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Université Paul Sabatier - FSI L2 Mécanique / Mathématiques
VII
ECOULEMENTS PLANS – EQUATION DE NAVIER
Dans ce chapitre nous allons considérer principalement des écoulements plans, et regarder
localement l’influence de la viscosité pour décrire précisément la forme de l’écoulement.
1. Introduction
Rappels : Ecoulements de fluides parfaits
Nous avons vu que pour le fluide parfait incompressible le principe fondamental de la
dynamique se traduisait par l’équation d’Euler :
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
∂
∂
=− VGradV
t
V
PGradg rr
r
r.
ρρ
),( PV
r
Cette équation permet de décrire localement le comportement du fluide , en chaque
point de l’écoulement.
Que devient cette équation dans le cas d’un fluide visqueux ?
Rappel
A cette équation il faut généralement adjoindre l’équation de continuité (conservation de la
matière) :
0)( =+
∂
∂
VDiv
t
r
ρ
ρ
Équation qui devient dans le cas de fluide incompressibles (liquides ou gaz avec un nombre
de Mach 3.0≤cV
r0)( =VDiv
r
) :
Limites du modèle
On a vu que l’approximation de fluide parfait était insuffisante pour décrire certains
écoulements et pour lesquels des ajustements sont nécessaires sur les modèles globaux
(Bernoulli généralisé).
Mécanique des fluides Manuel Marcoux VII- 1

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Ceci induit aussi certaines incohérences un niveau local :
• Ecoulement autour d’un cylindre : n’induit pas de force de traînée exercée sur le
cylindre (paradoxe d’Alembert), ce qui est faux pour un fluide visqueux, la solution
n’étant d’ailleurs pas unique pour des écoulements rapides ( )
40Re >
hgVs2=
• Vidange d’un réservoir : La vitesse de sortie est donnée par (formule de
Torricelli) indépendante de la section du trou de sortie. Ceci n’est pas vrai pour un
fluide visqueux
Fluides visqueux
),( yx ee
r
r
Considérons un écoulement dans le plan vertical , unidirectionnel, les variations de
vitesses ne dépendant que de y (écoulement plan et parallèle) :
x
etyU
tyU
W
V
U
Vr
r),(
0
0
),(
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Soit une section horizontale S séparant l’écoulement en 2 parties (1) supérieure, et (2)
inférieure.
Bilan des efforts qu’exerce (1) sur (2) lors de l’écoulement:
Pour un fluide parfait : les forces de pression
∫∫
=
→SsdSfF
r
r
21 ys ePnPf
r
r
r
−== avec
Pour un fluide visqueux, il faut aussi considérer les forces de frottements ou de cisaillement :
τ
r
r
r
+−= ys ePf
où
τ
est la contrainte visqueuse (cf chapitre précédent)
Elle s’exerce localement sur une facette d’orientation y, dans la direction x, et dépend de la
variation de la vitesse (taux de cisaillement :
x
e
r
r
τ
τ
= et y
U
∂
∂
= μτ
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Propriété
x
e
r
Dans un écoulement plan parallèle suivant la direction , les forces de forces de cisaillement
s’exerçant sur un élément de volume dV se ramènent à :
xx
xy e
yU
e
y
Frr
r
2
2
∂
∂
=
∂
∂
= μ
τ
μ
μ
Démonstration : bilan sur un élément de volume cubique de hauteur dy
2. Equation de Navier
Propriété
x
etyUV
r
r
),(=
Dans un fluide visqueux en écoulement plan parallèle, , la conservation de la
quantité de mouvement ou le principe fondamental de la dynamique se traduisent localement
par :
t
V
e
y
U
PGradg x∂
∂
=
∂
∂
+−
r
rr
ρμρ
2
2
Il s’agit de l’équation de Navier, régissant le mouvement d’un fluide dans ce cas
Démonstration : même démonstration que celle de l’équation d’Euler, en tenant compte de la
force supplémentaire
μ
F
r
liée à la viscosité (cisaillement), avec dans le cas de l’écoulement
plan parallèle
0).( r
rrr =∇ VV
x
e
r
),( yx ee
r
r
, sa projection suivant les directions
Cette équation étant vectorielle, dans le plan et
donne 2 équations scalaires :
y
e
r
t
U
yU
x
P
gx∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−
ρμρ
2
2 (1)
0=
∂
∂
−y
P
gy ρ (2)
Remarques :
g
r
0
=
x
g
• Dans les cas les plus fréquents, est vertical, donc et ,
sinon, si est incliné de
ggy=
g
r
α
α
singgx
=
, avec et
α
cosggy
=
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0
2
2=
∂
∂
x
P
• Si on dérive l’équation (1) par rapport à x, on obtient : ,
la pression varie donc linéairement par rapport à x
En tenant compte de l’équation (2), on obtient alors la forme du champ de pression :
0
),( PxKygyxP y
+
+
=
ρ
3. Applications
Détermination des profils de vitesses dans des écoulement (et des forces de cisaillement
résultantes) dans différents types de configuration ou géométries standard.
Ecoulement de couette
Ecoulement stationnaire entre 2 plaques horizontales séparées d’une distance a, l’une
immobile, et l’autre se déplaçant à vitesse constante U :
xx ey
a
U
eyUV rr
r0
)( ==
xyparoisfluide eS
a
U
eSPF rr
m
r0
μ ±=
→
Ecoulement de Poiseuille plan
Ecoulement stationnaire entre 2 plaques fixes de longueurs L, écartées d’une largeur , et
orientées suivant la direction
h2
x
e
r
. L’écoulement se fait soit par gravité en inclinant les plaques
d’un angle
θ
, soit parce qu’il y a une surpression en entrée.
xx eyh
K
eyUV rr
r
)(
2
)( 22 −==
μ
, profil parabolique
LPP
gK se −
+=
θρ sin
μ
ρ
3
23
heK
Qm=
avec ,
Ecoulement de Couette-Taylor
z
e
r
Ecoulement entre 2 cylindres coaxiaux d’axe , de rayons et , celui extérieur étant
fixe, et celui intérieur tournant sur son axe à vitesse constante :
1
R2 R
z
e
r
r
ω =Ω
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Lorsque :
1
Ra <<
θθ
ω e
aRr
RerVV rr
r⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−≈= 1
11)(
Ω−≈
→
rr
aSR
Fcylfluide
2
1
.int.
μ
Ecoulement de Poiseuille cylindrique
Même chose que l’écoulement de Poiseuille plan, mais avec un tube cylindrique de rayon R
()
xx erR
K
erUV rr
r22
4
)( −==
μ
μ
πρ
8
4
RK
Qm=
4. Généralisation – Equation de Navier-Stokes
Dans le cas général, l’écoulement est tridimensionnel :
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxW
tzyxV
tzyxU
V
r et
),,,( tzyxPP
=
a) Tenseur des contraintes visqueuses
Les cisaillement ayant alors lieu dans toutes les direction, on introduit un tenseur (matrice)
des contraintes visqueuses :
τ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
τττ
τττ
τττ
τ
est la contrainte exercée dans la direction a sur une facette d’orientation b
où ab
τ
τ.∇=
r
r
μ
frot
F
La force de frottement visqueux s’écrit dans ce cas :
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