Exercices : 28 - Les outils de la Mécanique quantique

1 – Exercices : 28 - Les outils de la M´ecanique quantique Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 28 - Les outils de la M´ecanique quantique
A. Dualit´e
1. Classique ou quantique
Ce crit`ere ne figure pas au programme. On s’aidera du cours pour r´epondre. On note Sl’action qui est, rappelons-
le, le produit d’une ´energie par un temps ou le produit d’une quantit´e de mouvement par une longueur.
1. On consid`ere un pendule ´evoluant dans le champ de pesanteur de longueur ℓ= 20 cm, de masse m=
10 g. ´ Evaluer l’action Squi lui correspond. Doit-on l’´etudier de fa¸con classique ou bien rel`eve-t-il de la
M´ecanique quantique ?
2. Un horloger qui r´epare des montres m´ecaniques doit-il connaˆıtre la M´ecanique quantique dans le cadre
de son travail ?
3. L’atome d’hydrog`ene poss`ede une ´energie d’ionisation de 13,6 eV. Rappeler la loi donnant les niveaux
d’´energie de cet atome. Quelle est le domaine des longueurs d’ondes ´emises par celui-ci ? Quelle est la
plus petite longueur d’onde ´emise ? Doit-on utiliser la M´ecanique quantique pour le d´ecrire ?
4. Le crit`ere quantique est-il coh´erent avec le crit`ere bas´e sur la longueur d’onde de De Broglie ?
2. Gaz quantique ou gaz classique
On consid`ere de l’h´elium gazeux `a temp´erature ambiante et `a la pression atmosph´erique. L’´energie cin´etique
moyenne d’un atome d’h´elium est Ec=3
2kBT.
1. D´eterminer et ´evaluer num´eriquement la vitesse quadratique moyenne d’un atome d’h´elium.
2. Calculer la longueur d’onde de De Broglie correspondante. La comparer `a la distance moyenne entre
atomes d’h´elium.
3. L’´etude de l’h´elium gazeux rel`eve-t-il de la M´ecanique quantique ?
4. Lors de la formation d’un cristal m´etallique, on suppose que chaque atome du cristal fournit un ´electron.
L’ensemble de ces ´electrons libres constitue un gaz o`u l’´energie de chaque ´electron est de l’ordre de
l’´electronvolt. La distance moyenne entre ´electrons est suppos´ee ´egale `a la distance moyenne entre atomes.
´
Evaluer la longueur d’onde de De Broglie et la distance moyenne entre les ´electrons libres. Conclure
en indiquant si la conduction ´electrique rel`eve ou non de la M´ecanique quantique.
R´eponses : 1
2mv2=3 2kBT, on trouve v=p3kBT/m,v≃103m·s−1;λDB =h mv ≃7×10−11 m. La distance
moyenne est d≃n−1/3si nest la densit´e volumique de particules donn´ee par n=P/(kBT), on trouve d= 3 nm,
on constate que λDB ≪d, on peut rester dans le domaine classique ; λDB =h/√2meEsoit λ= 1 nm, n=µCu NA
MCu ,
d≃n−1/3= 2 ×10−10 md < λDB donc la M´ecanique quantique est n´ecessaire pour ´etudier la conductivit´e.
3. Le myst`ere des fentes d’Young
Soit le dispositif des trous d’Young utilis´e ici avec une source ponctuelle Sde particules quantiques mono-
´energ´etiques plac´ee sur la m´ediatrice des deux fentes F1et F2distantes de 2a. Les particules sont ´emises une
`a une (c’est-`a-dire s´epar´ement). La distance entre le plan des fentes et l’´ecran, qui lui st parall`ele, est D≫a.
L’observation est effectu´ee en un point Mquelconque de l’´ecran rep´er´e par d≪D. Voir la figure 1. Pour tenter
de savoir par quelle fente passe chaque particule, on mesure par un dispositif non repr´esent´e la translation de
l’´ecran suivant Ox induite par chaque impact de particule, l’´ecran gagnant alors la quantit´e de mouvement
suivant Ox de la particule absorb´ee.
x
O
M
d
F1
F2D
S2a
Figure 1 – Les fentes d’Young
JR Seigne Clemenceau Nantes

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1. Exprimer la quantit´e de mouvement p1xselon Ox d’une particule parvenant en Mapr`es ˆetre pass´ee par
la fente F1en fonction de la valeur p0de son impulsion (ou quantit´e de mouvement), de d,aet D.
2. Faire de mˆeme pour le cas d’une particule passant par la fente F2et en d´eduire que l’on sait de quelle
fente provient la particule seulement si l’ind´etermination sur la quantit´e de mouvement de l’´ecran est
tr`es inf´erieure `a une valeur fonction de p0,aet D.
3. Que peut-on dire alors de l’ind´etermination sur la position de l’´ecran ∆x. En d´eduire que si on peut
d´eterminer par quelle fente est pass´ee la particule, l’observation des franges est impossible. . .
4. Diffraction de mol´ecules par une onde lumineuse
On consid`ere une exp´erience de diffraction de mol´ecules de fuller`ene C60 par une onde stationnaire lumineuse.
Un four contenant la poudre de fuller`ene est chauff´e `a une temp´erature proche de 900 K. Un dispositif permet de
s´electionner dans le faisceau de fuller`ene sortant du four des mol´ecules de vitesse moyenne ´egale `a v= 120 m·s−1
et dont la dispersion relative de vitesse est ∆v
v= 0,17. Le faisceau est collimat´e par deux fentes verticales
successives de largeur respectivement ´egales `a a= 7 µm et b= 5 µm et s´epar´ees de D′= 1,13 m. Le faisceau
de mol´ecules est ensuite diffract´e par une onde stationnaire lumineuse. On admettra que du point de vue des
mol´ecules de fuller`ene, l’onde stationnaire lumineuse, agit comme un r´eseau plan de diffraction, constitu´e de N
fentes, infiniment fines et ´equidistantes de d= 257 nm. Un d´etecteur, situ´e `a une distance D= 1,20 m apr`es le
r´eseau, permet de compter les mol´ecules de C60. Le dispositif exp´erimental est repr´esent´e `a la figure 2.
Figure 2 – Diffraction de C60 par un r´eseau
1. D´eterminer la longueur d’onde de De Broglie λDB des mol´ecules de fuller`ene qui sont s´electionn´ees
par le filtre de vitesse.
2. D´eterminer la dispersion ∆λDB de cette longueur d’onde de De Broglie.
3. Que repr´esente la longueur ℓc=λ2
DB
∆λDB
? Calculer sa valeur num´erique.
4. Expliquer quel est l’int´erˆet des fentes de collimation. Pr´eciser l’influence de la diffraction du faisceau
mol´eculaire par chacune des deux fentes.
La figure 3 repr´esente un exemple de figure d’interf´erences obtenue exp´erimentalement.
Figure 3 – Exp´erience d’interf´erences
5. On suppose que le d´etecteur permet d’observer les interf´erences `a l’infini du faisceau mol´eculaire diffract´e.
Pour interpr´eter les r´esultats exp´erimentaux, on se ram`ene au sch´ema de la figure 2. On suppose que la
longueur d’onde de De Broglie n’est pas modifi´ee par le passage `a travers le r´eseau. D´eterminer les
directions θpour lesquelles il y a interf´erences constructives des faisceaux diffract´es.
6. Interpr´eter l’allure de la courbe exp´erimentale de la figure 3. En d´eduire la valeur num´erique de la vitesse
moyenne des mol´ecules de C60 et la comparer `a la valeur donn´ee par les auteurs de l’exp´erience.
JR Seigne Clemenceau Nantes

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7. Montrer, en utilisant des arguments similaires `a ceux d´evelopp´es dans le cours d’optique, que le d´efaut
de coh´erence temporelle du faisceau permet d’expliquer le nombre limit´e de franges visibles.
R´eponses : λDB =h
mv avec m=60MC NA= 1,2×10−24 kg et donc λDB = 4,6×10−12 m ; par diff´erentiation
dλDB =−hdv
mv2d’o`u ∆λDB =h∆v mv2= 7,8×10−13 m ; ℓcrepr´esente l’analogue de la longueur de coh´erence du
faisceau de particules par rapport `a une source lumineuse, en effet on sait que ℓc=c∆to`u ∆test la dur´ee
du train d’ondes, avec ∆t×∆f≃1 et λ=c
f, on arrive `a ∆f=c∆λ λ2et ensuite la longueur du train d’onde
est ℓc=c
∆f=λ2 ∆λ, on trouve ℓc= 2,7×10−11 m ; les deux fentes de collimation permettent d’´eviter une trop
grande dispersion angulaire du faisceau de particules, la dispersion angulaire due `a la diffraction par les fentes
est de l’ordre de ∆θ≃λDB
a≃10−6rad ; interf´erences constructives pour dsin θ=pλDB avec p∈Z; on voit
l’ordre 0 et les ordres 1 et −1, on a sin θ1=λDB
d≃θ1puisque les angles sont tr`es petits, sur la figure on
obtient tan θ1≃1 = x
Do`u xest l’abscisse de la frange d’ordre 1, on en d´eduit que 2λDB D d= 44 µm, on trouve
λDB = 4,7×10−12 m ce qui correspond `a une vitesse v≃125 m·s−1qui est tout `a fait conforme `a celle annonc´ee ;
on sait que le d´efaut de coh´erence temporelle joue sur la fonction de contraste des interf´erences, ici on ne voit
que la zone o`u la fonction de contraste est maximale, c’est-`a-dire dans une zone relativement restreinte autour
de l’image du faisceau selon l’optique g´eom´etrique - si l’on peut s’exprimer ainsi pour des ondes de mati`ere.
B. Fonction d’onde
5. Paquet d’ondes gaussien libre
Une onde gaussienne est d´ecrite par la densit´e g(k) donn´ee par :
g(k) = Aexp −(k−k0)2
q2
o`u A,k0et qsont des constantes positives. La particule concern´ee est libre et de masse m.
1. ´ Ecrire la forme de la fonction d’onde ψ(x, t) correspondante.
2. Commenter la nature physique de cette onde.
3. ´ Evaluer explicitement l’onde `a t= 0. On donne Z∞
−∞
exp(−αu2−βu)du=rπ
αexp β2 4αpour α > 0 et
β∈C.
4. Commenter le r´esultat pr´ec´edent.
5. Quels types de param`etres doit-on choisir pour que la particule soit localis´ee tr`es pr´ecis´ement `a l’instant
initial t= 0 ? Pour r´epondre `a cette question, on ´evaluera < x2>. Faire le lien avec l’ind´etermination de
Heisenberg ? On donne l’int´egrale : Z∞
−∞
u2exp(−αu2) du=rπ
4α3.
6. Atome d’hydrog`ene
Dans l’´etat fondamental, un ´electron en orbite autour d’un proton fixe en Oest d´ecrit par la fonction d’onde `a
sym´etrie sph´erique ψ(r) = Aexp −r
a, o`u aet Asont des constantes positives.
1. Quel est au premier ordre en dr, le volume dτcompris entre les rayons ret r+ dr?
2. En d´eduire la probabilit´e dP=f(r)drque la position de l’´electron soit mesur´ee entre ret r+ dr.
3. Proposer une valeur de A.
4. Pour quelle valeur r0de rla probabilit´e de trouver l’´electron est-elle maximale (`a drpr`es fix´e) ?
5. Quelle est la valeur moyenne < r > dans cet ´etat ?
6. Quelle quantit´e physique repr´esente a?
On donne : Z∞
0
xnexp(−αx)dx=n!
αn+1 pour α > 0.
7. Potentiel quadrique
Un quanton de masse mest soumis au potentiel (rappel : ´energie potentielle) V(x) = gx4. Le quanton est limit´e
dans ces d´eplacements `a l’axe Ox. On donne g > 0.
1. Expliquer pourquoi une ´energie nulle est impossible et, par cons´equent, qu’une ´energie minimale non
nulle est indispensable.
2. Estimer l’´energie du fondamental en utilisant l’ind´etermination d’Heisenberg. On consid´erera dans cette
partie que < x4>=α(∆x)4o`u αest un coefficient dont l’ordre de grandeur est l’unit´e.
JR Seigne Clemenceau Nantes

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R´eponses : on a n´ecessairement ∆px∆x≥~
2on ne peut avoir avec certitude x= 0 et px= 0 ; l’´energie de la
particule est E=p2
x
2m+gx4, comme on ne peut pas avoir simultan´ement px= 0 et x= 0, on note qu’il va se
produire n´ecessairement des oscillations autour de la position d’´equilibre x= 0, on peut dire que < p2
x>= (∆px)2
et que < x4>=α(∆x)4, l’´energie m´ecanique moyenne est Em=<px>2
2m+g < x4>=(∆px)2 2m+gα(∆x)4, on
remplace par la relation d’ind´etermination de Heisenberg et on obtient Em=(∆px)2
2m+gα(~ 2(∆px))4, le mode
fondamental correspond `a un minimum d’´energie dEm
d∆px=∆px m−gα~4 4∆p5
x= 0, on trouve ∆px=mgα~4
41/6, on
arrive alors `a Em≃gα~4
m21/3.
8. Boˆıte unidimensionnelle
On consid`ere un quanton, de masse m, d’´energie Econfin´e dans un intervalle x∈[0; L] o`u son potentiel V(x) = 0
(rappel : il s’agit d’une ´energie potentielle).
1. On adopte dans cette partie uniquement un traitement classique, c’est-`a-dire non quantique. On admet
que la probabilit´e de pr´esence classique dPde la particule entre xet x+ dxest proportionnelle `a la dur´ee
de passage dtentre ces deux abscisses. Exprimer la vitesse v(x) de cette particule. Montrer qu’apr`es
normalisation, la densit´e de probabilit´e de pr´esence classique s’exprime ainsi :
dPcl
dx=1 L
Calculer la probabilit´e de pr´esence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
2. On adopte maintenant un traitement quantique du probl`eme. L’´energie Edu quanton correspond `a un
´etat stationnaire repr´esent´e par la fonction d’onde :
ψn(x, t) = Ansin nπx
Lexp −iEt ~
o`u nest un entier strictement positif. D´eterminer la constante An. Calculer la probabilit´e de pr´esence du
quanton entre les abscisses 0 et L/4. Que devient ce dernier r´esultat dans la limite o`u n≫1 ? Comment
ce r´esultat se compare-t-il au r´esultat de la th´eorie classique ?
R´eponses : v=q2E
mest ind´ependant de x, dt= dx/v donc dPcl =αdx v, la normalisation est 1 = RL
0αdx
v=αL v
d’o`u α=v
Lce qui revient `a ´ecrire que dPcl =dx L, entre 0 et L/4, on a Pcl =1 4; dP=|ψn(x, t)|2dx=
A2
nsin2nπx
Ldx, or 1 = RL
0A2
nsin2nπx
Ldx=A2
nL
2d’o`u An=q2 L, on a donc dP=2 Lsin2nπx Ldx, la probabilit´e
de pr´esence est Pqu =RL/4
0dP=1
41−sinc nπ 2, dans la limite n→ ∞, on retrouve la probabilit´e classique de
1/4 ce qui est coh´erent avec le principe de correspondance de Bohr.
9. ´ Energie minimale de confinement
On consid`ere une particule quantique (non relativiste), de masse m, pouvant se d´eplacer librement suivant Ox
dans un domaine de largeur Lx.
1. Quelle est la limite sup´erieure de l’ind´etermination sur sa position ∆x?
2. En d´eduire une limite inf´erieure pour l’ind´etermination sur son impulsion (ou quantit´e de mouvement)
∆px.
3. Que vaut hpxipour cette particule ? En d´eduire une limite inf´erieure pour hpx2i.
4. En ´etendant ce raisonnement `a une particule confin´ee dans une boite parall´el´epip´edique de longueurs Lx,
Lyet Lz, montrer que l’´energie cin´etique moyenne de la particule v´erifie :
hEci ≥ ~2
8m1
Lx2+1 Ly2+1 Lz2
R´eponses : la limite sup´erieure est ∆x=Lx, d’apr`es l’ind´etermination d’Heisenberg ∆px≥~
2Lx, la quanton
peut aller aussi bien dans le sens xcroissant que dans le sens xd´ecroissant on a donc hpxi= 0 et donc
hpx2i= ∆p2
x≥~2
4L2
x, on peut reproduire le mˆeme raisonnement ind´ependamment sur les trois axes et comme
Ec=p2
x
2m+p2
y
2m+p2
z
2m, on trouve que hEci ≥ ~2 8m1
Lx2+1 Ly2+1 Lz2.
JR Seigne Clemenceau Nantes