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Université Paul Sabatier - FSI
L2 Mécanique / Mathématiques
VII
ECOULEMENTS PLANS – EQUATION DE NAVIER
Dans ce chapitre nous allons considérer principalement des écoulements plans, et regarder
localement l’influence de la viscosité pour décrire précisément la forme de l’écoulement.
1. Introduction
Rappels : Ecoulements de fluides parfaits
Nous avons vu que pour le fluide parfait incompressible le principe fondamental de la
dynamique se traduisait par l’équation d’Euler :
r
r
r⎞
⎛ ∂V
r
+ V . Grad V ⎟⎟
ρ g − Grad P = ρ ⎜⎜
⎝ ∂t
⎠
(
)
r
Cette équation permet de décrire localement le comportement du fluide (V , P ) , en chaque
point de l’écoulement.
Que devient cette équation dans le cas d’un fluide visqueux ?
Rappel
A cette équation il faut généralement adjoindre l’équation de continuité (conservation de la
matière) :
r
∂ρ
+ Div ( ρ V ) = 0
∂t
Équation qui devient dans le cas de fluide incompressibles (liquides ou gaz avec un nombre
r
r
de Mach V c ≤ 0.3 ) :
Div (V ) = 0
Limites du modèle
On a vu que l’approximation de fluide parfait était insuffisante pour décrire certains
écoulements et pour lesquels des ajustements sont nécessaires sur les modèles globaux
(Bernoulli généralisé).
Mécanique des fluides
Manuel Marcoux
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Ceci induit aussi certaines incohérences un niveau local :
•
Ecoulement autour d’un cylindre : n’induit pas de force de traînée exercée sur le
cylindre (paradoxe d’Alembert), ce qui est faux pour un fluide visqueux, la solution
n’étant d’ailleurs pas unique pour des écoulements rapides ( Re > 40 )
•
Vidange d’un réservoir : La vitesse de sortie est donnée par Vs = 2 g h (formule de
Torricelli) indépendante de la section du trou de sortie. Ceci n’est pas vrai pour un
fluide visqueux
Fluides visqueux
r r
Considérons un écoulement dans le plan vertical (e x , e y ) , unidirectionnel, les variations de
vitesses ne dépendant que de y (écoulement plan et parallèle) :
⎛ U ⎞ ⎛U ( y, t ) ⎞
r ⎜ ⎟ ⎜
⎟
r
V = ⎜ V ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = U ( y, t ) e x
⎜W ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎠
⎝ ⎠ ⎝
Soit une section horizontale S séparant l’écoulement en 2 parties (1) supérieure, et (2)
inférieure.
Bilan des efforts qu’exerce (1) sur (2) lors de l’écoulement:
Pour un fluide parfait : les forces de pression
r
r
F1→2 = ∫∫ f s dS avec
S
r
r
r
f s = P n = − Pe y
Pour un fluide visqueux, il faut aussi considérer les forces de frottements ou de cisaillement :
r
r
r
f s = −P ey + τ
où τ est la contrainte visqueuse (cf chapitre précédent)
Elle s’exerce localement sur une facette d’orientation y, dans la direction x, et dépend de la
variation de la vitesse (taux de cisaillement :
r
r
τ = τ ex
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et
τ =μ
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∂U
∂y
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Propriété
r
Dans un écoulement plan parallèle suivant la direction e x , les forces de forces de cisaillement
s’exerçant sur un élément de volume dV se ramènent à :
r
∂ τ xy r
∂ 2U r
Fμ = μ
ex = μ 2 ex
∂y
∂y
Démonstration : bilan sur un élément de volume cubique de hauteur dy
2. Equation de Navier
Propriété
r
r
Dans un fluide visqueux en écoulement plan parallèle, V = U ( y, t ) e x , la conservation de la
quantité de mouvement ou le principe fondamental de la dynamique se traduisent localement
par :
r
r
∂ 2U r
∂V
ρ g − Grad P + μ 2 e x = ρ
∂t
∂y
Il s’agit de l’équation de Navier, régissant le mouvement d’un fluide dans ce cas
Démonstration : même démonstration que celle de l’équation d’Euler, en tenant compte de la
r
force supplémentaire Fμ liée à la viscosité (cisaillement), avec dans le cas de l’écoulement
rr r r
plan parallèle (V .∇ ) V = 0
r
r r
Cette équation étant vectorielle, dans le plan (e x , e y ) , sa projection suivant les directions e x et
r
e y donne 2 équations scalaires :
∂P
∂ 2U
∂U
+μ 2 =ρ
ρ gx −
∂x
∂t
∂y
ρ gy −
∂P
=0
∂y
(1)
(2)
Remarques :
•
r
Dans les cas les plus fréquents, g est vertical, donc g x = 0 et g y = g ,
r
sinon, si g est incliné de α , avec g x = g sin α et g y = g cos α
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•
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Si on dérive l’équation (1) par rapport à x, on obtient :
∂2P
= 0,
∂x 2
la pression varie donc linéairement par rapport à x
En tenant compte de l’équation (2), on obtient alors la forme du champ de pression :
P ( x, y ) = ρ g y y + K x + P0
3. Applications
Détermination des profils de vitesses dans des écoulement (et des forces de cisaillement
résultantes) dans différents types de configuration ou géométries standard.
Ecoulement de couette
Ecoulement stationnaire entre 2 plaques horizontales séparées d’une distance a, l’une
immobile, et l’autre se déplaçant à vitesse constante U :
r
r U r
V = U ( y) ex = 0 y ex
a
r
U
r
r
F fluide→ parois = m PS e y ± μ 0 S e x
a
Ecoulement de Poiseuille plan
Ecoulement stationnaire entre 2 plaques fixes de longueurs L, écartées d’une largeur 2 h , et
r
orientées suivant la direction e x . L’écoulement se fait soit par gravité en inclinant les plaques
d’un angle θ , soit parce qu’il y a une surpression en entrée.
r
r
r
K
V = U ( y) ex =
(h 2 − y 2 ) e x , profil parabolique
2μ
P − Ps
avec K = ρ g sin θ + e
,
L
2 K ρ e h3
Qm =
3μ
Ecoulement de Couette-Taylor
r
Ecoulement entre 2 cylindres coaxiaux d’axe ez , de rayons R1 et R2 , celui extérieur étant
r
r
fixe, et celui intérieur tournant sur son axe à vitesse constante : Ω = ω e z
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Lorsque a << R1 :
r
r
⎛ r − R1 ⎞ r
V = V (r ) eθ ≈ ω R1 ⎜1 −
⎟ eθ
a ⎠
⎝
r
R2 S r
F fluide →cyl . int . ≈ − μ 1 Ω
a
Ecoulement de Poiseuille cylindrique
Même chose que l’écoulement de Poiseuille plan, mais avec un tube cylindrique de rayon R
r
r
r
K
V = U (r ) e x =
R 2 − r 2 ex
4μ
(
Qm =
)
K ρ π R4
8μ
4. Généralisation – Equation de Navier-Stokes
Dans le cas général, l’écoulement est tridimensionnel :
⎛ U ( x, y , z , t ) ⎞
r ⎜
⎟
V = ⎜ V ( x, y , z , t ) ⎟
⎜ W ( x, y , z , t ) ⎟
⎝
⎠
et
P = P ( x, y , z , t )
a) Tenseur des contraintes visqueuses
Les cisaillement ayant alors lieu dans toutes les direction, on introduit un tenseur (matrice)
des contraintes visqueuses
τ
:
⎛τ xx τ xy
⎜
τ = ⎜τ yx τ yy
⎜τ
⎝ zx τ zy
τ xz ⎞
⎟
τ yz ⎟
τ zz ⎟⎠
où τ ab est la contrainte exercée dans la direction a sur une facette d’orientation b
r
r
La force de frottement visqueux s’écrit dans ce cas : F frot = μ ∇.τ
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Propriété
Dans l’étude de la déformation en fonction de la contrainte d’un milieu continu on obtient
pour un fluide newtonien incompressible la loi rhéologique suivante :
τ = 2μ D
où D est le tenseur des taux de déformation :
⎛
∂U
⎜ 2
∂x
⎜
1 ⎜ ∂U ∂V
D= ⎜
+
2 ⎜ ∂y ∂x
⎜ ∂U + ∂W
⎜ ∂z
∂x
⎝
∂U ∂W ⎞
⎟
+
∂z
∂x ⎟
∂V ∂W ⎟
+
∂z
∂y ⎟⎟
∂W ⎟
2
∂z ⎟⎠
∂U ∂V
+
∂y ∂x
∂V
2
∂y
∂V ∂W
+
∂z
∂y
r
r
Remarque : dans le cas de l’écoulement plan, on a V = U ( y ) e x , donc V = W = 0 .
Il ne reste dans ce cas que :
τ xy = 2 μ D xy = μ
∂U
∂y
b) Equation de Navier-Stokes
Propriété :
L’écoulement d’un fluide visqueux incompressible newtonien dans le cas général
(tridimensionnel) est décrit par :
r
r
r
r⎞
r
⎛ ∂V
r
dV
= ρ ⎜⎜
+ V . Grad V ⎟⎟ = −Grad P + ρ g + μ ΔV
ρ
dt
⎝ ∂t
⎠
(
)
où Δ est l’opérateur Laplacien (rappel : Δφ =
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
, en cartésien)
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Il s’agit de l’équation de Navier-Stokes
Démonstration
Ecriture du principe fondamental de la dynamique pour un fluide réel, donc en tenant compte
des forces associées au frottement visqueux dans toutes les directions (par le biais des
tenseurs des contraintes et des taux de déformation), qui s’écrit dans ce cas (fluide newtonien
r
r
r
incompressible) : F frot = μ ∇.τ = μ ΔV
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Remarque :
Dans la démonstration complète de cette équation, on utilise le fait que
r
r
r
r
∇. τ = ∇.( 2 μ D) = 2 μ ∇. D + 2 (∇μ ).D
où le tenseur de déformation (ou de taux de dilatation) D peut être décomposé de la façon
r
r 1r r r
1
suivante : ∇.D = ∇ 2V + ∇ (∇.V ) ,
2
2
(
)
r
r
r r r r
d’où ∇. τ = μ ∇ 2V + ∇ (∇.V ) + 2 (∇μ ).D
(cf. mécanique des milieux continus)
r
r r
Dans le cas ou le fluide est newtonien et incompressible, on a : ∇μ = 0 et ∇.V = 0 ,
d’où le résultat
Ecriture :
Il s’agit d’une équation vectorielle, sa projection sur un repère donne 3 équations scalaires
En coordonnées cartésiennes, cela donne :
⎧ ⎛ ∂U
∂U
∂U
∂U ⎞
∂P
⎟⎟ = −
+U
+V
+W
+ μ ΔU
⎪ ρ ⎜⎜
∂x
∂y
∂z ⎠
∂x
⎪ ⎝ ∂t
⎪⎪ ⎛ ∂ V
∂V
∂V
∂V ⎞
∂P
⎟⎟ = −
+U
+V
+W
+ μ ΔV
⎨ ρ ⎜⎜
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y
⎪ ⎝ ∂t
⎪ ⎛ ∂W
∂W ⎞
∂W
∂W
∂P
⎪ ρ ⎜⎜
⎟⎟ = −
+U
+V
+W
+ μ ΔW − ρ g
∂x
∂y
∂z ⎠
∂z
⎪⎩ ⎝ ∂t
Dans les autres systèmes de coordonnées, les écritures des opérateurs Gradient et Laplacien
doivent être ajustées (cf. formulaire vectoriel).
Remarques
•
Si μ = 0 , il n’y a pas d’effets de la viscosité, et le fluide se comporte comme un fluide
parfait, on retrouve alors l’équation d’Euler
r
r
r
r⎞
⎛ ∂V
r
dV
ρ
= ρ ⎜⎜
+ V . Grad V ⎟⎟ = −Grad P + ρ g
dt
⎝ ∂t
⎠
(
)
•
L’équation de Navier est un cas particulier de cette équation générale, obtenu pour un
r
r
écoulement plan parallèle, V = U ( y ) e x
r
r
• Quand l’écoulement est dominé par la viscosité, le terme V . Grad V (advection) est
(
)
négligeable, on peut alors utiliser une écriture simplifiée : l’équation de Stokes
r
r
r
∂V
ρ
= −Grad P + ρ g + μ ΔV
∂t
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