Circuits RL et RC

Chapitre
5
Circuits RL et RC
Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l’inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
leur application dans des circuits. Les techniques d’analyse de circuit vues dans les chapitres précédents s’appliquent aux circuits contenant des inductances et des capacitances.
On verra en premier les circuits contenant seulement des inductances ou seulement
des capacitances. Des circuits contenant ces deux éléments seront présentés au chapitre
suivant.
5.1
Inductance
Une inductance est une composante électrique qui s’oppose au variations de courant.
Elle est constituée de plusieurs boucles de fil électrique embobiné autour d’un noyau qui
peut être magnétique ou non. La figure 5.1 montre un exemple d’inductance.
Figure 5.1 – Photo d’inductances
On utilise le symbole L pour représenter une inductance. Son unité est le Henry [H].
1
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Le symbole typique d’une inductance est montré à la figure 5.2.
+
v
–
i
Figure 5.2 – Symbole typique d’une inductance
La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est :
v=L
di
dt
(5.1)
On peut faire quelques observations à partir de l’équation 5.1, à cause du terme de
dérivée :
di
1. Si le courant est constant, la dérivée dt
= 0, alors la tension v = 0. L’inductance se
comporte comme un court-circuit en présence d’un courant constant (DC).
2. Il ne peut pas y avoir de variation instantanée de courant dans une inductance. On
peut approximer :
di ∆i
=
dt ∆t
Si ∆t = 0, alors v = ∞, ce qui est impossible.
Exemple 1
La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pour t < 0 et un
pulse 10te−5t A pour t > 0.
+
v
i
100mH
–
1. Tracer le graphe du courant.
2. À quel instant le courant est-il maximum ?
3. Tracer la courbe de la tension.
1. Le graphe du courant est donné à la figure suivante :
Gabriel Cormier
2
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2. Pour trouver le point où le courant est maximum, il faut dériver l’équation du courant et mettre égal à zéro.
di
= 10(−5te−5t + e−5t ) = 10e−5t (1 − 5t) = 0
dt
On solutionne pour trouver t = 0.2s.
3. Pour tracer le graphe de la tension, il faut appliquer directement l’équation 5.1.
v=L
di
= 0.1(10e−5t (1 − 5t)) = e−5t (1 − 5t)
dt
Le graphe est donné à la figure suivante.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Noter que la tension varie instantanément à t = 0 ; la tension passe de 0V à 1V.
Gabriel Cormier
3
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Courant dans une inductance en fonction de la tension
On peut obtenir une équation du courant dans une inductance en fonction de la tension à ses bornes en réarrangeant l’expression de la tension. À partir de l’équation 5.1,
v dt = L di
(5.2)
On peut alors intégrer de chaque côté :
Z
Z
L di = v dt
ce qui donne :
1
i(t) =
L
Z
(5.3)
t
v dτ + i(t0 )
(5.4)
t0
Le plus souvent, t0 = 0, et on peut simplifier :
Z
1 t
v dτ + i(0)
i(t) =
L 0
(5.5)
Exemple 2
La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pour t < 0 et une
tension 20te−10t V pour t > 0. On suppose i = 0 pour t < 0.
i
v
100mH
1. Tracer le graphe de la tension.
2. Calculer l’expression du courant dans l’inductance.
3. Tracer la courbe du courant.
1. Le graphe de la tension est donné à la figure suivante :
Gabriel Cormier
4
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
1
0.8
v(t)
0.6
0.4
0.2
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Temps (s)
0.25
0.3
0.35
0.4
2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l’équation 5.5. Le courant initial i(0) = 0.
Zt
1
i=
20τe−10τ dτ + 0
0.1 0
# t
" −10τ
−e
(10τ + 1) = 200
100
0
= 2(1 − 10te
−10t
−e
−10t
)A
3. Le graphe du courant est le suivant :
2
i(t)
1.5
1
0.5
0
−0.1
0
0.1
0.2
Temps (s)
0.3
0.4
0.5
Remarquer que le courant tend vers une valeur finale de 2A.
5.1.1
Puissance et énergie dans une inductance
On peut obtenir les équations de puissance et d’énergie d’une inductance directement
à partir des relations de tension et de courant. Si le courant est dans le sens d’une chute
Gabriel Cormier
5
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
de tension, la puissance est :
p = vi
(5.6)
Si on remplace la tension par l’équation 5.1,
p = Li
di
dt
(5.7)
ou, si on remplace le courant,
1
p=v
L
Z
t
!
v dτ + i(t0 )
(5.8)
t0
Pour le calcul de l’énergie, on peut obtenir l’équation correspondante selon :
p=
dw
di
= Li
dt
dt
(5.9)
et donc,
dw = Li di
(5.10)
1
w = Li 2
2
(5.11)
En faisant l’intégrale, on obtient :
Exemple 3
Pour le circuit de l’exemple 1,
1. Tracer la courbe de p et w.
2. Pendant quel intervalle l’inductance emmagasine-t’elle de l’énergie ?
3. Pendant quel intervalle l’inductance fournit-elle de l’énergie ?
4. Quelle est l’énergie maximale emmagasinée dans l’inductance ?
1. Pour obtenir la puissance, il suffit de multiplier les équations de tension et de courant.
p(t) = vi = (e−5t (1 − 5t))(10te−5t ) = 10te−10t (1 − 5t)
Gabriel Cormier
6
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Le graphe est :
0.2
p(t)
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (s)
0.6
0.7
0.8
0.9
0.8
0.9
On calcule l’énergie :
1
w(t) = Li 2 = 0.5(0.1)(10te−5t )2 = 5t 2 e−10t
2
ce qui donne le graphe suivant :
0.03
w(t)
0.02
0.01
0
−0.01
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (s)
0.6
0.7
2. L’inductance emmagasine de l’énergie si l’énergie augmente. D’après le graphe,
l’énergie augmente de 0 à 0.2s. C’est aussi l’intervalle pendant lequel p > 0.
3. L’inductance fournit de l’énergie si l’énergie diminue. D’après le graphe, c’est la
période où t > 0.2s. C’est aussi l’intervalle pendant lequel p < 0.
4. Pour trouver l’énergie maximale, il faut dériver l’équation de l’énergie.
dw
= 10te−10t − 50t 2 e−10t
dt
On solutionne pour trouver t = 0.2s. À cet instant, l’énergie est w(0.2) = 27.07mW.
Gabriel Cormier
7
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
5.2
Condensateur
Le condensateur est un composant électrique qui permet d’emmagasiner de l’énergie
électrique. Un condensateur possède une capacitance C, et son unité est le Farad [F]. La
plupart des condensateurs sont constitués de deux plaques métalliques séparées par un
matériau non-conducteur qu’on appelle un diélectrique. La figure 5.3 montre différents
condensateurs pratiques. Des condensateurs pratiques pour des circuits sont typiquement de l’ordre du picofarad (pF) au microfarad (µF). Cependant, dans certaines voitures
électriques, on utilise des condensateurs de l’ordre du kilofarad (kF) pour emmagasiner
l’énergie ou fournir un énorme pulse d’énergie lors du décollage.
Figure 5.3 – Photo de condensateurs
La relation entre le courant et la tension d’un condensateur est :
i=C
dv
dt
(5.12)
De façon similaire à l’inductance, on peut faire quelques observations importantes :
1. La tension ne peut pas varier de façon instantanée aux bornes d’un condensateur.
2. Si la tension est constante aux bornes d’un condensateur, le courant est nul.
La tension en fonction du courant est :
1
v(t) =
C
Z
t
i dτ + v(0)
(5.13)
0
La puissance dans un condensateur est :
1
dv
p(t) = vi = Cv
=i
dt
C
Z
t
!
i dτ + v(0)
(5.14)
0
Et l’énergie est :
1
w = Cv 2
2
Gabriel Cormier
8
(5.15)
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Exemple 4
La tension aux bornes d’un condensateur de 0.5µF est donnée par l’équation suivante :


0
t≤0




v(t) = 
4t
0≤t≤1



4e−(t−1) 1 ≤ t ≤ ∞
1. Donner l’expression du courant, de la puissance et de l’énergie du condensateur.
2. Tracer le graphe de la tension, du courant, de la puissance et de l’énergie.
3. Donner l’intervalle de temps pendant lequel de l’énergie est emmagasinée dans le
condensateur.
4. Donner l’intervalle de temps pendant lequel le condensateur fournit de l’énergie.
1. On utilise l’équation 5.12 pour calculer le courant :


(0.5 × 106 )(0) = 0
t≤0




6
i(t) = 
(0.5 × 10 )(4) = 2µA
0≤t≤1



(0.5 × 106 )(−4e−(t−1) ) = −2e−(t−1) µA 1 ≤ t ≤ ∞
On calcule maintenant la puissance :


0
t≤0




p(t) = v(t)i(t) = 
(4t)(2) = 8tµW
0≤t≤1



(4e−(t−1) )(−2e−(t−1) ) = −8e−2(t−1) µW 1 ≤ t ≤ ∞
Puis l’énergie :


0




w(t) = 
0.5(0.5)(4t)2 = 4t 2 µJ



0.5(0.5)(4e−(t−1) )2 = 4e−2(t−1) µJ
t≤0
0≤t≤1
1≤t≤∞
2. Les graphes sont :
3. L’énergie est emmagasinée dans le condensateur si la puissance est positive. Il s’agit
de l’intervalle 0 à 1s.
4. L’énergie est fournie par le condensateur pendant la période de puissance négative,
pour t > 1s.
Gabriel Cormier
9
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
v(t)
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
−6
i(t)
2
x 10
0
−2
0
−5
p(t)
1
x 10
0
−1
0
−6
w(t)
4
x 10
2
0
5.3
0
Combinaisons série-parallèle
Inductances
On additionne des inductances en série :
Leq = L1 + L2 + L3 + · · ·
(5.16)
En parallèle, la relation est :
1
1
1
+
+
+ ···
Leq =
L1 L2 L3
Gabriel Cormier
10
!−1
(5.17)
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Capacitances
La relation pour des capacitances en série est :
1
1
1
Ceq =
+
+
+ ···
C1 C2 C3
!−1
(5.18)
Pour des capacitances en parallèle :
Ceq = C1 + C2 + C3 + · · ·
5.4
(5.19)
Réponse naturelle des circuits RL et RC
On analyse ici les circuits composés de sources, résistances et une inductance ou une
capacitance. Il y deux étapes principales d’analyse :
1. Réponse naturelle : on analyse des circuits où l’énergie emmagasinée dans une inductance ou une capacitance est soudainement dissipée dans une résistance (ou un
circuit résistif).
2. Réponse forcée : on analyse des circuits où on applique soudainement une source
DC (tension ou courant) à une inductance ou une capacitance.
En premier, on analyse les circuits pour trouver la réponse naturelle.
5.4.1
Réponse naturelle d’un circuit RL
Pour faire l’analyse et trouver la réponse naturelle d’un circuit RL, on utilise le circuit
de la figure 5.4. La source de courant produit un courant constant, et avant l’analyse (t <
0), l’interrupteur est fermé depuis longtemps. Ceci veut dire que les tensions et courants
ont atteint des valeurs constantes.
On a vu qu’une inductance qui est traversée par un courant constant aura une tension
nulle à ses bornes. En d’autres mots, l’inductance se comporte comme un court-circuit.
Ce qui veut dire, que pour t = 0− (juste avant d’ouvrir l’interrupteur), tout le courant de
la source traverse l’inductance. Il n’y a pas de courant dans R0 ou R, puisque la tension à
leur bornes est 0, puisqu’ils sont en parallèle avec l’inductance.
En résumé, pour t = 0− :
iL = Is
vL = 0
Gabriel Cormier
11
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
t=0
i
R0
Is
L
+
v
R
–
Figure 5.4 – Circuit RL
À t = 0, on ouvre l’interrupteur. Le circuit est maintenant donné à la figure 5.5.
+
i
v
L
R
–
Figure 5.5 – Circuit RL, après l’ouverture de l’interrupteur
Pour calculer l’équation du courant, on applique la loi de Kirchhoff des tensions à la
boucle. On obtient :
di
(5.20)
vL + vR = 0 ⇒ L + Ri = 0
dt
ce qui est une équation différentielle de premier ordre.
On réarrange l’équation pour solutionner :
di
= −Ri
dt
(5.21)
di
R
= − dt
i
L
(5.22)
L
ou bien,
On intègre de chaque côté,
Z
i(t)
di
=−
i(t0 ) i
Z
t
t0
R
dt
L
(5.23)
ce qui donne :
!
i(t)
R
ln
=− t
i(0)
L
Gabriel Cormier
12
(5.24)
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
et finalement,
i(t) = i(0)e−(R/L)t
(5.25)
Rappel : le courant dans une inductance ne peut pas changer instantanément. Alors,
i(0+ ) = i(0− ) = Is
Donc, l’équation du courant devient :
i(t) = Is e−(R/L)t
(5.26)
Le graphe du courant est donné à la figure 5.6
i(t)
Is
0
0
Temps (s)
Figure 5.6 – Réponse naturelle d’un circuit RL (courant)
La tension aux bornes de l’inductance est :



0
v(t) = 

Is Re−(R/L)t
t<0
t>0
(5.27)
À t = 0, il y a un changement instantané de tension aux bornes de l’inductance.
La puissance dissipée dans la résistance est :
p = vi = Ri 2 = Is2 Re−2(R/L)t ,
t ≥ 0+
L’énergie dissipée dans la résistance est :
Zt
1
w=
p dx = LIs2 1 − e−2(R/L)t ,
2
0
Gabriel Cormier
13
t ≥ 0+
(5.28)
(5.29)
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
5.4.2
Constante de temps
L’équation du courant (équation 5.26) possède le terme e−(R/L)t . Le rapport R/L détermine le taux avec lequel le courant s’approche de zéro. Le réciproque de ce taux, L/R, est
la constante de temps du circuit :
τ = constante de temps =
L
R
(5.30)
On peut donc réécrire l’équation du courant sous une autre forme,
i(t) = Is e−t/τ
(5.31)
La constante de temps est un paramètre important des circuits RL et RC. Elle permet
de rapidement déterminer si un circuit a atteint un régime permanent (une valeur stable).
Par exemple, après une constante de temps, le courant a diminué à e−1 de sa valeur initiale,
ou 0.37.
Après cinq constantes de temps, le courant a diminué à e−5 , ou 0.007 (0.7%) de sa
valeur initiale. À ce moment, on peut dire que le courant est rendu à une valeur stable :
le circuit est en régime permanent. Lorsqu’on dit qu’un circuit est à une certaine position
depuis longtemps, il y a eu au moins cinq constantes de temps.
On nomme le régime transitoire le temps pendant lequel les valeurs (tensions et courants) du circuit varient encore : c’est donc pour moins de cinq constantes de temps. Pour
plus de cinq constantes de temps, le circuit est en régime permanent.
La constante de temps peut même être déterminée de façon pratique, en mesurant le
taux de variation de la réponse naturelle d’un circuit.
Exemple 5
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position fermée depuis longtemps. À
t = 0, on ouvre l’interrupteur.
t=0
2Ω
io
+
20A
0.1Ω
iL
2H
10Ω
vo
40Ω
–
Gabriel Cormier
14
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
1. Calculer iL (t), pour t ≥ 0.
2. Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
3. Calculer vo (t), pour t ≥ 0+ .
4. Le pourcentage de l’énergie totale emmagasinée dans l’inductance qui est dissipée
dans la résistance de 10Ω.
1. On doit calculer les valeurs de courant et tension dans l’inductance pour t = 0− , juste
avant d’ouvrir l’interrupteur. Le circuit pour t = 0− est le suivant (rappel que l’inductance
est un court-circuit) :
2Ω
io
+
iL
0.1Ω
20A
2H
10Ω
vo
40Ω
–
La tension aux bornes de l’inductance est nulle, et donc tout le courant de la source
traverse l’inductance :
iL (0− ) = 20A
Et puisque dans une inductance, il ne peut pas y avoir de changement instantané de courant, iL (0+ ) = iL (0− ) = 20A.
Pour calculer la constante de temps, il faut remplacer le réseau de résistances par une
résistance équivalente. Le circuit pour t = 0+ est le suivant :
2Ω
io
+
iL
2H
10Ω
vo
40Ω
–
Req
La résistance équivalente est :
Req = 2 + (40||10) = 10Ω
Gabriel Cormier
15
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
La constante de temps est :
τ=
L
= 0.2s
Req
Pour un circuit RL, l’expression du courant est donnée par l’équation 5.31, et on obtient :
iL (t) = 20e−5t A,
t≥0
2. Pour calculer io , on utilise un diviseur de courant :
io = −
10
i (t) = −4e−5t A,
10 + 40 L
t ≥ 0+
Cette expression n’est valide que pour t ≥ 0+ parce qu’il n’y a pas de courant avant que
l’interrupteur soit ouvert. La résistance aura donc un changement instantané de courant.
3. On obtient la tension v0 en appliquant la loi d’Ohm :
vo = 40io = −160e−5t V,
t ≥ 0+
4. La puissance dissipée dans la résistance de 10Ω est :
p10Ω (t) =
vo2
= 2560e−10t W,
10
t ≥ 0+
Ce qui veut dire que l’énergie totale dissipée dans la résistance est :
Z∞
w10Ω (t) =
2560e−10t dt = 256 J
0
L’énergie initiale dans l’inductance est :
1
1
wL (0) = LiL2 (0) = (2)(20)2 = 400 J
2
2
Et donc le rapport est :
256
= 0.64 = 64%
400
5.4.3
Réponse naturelle d’un circuit RC
La réponse naturelle d’un circuit RC est semblable à celle d’un circuit RL. Le circuit
RC de base est donné à la figure 5.7.
Gabriel Cormier
16
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
R1
i
+
Vg
vc
t=0
R
C
–
Figure 5.7 – Circuit RC
L’interrupteur est à sa position initiale depuis longtemps. Le condensateur se comporte alors comme un circuit ouvert : la tension aux bornes du condensateur, avant que
l’interrupteur change de position, est la même que la tension de la source. Et puisque le
condensateur agit comme circuit ouvert, le courant est nul.
Pour t = 0− :
iC = 0
vC = Vg
À t = 0, l’interrupteur change de position. Le circuit est maintenant donné à la figure
5.8.
i
+
R
vc
C
–
Figure 5.8 – Circuit RC, après le changement de l’interrupteur
On fait la somme des courants au noeud supérieur :
C
dv v
+ =0
dt R
(5.32)
On utilise la même technique que celle utilisée pour le circuit RL, et on obtient :
v(t) = v(0)e−t/RC ,
t≥0
(5.33)
On peut simplifier cette équation à l’aide de deux observations :
v(0) = v(0+ ) = v(0− ) = Vg = V0
τ = RC
Gabriel Cormier
(5.34)
(5.35)
17
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
et donc,
v(t) = V0 e−t/τ ,
t≥0
(5.36)
Exemple 6
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À
t = 0, on commute l’interrupteur.
20kΩ
32kΩ
+
100V
vc
t=0
0.5µF
io
+
240kΩ
vo
60kΩ
–
–
1. Calculer vC (t), pour t ≥ 0.
2. Calculer vo (t), pour t ≥ 0+ .
3. Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
4. L’énergie dissipée dans la résistance de 60kΩ.
1. On calcule en premier les valeurs pour t < 0. Le circuit pour t = 0− est :
20kΩ
+
vc
100V
–
La tension aux bornes du condensateur à t = 0− est vC (0− ) = 100V. Pour une capacitance, c’est aussi la tension à t = 0+ .
Gabriel Cormier
18
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Pour calculer la constante de temps, il faut trouver la résistance équivalente. On utilise
le circuit à t = 0+ :
32kΩ
io
+
+
vc
240kΩ
vo
0.5µF
60kΩ
–
–
La résistance équivalente est :
Req = 32 + (240||60) = 80kΩ
La constante de temps est :
τ = RC = (80 × 103 )(0.5 × 10−6 ) = 0.04s
L’équation de la tension est :
vC (t) = 100e−25t V,
t≥0
2. Pour calculer vo (t), on utilise un diviseur de tension.
vo (t) =
240||60
v (t) = 60e−25t V,
32 + 240||60 C
t ≥ 0+
Cette dernière équation n’est valide que pour t ≥ 0+ , puisque la tension aux bornes de
la résistance à t = 0− est 0. Il y a un changement instantané dans la tension.
3. On calcule le courant à l’aide de la loi d’Ohm.
io (t) =
vo (t)
= e−25t mA,
60 × 103
t ≥ 0+
4. La puissance dissipée dans la résistance de 60kΩ est :
p60k (t) = Ri 2 = (60 × 103 )i 2 = 60e−50t mW,
et l’énergie totale :
Z
t ≥ 0+
∞
w60k =
p(t) dt = 1.2 mJ
0
Gabriel Cormier
19
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
5.5
Réponse échelon des circuits RL et RC
La réponse échelon représente le comportement des circuits RL ou RC lorsqu’on applique soudainement une source de tension ou de courant au circuit. Ce genre d’analyse
est très importante dans le calcul du délai des circuits intégrés.
5.5.1
Réponse échelon d’un circuit RL
Le circuit utilisé pour illustrer le comportement d’un circuit RL lorsqu’on applique
soudainement une source de tension est donné à la figure 5.9.
t=0
R
+
i
Vs
vL
L
–
Figure 5.9 – Circuit RL, où on applique soudainement une source
Il est important de spécifier que l’inductance pourrait avoir un courant initial I0 non
nul, qui proviendrait d’un autre circuit.
On cherche l’équation de la tension dans l’inductance et le courant du circuit pour
t > 0. On applique la loi de Kirchhoff des tensions à la boucle.
di
(5.37)
Vs = Ri + L
dt
On peut résoudre cette équation différentielle en isolant i d’un côté et t de l’autre. La
solution est :
V
V
i(t) = s + I0 − s e−(R/L)t
(5.38)
R
R
Cette équation indique que le courant initial à t = 0 est I0 , et que le courant final
est Vs /R, ce qui fait du sens, puisque l’inductance se comportera alors comme un courtcircuit.
di
La tension aux bornes de l’inductance est L dt
:
vL (t) = L
Gabriel Cormier
di
= (Vs − I0 R)e−t/τ ,
dt
20
t ≥ 0+
(5.39)
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CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Est-ce que la valeur de vL à t = 0+ fait du sens ?
À t = 0+ , le courant dans le circuit est I0 . En appliquant la loi des tensions de Kirchhoff,
on obtient :
− Vs + RI0 + vL = 0 ou vL = Vs − RI0
(5.40)
ce qui est la même chose que ce qu’on obtient par l’équation 5.39 à t = 0.
Exemple 7
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À
t = 0, on commute l’interrupteur.
2Ω
+
24V
iL v L
t=0
8A
10Ω
200mH
–
1. Calculer iL (t), pour t ≥ 0.
2. Calculer vL (0+ ).
3. Est-ce que cette tension fait du sens ?
4. À quel temps la tension de l’inductance sera-t-elle 24V ?
1. La première chose à faire est d’analyser le circuit pour t = 0− .
+
iL
10Ω
vL
8A
–
L’inductance se comporte comme un court-circuit, et donc le courant initial est I0 =
−8A.
Gabriel Cormier
21
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Le circuit pour t = 0+ est :
2Ω
+
24V
iL v L
200mH
–
La constante de temps est :
τ=
L 0.2
=
= 0.1
R
2
En appliquant l’équation 5.38, on obtient :
Vs
Vs −(R/L)t
i(t) =
+ I0 −
e
R
R
= 12 + (−8 − 12)e−10t
= 12 − 20e−10t A,
t≥0
2. La tension vL est :
vL (t) = L
di
= 40e−10t V,
dt
t ≥ 0+
Donc vL (0+ ) = 40V.
3. À t = 0+ , l’inductance fournit un courant de 8A dans le sens anti-horaire (dans le
circuit de gauche). Il y a donc une chute de tension de (8)(2) = 16V dans la résistance. Si
on additionne la chute de tension dans la source, on obtient 16 + 24 = 40V.
4. On cherche le temps où vL = 24V. On a :
24 = 40e
−10t
40
1
ln
= 51.08 ms
⇒t=
10
24
À ce moment-là, la tension aux bornes de l’inductance est égale à la tension aux bornes
de la source. Le courant est donc nul (on peut vérifier en plaçant cette valeur de t dans
l’équation de iL (t)).
5.5.2
Réponse échelon d’un circuit RC
On utilise le circuit de la figure 5.10 pour analyser la réponse échelon d’un circuit RC.
Noter que la tension initiale v(0− ) aux bornes du condensateur peut être non nulle.
Gabriel Cormier
22
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CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
t=0
+
R
Is
vc
i
C
–
Figure 5.10 – Circuit RC, où on applique soudainement une source
On fait la somme des courants au noeud supérieur, après avoir fermé l’interrupteur :
C
dvC vc
+ = Is
dt
R
(5.41)
On peut résoudre cette équation différentielle pour obtenir :
vC (t) = RIs + (V0 − RIs )e−t/(RC) ,
t≥0
(5.42)
t ≥ 0+
(5.43)
où V0 = v(0+ ) = v(0− ).
Le courant dans la capacitance est :
iC = C
dvC (t)
V
= Is − 0 e−t/RC ,
dt
R
Exemple 8
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À
t = 0, on commute l’interrupteur.
20kΩ
8kΩ
+
40V
60kΩ
vo
t=0
0.25µF
40kΩ
io
160kΩ
75V
–
1. Calculer vo (t), pour t ≥ 0.
2. Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
Gabriel Cormier
23
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
1. On analyse en premier le circuit à t = 0− . Le circuit à t = 0− est :
20kΩ
+
60kΩ
40V
vo
–
La tension initiale du condensateur est :
60
(40) = 30 V = vC (0+ )
vC (0− ) =
60 + 20
On analyse maintenant le circuit pour t ≥ 0+ . On doit transformer la partie de droite du
circuit à un circuit équivalent Norton afin de pouvoir appliquer les équations développées
auparavant.
40kΩ
8kΩ
io
40kΩ
75V
160kΩ
1.5mA
La tension vT H de circuit ouvert est donnée par :
160
(−75) = −60 V
40 + 160
La résistance Thévenin (Norton) est :
vT H =
RT H = 8 + 40||160 = 40 kΩ
Le courant Norton est donc :
iN =
vT H
= −1.5 mA
RT H
Après cette simplification du circuit, on peut appliquer les équations développées auparavant. La constante de temps est τ = RC = 0.01s.
vC (t) = RIs + (V0 − RIs )e−t/(RC)
= (40 × 103 )(−0.0015) + (30 − (40 × 103 )(−0.0015))e−100t ,
= −60 + 90e
Gabriel Cormier
−100t
V,
t≥0
t≥0
24
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CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
2. L’équation du courant est obtenue en appliquant directement l’équation 5.12.
io = iC = −2.25e−100t mA,
5.6
t ≥ 0+
Réponse générale des circuits RL et RC
Si on analyse de plus près équations du courant du circuit RL et de la tension du circuit
RC, on s’aperçoit que les équations sont de la même forme :
x(t) = xf + [x(t0 ) − xf ]e−t/τ
(5.44)
où x est la variable d’intérêt, xf est la valeur finale (t > 5τ) et x(t0 ) est la valeur initiale.
La procédure générale de résolution des circuits RL et RC est la suivante :
1. Identifier la variable d’intérêt du circuit. Pour un circuit RL, le plus facile est le
courant dans l’inductance ; pour un circuit RC, le plus facile est la tension aux bornes
de la capacitance.
2. Déterminer la valeur initiale de la variable d’intérêt.
3. Calculer la valeur finale de la variable d’intérêt.
4. Déterminer la constante de temps du circuit.
Exemple 9
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis longtemps. À
t = 0, on commute l’interrupteur.
400kΩ
20Ω
+
90V
iC
vC
t=0
0.5µF
60Ω
40V
–
1. Calculer la valeur initiale de vC .
2. Calculer la valeur finale de vC .
3. Calculer la constante de temps du circuit, lorsque l’interrupteur est commuté.
4. Donner l’expression de vC (t) pour t ≥ 0.
5. Donner l’expression de iC (t) pour t ≥ 0+ .
6. À quel temps vC (t) devient-il 0 ?
Gabriel Cormier
25
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
7. Tracer le graphe de vC (t) et iC (t).
1. Pour t < 0, la capacitance se comporte comme un circuit ouvert. Le circuit est le
suivant :
20Ω
+
vC
40V
60Ω
–
La tension à ses bornes est donc la même tension que celle aux bornes de la résistance
de 60Ω.
60
(−40) = −30 V = vC (0+ )
vC (0− ) =
20 + 60
2. La valeur finale de la tension aux bornes du condensateur est la tension de la source
de 90V, puisque le condensateur se comportera comme un circuit ouvert. Le circuit à t = ∞
est :
400kΩ
+
vC
90V
–
ce qui donne :
vC (∞) = 90 V = vf
3. La constante de temps est :
τ = RC = 0.2 s
4. On a toutes les données nécessaires pour obtenir l’expression de vC (t) :
vC (t) = vf + [v(t0 ) − vf ]e−t/τ
= 90 + [−30 − 90]e−t/0.2
= 90 − 120e−5t V,
Gabriel Cormier
26
t≥0
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CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
5. On va appliquer la méthode générale pour calculer iC (t) : il faut iC (0+ ) et iC (∞). Le
courant final iC (∞) est facile à calculer : la capacitance, à t = ∞, se comporte comme un
circuit ouvert, et donc le courant iC (∞) = 0.
Pour calculer iC (0+ ), on calcule le courant dans la résistance (dans le circuit suivant), à
t = 0+ . Il ne faut pas oublier que la tension initiale aux bornes du condensateur est −30V.
400kΩ
–
+
0.5µF
90V
iC
vC
30
–
+
La tension aux bornes de la résistance est 90 − (−30) = 120V. Le courant est donc :
i(0+ ) =
120
= 0.3 mA
400 × 103
On applique la même équation générale (équation 5.44) :
iC (t) = if + [i(t0 ) − if ]e−t/τ
= 0 + [0.3 − 0]e−t/0.2
= 0.3e−5t mA,
t ≥ 0+
On obtiendrait la même solution en appliquant la dérivée i = C dv
dt .
6. Pour calculer le temps où vC (t) = 0, on utilise l’équation de vC (t) :
vC (t) = 90 − 120e−5t = 0
qu’on solutionne pour trouver t = 57.45ms.
Gabriel Cormier
27
GELE2112
CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
7. Les graphes sont les suivants :
100
v(t) (V)
50
0
−50
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Temps (s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Temps (s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.4
i(t) (mA)
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
5.7
Résumé
Le tableau 5.1 résume les équations principales des circuits RL et RC.
Circuits RL
Circuits RC
di
dt
−
iL (0 ) = iL (0+ )
dv
dt
−
vC (0 ) = vC (0+ )
vL = L
τ=
L
Req
iC = C
τ = Req C
Req est RT H vue par l’élément
x(t) = xf + (x(0) − xf )e−t/τ
Table 5.1 – Résumé bref des équations
Gabriel Cormier
28
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