Simulation numérique de processus aléatoires stationnaires

Institut Sup´erieur
d’Informatique
de Mod´elisation
et de leurs Applications
Complexe Universitaire des C´ezeaux
BP125
63173 Aubi`ere CEDEX
Rapport de projet 3`eme ann´ee
Simulation num´erique de processus
al´eatoires stationnaires gaussiens
solutions d’EDS lin´eaires homog`enes
Responsables ISIMA :
FOGLI Michel
Pr´esent´e par : SITTER Julien, PACCOU Benjamin
D´ecembre 2006-Mars 2007
Dur´ee: 140 heures

Institut Sup´erieur
d’Informatique
de Mod´elisation
et de leurs Applications
Complexe Universitaire des C´ezeaux
BP125
63173 Aubi`ere CEDEX
Rapport de projet 3`eme ann´ee
Simulation num´erique de processus
al´eatoires stationnaires gaussiens
solutions d’EDS lin´eaires homog`enes
Responsables ISIMA :
FOGLI Michel
Pr´esent´e par : SITTER Julien, PACCOU Benjamin
D´ecembre 2006-Mars 2007
Dur´ee: 140 heures

Simulation num´erique de processus al´eatoires stationnaires gaussiens
solutions d’EDS lin´eaires homog`enes
Remerciements
Nous remercions particuli`erement notre chef de projet Michel FOGLI pour l’aide et les nombreux
conseils avis´es qu’il nous a fournis tout au long de la r´ealisation de ce projet. Ce rapport de projet a
´et´e enti`erement r´edig´e sous LaTeX, ainsi nous tenons aussi `a remercier les cr´eateurs et d´eveloppeurs
du site «http ://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX ».
2006/2007

Simulation num´erique de processus al´eatoires stationnaires gaussiens
solutions d’EDS lin´eaires homog`enes
R´ esum´ e
Dans le cadre d’une simulation num´erique de processus al´eatoires stationnaires gaus-
siens `a l’aide du logiciel Matlab, nous nous int´eressons au probl`eme de r´esolution d’´equations
diff´erentielles stochastiques lin´eaires homog`enes au travers de trois simulations diff´erentes
(simulation exacte,simulation approch´ee `a l’aide d’un sch´ema de type Euler,simulation ap-
proch´ee `a l’aide d’un sch´ema de type diff´erences centr´ees). Nous effectuerons des tests sur chacune
de ces trois m´ethodes de simulation afin de pouvoir d´eterminer l’influence des param`etres sur les so-
lutions obtenues.
Mots cl´es: Matlab, simulation, processus, al´eatoires, stationnaires, gaussiens, ´equations, diff´erentielles,
stochastiques, lin´eaires, homog`enes, exacte, Euler, centr´ee
Abstract
In order to develop a numerical simulation of random stationary gaussian process with
Matlab, we are interested in solving homogeneous linear stochastic differential equations
through three various simulations (exact simulation,approach simulation with the help of a
Euler scheme, approach simulation with the help of a center differenced scheme). We will
perform tests on these three simulation methods in order to determine the influence of the parameters
on the solutions reached.
Keywords: Matlab, simulation, process, random, stationary, gaussian, equations, differential,
stochastic, linear, homogeneous, exact, Euler, center
2006/2007

Simulation num´erique de processus al´eatoires stationnaires gaussiens
solutions d’EDS lin´eaires homog`enes
Table des mati`eres
Remerciements
R´ esum´ e / Abstract
Table des mati` eres
Table des figures
Liste des tableaux
Glossaire
Introduction 8
I Prise en main 9
1 Projet 9
2 Environnement Matlab 9
II Position du probl`eme 10
1 D´efinition d’un processus de Wiener 10
2 Oscillateurs non amortis 11
3 Relation avec notre projet 12
4 Simulation de la solution stationnaire d’une EDS lin´eaire homog`ene 13
5 Simulation num´erique de la solution 14
5.1 Simulation exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Simulation approch´ee `a l’aide d’un sch´ema de type Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 Simulation approch´ee `a l’aide d’un sch´ema de type diff´erences centr´ees . . . . . . . . 17
6 Estimation des caract´eristiques statistiques 19
6.1 Estimation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2 Estimation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3 Estimation de la densit´e spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III Implantation 23
1 Simulation exacte 23
2 Simulation approch´ee par un sch´ema de type Euler 27
3 Simulation approch´ee par un sch´ema de type diff´erences centr´ees 28
2006/2007