GELE2112 Chapitre 5 : Circuits RL et RC

GELE2112 Chapitre 5 :
Circuits RL et RC
Gabriel Cormier, Ph.D.
Université de Moncton
Hiver 2009
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
1 / 95
Introduction
Contenu
Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
2 / 95
Introduction
Contenu
Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
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Introduction
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Gabriel Cormier (UdeM)
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
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électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
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électriques : inductances et condensateurs.
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Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
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Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
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Tension et courant
Puissance et énergie
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Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
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Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
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Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
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électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
Gabriel Cormier (UdeM)
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Introduction
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
Réponse naturelle d’un circuit RC
Gabriel Cormier (UdeM)
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Introduction
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
Réponse
Réponse
Réponse
Réponse
naturelle d’un circuit RL
échelon d’un circuit RL
naturelle d’un circuit RC
échelon d’un circuit RC
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Introduction
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Ce chapitre présente les deux autres composantes linéaires des circuits
électriques : inductances et condensateurs.
Inductance
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Condensateur
Caractéristiques
Tension et courant
Puissance et énergie
Circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse échelon d’un circuit RC
Procédure générale
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
S’oppose aux variations de courant
Composée de boucles de fil enroulée autour d’un noyau
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
Symbole : L
Unité : Henry [H]
+
v
–
i
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est :
v=L
di
dt
(1)
Selon cette équation : Si le courant est constant, la dérivée
la tension v = 0.
di
dt
= 0, alors
Caractéristique importante :
L’inductance se comporte comme un court-circuit en présence d’un courant constant (DC).
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
Autre constatation importante : Il ne peut pas y avoir de variation
instantanée de courant dans une inductance. On peut approximer :
di
∆i
=
dt
∆t
Si ∆t = 0, alors v = ∞, ce qui est impossible.
Caractéristique importante :
Il ne peut pas y avoir de variation instantanée de courant dans une
inductance.
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
Conséquence de cette caractéristique :
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
Conséquence de cette caractéristique :
i
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Inductance
Conséquence de cette caractéristique :
i
Gabriel Cormier (UdeM)
i
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Inductance
Inductance
Conséquence de cette caractéristique :
i
i
Un arc électrique se produit : danger !
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Exemple
Exemple
La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pour
t < 0 et un pulse 10te−5t A pour t > 0.
+
v
i
100mH
–
1
Tracer le graphe du courant.
2
À quel instant le courant est-il maximum ?
3
Tracer la courbe de la tension.
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Exemple
Exemple
Le graphe du courant :
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.1
0
0.1
Gabriel Cormier (UdeM)
0.2
0.3
0.4
0.5
GELE2112 Chapitre 5
0.6
0.7
0.8
Hiver 2009
0.9
9 / 95
Inductance
Exemple
Exemple
Pour trouver le point où le courant est maximum, il faut dériver
l’équation du courant et mettre égal à zéro.
di
= 10(−5te−5t + e−5t ) = 10e−5t (1 − 5t) = 0
dt
On solutionne pour trouver t = 0.2s.
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Exemple
Exemple
La tension :
v=L
di
= 0.1 10e−5t (1 − 5t) = e−5t (1 − 5t)
dt
Le graphe :
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.1
0
0.1
Gabriel Cormier (UdeM)
0.2
0.3
0.4
0.5
GELE2112 Chapitre 5
0.6
0.7
0.8
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0.9
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Inductance
Exemple
Exemple
La tension :
v=L
di
= 0.1 10e−5t (1 − 5t) = e−5t (1 − 5t)
dt
Le graphe :
1
0.8
Variation instantanée de tension
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.1
0
0.1
Gabriel Cormier (UdeM)
0.2
0.3
0.4
0.5
GELE2112 Chapitre 5
0.6
0.7
0.8
Hiver 2009
0.9
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Inductance
Courant dans une inductance en fonction de la tension
Courant en fonction de la tension
Si la tension est donnée :
Z
v dt = L di ⇒ L
Z
di =
v dt
ce qui donne :
1
iL (t) =
L
Z
t
v dτ + i(t0 )
t0
Le plus souvent, t0 = 0, et on peut simplifier :
Z
1 t
iL (t) =
v dτ + i(0)
L 0
Gabriel Cormier (UdeM)
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(2)
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Inductance
Courant dans une inductance en fonction de la tension
Exemple
La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pour
t < 0 et une tension 20te−10t V pour t > 0. On suppose i = 0 pour t < 0.
i
v
100mH
1
Tracer le graphe de la tension.
2
Calculer l’expression du courant dans l’inductance.
3
Tracer la courbe du courant.
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Inductance
Courant dans une inductance en fonction de la tension
Exemple
1. Le graphe de la tension :
1
0.8
v(t)
0.6
0.4
0.2
0
−0.1
−0.05
Gabriel Cormier (UdeM)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Temps (s)
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0.25
0.3
0.35
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0.4
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Inductance
Courant dans une inductance en fonction de la tension
Exemple
2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l’équation 2. Le courant
initial i(0) = 0.
i=
1
0.1
Z
t
20τ e−10τ dτ + 0
0
−e−10τ
(10τ + 1)
= 200
100
t
0
= 2(1 − 10te−10t − e−10t ) A
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Courant dans une inductance en fonction de la tension
Exemple
3. Le graphe du courant est le suivant :
2
i(t)
1.5
1
0.5
0
−0.1
0
0.1
0.2
Temps (s)
0.3
0.4
0.5
Le courant tend vers une valeur finale de 2A.
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Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Puissance
On obtient la puissance à l’aide de l’équation 1,
p = vi = Li
di
dt
ou, si on remplace le courant,
Z t
1
v dτ + i(t0 )
p=v
L t0
Gabriel Cormier (UdeM)
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17 / 95
Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Énergie
Pour le calcul de l’énergie, on peut obtenir l’équation correspondante
selon :
dw
di
p=
= Li ⇒ dw = Li di
dt
dt
En faisant l’intégrale, on obtient :
1
w = Li2
2
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Exemple
Pour le circuit de l’exemple 1,
1
Tracer la courbe de p et w.
2
Pendant quel intervalle l’inductance emmagasine-t’elle de
l’énergie ?
3
Pendant quel intervalle l’inductance fournit-elle de l’énergie ?
4
Quelle est l’énergie maximale emmagasinée dans l’inductance ?
Gabriel Cormier (UdeM)
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Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Exemple
1. Pour obtenir la puissance, il suffit de multiplier les équations de
tension et de courant.
p(t) = vi = (e−5t (1 − 5t))(10te−5t ) = 10te−10t (1 − 5t)
Le graphe est :
0.2
p(t)
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.1
0
Gabriel Cormier (UdeM)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (s)
GELE2112 Chapitre 5
0.6
0.7
0.8
0.9
Hiver 2009
20 / 95
Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Exemple
On calcule l’énergie :
1
w(t) = Li2 = 0.5(0.1)(10te−5t )2 = 5t2 e−10t
2
ce qui donne le graphe suivant :
0.03
w(t)
0.02
0.01
0
−0.01
−0.1
0
Gabriel Cormier (UdeM)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (s)
GELE2112 Chapitre 5
0.6
0.7
0.8
0.9
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21 / 95
Inductance
Puissance et énergie dans une inductance
Exemple
2. L’inductance emmagasine de l’énergie si l’énergie augmente. D’après
le graphe, l’énergie augmente de 0 à 0.2s. C’est aussi l’intervalle
pendant lequel p > 0.
3. L’inductance fournit de l’énergie si l’énergie diminue. D’après le
graphe, c’est la période où t > 0.2s. C’est aussi l’intervalle pendant
lequel p < 0.
4. Pour trouver l’énergie maximale, il faut dériver l’équation de
l’énergie.
dw
= 10te−10t − 50t2 e−10t
dt
On solutionne pour trouver t = 0.2s. À cet instant, l’énergie est
w(0.2) = 27.07mW.
Gabriel Cormier (UdeM)
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22 / 95
Condensateur
Définitions
Condensateur
Composant électrique qui permet d’emmagasiner de l’énergie
électrique.
Possède une capacitance C, et son unité est le Farad [F].
Gabriel Cormier (UdeM)
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23 / 95
Condensateur
Définitions
Condensateur
Composant électrique qui permet d’emmagasiner de l’énergie
électrique.
Possède une capacitance C, et son unité est le Farad [F].
1000µF, max 10V
Gabriel Cormier (UdeM)
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23 / 95
Condensateur
Définitions
Condensateur
Condensateurs typiques dans des circuits électriques sont de
l’ordre du µF.
Cependant, dans certaines voitures électriques, on utilise des
condensateurs ayant des capacités de l’ordre du kF. Peut fournir
un énorme pulse d’énergie au décollage.
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Condensateur
Définitions
Condensateur
La relation entre le courant et la tension d’un condensateur est :
i=C
dv
dt
(3)
Deux observations importantes :
1
La tension ne peut pas varier de façon instantanée.
2
Si la tension est constante, le courant est nul.
Caractéristique importante :
Un condensateur se comporte comme un circuit ouvert en présence d’une
tension constante (DC).
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25 / 95
Condensateur
Définitions
Tension, puissance et énergie
La tension en fonction du courant est :
Z
1 t
v(t) =
i dτ + v(0)
C 0
(4)
La puissance dans un condensateur est :
Z t
1
dv
p(t) = vi = Cv
=i
i dτ + v(0)
dt
C 0
(5)
Et l’énergie est :
1
w(t) = Cv 2
2
Gabriel Cormier (UdeM)
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(6)
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Condensateur
Exemple
Exemple
La tension aux bornes d’un condensateur de 0.5µF est :


t≤0
0
v(t) = 4t
0≤t≤1

 −(t−1)
4e
1≤t≤∞
1
Donner l’expression du courant, de la puissance et de l’énergie du
condensateur.
2
Tracer le graphe de la tension, du courant, de la puissance et de
l’énergie.
3
Donner l’intervalle de temps pendant lequel de l’énergie est
emmagasinée dans le condensateur.
4
Donner l’intervalle de temps pendant lequel le condensateur
fournit de l’énergie.
Gabriel Cormier (UdeM)
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27 / 95
Condensateur
Exemple
Exemple
On utilise l’équation 3 pour calculer le courant :

6

(0.5 × 10 )(0) = 0
i(t) = (0.5 × 106 )(4) = 2µA


(0.5 × 106 )(−4e−(t−1) ) = −2e−(t−1) µA
Gabriel Cormier (UdeM)
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t≤0
0≤t≤1
1≤t≤∞
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Condensateur
Exemple
Exemple
La puissance :


t≤0
0
p(t) = v(t)i(t) = (4t)(2) = 8tµW
0≤t≤1

 −(t−1)
−(t−1)
−2(t−1)
(4e
)(−2e
) = −8e
µW 1 ≤ t ≤ ∞
Gabriel Cormier (UdeM)
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29 / 95
Condensateur
Exemple
Exemple
L’énergie :


t≤0
0
2
2
w(t) = 0.5(0.5)(4t) = 4t µJ
0≤t≤1


−(t−1)
2
−2(t−1)
0.5(0.5)(4e
) = 4e
µJ 1 ≤ t ≤ ∞
Gabriel Cormier (UdeM)
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30 / 95
Condensateur
Exemple
Exemple
Les graphes :
v(t)
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
Temps (s)
2.5
3
3.5
4
0.5
1
1.5
2
2.5
GELE2112 Chapitre 5
3
3.5
−6
i(t)
2
x 10
0
−2
0
−5
p(t)
1
x 10
0
−1
0
−6
w(t)
4
x 10
2
0
0
Gabriel Cormier (UdeM)
4
Hiver 2009
31 / 95
Condensateur
Exemple
Exemple
3. L’énergie est emmagasinée dans le condensateur si la puissance est
positive. Il s’agit de l’intervalle 0 à 1s.
4. L’énergie est fournie par le condensateur pendant la période de
puissance négative, pour t > ∞.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
32 / 95
Combinaisons série-parallèle
Combinaisons série-parallèle
Inductances
On additionne des inductances en série :
Leq = L1 + L2 + L3 + · · ·
(7)
En parallèle, la relation est :
Leq =
Gabriel Cormier (UdeM)
1
1
1
+
+
+ ···
L1 L2 L3
GELE2112 Chapitre 5
−1
(8)
Hiver 2009
33 / 95
Combinaisons série-parallèle
Combinaisons série-parallèle
Capacitances
La relation pour des capacitances en série est :
Ceq =
1
1
1
+
+
+ ···
C1 C2 C3
−1
(9)
Pour des capacitances en parallèle :
Ceq = C1 + C2 + C3 + · · ·
Gabriel Cormier (UdeM)
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(10)
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34 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle des circuits RL et RC
On analyse ici les circuits composés de sources, résistances et une
inductance ou une capacitance. Il y deux étapes principales d’analyse :
1
Réponse naturelle : des circuits où l’énergie emmagasinée dans une
inductance ou une capacitance est soudainement dissipée dans une
résistance (ou un circuit résistif).
2
Réponse forcée : des circuits où on applique soudainement une
source DC (tension ou courant) à une inductance ou une
capacitance.
Gabriel Cormier (UdeM)
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35 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
La source de courant produit un courant constant, et avant l’analyse
(t < 0), l’interrupteur est fermé depuis longtemps. Ceci veut dire que
les tensions et courants ont atteint des valeurs constantes.
t=0
i
Is
R0
L
+
v
R
–
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
36 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
Rappel : une inductance qui est traversée par un courant constant aura
une tension nulle à ses bornes : court-circuit.
Pour t < 0 :
L’inductance se comporte comme un court-circuit : iL (0− ) = Is .
vL (0− ) = 0 (court-circuit).
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
37 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
À t = 0, on ouvre l’interrupteur. Le circuit est le suivant :
i
L
+
v
R
–
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
38 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
Pour calculer l’équation du courant, on applique la loi de Kirchhoff des
tensions à la boucle. On obtient :
vL + vR = 0
⇒
L
di
+ Ri = 0
dt
ce qui est une équation différentielle de premier ordre.
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
39 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
On réarrange l’équation pour solutionner :
L
di
di
R
= −Ri ⇒
= − dt
dt
i
L
On intègre de chaque côté,
Z
i(t)
i(t0 )
di
=−
i
Z
t
t0
R
dt
L
ce qui donne :
ln
i(t)
i(0)
R
=− t
L
et finalement,
i(t) = i(0)e−(R/L)t
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(11)
Hiver 2009
40 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
Rappel : le courant dans une inductance ne peut pas changer
instantanément. Alors,
i(0+ ) = i(0− ) = Is
Donc, l’équation du courant devient :
i(t) = Is e−(R/L)t
Gabriel Cormier (UdeM)
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(12)
Hiver 2009
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Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
Le graphe du courant est :
i(t)
Is
0
0
Temps (s)
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Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
La tension aux bornes de l’inductance est :
(
0
t<0
v(t) =
−(R/L)t
Is Re
t>0
À t = 0, il y a un changement instantané de tension aux bornes de
l’inductance.
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Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RL
Réponse naturelle : circuit RL
La puissance dissipée dans la résistance est :
p = vi = Ri2 = Is2 Re−2(R/L)t ,
t ≥ 0+
L’énergie dissipée dans la résistance est :
Z t
1
w=
p dx = LIs2 1 − e−2(R/L)t ,
2
0
Gabriel Cormier (UdeM)
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t ≥ 0+
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44 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Constante de temps
Constante de temps
On peut réécrire l’équation du courant sous une autre forme :
Is e−(R/L)t
⇒
Is e−t/τ
où
τ = constante de temps =
Gabriel Cormier (UdeM)
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L
R
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45 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Constante de temps
Constante de temps
Paramètre important :
Permet de déterminer si un circuit a atteint le régime permanent.
Après 1 constante de temps, les valeurs sont à e−1 du max, ou
37%.
Après 5 constantes de temps, les valeurs sont à e−5 du max, 0.7% :
régime permanent.
Régime permanent
Un circuit est en régime permanent après 5 constantes de temps.
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46 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Constante de temps
Régime transitoire
En régime transitoire, les valeurs de tensions et courants varient encore.
Régime transitoire
Un circuit est en régime transitoire si moins de 5 constantes de temps
se sont écoulées.
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47 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position fermée depuis
longtemps. À t = 0, on ouvre l’interrupteur.
t=0
2Ω
io
+
20A
0.1Ω
iL
2H
10Ω
vo
40Ω
–
1
2
3
4
Calculer iL (t), pour t ≥ 0.
Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
Calculer vo (t), pour t ≥ 0+ .
Le pourcentage de l’énergie totale emmagasinée dans l’inductance
qui est dissipée dans la résistance de 10Ω.
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48 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
1. Le circuit à t = 0− :
2Ω
io
+
20A
0.1Ω
iL
2H
10Ω
vo
40Ω
–
Tout le courant de la source traverse l’inductance :
iL (0− ) = 20A
Et puisque dans une inductance, il ne peut pas y avoir de changement
instantané de courant, iL (0+ ) = iL (0− ) = 20A.
Gabriel Cormier (UdeM)
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49 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
2. Le circuit à t = 0+ :
2Ω
io
+
iL
2H
10Ω
vo
40Ω
–
Req
Pour calculer la constante de temps, il faut remplacer le réseau de
résistances par une résistance équivalente :
Req = 2 + (40||10) = 10Ω
Gabriel Cormier (UdeM)
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50 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
La constante de temps est :
τ=
L
= 0.2s
Req
Puisqu’il s’agit d’un circuit RL, on obtient :
iL (t) = 20e−5t A,
Gabriel Cormier (UdeM)
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t≥0
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51 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
3. Pour calculer io , on utilise un diviseur de courant :
io = −
10
iL (t) = −4e−5t A,
10 + 40
t ≥ 0+
Seulement valide pour t ≥ 0+ : changement instantané de courant dans
la résistance.
Gabriel Cormier (UdeM)
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52 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
3. On obtient la tension v0 en appliquant la loi d’Ohm :
vo = 40io = −160e−5t V,
Gabriel Cormier (UdeM)
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t ≥ 0+
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53 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
4. La puissance dissipée dans la résistance de 10Ω est :
p10Ω (t) =
vo2
= 2560e−10t W,
10
t ≥ 0+
Ce qui veut dire que l’énergie totale dissipée dans la résistance est :
Z ∞
w10Ω =
2560e−10t dt = 256 J
0
L’énergie initiale dans l’inductance est :
1
1
wL (0) = Li2L (0) = (2)(20)2 = 400 J
2
2
Et donc le rapport est :
256
= 0.64 = 64%
400
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54 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
La réponse naturelle d’un circuit RC est semblable à celle d’un circuit
RL. Le circuit RC de base est donné à la figure suivante.
R1
i
+
Vg
vc
t=0
C
R
–
Gabriel Cormier (UdeM)
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55 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Rappel : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert si une
tension constante est appliquée à ses bornes.
Pour t = 0− :
iC = 0
vC = Vg
Gabriel Cormier (UdeM)
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56 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
À t = 0, l’interrupteur change de position. Le circuit est :
i
+
vc
R
C
–
Gabriel Cormier (UdeM)
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57 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
On fait la somme des courants au noeud supérieur :
C
dv
v
+ =0
dt
R
On utilise la même technique que celle utilisée pour le circuit RL, et on
obtient :
v(t) = v(0)e−t/RC ,
t≥0
Gabriel Cormier (UdeM)
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58 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
Réponse naturelle d’un circuit RC
On peut simplifier cette équation à l’aide de deux observations :
v(0) = v(0+ ) = v(0− ) = Vg = V0
τ = RC
et donc,
v(t) = V0 e−t/τ ,
Gabriel Cormier (UdeM)
t≥0
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59 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis
longtemps. À t = 0, on commute l’interrupteur.
20kΩ
32kΩ
+
100V
vc
t=0
0.5µF
io
+
vo
240kΩ
60kΩ
–
–
1
Calculer vC (t), pour t ≥ 0.
2
Calculer vo (t), pour t ≥ 0+ .
3
Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
4
L’énergie dissipée dans la résistance de 60kΩ.
Gabriel Cormier (UdeM)
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60 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
1. Le circuit à t = 0− :
20kΩ
+
vc
100V
–
La tension aux bornes du condensateur à t = 0− est vC (0− ) = 100V.
Pour une capacitance, c’est aussi la tension à t = 0+ .
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
61 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
2. Le circuit à t = 0+ :
32kΩ
+
+
vc
–
io
0.5µF
vo
240kΩ
60kΩ
–
Pour calculer la constante de temps, il faut trouver la résistance
équivalente.
Req = 32 + (240||60) = 80kΩ
Gabriel Cormier (UdeM)
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62 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
La constante de temps est :
τ = RC = (80 × 103 )(0.5 × 10−6 ) = 0.04s
L’équation de la tension est :
vC (t) = 100e−25t V,
Gabriel Cormier (UdeM)
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t≥0
Hiver 2009
63 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
2. Pour calculer vo (t), on utilise un diviseur de tension.
vo (t) =
240||60
vC (t) = 60e−25t V,
32 + 240||60
t ≥ 0+
Seulement valide pour t ≥ 0+ , puisque la tension aux bornes de la
résistance à t = 0− est 0 : changement instantané dans la tension.
32kΩ
+
+
vc
–
Gabriel Cormier (UdeM)
io
0.5µF
vo
240kΩ
60kΩ
–
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
64 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
3. On calcule le courant à l’aide de la loi d’Ohm.
io (t) =
vo (t)
= e−25t mA,
60 × 103
32kΩ
–
Gabriel Cormier (UdeM)
io
+
+
vc
t ≥ 0+
0.5µF
vo
240kΩ
60kΩ
–
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
65 / 95
Réponse naturelle des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
4. La puissance dissipée dans la résistance de 60kΩ est :
p60k (t) = Ri2 = (60 × 103 )i2 = 60e−50t mW,
t ≥ 0+
et l’énergie totale :
Z
w60k =
∞
p(t) dt = 1.2 mJ
0
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
66 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon
Représente le comportement des circuits RL ou RC lorsqu’on
applique soudainement une source de tension ou de courant au
circuit.
Comportement lorsqu’on allume des sources.
Très importante dans le calcul du délai des circuits intégrés.
Gabriel Cormier (UdeM)
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67 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
Circuit utilisé pour illustrer le comportement d’un circuit RL lorsqu’on
applique soudainement une source de tension :
R
t=0
+
Vs
i
vL
L
–
L’inductance pourrait avoir un courant initial I0 non nul, qui
proviendrait d’un autre circuit.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
68 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
L’équation de la tension dans l’inductance et le courant du circuit pour
t > 0 (LKT) :
di
Vs = Ri + L
dt
La solution est :
Vs
Vs
i(t) =
+ I0 −
e−(R/L)t
R
R
Cette équation indique que le courant initial à t = 0 est I0 , et que le
courant final est Vs /R, ce qui fait du sens, puisque l’inductance se
comportera alors comme un court-circuit.
Gabriel Cormier (UdeM)
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Hiver 2009
69 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon d’un circuit RL
Réponse échelon d’un circuit RL
di
La tension aux bornes de l’inductance est L dt
:
vL (t) = L
di
= (Vs − I0 R)e−t/τ ,
dt
t ≥ 0+
Est-ce que la valeur de vL à t = 0+ fait du sens ? À t = 0+ , le courant
dans le circuit est I0 . En appliquant la LKT, on obtient :
−Vs + RI0 + vL = 0
ou vL = Vs − RI0
ce qui est la même chose que ce qu’on obtient par l’équation précédente
si t = 0.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
70 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis
longtemps. À t = 0, on commute l’interrupteur.
2Ω
+
24V
iL v L
t=0
10Ω
8A
200mH
–
1
Calculer iL (t), pour t ≥ 0.
2
Calculer vL (0+ ).
3
Est-ce que cette tension fait du sens ?
4
À quel temps la tension de l’inductance sera-t-elle 24V ?
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
71 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
1. Le circuit pour t = 0− :
+
iL
vL
10Ω
8A
–
Pour t = 0− , l’inductance se comporte comme un court-circuit, et donc
I0 = −8A.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
72 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Le circuit pour t = 0+ :
2Ω
+
24V
iL v L
200mH
–
La constante de temps est :
τ=
Gabriel Cormier (UdeM)
L
0.2
=
= 0.1 s
R
2
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
73 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
En appliquant l’équation du courant, on obtient :
Vs
Vs
i(t) =
+ I0 −
e−(R/L)t
R
R
= 12 + (−8 − 12)e−10t
= 12 − 20e−10t A,
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
t≥0
Hiver 2009
74 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
2. La tension vL est :
vL (t) = L
di
= 40e−10t V,
dt
t ≥ 0+
Donc vL (0+ ) = 40V.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
75 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
3. À t = 0+ , l’inductance fournit un courant de 8A dans le sens
anti-horaire. Il y a donc une chute de tension de (8)(2) = 16V dans la
résistance. Si on additionne la chute de tension dans la source, on
obtient vL (0+ ) = 16 + 24 = 40V.
2Ω
+
24V
iL v L
200mH
–
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
76 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
4. On cherche le temps où vL = 24V. On a :
1
40
−10t
24 = 40e
⇒t=
ln
= 51.08 ms
10
24
À ce moment-là, la tension aux bornes de l’inductance est égale à la
tension aux bornes de la source. Le courant est donc nul (on peut
vérifier en plaçant cette valeur de t dans l’équation de iL (t)).
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
77 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon d’un circuit RC
Réponse échelon d’un circuit RC
Circuit pour analyser la réponse échelon d’un circuit RC.
t=0
+
Is
R
vc
i
C
–
La tension initiale v(0− ) aux bornes du condensateur peut être non
nulle.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
78 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Réponse échelon d’un circuit RC
Réponse échelon d’un circuit RC
Somme des courants au noeud supérieur, après avoir fermé
l’interrupteur :
dvC
vc
C
+
= Is
dt
R
On peut résoudre cette équation différentielle pour obtenir :
vC (t) = RIs + (V0 − RIs )e−t/(RC) ,
où V0 = v(0+ ) = v(0− ).
Le courant dans la capacitance est :
dvC (t)
V0
iC = C
= Is −
e−t/RC ,
dt
R
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
t≥0
t ≥ 0+
Hiver 2009
79 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis
longtemps. À t = 0, on commute l’interrupteur.
20kΩ
8kΩ
+
40V
60kΩ
vo
t=0
40kΩ
io
0.25µF
160kΩ
75V
–
1
Calculer vo (t), pour t ≥ 0.
2
Calculer io (t), pour t ≥ 0+ .
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
80 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
1. On analyse en premier le circuit à t = 0− . La tension initiale du
condensateur est :
vC (0− ) =
60
(40) = 30 V = vC (0+ )
60 + 20
20kΩ
+
40V
60kΩ
vo
–
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
81 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Circuit pour t ≥ 0+ : circuit équivalent Norton.
8kΩ
40kΩ
io
160kΩ
Gabriel Cormier (UdeM)
75V
GELE2112 Chapitre 5
40kΩ
1.5mA
Hiver 2009
82 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
La tension vT H de circuit ouvert est donnée par :
vT H =
160
(−75) = −60 V
40 + 160
La résistance Thévenin (Norton) est :
RT H = 8 + 40||160 = 40 kΩ
Le courant Norton est donc :
iN =
Gabriel Cormier (UdeM)
vT H
= −1.5 mA
RT H
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
83 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Après cette simplification du circuit, on peut appliquer les équations
développées auparavant. La constante de temps est τ = RC = 0.01s.
vC (t) = RIs + (V0 − RIs )e−t/(RC)
= (40 × 103 )(−0.0015) + (30 − (40 × 103 )(−0.0015))e−100t
= −60 + 90e−100t V,
Gabriel Cormier (UdeM)
t≥0
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
84 / 95
Réponse échelon des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
2. L’équation du courant est obtenue en appliquant directement
l’équation.
io (t) = iC (t) = −2.25e−100t mA,
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
t ≥ 0+
Hiver 2009
85 / 95
Réponse générale des circuits RL et RC
Réponse générale des circuits RL et RC
Si on analyse de plus près les équations du courant du circuit RL et de
la tension du circuit RC, on s’aperçoit que les équations sont de la
même forme :
x(t) = xf + [x(t0 ) − xf ]e−t/τ
(13)
où x est la variable d’intérêt, xf est la valeur finale (t > 5τ ) et x(t0 ) est
la valeur initiale.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
86 / 95
Réponse générale des circuits RL et RC
Réponse générale des circuits RL et RC
La procédure générale de résolution des circuits RL et RC est la
suivante :
1
Identifier la variable d’intérêt du circuit. Pour un circuit RL, le
plus facile est le courant dans l’inductance ; pour un circuit RC, le
plus facile est la tension aux bornes de la capacitance.
2
Déterminer la valeur initiale de la variable d’intérêt.
3
Calculer la valeur finale de la variable d’intérêt.
4
Déterminer la constante de temps du circuit.
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
87 / 95
Réponse générale des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
Pour le circuit suivant, l’interrupteur est à la position initiale depuis
longtemps. À t = 0, on commute l’interrupteur.
400kΩ
20Ω
+
90V
iC
vC
t=0
0.5µF
60Ω
40V
–
1
2
3
4
5
6
7
Calculer la valeur initiale de vC .
Calculer la valeur finale de vC .
Calculer la constante de temps du circuit (t > 0).
Donner l’expression de vC (t) pour t ≥ 0.
Donner l’expression de iC (t) pour t ≥ 0+ .
À quel temps vC (t) devient-il 0 ?
Tracer le graphe de vC (t) et iC (t).
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2112 Chapitre 5
Hiver 2009
88 / 95
Réponse générale des circuits RL et RC
Exemple
Exemple
1. Pour t < 0, la capacitance se comporte comme un circuit ouvert.
20Ω
+
vC
60Ω
40V
–
La tension aux bornes du condensateur est la même tension que celle
aux bornes de la résistance de 60Ω.
vC (0− ) =
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60
(−40) = −30 V = vC (0+ )
20 + 60
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Exemple
Exemple
2. La valeur finale de la tension aux bornes du condensateur est la
tension de la source de 90V, puisque le condensateur se comportera
comme un circuit ouvert.
vC (∞) = 90 V = vf
400kΩ
+
vC
90V
–
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Exemple
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3. La constante de temps est :
τ = RC = 0.2 s
4. On a toutes les données nécessaires pour obtenir l’expression de
vC (t) :
vC (t) = vf + [v(t0 ) − vf ]e−t/τ
= 90 + [−30 − 90]e−t/0.2
= 90 − 120e−5t V,
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t≥0
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Exemple
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5. Méthode générale pour calculer iC (t) :
iC (∞) = 0 (capacitance est un circuit ouvert à t = ∞).
iC (0+ ) = iR , à t = 0+ . Il ne faut pas oublier que la tension initiale
aux bornes du condensateur est −30V.
400kΩ
+
–
0.5µF
90V
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iC
vC
30
–
+
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Exemple
Exemple
La tension aux bornes de la résistance est 90 − (−30) = 120V. Le
courant est donc :
i(0+ ) =
120
= 0.3 mA
400 × 103
On applique la même équation générale (équation 13) :
iC (t) = if + [i(t0 ) − if ]e−t/τ
= 0 + [0.3 − 0]e−t/0.2
= 0.3e−5t mA,
t ≥ 0+
On obtiendrait la même solution en appliquant la dérivée i = C dv
dt .
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Exemple
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6. Pour calculer le temps où vC (t) = 0, on utilise l’équation de vC (t) :
vC (t) = 90 − 120e−5t = 0
qu’on solutionne pour trouver t = 57.45ms.
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Exemple
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7. Les graphes sont les suivants :
v(t) (V)
100
50
0
−50
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Temps (s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Temps (s)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.4
i(t) (mA)
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
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