Chap. 1 Conduction .Courants électriques

DÉPARTEMENT DU PREMIER CYCLE
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DEVOIR DE SYNTHÈSE DE PHYSIQUE
23 Juin 2005 Durée : 3 heures
(09h -12h)
Tout document est interdit. Toute calculatrice d’un modèle autre que celui autorisé, est interdite. Les élèves sont priés :
- d'indiquer leur nom et groupe, le nombre d’intercalaires, soigneusement numérotées,
- d’écrire très lisiblement, de soigner la rédaction, l’orthographe et la présentation matérielle ;
- d'indiquer ou d'énoncer les lois ou principes utilisés, de justifier les résultats par des explications (claires, précises,
concises) indispensables à une bonne compréhension de la solution proposée ;
- de mettre en évidence les résultats littéraux ou numériques (les principaux étant encadrés en couleur autre que rouge).
BAREME APPROXIMATIF: I : 8 pts ; II : 6 pts ; III : 6 pts
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Problème I : Etude d’un capteur capacitif
Un capteur capacitif est formé d’un condensateur
plan qui est constitué de deux armatures planes et
parallèles de forme cylindrique de rayon de base a et
dont les dimensions latérales sont très supérieures à
la distance e qui les sépare. L'armature (B) est portée
au potentiel VB. L'armature (A) est portée au poten-
tiel VA : la différence de potentiel est U = VA-VB>0 (voir figure 1a).
La charge totale sur la face interne de A est égale à QA et sa charge surfa-
cique est notée σA. La charge totale sur la face interne de B est égale à QB et
sa charge surfacique est notée σB.
A – Vide entre les armatures
On considère que le milieu entre les armatures est le vide.
1) Donner et justifier la topographie du champ électrostatique et des
équipotentielles entre les plaques (pour cela on s’aidera d’un schéma re-
présentant ce condensateur dans un plan de coupe passant par l’axe z’z ;
on choisira comme origine de l’axe z’z le centre de la surface SA).
2) Déterminer et justifier la relation qui existe entre σA et σB.
3) Calculer le champ électrostatique E entre les plaques A et B en utilisant
le théorème de Gauss (on considérera que les armatures sont des
conducteurs d’épaisseur finie).
4) Calculer la différence de potentiel VA- VB en fonction de σA, e et ε0
5) En déduire la capacité du condensateur plan.
6) Déterminer le potentiel V(z) entre les plaques à partir de l'équation de
Laplace ∆V+ρ/ε0 = 0
T
SVP.../...
e
a
SB
SA
U
z'
z
Figure 1a

2 DS2 PHYSIQUE
7) Retrouver à partir du résultat de la question 6) l'expression de VA-VB
trouvée question 4)
8) Représenter et déterminer les forces électrostatiques respectivement
appliquées aux armatures (A) et (B) en fonction de a, e, εo, U et
uz
.
B – Diélectrique entre les armatures
On considère maintenant que le milieu situé entre les armatures est consti-
tué d’un conducteur purement ohmique (C) de très faible conductivité γ, de
forme cylindrique d’épaisseur e et de rayon de base a. On admet aussi que
ce milieu a une permittivité diélectrique ε et qu'il est suffisamment souple
pour se déformer.
Les surfaces de base (SA) et (SB) sont toujours reliées au générateur qui
impose la d.d.p constante VA – VB = U > 0. Elles sont recouvertes d’une
fine couche d’un conducteur de forte conductivité (donc de résistivité
faible).
1) Déterminer et justifier la géométrie des lignes de courant.
2) Exprimer, en fonction de I, la densité de courant
j
à la cote z. En dé-
duire la résistance R offerte par le bloc médiocre conducteur.
3) Retrouver R en associant de façon convenable des conducteurs
élémentaires. On utilisera une association de résistances élémentaire
en parallèle.
4) Retrouver R à partir de la puissance Joule volumique dP/dτ
Par suite de déformations mé-
caniques, la surface de base (SB)
prend la forme d’une calotte sphé-
rique de très grand rayon de courbure
R (voir figure 1b).
- Le bord de (SA) est toujours à la même
distance e de (SB).
-La distance OO1 est égale à e1.
-La distance MM1 entre deux points situés à la distance r de l’axe z est
égale à e’.
5) Montrer que e’= MM1 peut s’exprimer sous forme approchée par
e'≈e1
e−e1 r2
a2
6) Dessiner "schématiquement " 5 surfaces équipotentielles bien repar-
ties entre les deux armatures et 5 lignes de courant.
7) Déterminer, dans le cadre de l’approximation de la question 5), la ré-
sistance R en associant de façon convenable des résistances élémen-
taires dR (pour simplifier les calculs, on fera l’hypothèse que les
lignes de champ sont toutes verticales).
e'
e1
e
M
M1
O1
z
ar
O
Figure 1b

Année 2004-2005 3
8) Le bloc décrit ci-dessus constitue donc un mauvais condensateur
constitué d'un matériau non parfaitement isolant, de permittivité di-
électrique ε.
8.1. Déterminer la charge surfacique de l’armature (A) à la distance r
(on fera l’hypothèse que les lignes de champ sont toutes verticales).
8.2. Déterminer la charge totale de l’armature (A).
8.3. En déduire la capacité C de ce mauvais condensateur en fonction
de r, a, e, e1, ε.
9) Sachant que la déformation de SB est caractérisée par l’écart (e-e1) =
e/10, exprimer la capacité C du condensateur déformé en fonction de
la capacité C0 du condensateur non déformé.
10)Donner le schéma électrique équivalent de ce condensateur en ré-
gime de signaux alternatifs et déterminer son impédance complexe.
Problème II : Condensateur à armature mobile
On supposera dans ce problème que les effets de bord sont négligeables.
On pourra utiliser directement, sans la démontrer, l’expression de la capa-
cité du condensateur plan. Les parties II.1 et II.2 sont indépendantes.
Deux condensateurs plans ayant des armatures de même surface S, sont
branchés en parallèle. La distance de leurs armatures est e et e/2 respecti-
vement (figure 2a). On les relie à un générateur fournissant la tension E par
l’intermédiaire d’un interrupteur.
II.1) Les condensateurs ayant été chargés, l’interrupteur est basculé en
A.
1) Déterminer les charges Q1 et Q2 des condensateurs et l’énergie électro-
statique Wi de l’ensemble.
TSVP.../...
B
B
e/
2
e
E
(C1) (C2)
ee
E
(C1) (C2)
Figure 2a Figure 2b
A A

4 DS2 PHYSIQUE
Un opérateur déplace de façon réversible l’armature supérieure du
deuxième condensateur jusqu’à ce que leur écartement devienne égal à e
(figure 2b).
2) Déterminer les charges Q’1 et Q’2 des deux condensateurs dans la posi-
tion finale.
3) Déterminer la force que doit exercer l’opérateur sur l’armature déplacée
pour une position intermédiaire quelconque (écartement x).
4) En déduire, par intégration, le travail de l’opérateur.
5) Retrouver ce résultat en faisant un bilan énergétique.
II.2) Cette fois, le générateur n’est pas débranché (l’interrupteur reste en
B). L’opérateur déplace de façon réversible l’armature supérieure du 2ème
condensateur jusqu’à ce que leur écartement devienne égal à e.
1) Calculer la force que doit exercer l’opérateur sur l’armature déplacée.
2) En déduire, par intégration, le travail de l’opérateur.
3) Déterminer l’énergie fournie (ou consommée) par la source de tension.
4) Faire un bilan énergétique.
Problème III : Courant alternatif
On considère le circuit de la figure 3, constitué d’une bobine d’inductance
L, d’un condensateur de capacité C et d’une résistance R. On pose e(t)=E
2
cos(ωt) et i(t)=I
2
cos(ωt+φ), E et I étant les valeurs efficaces de la ten-
sion et respectivement du courant, φ étant le déphasage du courant i(t) par
rapport à la tension e(t), ω étant la pulsation.
On donne: R=1kΩ, ω=105 rad/s, L=10mH, C=10nF, E=10V.

Année 2004-2005 5
1) Déterminer l’impédance complexe entre les points M et P. En déduire
l’intensité complexe i. Calculer numériquement l’intensité complexe i.
2) Déterminer les intensités complexes iC et iR. Calculer numériquement les
intensités complexes iC et iR.
3) En déduire les valeurs des intensités i(t), iC (t) et iR (t).
4) Déterminer, par deux méthodes différentes, la puissance consommée par
le circuit. Calculer sa valeur numérique.
5) Déterminer le rapport
NP
u
e
. Calculer numériquement ce rapport.
6) En considérant l’inductance de la bobine variable, déterminer quelle
condition doit vérifier L pour que le déphasage φ entre l’intensité i(t) et la
tension e(t) soit nul. Calculer numériquement L.
7) Cette condition étant remplie, déterminer l’intensité efficace I en fonc-
tion de E, C, ω et R. Calculer sa valeur numérique.
8) Déterminer les nouvelles valeurs efficaces des courants iC et iR.
9) Représentation de Fresnel
On considère toujours que le déphasage φ=0. En prenant
I
r
comme vecteur
de référence, représenter schématiquement les vecteurs tension
MN
U
r
et
NP
U
r
. En déduire la valeur du déphasage entre le vecteur tension
NP
U
r
et le
vecteur intensité
I
r
. Représenter les vecteurs courant
C
I
r
et
R
I
r
.
TSVP.../...