Partiel de Mécanique des fluides - Université Paris-Sud

Licences L3 de Physique et Applications et de M´ ecanique
M´ ecanique des Fluides - Phys-A311
Universit´ e Paris-Sud
Ann´ ee universitaire 2016-2017
Partiel de M´ ecanique des fluides
lundi 31 octobre 2016, dur´ ee 3h
I. ´ Ecoulement dans une conduite convergente
On consid` ere l’´ ecoulement stationnaire et incompressible d’un fluide parfait dans une conduite convergente, de
section rectangulaire, de longueur Let de largeur 2L. La profondeur Dde la conduite dans l’axe perpendicu-
laire au plan de la figure ´ etant tr` es grande, l’´ ecoulement est invariant suivant l’axe z. Le fluide, en amont du
convergent en x < 0, est anim´ e de la vitesse −→ v=U0
−→
ex.
On s’int´ eresse dans cet exercice ` a l’´ ecoulement dans le convergent situ´ e en x > 0. On note ℓ(x)la demi-largeur
du convergent telle que dℓ/dx =−α, o` uαest un coefficient positif tel que α∈]0,1[. On cherche le champ de
vitesse en x > 0de la forme
−→
v=U(x)−→ ex+V(x, y)−→ ey.
y
x
0
ℓ(x)
U0
L
L
-L
FIGURE 1 – Conduite convergente.
1. Exprimer la demi-largeur du convergent ℓ(x).
2. D´ etermination de U(x)et V(x, y)
(a) D´ efinir le d´ ebit volumique Q(x)en un xdonn´ e. Montrer que le d´ ebit volumique ne fait intervenir
que la composante horizontale de la vitesse.
(b) En d´ eduire l’expression de U(x)par conservation du d´ ebit volumique.
(c) Rappeler la condition d’incompressibilit´ e d’un ´ ecoulement. En d´ eduire l’expression de V(x, y)en
fonction de α,U0,L,xet y. On admettra que V(x, 0) = 0.
3. D´ etermination des lignes de courant
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(a) Montrer que les ´ equations des lignes de courant v´ erifient
y
l(x)=Cte.
(b) Exprimer les ´ equations des lignes de courant pour Cte = [0; 0,5; −0,5]. Repr´ esenter ces trois lignes
de courant sur une mˆ eme figure.
(c) On souhaite savoir comment les lignes de courant se comportent les unes par rapport aux autres dans
un convergent. On consid` ere pour cela deux lignes de courant telle que
y1=C1ℓ(x)et y2=C2ℓ(x),
o` uC1et C2sont des constantes telles que C1> C2. Exprimer l’´ ecart d’ordonn´ es ∆y(x)de ces
deux lignes de courant. Ces lignes de courant se rapprochent-elles ou s’´ eloignent-elles l’une de
l’autre selon x? Quel est le lien entre la vitesse de l’´ ecoulement localement et le resserrement (ou
l’´ eloignement) de lignes de courant ?
4. Exprimer le champ de vorticit´ e et le vecteur acc´ el´ eration. Justifier pourquoi le vecteur acc´ el´ eration n’est
pas nul.
5. D´ eformation et rotation d’une particule fluide dans la conduite
(a) D´ eterminer les tenseurs des gradients de vitesse Gij , taux de d´ eformation Dij et des rotations Rij .
(b) On se place au centre de la conduite en y= 0 dans la suite pour simplifier les calculs. V´ erifier que
la condition d’incompressibilit´ e est respect´ ee par l’interm´ ediaire de Dij .
(c) Montrer qu’il y a une direction contractante et une direction dilatante. D´ eterminer ces deux direc-
tions. Faire un sch´ ema sur votre copie qui illustre comment se d´ eforme une particule fluide ”carr´ ee”
en y= 0.
II. Le mascaret
Le mascaret est un ph´ enom` ene naturel spectaculaire qui se produit dans certains estuaires lors de grandes
mar´ ees par la rencontre du courant d’un fleuve avec la mar´ ee montante. Ce ph´ enom` ene se caract´ erise par
une vague, plus ou moins haute, qui remonte le cours d’un fleuve. La mar´ ee montante qui est frein´ ee par
les flots de la rivi` ere constitue une s´ erie de bourrelets. Cet ensemble de vagues (une dizaine s´ epar´ ees d’une
distance d’une dizaine de m` etres) remonte l’estuaire ` a grande vitesse et se propage sur plusieurs kilom` etres
de distance. Un mascaret repr´ esente donc la vague parfaite pour les surfeurs. Ce ph´ enom` ene n’est observ´ e que
dans quelques sites dans le monde lorsque certaines conditions sont respect´ ees : fort coefficient de mar´ ee, fleuve
“en entonnoir” avec un fort ´ elargissement et une faible hauteur d’eau.
Dans notre ´ etude, on consid` ere un mod` ele simplifi´ e dans lequel le mascaret est mod´ elis´ e par une vague, en
forme de marche, de hauteur hqui avance ` a la vitesse U. En amont de la vague, le fleuve s’´ ecoule ` a la vitesse
V0et on note Hla profondeur du fleuve et Lsa largeur constante. On note H′=H+hla profondeur du fleuve
en aval de la vague et sa vitesse est not´ ee V(voir figure 2).
1. ´ Enoncer le th´ eor` eme de Bernoulli. Quelles sont les hypoth` eses qui conditionnent son application ?
2. On se place dans le r´ ef´ erentiel de la vague. Exprimer les vitesses du fleuve en amont et en aval de la
vague dans ce r´ ef´ erentiel. Pourquoi choisir de se placer dans le r´ ef´ erentiel de la vague ?
3. ´ Ecrire une relation reliant U,Vet V0traduisant la conservation de la masse.
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p0
A
H’
H
hB
V
V0
U
y
x
FIGURE 2 – Photographie d’un mascaret dans la baie de Morecambe au Royaume-Uni et mod` ele de vague dans
la situation consid´ er´ ee et dans le r´ ef´ erentiel de la rive.
4. ´ Ecrire une deuxi` eme ´ equation reliant U,Vet V0.
5. En d´ eduire l’expression de la vitesse de la vague Uen fonction uniquement de l’acc´ el´ eration de la
pesanteur g,Het V0dans le cas o` uh≪H.
6. ` A quelle condition sur V0, vitesse d’´ ecoulement du fleuve, le mascaret peut-il remonter celui-ci ?
7. Calculer Upour un fleuve de dix m` etres de profondeur avec g= 10 m/s2si on n´ eglige V0.
8. On n´ eglige V0et on consid` ere que la premi` ere vague faisant passer la profondeur H` aH′est suivie
d’une seconde vague faisant passer la profondeur de H′` aH′′ comme le montre la figure 3.
p0
H’
H
h
h
H’’
FIGURE 3 – Mod` ele de deuxi` eme vague suivant une premi` ere vague.
Exprimer la vitesse de la deuxi` eme vague (inutile de faire toute la d´ emonstration). Que se passe-t-il ?
En d´ eduire la g´ en` ese de grosses vagues.
III. La plong´ ee sous-marine
L’eau o` u le plongeur ´ evolue est consid´ er´ ee comme un liquide homog` ene de temp´ erature Teet de masse vo-
lumique ρ= 103kg/m3constantes et ind´ ependantes de la profondeur. L’eau est en ´ equilibre dans le champ
de pesanteur uniforme g= 10 m/s2. La surface libre de l’eau (en z= 0) est en contact avec l’atmosph` ere de
pression p0= 105Pa = 1 atm. Les parties 1 et 2 peuvent ˆ etre trait´ ees s´ eparemment.
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p0
0
g
z
ρ
FIGURE 4 –
1. Plong´ ee en apn´ ee
On note m= 80 kg la masse du plongeur, V(z)est la capacit´ e pulmonaire du plongeur (volume d’air
que contiennent ses poumons) et V0= 7,7 10−2m3est le volume de son corps hors cage thoracique,
de sorte que le volume du plongeur est donn´ e par VT=V0+V(z). Le plongeur gonfle ses poumons ` a
leur capacit´ e maximale VM= 7 10−3m3puis bloque sa respiration avant de plonger.
(a) D´ eterminer l’expression de la pression p(z)de l’eau avec la profondeur z. Tracer l’´ evolution de
p(z)sur un graphe. Calculer la pression en z= 10 m, 20 m et 30 m.
(b) On assimile l’air dans les poumons ` a un gaz parfait de pression p(z)´ egale ` a la pression de l’eau
`
a la mˆ eme profondeur. Justifier que la loi de Boyle-Mariotte P V =Cte s’applique ici et exprimer
comment le volume des poumons du plongeur V(z)varie avec la profondeur. Calculer V(z)en
z= 10 m.
(c) Exprimer le poids du plongeur et la pouss´ ee d’Archim` ede que subit le plongeur ` a une profondeur z
donn´ ee.
(d) On d´ efinit la flottabilit´ e du plongeur comme la r´ esultante de la pouss´ ee d’Archim` ede et du poids.
Comment varie la flottabilit´ e quand la profondeur augmente et discuter son signe en fonction de z.
(e) Afin de faciliter la plong´ ee lors des premiers m` etres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque
de plomb de volume n´ egligeable, accroch´ ee ` a une ceinture et facilement largable. Ce lest ne doit pas
ˆ
etre trop lourd car un surlestage peut inciter ` a descendre ` a une profondeur excessive. Quelle masse
mLde lest doit-on choisir si l’on adopte comme r` egle de s´ ecurit´ e le fait que le plongeur ait une
flottabilit´ e nulle ` a 5 m de profondeur.
2. Plong´ ee avec bouteille et d´ etendeur
Le d´ etendeur, ins´ er´ e entre la bouteille d’air et la bouche du plongeur, fournit de l’air au plongeur ` a la
pression ´ egale ` a la pression p(z)de l’endroit o` u le plongeur se trouve.
Au d´ ebut de la plong´ ee en surface, la bouteille, aux parois ind´ eformablese et de volume Vb= 5 10−3
m3, est remplie d’air ` a la pression pb= 200 atm et prend instantan´ ement la temp´ erature Tede l’eau
environnante (suppos´ ee constante avec la profondeur et ´ egale ` a la temp´ erature de l’air T0= 293 K).
Lors d’une plong´ ee, les consignes de s´ ecurit´ e pr´ econisent de s’assurer que la pression de l’air dans la
bouteille soit sup´ erieure ou ´ egale ` aps= 50 atm (r´ eserve de s´ ecurit´ e) lorsque le plongeur remonte ` a la
surface.
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On s’int´ eresse ici ` a l’autonomie en air du plongeur en fonction de la profondeur ` a laquelle il nage. On
admettra que le temps de descente du plongeur ` a la profondeur zest n´ egligeable, ainsi que son temps
de remont´ ee.
(a) Exprimer, puis calculer, le nombre de moles d’air contenues dans la bouteille nien d´ ebut de plong´ ee
et nsen fin de plong´ ee dans de bonnes conditions de s´ ecurit´ e. On rappelle que la constante des gaz
parfait est R= 8,31 J mol−1K−1.
(b) La respiration du plongeur est p´ eriodique de fr´ equence fsuppos´ ee constante. Sous la pression locale
p(z)et ` a la temp´ erature Te, le volume moyen d’air inspir´ e au cours de chaque cycle de respiration
est Ω0et constant. Exprimer le nombre de moles d’air n1inspir´ ees par le plongeur lors d’un cycle
de respiration en fonction de la profondeur z.
(c) Exprimer le nombre kde cycles de respiration que peut faire le plongeur ` a une profondeur zdonn´ ee.
(d) En d´ eduire l’expression du temps ∆t(z)correspondant ` a l’autonomie en air du plongeur en fonction
de la profondeur z. Comment varie ∆t(z)avec la profondeur ? Calculer l’autonomie du plongeur ` a
une profondeur de 20 m et ` a la surface de l’eau, sachant que Ω0= 2 10−3m3et f= 0,2s−1.
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