Circuits RL et RC

Chapitre 5
Circuits RL et RC
Ce chapitre pr´ esente les deux autres ´ el´ ements lin´ eaires des circuits ´ electriques : l’in-
ductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux ´ el´ ements, et ensuite
leur application dans des circuits. Les techniques d’analyse de circuit vues dans les cha-
pitres pr´ ec´ edents s’appliquent aux circuits contenant des inductances et des capacitances.
On verra en premier les circuits contenant seulement des inductances ou seulement
des capacitances. Des circuits contenant ces deux ´ el´ ements seront pr´ esent´ es au chapitre
suivant.
5.1 Inductance
Une inductance est une composante ´ electrique qui s’oppose au variations de courant.
Elle est constitu´ ee de plusieurs boucles de fil ´ electrique embobin´ e autour d’un noyau qui
peut ˆ etre magn´ etique ou non. La figure 5.1 montre un exemple d’inductance.
Figure 5.1 – Photo d’inductances
On utilise le symbole Lpour repr´ esenter une inductance. Son unit´ e est le Henry [H].
1

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Le symbole typique d’une inductance est montr´ e` a la figure 5.2.
+ v –
i
Figure 5.2 – Symbole typique d’une inductance
La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est :
v=Ldi
dt (5.1)
On peut faire quelques observations ` a partir de l’´ equation 5.1,` a cause du terme de
d´ eriv´ ee :
1. Si le courant est constant, la d´ eriv´ ee di
dt = 0, alors la tension v= 0. L’inductance se
comporte comme un court-circuit en pr´ esence d’un courant constant (DC).
2. Il ne peut pas y avoir de variation instantan´ ee de courant dans une inductance. On
peut approximer :
di
dt =∆i ∆t
Si ∆t= 0, alors v=∞, ce qui est impossible.
Exemple 1
La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pour t < 0 et un
pulse 10te−5tA pour t > 0.
i
+
v
–
100mH
1. Tracer le graphe du courant.
2. ` A quel instant le courant est-il maximum ?
3. Tracer la courbe de la tension.
1. Le graphe du courant est donn´ e` a la figure suivante :
Gabriel Cormier 2 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2. Pour trouver le point o ` u le courant est maximum, il faut d´ eriver l’´ equation du cou-
rant et mettre ´ egal ` a z´ ero.
di
dt = 10(−5te−5t+e−5t) = 10e−5t(1 −5t)=0
On solutionne pour trouver t= 0.2s.
3. Pour tracer le graphe de la tension, il faut appliquer directement l’´ equation 5.1.
v=Ldi
dt = 0.1(10e−5t(1 −5t)) = e−5t(1 −5t)
Le graphe est donn´ e` a la figure suivante.
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Noter que la tension varie instantan´ ement ` at= 0 ; la tension passe de 0V ` a 1V.
Gabriel Cormier 3 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
Courant dans une inductance en fonction de la tension
On peut obtenir une ´ equation du courant dans une inductance en fonction de la ten-
sion ` a ses bornes en r´ earrangeant l’expression de la tension. ` A partir de l’´ equation 5.1,
v dt =L di (5.2)
On peut alors int´ egrer de chaque cˆ ot´ e :
LZdi =Zv dt (5.3)
ce qui donne :
i(t) = 1
LZt
t0
v dτ +i(t0) (5.4)
Le plus souvent, t0= 0, et on peut simplifier :
i(t) = 1
LZt
0
v dτ +i(0) (5.5)
Exemple 2
La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pour t < 0 et une
tension 20te−10tV pour t > 0. On suppose i= 0 pour t < 0.
v
100mH
i
1. Tracer le graphe de la tension.
2. Calculer l’expression du courant dans l’inductance.
3. Tracer la courbe du courant.
1. Le graphe de la tension est donn´ e` a la figure suivante :
Gabriel Cormier 4 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps (s)
v(t)
2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l’´ equation 5.5. Le courant initial i(0) = 0.
i=1
0.1Zt
0
20τe−10τdτ + 0
= 200"−e−10τ
100 (10τ+ 1)#
t
0
= 2(1 −10te−10t−e−10t) A
3. Le graphe du courant est le suivant :
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
i(t)
Remarquer que le courant tend vers une valeur finale de 2A.
5.1.1 Puissance et ´ energie dans une inductance
On peut obtenir les ´ equations de puissance et d’´ energie d’une inductance directement
`
a partir des relations de tension et de courant. Si le courant est dans le sens d’une chute
Gabriel Cormier 5 GELE2112