Partiel de Mécanique des fluides - Université Paris-Sud
publicité
Licences L3 de Physique et Applications et de Mécanique Mécanique des Fluides - Phys-A311 Université Paris-Sud Année universitaire 2016-2017 Partiel de Mécanique des fluides lundi 31 octobre 2016, durée 3h I. Écoulement dans une conduite convergente On considère l’écoulement stationnaire et incompressible d’un fluide parfait dans une conduite convergente, de section rectangulaire, de longueur L et de largeur 2L. La profondeur D de la conduite dans l’axe perpendiculaire au plan de la figure étant très grande, l’écoulement est invariant suivant l’axe z. Le fluide, en amont du → − convergent en x < 0, est animé de la vitesse → v = U0 − ex . On s’intéresse dans cet exercice à l’écoulement dans le convergent situé en x > 0. On note ℓ(x) la demi-largeur du convergent telle que dℓ/dx = −α, où α est un coefficient positif tel que α ∈ ]0, 1[. On cherche le champ de vitesse en x > 0 de la forme − → − − v = U (x)→ ex + V (x, y)→ ey . y L ℓ(x) U0 L 0 x -L F IGURE 1 – Conduite convergente. 1. Exprimer la demi-largeur du convergent ℓ(x). 2. Détermination de U (x) et V (x, y) (a) Définir le débit volumique Q(x) en un x donné. Montrer que le débit volumique ne fait intervenir que la composante horizontale de la vitesse. (b) En déduire l’expression de U (x) par conservation du débit volumique. (c) Rappeler la condition d’incompressibilité d’un écoulement. En déduire l’expression de V (x, y) en fonction de α, U0 , L, x et y. On admettra que V (x, 0) = 0. 3. Détermination des lignes de courant 1 Licences L3 de Physique et Applications et de Mécanique Mécanique des Fluides - Phys-A311 Université Paris-Sud Année universitaire 2016-2017 (a) Montrer que les équations des lignes de courant vérifient y = C te . l(x) (b) Exprimer les équations des lignes de courant pour C te = [0; 0, 5; −0, 5]. Représenter ces trois lignes de courant sur une même figure. (c) On souhaite savoir comment les lignes de courant se comportent les unes par rapport aux autres dans un convergent. On considère pour cela deux lignes de courant telle que y1 = C1 ℓ(x) et y2 = C2 ℓ(x), où C1 et C2 sont des constantes telles que C1 > C2 . Exprimer l’écart d’ordonnés ∆y(x) de ces deux lignes de courant. Ces lignes de courant se rapprochent-elles ou s’éloignent-elles l’une de l’autre selon x ? Quel est le lien entre la vitesse de l’écoulement localement et le resserrement (ou l’éloignement) de lignes de courant ? 4. Exprimer le champ de vorticité et le vecteur accélération. Justifier pourquoi le vecteur accélération n’est pas nul. 5. Déformation et rotation d’une particule fluide dans la conduite (a) Déterminer les tenseurs des gradients de vitesse Gij , taux de déformation Dij et des rotations Rij . (b) On se place au centre de la conduite en y = 0 dans la suite pour simplifier les calculs. Vérifier que la condition d’incompressibilité est respectée par l’intermédiaire de Dij . (c) Montrer qu’il y a une direction contractante et une direction dilatante. Déterminer ces deux directions. Faire un schéma sur votre copie qui illustre comment se déforme une particule fluide ”carrée” en y = 0. II. Le mascaret Le mascaret est un phénomène naturel spectaculaire qui se produit dans certains estuaires lors de grandes marées par la rencontre du courant d’un fleuve avec la marée montante. Ce phénomène se caractérise par une vague, plus ou moins haute, qui remonte le cours d’un fleuve. La marée montante qui est freinée par les flots de la rivière constitue une série de bourrelets. Cet ensemble de vagues (une dizaine séparées d’une distance d’une dizaine de mètres) remonte l’estuaire à grande vitesse et se propage sur plusieurs kilomètres de distance. Un mascaret représente donc la vague parfaite pour les surfeurs. Ce phénomène n’est observé que dans quelques sites dans le monde lorsque certaines conditions sont respectées : fort coefficient de marée, fleuve “en entonnoir” avec un fort élargissement et une faible hauteur d’eau. Dans notre étude, on considère un modèle simplifié dans lequel le mascaret est modélisé par une vague, en forme de marche, de hauteur h qui avance à la vitesse U . En amont de la vague, le fleuve s’écoule à la vitesse V0 et on note H la profondeur du fleuve et L sa largeur constante. On note H ′ = H + h la profondeur du fleuve en aval de la vague et sa vitesse est notée V (voir figure 2). 1. Énoncer le théorème de Bernoulli. Quelles sont les hypothèses qui conditionnent son application ? 2. On se place dans le référentiel de la vague. Exprimer les vitesses du fleuve en amont et en aval de la vague dans ce référentiel. Pourquoi choisir de se placer dans le référentiel de la vague ? 3. Écrire une relation reliant U , V et V0 traduisant la conservation de la masse. 2 Licences L3 de Physique et Applications et de Mécanique Mécanique des Fluides - Phys-A311 Université Paris-Sud Année universitaire 2016-2017 y p0 A U h B V H’ V0 H x F IGURE 2 – Photographie d’un mascaret dans la baie de Morecambe au Royaume-Uni et modèle de vague dans la situation considérée et dans le référentiel de la rive. 4. Écrire une deuxième équation reliant U , V et V0 . 5. En déduire l’expression de la vitesse de la vague U en fonction uniquement de l’accélération de la pesanteur g, H et V0 dans le cas où h ≪ H. 6. À quelle condition sur V0 , vitesse d’écoulement du fleuve, le mascaret peut-il remonter celui-ci ? 7. Calculer U pour un fleuve de dix mètres de profondeur avec g = 10 m/s2 si on néglige V0 . 8. On néglige V0 et on considère que la première vague faisant passer la profondeur H à H ′ est suivie d’une seconde vague faisant passer la profondeur de H ′ à H ′′ comme le montre la figure 3. p0 h h H’’ H’ H F IGURE 3 – Modèle de deuxième vague suivant une première vague. Exprimer la vitesse de la deuxième vague (inutile de faire toute la démonstration). Que se passe-t-il ? En déduire la génèse de grosses vagues. III. La plongée sous-marine L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène de température Te et de masse volumique ρ = 103 kg/m3 constantes et indépendantes de la profondeur. L’eau est en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme g = 10 m/s2 . La surface libre de l’eau (en z = 0) est en contact avec l’atmosphère de pression p0 = 105 Pa = 1 atm. Les parties 1 et 2 peuvent être traitées séparemment. 3 Licences L3 de Physique et Applications et de Mécanique Mécanique des Fluides - Phys-A311 Université Paris-Sud Année universitaire 2016-2017 p0 0 g ρ z F IGURE 4 – 1. Plongée en apnée On note m = 80 kg la masse du plongeur, V (z) est la capacité pulmonaire du plongeur (volume d’air que contiennent ses poumons) et V0 = 7, 7 10−2 m3 est le volume de son corps hors cage thoracique, de sorte que le volume du plongeur est donné par VT = V0 + V (z). Le plongeur gonfle ses poumons à leur capacité maximale VM = 7 10−3 m3 puis bloque sa respiration avant de plonger. (a) Déterminer l’expression de la pression p(z) de l’eau avec la profondeur z. Tracer l’évolution de p(z) sur un graphe. Calculer la pression en z = 10 m, 20 m et 30 m. (b) On assimile l’air dans les poumons à un gaz parfait de pression p(z) égale à la pression de l’eau à la même profondeur. Justifier que la loi de Boyle-Mariotte P V = C te s’applique ici et exprimer comment le volume des poumons du plongeur V (z) varie avec la profondeur. Calculer V (z) en z = 10 m. (c) Exprimer le poids du plongeur et la poussée d’Archimède que subit le plongeur à une profondeur z donnée. (d) On définit la flottabilité du plongeur comme la résultante de la poussée d’Archimède et du poids. Comment varie la flottabilité quand la profondeur augmente et discuter son signe en fonction de z. (e) Afin de faciliter la plongée lors des premiers mètres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et facilement largable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une profondeur excessive. Quelle masse mL de lest doit-on choisir si l’on adopte comme règle de sécurité le fait que le plongeur ait une flottabilité nulle à 5 m de profondeur. 2. Plongée avec bouteille et détendeur Le détendeur, inséré entre la bouteille d’air et la bouche du plongeur, fournit de l’air au plongeur à la pression égale à la pression p(z) de l’endroit où le plongeur se trouve. Au début de la plongée en surface, la bouteille, aux parois indéformablese et de volume Vb = 5 10−3 m3 , est remplie d’air à la pression pb = 200 atm et prend instantanément la température Te de l’eau environnante (supposée constante avec la profondeur et égale à la température de l’air T0 = 293 K). Lors d’une plongée, les consignes de sécurité préconisent de s’assurer que la pression de l’air dans la bouteille soit supérieure ou égale à ps = 50 atm (réserve de sécurité) lorsque le plongeur remonte à la surface. 4 Licences L3 de Physique et Applications et de Mécanique Mécanique des Fluides - Phys-A311 Université Paris-Sud Année universitaire 2016-2017 On s’intéresse ici à l’autonomie en air du plongeur en fonction de la profondeur à laquelle il nage. On admettra que le temps de descente du plongeur à la profondeur z est négligeable, ainsi que son temps de remontée. (a) Exprimer, puis calculer, le nombre de moles d’air contenues dans la bouteille ni en début de plongée et ns en fin de plongée dans de bonnes conditions de sécurité. On rappelle que la constante des gaz parfait est R = 8, 31 J mol−1 K−1 . (b) La respiration du plongeur est périodique de fréquence f supposée constante. Sous la pression locale p(z) et à la température Te , le volume moyen d’air inspiré au cours de chaque cycle de respiration est Ω0 et constant. Exprimer le nombre de moles d’air n1 inspirées par le plongeur lors d’un cycle de respiration en fonction de la profondeur z. (c) Exprimer le nombre k de cycles de respiration que peut faire le plongeur à une profondeur z donnée. (d) En déduire l’expression du temps ∆t(z) correspondant à l’autonomie en air du plongeur en fonction de la profondeur z. Comment varie ∆t(z) avec la profondeur ? Calculer l’autonomie du plongeur à une profondeur de 20 m et à la surface de l’eau, sachant que Ω0 = 2 10−3 m3 et f = 0, 2 s−1 . 5
