'échelle
cellulaire.
3) Cavitation
Ce phénomène ne concerne que les liquides. Au cours du mouvement, la pression
en chaque point varie avec la vitesse. Il se peut qu'elle tombe au-dessous de la
pression de vapeur saturante (par exemple 0,02 bar pour l'eau à 20°C). Alors, des
bulles de vapeur apparaissent au sein du liquide. Cette ébullition entraîne deux
conséquences :
Mécanique des Fluides
13
1/ Quand une petite quantité se vaporise, son volume augmente considérablement
(par exemple, il est multiplié par 600 pour l'eau). Dans les installations hydrauliques,
les performances dépendent des conditions d'écoulement dans certaines parties
cruciales (par exemple l'ouïe d'entrée d'une pompe). Si, pour un même débit
volumique, le débit massique est divisé par 600, ceci équivaut à un arrêt de
l'écoulement.
2/ Les bulles cheminent avec le courant fluide et, lorsqu'elles arrivent dans une
zone à plus forte pression, elles se détruisent par implosion (on dit aussi le collapse).
Une sphère résiste en effet très mal à une surpression extérieure et la destruction
s'effectue par un phénomène d'instabilité analogue au flambage en mécanique. Si
cette implosion se produit au voisinage de parois solides, celles-ci sont détruites très
rapidement (parfois en quelques heures).
Pour ces raisons parmi d'autres (bruit, vibrations), la cavitation est un facteur
limitant. Le dimensionnement des installations doit impérativement assurer
l'absence de cavitation.
4) Décollements de veine
Quand un courant fluide
rencontre un obstacle, plusieurs
éventualités peuvent se produire.
Pour simplifier, prenons l'exemple
d'un corps symétrique, l'axe de
symétrie étant parallèle au courant.
Les filets se répartissent autour de
l'obstacle, sauf le filet central qui
frappe
l'obstacle
au
« point
d'arrêt » A. Une parcelle située en M
au voisinage de la paroi est soumise
à deux types d'action :
1/ La viscosité, qui tend à lui
faire longer à la paroi.
2/ Son inertie qui tend à la faire
continuer sur sa lancée.
.
M
A
.
v
B
14
Chapitre I
Si la vitesse est faible, les forces de viscosité l'emportent ; les filets contournent
l'obstacle au plus près et se rassemblent au « point de confluence » B.
Dans le cas contraire, les filets se décollent de la paroi ; il se forme derrière
l'obstacle une zone appelée sillage où les mouvements sont très désordonnés. C'est
une cause importante de dissipation d'énergie.
Mécanique des Fluides
15
C. GRANDEURS CINÉMATIQUES
1. VITESSE
1) Trajectoires
Une trajectoire est l'ensemble des points occupés successivement par une même
« parcelle » fluide. On sait que la matière est constituée de particules élémentaires
(molécules, atomes) dont l'étude individuelle serait impossible. Une parcelle contient
un nombre suffisant de particules pour que l'on puisse raisonner sur des valeurs
moyennes. Elle est suffisamment petite pour que les méthodes du calcul infinitésimal
soient justifiées.
Pour fixer les idées, un micron cube de l'air qui nous entoure renferme 25
millions de molécules.
La parcelle qui passe à l'instant t au
point M de coordonnées (x,y,z) a une
vitesse V dont les coordonnées sont
∂x
∂y
∂z
v x=
v =
v=
∂t y ∂ t z ∂t
V
M
(x,y,z)
2) Lignes de courant
Une ligne de courant à l'instant t est
une courbe tangente à l'instant t au vecteur
vitesse en chacun de ses points. Dans le
cas général, les lignes de courant sont
différentes des trajectoires.
Exemple emprunté à la mécanique :
Quand une automobile roule sur une
route, un point M situé à la périphérie du
pneu décrit au cours du temps une
courbe appelée cycloïde (à la déformation
près du pneu) : c'est une trajectoire (T).
M
T
L
I
A t donné, le point de contact I entre le pneu et la route a une vitesse nulle ; c'est
un centre instantané de rotation. Les lignes de courant (L) sont des cercles centrés
sur I. Mais ceci ne sera plus valable à t + dt.
16
Chapitre I
3) Écoulement permanent
C'est un écoulement dans lequel la vitesse en chaque point est indépendante du
temps. C'est la limite vers laquelle tend tout écoulement si les conditions aux
frontières sont constantes. Les phénomènes mécaniques étant relativement rapides
par rapport à d'autres (thermiques notamment), cette limite est atteinte assez
rapidement, ce qui donne tout son intérêt à l'étude des régimes permanents.
Dans un écoulement permanent, les lignes de courant sont fixes et confondues
avec les trajectoires.
Remarque 1 : On peut s'interroger sur l'intérêt de l'étude des écoulements
permanents, puisque la plupart des écoulements sont turbulents : la fluctuation de la
vitesse en un point semble en contradiction avec la notion même de l'écoulement
permanent. En fait, c'est par rapport à la vitesse moyenne que s'apprécie le critère de
permanence. Par abus de langage, on qualifie de permanent un écoulement turbulent
qui est permanent en moyenne (certains auteurs puristes préfèrent le qualificatif de
« stationnaire »).
Remarque 2 : La permanence d'un écoulement n'est pas une propriété
intrinsèque : elle dépend du référentiel. Considérons par exemple un corps (C) se
déplaçant à une vitesse V par rapport à la terre. Les conditions aux limites sont
v = 0 à l'infini
v = V sur (C)
Comme (C) se déplace, les
conditions
aux
limites
dépendent du temps et le
régime ne peut pas être
permanent.
Mais
si
l'observateur est lié à (C),
les conditions aux limites
deviennent
v=0
V
à l’infini
V
C
C
v = -V à l'infini
v = 0 sur (C)
et le régime peut devenir permanent puisque la frontière de (C) est fixe.
4) Débit à travers une surface

Soit une petite surface dS, de centre M et de normale n , traversée par un courant

fluide animé d'une vitesse v au point M. On appelle débit de matière, ou plus
simplement débit, la quantité q de matière traversant dS pendant l'unité de temps. Il
s'exprime par
 .n
 dS= V n dS
q= V
Mécanique des Fluides
17
En effet, les parcelles de matière
traversant dS pendant l'intervalle (0< t <1)
se trouvaient à l'instant 0 dans un cylindre
de base dS, dont les génératrices ont une
longueur  = v. Sa hauteur est donc h =
h
vn
dS
vn et son volume h.dS = vndS, d'où la
masse en multipliant par ρ.
On définit aussi le débit volumique Q, utile surtout dans l'étude des fluides
incompressibles (ρ = cte). On a Q = q / ρ.
2. ACCÉLÉRATION
1) Définition
 d'une parcelle individualisée est la dérivée par rapport au
L'accélération 
v , dérivée qui sera notée d 
v /dt . Cette notation peut
temps de sa vitesse 
v est fonction de (x,y,z,t). C'est pour bien insister sur le fait
surprendre, sachant que 
v /∂ t , appelée dérivée locale, ne représente pas une
que la dérivée partielle ∂ 
accélération. C'est la dérivée que mesurerait un observateur fixe, mais alors sa
mesure concernerait des parcelles différentes. Pour pouvoir parler d'accélération, il
faut suivre une parcelle dans son déplacement.
A noter que dans un écoulement permanent, la dérivée locale est nulle en tout
point alors que, bien entendu, il existe des accélérations.
2) Exemple
Pour simplifier, considérons un écoulement permanent et rectiligne. La vitesse
ne dépend plus que d'une seule variable x. Une parcelle individualisée occupe les
points M et M' à deux instants voisins t et t + dt. Par définition de la vitesse v, on a
MM' = dx = v dt.
La vitesse v' en M' vaut
vxdx=v
dv
dv
dx=v
v dt
dx
dx
M
dx
v
L'accélération de la parcelle est par définition
v −v 
= M ' M
dt
2
dv d v / 2
=v
=
dx
dx
x
M’
v’
18
Chapitre I
L'accélération d'une parcelle est égale au gradient de son énergie cinétique
massique.
Dans le cas d'un régime non permanent, un raisonnement analogue conduit à
∂v
∂v
=
v
∂t
∂x
3) Généralisation
Si la parcelle décrit une courbe, l'abscisse x est remplacée par une abscisse
curviligne s. L'accélération a deux composantes :
1/ Une composante γt tangente à la courbe.
2/ Une composante γn portée par
la normale principale.
Par un raisonnement analogue au
précédent, on trouve
 t=
∂v
∂v
v
∂t
∂s
−v
R
γt
s
M
γn
Quant à l'accélération centripète, elle
est conforme à celle de la mécanique du
point :
n =
n
R
2
C
R désignant le rayon de courbure.
Dans le cas d'un écoulement permanent, on retiendra les deux résultats
fondamentaux ci-après :
∂v
 t=v
∂s
2
−v
 n=
R
Pour être complet, en trois dimensions, il faudrait mentionner la composante de
l'accélération sur la binormale ; il se trouve qu'elle est nulle.
SOMMAIRE
Pages
I. GÉNÉRALITÉS SUR LE COMPORTEMENT DES FLUIDES.......................1
A. LE FLUIDE AU REPOS..........................................................................2
1. VARIABLES ET UNITÉS..........................................................2
2. MODÈLES DE COMPORTEMENT..........................................3
3. FORCES S’EXERÇANT SUR UN MILIEU FLUIDE...............4
B. LE FLUIDE EN MOUVEMENT.............................................................7
1. LE FLUIDE PARFAIT................................................................7
2. PARTICULARITÉS DES ÉCOULEMENTS RÉELS................7
C. GRANDEURS CINÉMATIQUES.........................................................11
1. VITESSE...................................................................................11
2. ACCÉLÉRATION.....................................................................12
II. ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES....................................15
A. PRINCIPES FONDAMENTAUX..........................................................16
1. LE PROBLÈME DE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES.........16
2. CONSERVATION DE LA MASSE.........................................16
3. LOIS CINÉMATIQUES...........................................................17
4. ÉTUDE DES FORCES.............................................................18
5. LOI DE LA DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS.........19
B. RELATIONS GLOBALES.....................................................................20
1. ÉQUATIONS INTRINSÈQUES...............................................20
2. LOI DES COURANTS..............................................................21
3. THÉORÈME DE BERNOULLI................................................22
C. THÉORÈMES D’EULER.......................................................................23
1. QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET MOMENT CINÉTIQUE
.......................................................................................................23
2. BILAN D’UN DOMAINE FIXE..............................................23
3. ÉNONCÉS D’EULER...............................................................24
4. CAS DU RÉGIME PERMANENT...........................................24
III. EXEMPLES D’APPLICATION DES LOIS DE LA MÉCANIQUE DES
FLUIDES..................................................................................................................25
A. APPLICATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI.........................27
1. ORIFICE EN MINCE PAROI...................................................27
2. ÉCOULEMENT D’UN LIQUIDE DANS UNE TUYÈRE......27
3. ÉCOULEMENT DANS UN VENTURI...................................28
4. SONDE DE PITOT...................................................................29
5. CAS D’UN FLUIDE COMPRESSIBLE...................................29
B. APPLICATIONS DES THÉOREMES D’EULER.................................31
1. CHOC D’UN JET SUR UNE PLAQUE PLANE.....................31
2. ACTION SUR UN COUDE......................................................32
3. ÉJECTEUR................................................................................32
4. ACTION SUR UNE COURONNE D’AUBAGES (1).............33
C. APPLICATIONS EN MOUVEMENT RELATIF..................................35
1. THÉORÈME DE BERNOULLI EN MOUVEMENT RELATIF
.......................................................................................................35
2. LA ROUE À GODETS............................................................35
3. ACTION SUR UNE COURONNE D’AUBAGES (2)............36
IV. NOTIONS DE SIMILITUDE...........................................................................37
A. ÉCOULEMENTS SEMBLABLES........................................................38
1. DÉFINITION........................................................................................38
2. PROPRIÉTE FONDAMENTALE............................................38
3. CONDITIONS DE SIMILITUDE.............................................38
4. NOMBRES SANS DIMENSIONS...........................................40
5. CAS DU FLUIDE COMPRESSIBLE.......................................41
B. EXEMPLES D’APPLICATIONS..........................................................42
1. PRINCIPE.................................................................................42
2. ÉCOULEMENT DANS UN TUBE CYLINDRIQUE..............42
3. RÉSISTANCE D’UN OBSTACLE..........................................43
4. ESSAI D’UNE POMPE SUR MODELE RÉDUIT................44
V. PERTES DANS UN RÉSEAU...........................................................................47
A. GÉNÉRALITÉS......................................................................................48
1. ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS D’UN RÉSEAU......................48
2. NOTION DE CHARGE............................................................48
3. CAUSES DE PERTES..............................................................48
B. PERTES DE CHARGE DANS LES TUBES.........................................49
1. FORMULATION GÉNÉRALE................................................49
2. TUBES LISSES ET TUBES RUGUEUX................................49
3. ÉCOULEMENT LAMINAIRE.................................................49
4. ÉCOULEMENT TURBULENT...............................................51
5. CAS D’UN FLUIDE COMPRESSIBLE...................................53
C. PERTES SINGULIÈRES........................................................................58
1. PERTES DANS LES DIVERGENTS.......................................58
2. PERTES DANS LES CONVERGENTS...................................59
3. PERTES DANS LES COUDES................................................60
4. PERTES DANS LES ORGANES DE ROBINETTERIE.........60
5. SINGULARITÉS DIVERSES...................................................61
D. RÉCAPITULATION DES PERTES......................................................63
1. CAUSES ET REMÈDES..........................................................63
2. COURBE CARACTÉRISTIQUE D’UN RÉSEAU................63
VI . ÉCOULEMENTS PERMANENTS À POTENTIELS..................................65
1. DÉFINITIONS ET NOTIONS PRÉLIMINAIRES..................68
2. ÉCOULEMENTS PLANS........................................................73
3. POTENTIELS ANALYTIQUES USUELS..............................76
4. MÉTHODE PAR SUPERPOSITION.......................................80
5. TRANSFORMATIONS CONFORMES...................................84
6. FORCES EXERCÉES PAR UN FLUIDE................................92
7. ÉCOULEMENTS DE RÉVOLUTION.................................101
VII. MACHINES HYDRAULIQUES ET TURBOMACHINES.......................105
A. GÉNÉRALITÉS....................................................................................106
1. DÉFINITIONS ET NOTATIONS..........................................106
2. DIVERS TYPES.....................................................................106
3. PARAMÈTRES.......................................................................106
B. FONCTIONNEMENT..........................................................................108
1. VITESSES DU FLUIDE.........................................................109
2. RELATION FONDAMENTALE............................................110
3. COEFFICIENTS DE RATEAU..............................................110
4. CARACTÉRISTIQUES (Q, H, N)..........................................111
C. EXPLOITATION..................................................................................114
1. CHOIX DU TYPE...................................................................114
2. RÉGLAGE DU DÉBIT...........................................................115
3. STABILITÉ.............................................................................116
4. COUPLAGES DE MACHINES..............................................117
5. CAVITATION.......................................................................119
BIBLIOGRAPHIE.................................................................................................149