Annexe F. Physique quantique et théorie quantique des champs

Annexe F. Quantique. Page 1 Révision du 21/10/2016 Annexe F. Physique quantique et théorie quantique des champs. Leur
appareil mathématique. Quelques résultats expéri mentaux récents.
1% $ F{Wp GH TXHVWLRQV TXH M¶HVSqUH DYRLU pFODLUpHV M¶HQ DL UHQFRQWUp
EHDXFRXSG¶DXWUHVDX[TXHOOHVMHQ¶DLSDVGHUpSRQVH(OOHVVRQWSRVpHVen notes
en caractères « arial », à mesure de leur apparition dans ce « text in progress ».
Là où ± sans être sûr de la réponse ± MHSHQFKHG¶XQF{WpMHO¶LQGLTXHSDUXQRXL ?)
ou un (non ?). Les questions proprement dites sont mises en italiques. Leur
numérotation peut comporter des trous : ils correspondent à des questions
antérieures, qui ont trouvé leur solution. Je serai reconnaissant à mes lecteurs de
me donner (par courriel ± [email protected]) leur point de vue ou de
P¶LQGLTXHUTXHOOHVOHFWXUHVLOVSRXUUDLHQWPHUHFRPPDQGHU
2. Les références de type sp-14-4B concernent la section 4B du chapitre
14 de « Science et philosophie ». &RPPH GDQV O¶HQVHPEOH GH FHW RXYUDJH OHV
définitions sont en caractères gras, mes positions personnelles en caractères
Arial. Les * après les noms des auteurs renvoient aux références à la fin de
O¶DQQH[H
Table des m atières.
1A. La physique quantique.
1B. Les approches axiomatiques.
1C. Théorèmes et expériences.
1D. La décohérence.
1E. Les autres interprétations de la physique quantique.
2. La théorie quantique des champs.
$/¶pOHFWURG\QDPLTXHTXDQWLTXe.
2B. Les autres applications.
2C. Les théories des cordes.
1A. La physique quantique se fonde mathématiquement sur les
HVSDFHVGH+LOEHUWG¶XQHIDoRQDVVH]VLPSOHHWFRKpUHQWH
Sur un espace abstrait de Hilbert H, on définit les états T, vecteurs
normalisés, et les observables A, opérateurs hermitiens. Deux
utilisations bien différentes en sont faites O¶pWXGHGHVpWDWVVWDEOHV
avec la SURFpGXUHOLpHGHUpGXFWLRQGXSDTXHWG¶RQGHVO¶pTXDWLRQ
G\QDPLTXH GH 6FKU|GLQJHU DYHF VRQ RSpUDWHXU G¶pYROXtion. Nous
Annexe F. Quantique. Page 2 Révision du 21/10/2016 QRXVIRFDOLVHURQVVXUODSUHPLqUH5DSSHORQVTX¶XQHREVHUYDEOHQH
peut prendre que les valeurs de son spectre; quand celui-ci est
discret, on a donc « quantification ». Par ailleurs, on peut calculer la
SUREDELOLWpTXHODPHVXUHGHO¶REVHUYDEOHA, pour un système dans
O¶pWDW <, donne la valeur particulière an; dans le cas simple où un
seul vecteur propre <un correspond à an, cette probabilité est donnée
par: ¨<un¨<>¨2, la valeur moyenne de A étant donnée par : A! =
<<¨A¨<>.
8QH DXWUH SUpVHQWDWLRQ UHFRXUW j O¶RSpUDWHXU VWDWLVWLTXH ' GH WUDFH
1 (on a alors : A! WU$' HW O¶pTXDWLRQ GH 6FKU|GLQJHU GHYLHQW :
ih.d/dt.D(t) = (H, DW R + HVW O¶KDPLOWRQLHQ elle a plusieurs
avantages : dans la première de ces deux formules, A! (le mesurable)
est relié directement (sans hypothèses sur le sens profond de la
IRQFWLRQG¶RQGHjXQRSpUDWHXUVWDWLVWLTXH/DGpILQLWLRQGHO¶RSpUDWHXU
V¶pWHQGDX[PpODQJHVLOVHUDGRQFXWLOLVpaussi en physique statistique
(voir chapitre 5). /¶HVSDFH GHV RSpUDWHXUV VWDWLVWLTXHV HVW FRQcave.
(QILQGDQVOHVFDVG¶LQWULFDWLRQGHVRSpUDWHXUVVWDWLVWLTXHV© réduits »
V¶DSSOLTXHQWDX[VRXV-systèmes (ils interviennent en particulier dans la
décohérence).
Les résultats mathématiques essentiels sont les suivants :
Les équations sont linéaires; on peut donc superposer des états;
mais, comme les probabilités correspondent à des carrés
G¶DPSOLWXGH LO DSSDUDvW GHV WHUPHV G¶LQWHUIpUHQFH TXL UHQGHQW
FRPSWHGHO¶DVSHFWRQGHGHODGXDOLWpRQGH-particule.
Le théorème spectral décompose tout opérateur hermitien A selon
une formule du type :
$ œO. dEO , où EO, mesure spectrale, est un projecteur sur H.
Quand A est compact, son spectre ponctuel (par opposition au
spectre continu) est fini, ou dénombrable (dans ce cas, 0 est le seul
SRLQWG¶DFFXPXODWLRQdes résultats analogues sont obtenus pour les
opérateurs de Hilbert-Schmidt et ceux à inverse compact.
Annexe F. Quantique. Page 3 Révision du 21/10/2016 /¶LQpJDOLWp PDWKpPDWLTXH GH 6FKZDUW] SHUPHW G¶REWHQLU SRXU
deux observables quelconques A et B la relation suivante, reliant
leurs deux écarts quadratiques moyens : 'A. 'B t 1/2¨>A,B!@¨, où
>A,B@ désigne le commutateur de A et B. Cette généralisation des
UHODWLRQV G¶LQFHUWLWXGH GH +HLVHQEHUJ WUDGXLW O¶LPSRVVLELOLWp GH
PHVXUHU VLPXOWDQpPHQW GHX[ REVHUYDEOHV QH FRPPXWDQW SDV G¶R
O¶LQWpUrW GH OD UHFKHUFKH G¶XQ © E.C.O.C. » (ensemble complet
G¶REVHUvables qui commutent). Cette recherche peut être facilitée
par le théorème suivant : si A et B commutent, ils sont tous deux
IRQFWLRQV G¶XQ PrPH observable C, « plus large ». 3DU O¶RSpUDWHXU
densité, on démontre enfin le résultat naturel suivant : si A et B =
f(A) sont deux observables, et si A a la valeur propre an, alors B a la
valeur propre f(an).
Les espaces de Hilbert de la physique quantique ont généralement
(en dehors des espaces de spin) un nombre infini de dimensions. Si,
VXU EHDXFRXS G¶DVSHFWV LOV JpQpUDOLVHQW O¶HVSDFH HXFOLGLHQ LOV
recèlent aussi des propriétés nouvelles. Par exemple, pour eux et à
la différence des espaces de dimension finie, tr(AB-BA) z 0, si A et
B ne sont pas compatibles; ceci nie la possibilité de certaines
méthodes finitisWHVG¶DSSUR[LPDWLRQ
En revanche, il existe des résultats mathématiques, montrant que
des opérateurs, « proches ª G¶XQ RSpUDWHXU D\DQW XQ VSHFWUH
discontinu, ont eux aussi un tel spectre, avec des valeurs propres
SURFKHV GH FHOOHV GX SUHPLHU &¶HVW SUREDEOHPHQW SDU Oj TXH O¶RQ
peut expliquer la stabilité des atomes ou molécules.
Remarques plus générales : La physique quantique ne nous dit
guère quand on peut considérer des opérateurs non bornés, comme
les opérateurs position. Le passage des opérateurs de la mécanique
classique à ceux de la physique quantique nécessite une dose de
« flair ª (QILQ O¶LQWHUSUpWDWLRQ GH O¶H[SpULHQFH SHXW FRQGXLUH j
élargir le Hilbert de base.
Un fait remarquable de la physique quantique est son aptitude
dans beaucoup de cas simples à des méthodes de résolution
Annexe F. Quantique. Page 4 Révision du 21/10/2016 mathématique précises, souvent même explicitement calculables.
Citons, parmi les phénoPqQHV YpULILpV SDU O¶H[SpULHQFH O¶HIIHW
WXQQHO O¶RVFLOODWHXU KDUPRQLTXH HW OD GpFRXYHUWH GH © O¶pQHUJLH GX
vide », la quantification et la composition des moments cinétiques;
OHFDVGHVHVSDFHVjGHX[GLPHQVLRQVHWO¶LQWURGXFWLRQGHVVSLQVò
OHV UDLHV GH O¶DWRPH G¶K\GURJqQH \ FRPSULV OHV VWUXFWXUHV ILQH HW
hyper-fine ; les effets Zeeman (électrique) et Stark (magnétique) ;
O¶RVFLOODWHXUKDUPRQLTXHOHFDOFXOGHO¶ pQHUJLHGXYLGHKȦHW
OHV RSpUDWHXUV GH FUpDWLRQ RX G¶DQQLKLODWLRQ ; les systèmes de
SDUWLFXOHV LGHQWLTXHV O¶HIIHW =pQRQ TXDQWLTXH YRLU SOXV ORLQ HQ
WKpRULHTXDQWLTXHGHVFKDPSVO¶HIIHWAharonov-Bohm1 ; en chimie,
les orbitales; en physique statistique, les phonons, la superfluidité,
O¶HIIHW+DOOTXDQWLTXH Pour les cas plus complexes, la question F3
FRQVWDWH TXH OHV FDOFXOV G¶DSSUR[LPDWLRQV VRQW VRXYHQW WUqV
YDODEOHV PDLV VH GHPDQGH VL G¶XQ SRLQW GH YXH PDWKpPatique,
O¶H[LVWHQFHGHQLYeDX[TXDQWLILpVG¶pQHUJLHUHVWHSURXYpH
Pour étudier un état pur intriqué, la décomposition biorthonormale (de Schmidt) est utile.
1B. Les approches axiomatiques.
,O HVW XWLOH G¶LQWURGXLUH OD QRWLRQ G¶REVHUYDEOHV FRPSDWLEOHV plus
FKDUJpH GH VHQV TXH FHOOH G¶RSpUDWHXUV FRPPXWDEOHV TXL HQ HVW
O¶H[SUHVVLRQ GDQV OH IRUPDOLVPH KLOEHUWLHQ %HDXFRXS
G¶pSLVWpPRORJXHVYRXODQWDOOHUSOXVORLQVHVRQWSHQFKpVVXUOHVHQVHW
le contHQX G¶XQH logique quantique, plus faible que la logique
classique. Rappelons que la proposition la plus générale de la physique
quantique est du type : « GDQV O¶pWDW \ O¶REVHUYDEOH $ D VD YDOHXU
1
Par cet effet, XQHILJXUHG¶LQWHUIpUHQFHG¶pOHFWURQVHVWPRGLILpHSDUXQFKDPS
magnétique dans une région extérieure aux électrons. A côté des célèbres
problèmes étudiés en sp-4-2F¶est un autre exemple de non-localité quantique
HWG¶LQYDULDQFHGHMDXJH.
Annexe F. Quantique. Page 5 Révision du 21/10/2016 comprise dans le borélien D »; la physique quantique assigne ensuite à
cette proposition une probabilité. Par le théorème spectral, une telle
proposition peut être décomposée en propositions portant sur des
projecteurs. On sait que deux projecteurs P et Q ne commutent que
V¶LOV VRQW GH OD IRUPH : P=A+B; Q=A+C, avec B et C orthogonaux.
ConsidpUDQW O¶HQVHPEOH GHV VRXV-espaces clos de H, on peut donc
définir sur lui un « treillis V-orthocomplet, orthomodulaire2 », donnant
GX VHQV j OD QRWLRQ G¶REVHUYDEOHV FRPSDWLEOHV 0DLV WRXW FH VDYDQW
DSSDUHLOQ¶HVWTX¶XQHSUpVHQWDWLRQGHVUqJOHVGHODSK\VLTue quantique,
à laquelle il Q¶DSSRUWH ULHQ GH SOXV '¶DXWUHV RQW HVVD\p OD GpPDUFKH
LQYHUVHGpFLGpjO¶DYDQFHTXHGDQVXQPRQGHRLO\DGHVREVHUYDEOHV
incompatibles, les propositions élémentaires devaient satisfaire à
certains axiomes logiques. Les ayant posés, ils ont retrouvé le treillis
précédent, mais au prix de UHVWULFWLRQV TXL HQ HQOqYHQW O¶LQWpUrW : Les
règles imposées aux propositions élémentaires sont logiques, mais
invérifiables. Le treillis des sous-espaces de Hilbert, quoique non
booléen, est plus particulier que ce treillis très général; on ne peut donc
à partir de ce dernier (et de la logique spéciale, auquel il correspond)
retrouver la physique quantique. Enfin et surtout, tous les résultats de
Gleason, Kochen-Specker (voir un peu plus loin)« PRQWUHQW OHV
grosses difficultés rencontrées, quand on en vient à la sémantique. Ces
arguments renforcent la position de principe (prise en 5-2C), que la
physique quantique doit utiliser la logique classique (qui sait fort bien
traiter des treillis) et la théorie classique des probabilités; il faut
seulement renoncer à la possibilité (et même au sens) de mesurer
simultanément deux observables non compatibles.
Il est clair que O¶DOJqEUHGHVRSpUDWHXUVERUQpVGH+joue un rôle
essentiel UHODWLRQV GH FRPPXWDWLRQ IRQFWLRQV G¶RSpUDWHXUV
UHFKHUFKH G¶(&.0.C... Là encore, on peut essayer de partir
G¶DOJqEUHV © naturelles ª SRVpHV D SULRULHW GH SDUYHQLUj O¶HVSDFH
de Hilbert traditionnel. Les algèbres de Segal rendent bien compte
2
Orthomodulaire est plus faible que normal, qui est lui-même plus faible que
le distributif.
Annexe F. Quantique. Page 6 Révision du 21/10/2016 GH OD QRWLRQ G¶REVHUYDEOHV FRPSDWLEOHV PDLV HOOHV VRQW WURS
générales pour être utilisables. On peut se restreindre aux C*algèbres, aux très belles propriétés mathématiques. En particulier, le
célèbre théorème « GNS ªSHUPHWGHUHWURXYHUO¶HVSDFHGH+LOEHUW
Mais une C*-algèbre est-HOOHSOXVQDWXUHOOHSOXVH[SOLFDWLYHTX¶XQ
espace de Hilbert?
'¶DXWUHV RQW LQVLVWp VXU XQ WKpRrème, lié, de Gleason : il fait des
K\SRWKqVHVVLPSOHVVXUODIRQFWLRQQHOOHTXLjSDUWLUG¶XQpWDWGRQQpGH
O¶HVSDFH GH +LOEHUW FDOFXOH OD YDOHXU PR\HQQH GH WRXW REVHUYDEOH ; il
UHWURXYH O¶RSpUDWHXU VWDWistique (donc la stochasticité) et la règle de
Born ; utilisant une notion de convexité, il peut décomposer cet
opérateur « nucléaire » et retrouver les « états purs ». Mais ce beau
résultat, pas plus que des approches très générales de la convexité, ne
diVSHQVHSDVGHSDUWLUG¶XQHVSDFHGH+LOEHUW/HWKpRUqPHGH*OHDVRQ
HVWDXVVLXQHYRLHG¶DFFqVDXWKpRUqPHGH.RFKHQ-6SHFNHUHWjO¶pWXGH
de la décohérence.
La notion de E.C.O.C. est précisée par le recours à des algèbres de
von Neumann commutatives. Parfois même, cela permet de passer à un
espace de Hilbert plus général.
Au total, ces approches sont éclairantes, mais non décisives.
Il arrive que, dans certaines circonstances, une C*-algèbre se
décompose en deux sous-DOJqEUHV LQGpSHQGDQWHV &¶HVW OH FDV Hn
théorie électro-faible, quand électromagnétisme et interaction faible
se découplent. On fait intervenir alors des règles de supersélection.
1C. Quelques précisions sur théorèmes, expériences de pensée, et
expériences.
1Ca.
Bell-Kochen-Specker.
Greenberger-Horne-Zeilinger.
Conway-Kochen.
Le théorème de Bell-Kochen-Specker (BKS - 1966)
V¶DSSOLTXH j XQH SDUWLFXOH GH VSLQ /D SK\VLTXH TXDQWLTXH SUpYRLW
TXH VL O¶RQ PHVXUH VLPXOWDQpPHQW OH FDUUp GX VSLQ G¶XQH WHOOH
particulHVXUOHVWURLVD[HVG¶XQUHSqUHRUWKRQRUPDOFHTXi est licite,
Annexe F. Quantique. Page 7 Révision du 21/10/2016 puisque les trois observables mesurées commutent), on obtient
forcément une valeur 0 et deux valeurs 1. Le théorème prouve que ce
Q¶HVWSDVSRVVLEOHSRXUWRXVOHVUHSqUHVRUWKRQRUPDX[HQYLVDJeables.
Dans sa forme première ici exposée, à la démonstration assez
laborieuse, ce théorème soulignait plutôt la contradiction entre deux
positions, toutes deux naturelles pour un réaliste O¶H[LVWHQFH GH
variables cachées déterministes, la contextualité. La première position
D SHUGX EHDXFRXS GH VRQ LQWpUrW SXLVTXH F¶HVW PrPH ± depuis la
vérification de la violation des inégalités de Bell ± O¶H[LVWHQFH GH
variables cachées aléatoires TXH GpPHQW O¶H[SpULHQFH 0DLV OHV
difficultés logiques de la contextualité subsistent, plus fortes encore
GDQVG¶DXWUHVH[HPSOHVSOXVUpFHQWV
(1989) Greenberger-Horne-Zeilinger (G HZ). Il a été exposé sous sa
forme courante dans sp-4-2C . Il en existe bien des variantes plus
raffinées. Donnons seulement deux exemples. 1. D. Mermin*
considère un ensemble de 8 spins, où une transposition contextuelle de
GHZ conduit à un théorème type Bell de non-localité. 2. On peut
concevoir (même si la réalisation pratique apparaît difficile) que
plusieurs spins commutant puissent être mesurés dans une seule
expérience. Dans un tel cas, serait aussi violé le principe exposé à la
page 3 : si A et f(A) sont deux observables, et si A a la valeur propre
an, alors f(A) a la valeur propre f(an).
Le « théorème » de Conway-Kochen* (« CK » - 2006) est une
application malheureuse du théorème de Bell-Kochen-Specker. CK
considèrent eux aussi deux particules jumelles a et b, et leurs observateurs A
et B. a-A et b-%VRQWHQUHODWLRQHVSDFH$GpFLGHG¶XQHPHVXUHGHVSLQVXUD
(globalemenW VXU OHV WURLV D[HV G¶XQ UHSqUH RUWKRQRUPp GH D ,O FKRLVLW
librement les directions de son repère (c'est-à-dire ici que sa décision est
VXSSRVpHQHSDVGpSHQGUHGHO¶LQIRUPDWLRQjODTXHOOHLODDFFqV2QDSSHOOH
« réponse » de a à A le résultat de la mesure de a décidée par A. Comme les
particules sont jumelles, la réponse de a et celle de b doivent être identiques ;
Annexe F. Quantique. Page 8 Révision du 21/10/2016 tout étant supposé instantané, ni le libre choix de A, ni la réponse de a, ne
peuvent être connus de B. Une application simple de KS montre alors que la
UpSRQVH GH D Q¶HVW SDV IL[pH déter minée) par cette même information
accessible (que a est « libre »).
'¶XQSRLQWGHYXHSKLORVRSKLTXHLOIDXWV¶LQWHUURJHUVXUOHVVHQVTX¶RQ
attache au mot « libre » dans les deux phrases : A choisit librement ; a est
« libre ». Pour ceux qui croient à un déterminisme, au moins statistique, à
O¶pFKHOOHKXPDLQHODSUHPLqUHSKUDVHQ¶DSDVGHVHQV ; il faut admettre, avec
WRXWHVVHVDPELJXwWpVXQHSRVLWLRQFRPSDWLELOLVWHTXHG¶DLOOHXUVO¶DUWLFOHde
Conway-Kochen rejette), ou une position libertarienne (ces questions
philosophiques sont traitées à fond en 21-1 et 21-2). Pour tous, la deuxième
phrase ne veut rien dire sous sa forme provocante ; ramenée à sa pleine
formulation (« ODUpSRQVHGHDQ¶HVt pas déterminée ªHOOHQ¶H[SULPHULHQGH
SOXV TXH FHWWH FRQWH[WXDOLWp DYpUpH GX PRQGH TXDQWLTXH &¶HVW XQH XWRSLH
KpODVWURSUpSDQGXHGDQVODYXOJDULVDWLRQVFLHQWLILTXHGHFURLUHTX¶RQSRXUUD
H[SOLTXHU XQH OLEHUWp FRQVFLHQWH SDU GX KDVDUG 0DLV F¶HQ Hst une autre de
vouloir expliquer le hasard de base quantique par la liberté GHO¶KRPPHRX
G¶LQVLQXHU TXH FH KDVDUG QH UHOqYH SDV GX FDOFXO GHV SUREDELOLWpV
5HPDUTXRQV HQILQ TXH G¶DXWUHV HVSULWV LPDJLQDWLIV RQW FUX UpVRXGUH OHV
difficultés en niant la liberté des expérimentateurs ! De là à parler, comme
CK de « culmination de tous les théorèmes des cinquante dernières années
sur la physique quantique » !
1Cb. Quelques précisions sur EPR et ses prolongements.
La première expérience conclusive a été faite par A. Aspect
(1982) sur des photons séparés de quelques mètres. Depuis, la
distance (repère de la « localité) a été portée à 144000m (A.
Zeilinger-2007). A ces distances, la précision des mesures devient
Annexe F. Quantique. Page 9 Révision du 21/10/2016 extrême. Par ailleurs, les possibilités G¶pFKDSSDWRLUHV ORRSKROHV,
pourchassées, apparaissaient de plus en plus ténues. Des
expériences récentes (R. Hanson*-2015 FRQFOXHQW TX¶HOOHV VRQW
définitivement éliminées
Ces expériences réfutent un « réalisme local ». Mais faut-il
réfuter le réalisme ou la localité ? Les physiciens qui posent cette
question donnent au réalisme le sens étroit suscité par EPR, celui
G¶pOpPHQWVGHUpDOLWp » propres à une particule. On a vu, dans sp5-2C, TXHMHSUpIqUHP¶HQWHQLUjXQHSRVLWLRQSOXVJpQpUDOH
acceptant dans mon réalisme des choses aussi
dérangeantes que la non-localité. Si on se tient au « sens
étroit », HWVLO¶RQH[SORUHODEUDQFKHGHO¶DOWHUQDWLYHDEDQGRQQDQWOD
ORFDOLWp RQ VH KHXUWH HQFRUH j G¶DXWUHV LQpJDOLWpV de type Bell,
suggérées par A. Leggett. Ces inégalités sont encore violées dans
des expériences (sur des photons polarisés, auxquels V¶DSSOLTXH
seulement la loi de Malus). Mais ces expériences ne couvrent pas
toutes les possibilités. Donc (Aspect-2007), pas de conclusions.
A. Suarez a éYRTXpO¶LGpHODSRVVLELOLWpGHFDV© before-before » où,
GDQVO¶HVSULWGHODUHODWLYLWpFKDTXHSDUWLFXOHGLVSRVHUDLWGHVRQSURSUH
système de référence. Des expériences dans ce sens (N. Gisin, A.
Suarez -2001) ont confirmé la physique quantique, écarté les
explications temporelles, et donc exclu une causalité entre une particule
et une autre.
Nous avons écrit (en 5-2) que la non-localité ne permet pas de
WUDQVPHWWUH LQVWDQWDQpPHQW GH O¶LQIRUPDWLRQ G¶XQH SDUWLFXOH j XQH DXWUH
1RWRQVDXVVLTXHO¶RQGpGXLWGHVSRVWXODWVGHODSK\VLTXHTXDQWLTXHTXHO¶RQ
QH SHXW GXSOLTXHU XQ pWDW TXDQWLTXH F¶HVW OH théorème de non-clonage) ;
F¶HVW IRUW KHXUHX[ SRXU OD WKpRULH GH OD UHODWLYLWp FDU OD GXSOLFDWLRQ
SHUPHWWUDLW GHV pFKDQJHV G¶LQIRUPDWLRQ LQVWDQWDQpV ! En revanche, la
« téléportation quantique » (qui exploite les corrélations entre deux
particules intriquées pour reproduire à GLVWDQFHO¶pWDWGHVSLQG¶XQHWURLVLqPH
Annexe F. Quantique. Page 10 Révision du 21/10/2016 particule) a été réalisée. On peut envisager la cryptographie quantique et
O¶RUGLQDWHXUquantique.
&F/¶H[SpULHQFHGHSHQVpHGH L. Hardy (1992). Son raisonnement
de base était le suivant : on observe un électron et un positon dans deux
interféromètres, dont les bras intérieurs I1 et I2 (les bras extérieurs sont E1
et E2VRQWFRXSOpVGHIDoRQTXHOHVGHX[SDUWLFXOHVV¶DQQLKLOHQWVLHOOHV
prennent toutes deux le chemin intérieur. Classiquement, on ne peut donc
pas repérer à la fois électron et positon dans les deux branches
extérieures (obtenir un double clic en E1 et E2). Hardy a suggéré que ceci
pourrait paradoxalement arriver en physique quantique. La nouveauté est
que la technique des « mesures faibles » (protective measurements), dont
le principe a été suggéré il y a longtemps (1988) par Y. Aharonov, permet
maintenant de faire les mesures correspondantes (les mesures
traditionnelles, interférant entre elles, ne le pouvaient). Le principe de
cette technique est de travailler dans une zone où le couplage entre
O¶DSSDUHLOGHPHVXUHHWO¶REVHUYpHVWWURSIDLEOHSRXUSHUWXUEHUOHV\VWqPH
; la rançon en est que, pour en tirer des enseignements, on doit raisonner
en probabilité sur de très nombreux essais. Deux expériences réelles
récentes (2009, Yokota et Lundeen), sur la base de ces mesures faibles,
RQWXWLOLVpXQHSDLUHGHSKRWRQVTXLQHSHXYHQWV¶DQQLKLOHUPXWXHOOHPHQW
mais dont le choc est observable). Elles confirment la prévision de Hardy.
Quels enseignements ?
1. Positif : La technique des mesures faibles fait ses preuves. Elle
pourrait théoriquement être appliquée aux célèbres expériences de la
double fente, et à la cryptographie. Ces mesures sont déjà sans
démolition. Rappelons TX¶HQ 5-3 nous insistons plus généralement sur
O¶LQWpUrWSKLORVRSKLTXHGHVPHVXUHVVDQVGpPROLWLRQLOHQH[LVWHG¶DXWUHV
types, non probabilistes, de caractère beaucoup plus proche des mesures
GH OD SK\VLTXH FODVVLTXH HW GH FH IDLW DSSDUHPPHQW G¶DSSOLFDWLRQ SOXV
générale).
Annexe F. Quantique. Page 11 Révision du 21/10/2016 2. Controversés <RNRWDTXDOLILHVHVUpVXOWDWVG¶DEVXUGHVSUHSRVWHURXV
SXLVTX¶LO \ D GHV SUREDELOLWpV QRQ FRPSULVHV HQWUH HW /XQGHHQ GH
fantomatiques (spooky) 0DLVO¶DEVXUGLWpRXOHIDQW{PHQHVRQWOjTXHVL
O¶RQ UHMHWWHODFRQWH[WXDOLWp 0LHX[ YDXW SHQVHU TXH F¶HVW HQFRUH XQ FDV
(comme GHZ) où les différentes mesures (quatre) envisagées sont
incompatibles.
&RPPH SRXU OHV IHQWHV G¶<RXQJ OH IDLW G¶pYRTXHU GHV SUREDELOLWpV
ou des logiques non classiques ne fait que déplacer le problème.
1Cd Effet Zénon quantique.
2Q DWWULEXH j =pQRQ G¶(OpH O¶DSRORJXH G¶$FKLOOH LQFDSDEOH GH
UDWWUDSHU OD WRUWXH TXL j FKDTXH REMHFWLI TX¶LO VH IL[H SRXU OD
rejoindre, constate ± XQH IRLV TX¶LO O¶D DWWHLQW - que la lente bête a
encore un peu progressé au delà). &HWDSRORJXHQ¶pWDLWXQSDUDGR[H
TX¶j XQH pSRTXH R RQ LJQRUDLW TX¶LO H[LVWH GHV VpULHV LQILQLHV
convergentes !
En revanche la physique quantique, avec sa conception originale de la
mesure, se prête, sinon à un paradoxe, au moins à une situation étrange,
SURFKHGHFHOOHG¶$FKLOOH : si on fait, sur le même observable, beaucoup
de mesures successives suffisamment rapprochées, le système reste figé
GDQV OD VLWXDWLRQ R LO VH WURXYH j O¶LVVXH GH OD SUHPLqUH PHVXUH RQ
démontre mathématiquement que la probabiliWp TX¶LO HQ VRLW DLQVL WHQG
YHUV VL OH QRPEUH G¶HVVDLV WHQG YHUV O¶LQILQL Comme beaucoup
G¶DXWUHVVLWXDWLRQVTXDQWLTXHVpWUDQJHVFHOOH-ci a été confirmée par des
vérifications expérimentales. On rDSSURFKHGHO¶HIIHW=pQRQ la question
déjà ancienne (1927), de F. Hund FRPPHQWXQHPROpFXOHG¶DPPRQLDF
peut-elle osciller entre lévogyre est dextrogyre ? Question exprimée en
langage quantique par SRXUTXRLODPROpFXOHQ¶est-elle pas stabilisée en
une superposition des deux états ? La réponse est TX¶XQeffet tunnel lent
est EORTXpSDUGHVLQWHUDFWLRQVUDSLGHVDYHFO¶HQYLURQQHPHQW
1Ce. /¶HIIHW 8QUXK SUpYRLW TX¶XQ REVHUYDWHXU DFFpOpUDQW YHUUDLW
XQH UDGLDWLRQ GH FRUSV QRLU LQYLVLEOH j XQ REVHUYDWHXU LQHUWH 6¶LO
Annexe F. Quantique. Page 12 Révision du 21/10/2016 était vérifié, il poserait évidemment de nouveaux problèmes de
contextualité, et compliquerait encore notre compréhension de ce
TX¶HVWXQHSDUWLFXOH
1D. Exemples et calculs de la décohérence.
1Da. Les états pointeurs.
En 5-3 QRXV DYRQV PRQWUp O¶LQFRPSDWLELOLWp GX SURFHVVXV GH
mesure avec les postulats de base de la physique quantique, et signalé
O¶LPSRUWDQFH GH OD décohérence induite par tout environnement
extérieur. :=XUHNXWLOLVHO¶H[SUHVVLRQ ³HQYLURQPHQWLQGXFHGVXSHUVHOHFWLRQ´TX¶LOUDWWDFKHDX[UqJOHVGHVXSHU-sélection, évoquées à la
fin de 1B). Il iQWURGXLW OD QRWLRQ G¶XQH EDVH G¶pWDWV pointeurs du
système de mesure : ces états, qui résisteraient aux attaques de
O¶Hnvironnement, pour lesquels ne survivraient que les termes
diagonaux, verraient leur aiguille (pointer en anglais) se stabiliser. S.
Weinberg PLQLPLVDQW O¶RULJLQDOLWp GH OD QRWLRQ préfère la
terminologie G¶pWDWV classiques. Il y a des exemples, mais tellement
simSOHVTX¶LOVHQGHYLHQQHQWEDQDOV. Pour justifier cette notion, Zurek
HW G¶DXWUHV RQW IDLW GHV FDOFXOV sur des cas encore très simples (par
exemple, dans le modèle « spin-boson ªO¶DSSDUHLOGHPHVXUHDMXVWH
deux niveaux et est sujet à un mouvement brownien quantique O¶HQYLURQQHPHQW SHXW rWUH XQ HQVHPEOH G¶RVFLOODWHXUV KDUPRQLTXHV
Malgré de nombreuses approximations, ces calculs sur des modèles
simples sont déjà très complexes. 2QH[SOLFLWHODIRUPHGHO¶DFWLRQ6
avec des termes de couplage, et on en déduit ± après maintes
approximations - dont des cut-offs, pour retrouver un caractère
markovien ± une équation maîtresse, de type Born-Markov, où des
termes de dissipation et de décohérence correspondent au couplage.
On travaille alors sur cette équation.
Il serait intéressant de calculer le temps de relaxation de la
décohérence (qui devrait être beaucoup plus rapide que la
dissipation) ; ce calcul est possible, mais à partir des constantes de
couplage qui, elles-PrPHV QH VRQW SDV FRQQXHV '¶XQH IDoRQ SOXV
JpQpUDOH OHV FRQFOXVLRQV Q¶pFKDSSHQW SDV j XQH FHUWDLQH FLUFXODULWp
Annexe F. Quantique. Page 13 Révision du 21/10/2016 Citons celles de B. Hu, un des fondateurs de la théorie : « Si
O¶LQWHUDFWLRQHQWUHOHV\VWqPHHWO¶HQYLURQQHPHQWHVWWHOOHTXHOHVpWDWV
pour lesquels le système manifeste un comportement macroscopique,
GHYLHQQHQW FRUUpOpV j GHV pWDWV GH O¶HQYLURQQHPHQW TXL VRLHQW
approximativement orthogonaux, alors le système peut évoluer sous
XQH IRUPH« R OD EDVH GH SRLQWHXUV« FRwQFLGH DSSUR[LPDWLYHPHQW
DYHFOHVpWDWVSURSUHVGHO¶KDPLOWRQLHQG¶LQWHUDFWLRQ La décohérence
est accomplie » (les soulignements sont de mon fait). Une autre
objection forte est que la réalité est beaucoup plus complexe que les
modèles très simplifiés cités plus haut.
5HPDUTXRQV HQILQ TXH O¶H[SpULPHQWDWHXU VDLW j O¶DYDQFH TXHO QLYHDX
G¶pQHUJLH YD rWUH PHVXUp SDU O¶DLJXLOOH GH VRQ DSSDUHLO &HFL UpGXLW
O¶LQWpUrWPrPHGHV© états pointeurs ».
1Db. Les calculs sur la décohérence visent le raccord entre le micro
réversible et le macro irréversible. Ils se rapprochent ainsi des calculs
de physique statistique, voulant retrouver la flèche du temps à partir
de la physique quantique, et qui sont décrits à la note 92 de sp.
Comme eux, ils paraissent « hardis » au mathématicien. Mais, alors
TXH %ROW]PDQQ DYDLW HX O¶LQWXLWLRQ JpQLDOH GH UHOLHU HQWURSLH HW
probabilité, les modèles de décohérence ne sont que des jeux de
calculs sur ordinateurs, sans les données expérimentales probantes qui
permettraient de les vérifier. Ajoutons un vocabulaire « Santa-Fé »
qui évoque complexité, théorie des systèmes, théorie de
O¶LQIRUPDWLRQ IRQFWLRQ G¶RQGH GH O¶XQLYHUV« HW PrPH GDUZLQLVPH
Les calculs de la théorie quantique des champs sont eux aussi hardis,
PDLV LOV RQW O¶pQRUPH PpULWH GH VH SUrWHU j GHV vérifications
expérimentales étincelantes !
1E. Les autres interprétations de la physique quantique.
La théorie (1952) de D. Bohm, théorie à variables cachées, assez
proche de la mécanique classique, maintient un déterminisme ; elle
Annexe F. Quantique. Page 14 Révision du 21/10/2016 lie étroitement la particule (qui a une trajectoire déterminée) et
O¶RQGH TXL OD JXLGH TXL HVW ELHQ SOXV TX¶XQH DPSOLWXGH GH
probabilité). Elle présente ce caractère dérangeant que les variables
FDFKpHVTXHVRQWOHVSDUDPqWUHVGHVSDUWLFXOHVQ¶LQIOXHnt pas sur la
IRQFWLRQG¶RQGH
La théorie (1984) des histoires consistantes constate les difficultés
de la théorie de la mesure quantique. Elle analyse donc, sans faire
référence aux instruments de mesure (et, a fortiori, à
O¶H[SpULPHQWDWHXU la succession des événements possibles dans
une chaîne de mesures. Dans une perspective fondamentalement
aléatoire, une histoire sélectionne une chaîne de projecteurs
successifs RQGHPDQGHjXQHIDPLOOHG¶KLVWRLUHVTXHODVRPPHGHV
différentes probabilités soit égale à 1 ; on recherche des familles
« consistantes », où les interférences aient disparu. Des exemples
simples en sont donnés (des expériences non destructives sur des
LQWHUIpURPqWUHV XQH UDGLRDFWLYLWp Į /H IRUPDOLVPH GHV KLVWRLUHV
consistantes rend compte de la complémentarité. Il est surtout tourné
YHUV OH SDVVp FRPPH OH UpYqOH OH WHUPH PrPH G¶KLVWRLUH 6H
contentant de calculer des probabilités, il DEDQGRQQH O¶HVSRLU GH
décrire les systèmes physiques. 3OXW{W TX¶XQH interprétation
nouvelle, il est un commentaire intelligent de la théorie quantique
orthodoxe 5 *ULIILWKV O¶XQ GH VHV DXWHXUV LQVLVWH VXU XQ GHV
caractères dérangeants du quantique : qu¶LO WROqUH GHV GHVFULSWLRQV
multiples et incompatibles. Il pense en revanche que beaucoup des
paradoxes (par exemple ceux liés à la supraluminalité) disparaissent
quand une chaîne consistante a éliminé mesure et mesureur. Un
LQFRQYpQLHQWHVWTX¶LO\DXQQRPEUHpQRUPHG¶KLVWRLUHVSRVVLEOHV :
comment choisir ?
La théorie des mondes multiples (« MWI » -H. Everett 1957) se débarrasse du si difficile problème de la réduction du
SDTXHWG¶RQGHV ; elle pose pour cela que chaque mesure quantique
ouvre la voie à autant de résultats différents que la quantification
Annexe F. Quantique. Page 15 Révision du 21/10/2016 Q¶Hn permet ; ainsi la succession des mesures dans le temps conduit
exponentiellement à une multitude de mondes parallèles. Mais cette
théorie est-HOOH SOXV TX¶XQ DUWLILFH" %HOO O¶DYDLW TXDOLILpH GH
« extravagantly vague ». Beaucoup de philosophes contemporains
et la littérature populaire se sont emparés de ce thème.
Ghirardi-Rimini-Weber* voulaient (1985) expliquer le très
GLIILFLOH SUREOqPH GH OD UpGXFWLRQ GX SDTXHW G¶RQGHV en ajoutant à
O¶pTXDWLRQ GH 6FKU|GLQJHU GHV WHUPHV GH © localisation spontanée »,
non linéaires et aléatoires. Théoriquement, mais non pratiquement
testable&¶HVWW\SLTXHPHQWXQHWKpRULHDGKRF : sur chaque particule,
des éclairs se produiraient (à un taux de 1 par 1015 sec !) et
ORFDOLVHUDLHQWO¶RQGHDYHFXQHSUpFLVLRQGH-7 m). Elle redevient à
OD PRGH SDUFH TX¶XQH GH VHV YDULDQWHV 5 7XPXOND HQFRUH
plus complexe, pourrait respecter la relativité.
C. Rovelli, pionnier de la gravitation à boucles, insiste sur la
relation HQWUH O¶REMHW HW O¶LQVWUXPHQW GH PHVXUH comparons à la
mécanique classique, où on mesure seulement la vitesse relative de
O¶REMHWSDUUDSSRUWjO¶REVHUYDWHXU
Certaines théories (comme celle de Bohm, ou celle des histoires
cohérentes) sont construites pour retrouver toutes les prédictions de
OD SK\VLTXH TXDQWLTXH HW QH VRQW GRQF SDV WHVWDEOHV &¶HVW
évidemment aussi le cas de celle, philosophique, des mondes
PXOWLSOHV(QUHYDQFKHODWKpRULH*5:O¶est, au moins en principe.
2. La théorie quantique des champs. %HDXFRXS G¶RXYUDJHV pWXGLHQW FHWWH WKpRULH &HUWDLQV DGRSWHQW
volontairement un point de vue extrêmement intuitif, sans rigueur
mathématique, mais, à ce prix, rendent parlantes des notions
complexes, comme propagateurs et diagrammes de Feynman,
Annexe F. Quantique. Page 16 Révision du 21/10/2016 UHQRUPDOLVDWLRQ WKpRULHV GH MDXJH %HDXFRXS G¶DXWUHV
malheureusement, sont incapables de faire une démarcation claire
entre intuition et formalisme ; ils deviennent inaccessibles au
non-spécialiste.
La théorie quantique des champs a commencé par
O¶pOHFWURG\QDPLTXHTXDQWLTXHPDLVVRQGRPDLQHG¶DSSOLFDWLRQYLVH
toute la physique des particules (électromagnétisme; interactions
IDLEOHV HW IRUWHV WHQWDWLYHV G¶XQLILFDWLRQ HW UHQG FRPSWH GH OHXUs
PpFDQLVPHVGHFUpDWLRQHWG¶DQQLKLODWLRQ
$/¶pOHFWURG\QDPLTXHTXDQWLTXH
Un guide essentiel pour en comprendre les cheminements est la
UHFKHUFKHG¶XQHSUpVHQWDWLRQFRPSDWLEOHDYHFODUHODWLYLWpUHVWUHLQte.
&¶HVWODGpPDUFKHGXlivre de S. Weinberg (voir les réf. de 5); nous
LQVLVWHURQVVXUOHVTXHVWLRQVTX¶LOSRVH
,O Q¶HVW SDV LQXWLOH GH UDSSHOHU TXHOTXHV GRQQpHV PDWKpPDWLTXHV
concernant le groupe propre de Lorentz, et celui de Poincaré, à la
base des invariances de la relativité restreinte : La meilleure
définition du premier est: SLC2 / Z2 où SLC2 est le groupe spécial
(dét = 1) linéaire complexe à deux dimensions, et Z2 la matrice à
deux éléments. SLC2 est un groupe de Lie compact à 6 générateurs,
GRQWLOHVWLQWpUHVVDQWG¶pWXGLHUO¶DOJqEUHGH/LH: une transformation
linéaire aisée de ses générateurs en deux matrices vectorielles à
WURLVGLPHQVLRQVDHWESHUPHWG¶HQGpGXLUHOHVUHODWLRQVVLPSOHVD
[ D LD E [ E LE D E &H Q¶HVW SDV XQ KDVDUG VL FHV
équations rappellent les relations bien connues des rotations, car
celles-ci forment un sous-groupe du groupe de Lorentz (du coup,
toutes les formules de composition des rotations du type
Clebsch-*RUGDQ V¶DSSOLTXHURQW /¶LQWpUrW GH FHWWH WUDQVIRUPDWLRQ
HVWTX¶HOOHSHUPHWGHWURXYHUWRXWHVOes représentations irréductibles
du groupe de Lorentz, en les reliant à des représentations
tensorielles ou « spinorielles » de degrés variés (« spinorielle »
correspond à des représentations « projectives » où on admet un
Annexe F. Quantique. Page 17 Révision du 21/10/2016 facteur de phase - ici +1 ou -1); on touche par là aux célèbres
DOJqEUHV GH &OLIIRUG HW DX[ UHODWLRQV G¶DQWL-commutation. Le
JURXSH GH /RUHQW] Q¶HVW SDV FRPSDFW F¶HVW LQWXLWLI SRXU OHV
« boosts ª GH FH IDLW LO Q¶DGPHW SDV GH UHSUpVHQWDWLRQ ILQLH
unitaire; on travaille donc sur des champs, et non sur des fonctions
G¶RQGHTXLGHYUDLHQWrWUHXQLWDLUHV
Il existe un difféomorphisme qui plonge le groupe propre de
Lorentz dans 0(l, 3, R) (le groupe pseudo-orthogonal de de Sitter,
préservant la métrique lorentzienne); son image y est la composante
FRQQH[H GH O¶XQLWp ; elle est encore équivalente au « sous-groupe
orthochrone » caractérisé par Dét = 1, et /00 t 1 (cela correspond à
ODSUpVHUYDWLRQGHO¶RULHQWDWLRQHWGHODIOqFKHGXWHPSV/HJURXSH
de Lie généralisé, incluant renversements GXWHPSVRXGHO¶HVSDFH
est isomorphe à 0(1, 3, R).
Le groupe de Poincaré est le groupe de Lorentz étendu aux
translations (produit semi-direct), qui conduira à la règle de
transformation : '<= exp (-iaP.pP.<), et à la conservation des
moments dans les diagrammes de Feynman.
Le cheminement de Weinberg est schématiquement le suivant :
moyennant une hypothèse de localitéLOSURXYHO¶LQYDULDQFHSDUle
groupe de Poincaré de la « matrice S », unitaire, instrument
fondamental du calcul des « sections efficaces » de diffusion,
DX[TXHOOHVO¶REVHUYDWLRQDFFqGH2QVHVRXYLHQWTXHGHVPpWKRGHV
G¶DSSUR[LPDWLRQ VXFFHVVLYHV FRQGXLVHQW j OD FpOqEUH IRUPXOH GH
Dyson, schématisée par : S = T.exp>-L œ’-’ dtV(t)@, où V est le
WHUPHSHUWXUEDWHXUGHO¶KDPLOWRQLHQHW7exprime le « time-ordered
product ».
On détermine ensuite, pour chaque espèce de particules, selon
que sa masse est nulle ou non, et selon son spin, la représentation
irréductible du groupe de Lorentz-Poincaré qui lui convient, et on
exprime son champ à partir des opérateurs de création-annihilation.
Avec ± à la différence de la mécanique quantique- un nombre
indéfini de particules, les représentations des relations canoniques
Annexe F. Quantique. Page 18 Révision du 21/10/2016 de commutation ne sont plus toutes équivalentes, ce qui ± là encore
± pose des problèmes au réalisme. Un théorème de factorisation par
amas (clusters), élimine les champs « non connectés » ; cette
« localisation » permet de factoriser la matrice S et de montrer son
analycité. La conjugaison de ce théorèmH DYHF O¶LQYDULDQFH GH
Lorentz et la physique quantique SHUPHWjO¶DSSURFKHGH:HLQEHUJ
de retrouver tout le formalisme de la théorie « conventionnelle ».
Les deux approches arrivent ensuite dans un « esprit physique » aux
célèbres diagrammes de Feynman, aux propagateurs.3 de Green, et
aux intégrales de chemin. Celles-ci, proches des outils du
PRXYHPHQW EURZQLHQ Q¶HQ RQW SDV OD ULJXHXU La renormalisation
est possible (mais nous traiterons cette technique plus généralement
en 2B).
En passant, on a rendu compte de plusieurs données
expérimentales fondamentales : la conservation des charges
électriques O¶H[LVWHQFH GHV DQWL-particules ; les statistiques des
bosons et des fermions; la masse nulle des photons; le théorème
« CPT ».
2B. Les autres applications de la théorie quantique des champs.
4XDQG RQ GpSDVVH O¶pOHFWURG\QDPLTXH TXDQWLTXH GHV GLIILFXOWpV
supplémentaires apparaissent. Plusieurs concepts mathématiques
délicats jouent un rôle essentiel :
Il faut évidemment définir correctement hamiltonien et
lagrangien. On attache ensuite une grande importance aux symétries
(cf. les développements généraux de 1-3). Les groupes
3
/¶pTXDWLRQIRQGDPHQWDOHGH'LUDFVDQVVHFRQGPHPEUH : (1/i (D.’ +Em) \ =
0), admet des solutions ondulatoires. Traiter des perturbations se ramène, au moins
LQWXLWLYHPHQWjUpVRXGUHjO¶DLGHGHVSURSDJDWHXUVO¶pTXDWLRQDYHFVHFRQGPHPEUH
Annexe F. Quantique. Page 19 Révision du 21/10/2016 G¶LQYDULDQFHGHVFRRUGRQQpHVVRQWUHPSODFpVSDUGHVJURXSHVGH
Lie, généralement non-abéliens, qui représentent les symétries
entre les différentes particules. Les notions de dérivée
covariante, de connexion, sont utilisées (la différence étant
seulement que les physiciens emploient les termes de jauge et
G¶invariance de jauge , là où les mathématiciens parlent de
connexions et de symétries). Aux symétries sont associées des
invariances. Dans les théories de jauge locale (où les symétries
sont locales), extrêmement importantes, l¶RQ SHXW GpILQLU GH
précieuses connexions. Pour les interactions correspondant à des
groupes non-abéliens, des difficultés supplémentaires
apparaissent pour traiter les diagrammes de Feynman,
VXUPRQWpHV SDU O¶LQWURGXFWLRQ GH FKDPSV YLUWXHOV JKRVWV Des
questions de topologie globale de ces variétés peuvent jouer un
U{OH FRPPH GDQV O¶HIIHW %RKP-Aharonov, ou pour les
monopôles magnétiques.
Les symétries entre particules ne sont pas parfaites; les
unifications de théories correspondent souvent à des brisures de
symétrie O¶XQLILFDWLRQQHVHIDLWTX¶jGHVpQHUJLHVVXSpULHXUHVjXQ
certain seuil; en deçà, il y a découplage).
Un excellent exemple de brisure de symétrie HVWO¶XQLILFDWLRQGH
O¶pOHFWURPDJQpWLVPH HW GHV LQWHUDFWLRQV IDLEOHV GDQV OD théorie
électrofaible. Une difficulté importante était que le photon, porteur
j O¶LQILQL GH O¶pOHFWURPDJQpWLVPH pWDLW VDQV PDVVH DORUV Tue les
bosons, porteurs présumés GHO¶LQWeraction faible (dont la portée est
limitée), devaient en avoir une. Plusieurs étapes ont été nécessaires :
la théorie a postulé la nécessité de courants neutres (de neutrinos),
ultérieurement (1973) mis en évidence ; les trois bosons de
O¶LQWHUDFWLRQ ont été détectés (1993). IO IDOODLW DXVVL V¶DFFRPPRGHU
G¶XQ WKpRUqPH G¶DSUqV OHTXHO le propagateur impliqué dans une
brisure de symétrie doit être sans masse. Des mécanismes subtils,
supposant une forme assez particulière de lagrangien, ont permis,
en faisant intervenir le boson de Higgs, de donner de la masse à des
Annexe F. Quantique. Page 20 Révision du 21/10/2016 bosons de jauge initialement sans masse. Le boson de Higgs a
finalement (2012) été mis en évidence au CERN.
Il faut maintenant dire un mot des problèmes de renormalisation.
3RXUTX¶XQHWKpRULHDLWXQVHQVSK\VLTXHLOIDXWTXHOHVJUDQGHXUV
PHVXUDEOHV TX¶HOOH FDOFXOH VRLHQW ILQLHV 2U OHV GLDJUDPPHV GH
Feynman donnent des quantités infinies GqV TX¶LOV FRQFHUQHQW GHV
ERXFOHV F¶HVWj GLUH TXH GHV © self -interactions » sont introduites.
Pour sortir de ce paradoxe, on a besoin de deux étapes. La première
introduit un « cut-off », par exemple une limite supérieure à
O¶pQHUJLH /D VHFRQGH IL[H XQH UqJOH GH GpSHQGDQFH GH TXHOTXHV
paramètres du lagrangien, vLVDQWjFHTXHV¶LOVSDVVHQWjO¶LQILQLOHV
fonctions mesurées restent finies. Le groupe de renormalisation est
O¶RXWLOXWLOLVp VRXVODIRUPHG¶XQVHPL-groupe, il est aussi précieux
GDQV O¶pWXGH GHV SKpQRPqQHV FULWLTXHV GH OD SK\VLTXH
macroscopique ± voLUO¶DQQH[H*). Quand nos visées sont atteintes,
on dit que la théorie est renormalisable, critère essentiel. On
démontre la renormalisabilité pour toutes les théories ayant une
invariance de jauge, et en particulier pour la théorie électrofaible.
$ O¶LQYHUVH GH O¶pOHFWURG\QDPLTXH TXDQWLTXH R OD FRQVWDQWH GH
structure fine est petite, les interactions fortes de la
chromodynamique ne se prêtent pas à des calculs perturbatifs. Mais
la chromodynamique bénéficie de sa liberté asymptotique (les
interactions diminuent asymptotiquement quand les énergies
augmentent), liberté constatée expérimentalement. On cherche alors
à approximer la « vraie » théorie par une théorie effective de jauge,
fondée sur un treillis fini ; on ajuste asymptotiquement O¶HQVHPEOe
des paramètres, pour mieux aborder la théorie générale li mite : on
peut, en principe, calculer par cette méthode la masse des hadrons,
PDLVFHQµHVWSDVDFWXHOOHPHQWjODSRUWpHGHQRVRUGLQDWHXUV. Nous
avons cité, en 4-4O¶LPSRUWDQWSUREOqPHQRQUpVROXDXMRXUG¶KXLGX
« mass gap ». De grosses difficultés subsistent aussi pour
Annexe F. Quantique. Page 21 Révision du 21/10/2016 comprendre le confinement des quarks (que les gros accélérateurs
savent rompre).
'¶DXWUHs chercheurs, plus orientés vers la rigueur mathématique4,
ne se satisfont pas de la façon de traiter les infinis dans les calculs
de perturbation. Ils prônent une théorie directe constructive
(utilisant des algèbres locales G¶REVHUYDEOHV, donc appelée
« AQFT »UHVSHFWDQWOHVUHODWLRQVG¶LQFHUWLWXGHFDSDEOHGe traiter
toutes les théories de jauge, constatent que - V¶LOV VH OLPLWHQW j XQ
espace-temps non physique de trois dimensions - ils obtiennent des
résultats satisfaisants, et espèrent ± DSUqV EHDXFRXS G¶DQQpHV GH
recherche ± aboutir à un résultat dans le cas de quatre dimensions.
Dans ce genre de théories, les concepts de particule localisable et
G¶LQWHUDFWLRQV HQWUH HOOHV GHYLHQQHQW HQFRUH SOXV GLIILFLOHV
Subsistent aussi des théorèmes « no-go » (montrant des
contradictions logiques).5 Le fossé entre les deux écoles est
manifestement très profond.
3. La théorie (les théories) des cordes.
4
Cf. 2-1.
5
$LQVL VRXV UpVHUYH G¶K\SRWKqVHV QDWXUHOOHV GRQW FH TX¶LO DSSHOOH
« localisabilité ªTX¶XQHSDUWLFXOHQHSXLVVHrWUHWURXYpHGDQVGHX[UpJLRQV
sans recouvrement), D. Malament* a prouvé le théorème « no-go », TX¶XQH
SDUWLFXOHDXQHSUREDELOLWpQXOOHG¶rWUHGDQVTXHOTXHSDUWLHGHO¶HVSDFHTXH
O¶RQ FRQVLGqUH ! Remarquons que la notion très forte de localisabilité
concerne concerne une seule particule (alors que la « localité », considérée
en 5-2 V¶RSSRVH DX[ LQIOXHQFHV TXH SRXUUDLHQW H[HUFHU O¶XQH VXU O¶DXWUH
deux particules éloignées). Il est difficile de rejeter une notion aussi
« naturelle ». Mais la conserver et admettre le théorème démolit toute
GXDOLWp FKDPSSDUWLFXOH HQ WKpRULH TXDQWLTXH GHV FKDPSV '¶DXWUHV
spécialistes cherchent des échappatoires.
Annexe F. Quantique. Page 22 Révision du 21/10/2016 Nous avons évoqué en 6-2A le rêve constant des physiciens de
parvenir à une théorie unifiée. Leurs espoirs se concentrent
actuellement sur les théories de cordes. Sont-HOOHV O¶REMHW G¶XQ
engouement passager (dans notre monde médiatisé et soumis à
O¶DUJHQW OHV FKHUFKHXUV GRLYHQW Srendre rang bien avant réussite
confirmée) ? Représentent-HOOHVDXFRQWUDLUHO¶DPRUFHG¶XQHWKpRULH
révolutionnaire, unifiant définitivement relativité générale et
SK\VLTXH GHV SDUWLFXOHV" 3HUVRQQH QH SHXW OH GLUH DXMRXUG¶KXL
VXUWRXWSDVPRLTXLQ¶DLSDV fait le même effort de compréhension
GH FHV WKpRULHV GLIILFLOHV TXH GDQV G¶DXWUHV GRPDLQHV -H PH
contenterai donc de quelques indications.
2Q D YX XQ SHX SOXV KDXW TXH EHDXFRXS G¶DSSOLFDWLRQV GH OD
théorie quantique des champs se heurtent à des infinis, que même
des techniques sophistiquées de « renormalisation » ne parviennent
pas à éliminer. Les débuts de la théorie des cordes ont suivi la
remarque mathématique que des symétries faisaient disparaître ces
infinis dans certains espaces à dix dimensions. '¶RO¶LGpHUHSULVHj
Kaluza-.OHLQ HW G¶LQWURGXLUH GHV GLPHQVLRQV
supplémentaires (6 = 10 - 4) GHO¶HVSDFH-temps, invisibles parce que
repliées et de taille infime (comparable ± fort naturellement - à la
longueur de Planck). Les espaces correspondant prendraient la
IRUPH G¶XQH © variété kählérienne compacte de première classe de
Chern ». Dans cet espace abstrait vibreraient des cordes à une
dimension circulaire compacte (à leur excitations non linéaires de
« solitons » correspondraient des « branes » à plusieurs
dimensions). A chacun de leurs modes de vibration correspondrait
une classe de particules; un mode particulier permettrait de définir
un graviton, interPpGLDLUH REOLJp G¶XQH WKpRULH TXDQWLTXH GH OD
gravitation. Les photons, vibrations ouvertes, ne pourraient se
GpSODFHUTXHGDQVOHVWURLVGLPHQVLRQVGHO¶HVSDFHWUDGLWLRQQHO&HFL
rendrait les autres dimensions inaccessibles à notre expérience (sauf
SRXUGHVHIIHWVJUDYLWDWLRQQHOVGRQWRQVDLWTX¶LOVVRQWH[WUrPHPHQW
IDLEOHVjO¶pFKHOOHGes particules).
Annexe F. Quantique. Page 23 Révision du 21/10/2016 De telles théories sont séduisantes sous beaucoup de points de
vue : elles sont les seules à unifier théorie quantique et relativité
générale ; quand elles sont théories des supercordes, elles recourent
aussi à la supersymétrie6 ; abandonnant la notion de particule
ponctuelle, elles peuvent régler les problèmes de renormalisation ;
elles rendent compte de la dualité électricité//magnétisme. Elles
laissent enfin espérer que les quatre forces fondamentales
SRXUUDLHQWV¶XQLILHUDX[DOHQWRXUVGe la longueur de Planck.
/HVSRLQWVQpJDWLIVWLHQQHQWjOHXUH[WUrPHFRPSOH[LWp/¶DSSDUHLO
PDWKpPDWLTXHVXSSRVHXQHFRQQDLVVDQFHDXMRXUG¶KXLLQFHUWDLQHGH
la topologie de ces espaces difficiles, avec leurs « trous ». Cinq
YDULDQWHV V¶DIIURntent (des dualités subtiles, mais essentielles,
VHPEOHQWOHVUHOLHUGDQVOHFDGUHG¶XQHHQFRUHP\VWpULHXVH© théorie
M ») ; mais elles se ramifient, quand on veut préciser, en un nombre
astronomique de solutions possibles. Des calculs pratiques ne
peuvent être actuellePHQW HQYLVDJpV PrPH V¶LOV GHYHQDLHQW
possibles, leur vérification normale se ferait à des énergies
inaccessibles, sauf à recourir à de subtiles et difficiles expériences
LQGLUHFWHV (QILQ FHV WKpRULHV Q¶H[SOLTXHQW SDV SOXV OD IOqFKH GX
temps que la physique quantique « traditionnelle ».
Personnellement, je reste perplexe sur les coïncidences qui
font retenir les dix dimensions. Pour le nombre D de
dimensions, les équations du champ contiennent un terme en
(D ± H[WUrPHPHQW JrQDQW HW O¶RQ V¶HQ GpEDUUDVVH HQ
SRVDQW TXH ' FH Q¶HVW SDV WUqV ORLQ G¶XQ SULQFLSH
DQWKURSLTXHHWRQVDLWTXHMHQHO¶DLPHJXqUHFI12-2) !
/¶DEstraction du réel microscopique de la physique quantique ( cf.
5-2) devient extrême pour les théories de cordes : espace, temps,
énergie, charge électrique et ± on vient de le voir ± espèces de
particules dérivent de ces cordes premières et des variétés abstraites
6
'DQV O¶HVSDFH-temps à quatre dimensions, la super-V\PpWULH D O¶LQWpUrW GH GLVSRVHU G¶XQ JURXSH
assez évident de symétrie.
Annexe F. Quantique. Page 24 Révision du 21/10/2016 GDQV OHVTXHOOHV HOOHV pYROXHQW $ O¶pFKHOOH VL IDLEOH GHV FRUGHV RQ
SHXWHQYLVDJHUTXHO¶HVSDFH-temps doit lui aussi quantifié.
On trouvera jO¶DQQH[H* quelques indications sur la théorie de la
gravitation quantique à boucles, concurrente.
Questions ouvertes.
F1. 'X IDLW GH OD GLVFUpWLVDWLRQ GHV QLYHDX[ G¶pQHUJLH les
espaces de Hilbert de la physique quantique sont-ils tous de
dimension dénombrable ? Oui ? Du coup, même dans une
optique constructiviste, on peut démontrer, moyennant
O¶D[LRPH GH FKRL[ GpQRPEUDEOH TX¶LOV RQW XQH EDVH FI
annexe K). Je comprends que tous les Hilbert à base
dénombrable sont isomorphes (mais selon les problèmes
considérés, on y introduit des opérateurs différents).
F2. Un état pur est-il « objectif ? Pour W. Unruh, un état qui
apparaît pur à un détecteur au repos, apparaîtra mélangé à
un détecteur accéléré. Y a-t-il eu des expériences à ce sujet ?
F3 Long exposé de la question : La solution rigoureuse de la
quantifiFDWLRQ GH O¶DWRPH G¶K\GURJqQH D pWp QRXV O¶DYRQV GLW HQ
5-1, un immense succès de la physique quantique. Elle a
bénéficié de conditions extrêmement favorables : O¶H[LVWHQFHG¶un
potentiel central permet de diviser les difficultés RQIL[HG¶DERUG
les moments cinétiques par leur quantification habituelle RQQ¶D
plus enVXLWHHQFHTXLFRQFHUQHODIRQFWLRQSURSUHUDGLDOHTX¶XQH
équation GLIIpUHQWLHOOHVLPSOHDXOLHXG¶une équation aux dérivées
partielles compliquée) ; des considérations de comportement
Annexe F. Quantique. Page 25 Révision du 21/10/2016 asymptotique de ses solutions aux faibles et grandes distances
imposent la quantification GH O¶pQHUJLH ; la IRQFWLRQ G¶RQGH
spatiale est calculée. Pour les atomes plus complexes, puis pour
les molécules, des calculs approchés des énergies et des
schémas de configurations spatiales seront élaborés par des
méthodes semi-empiriques, évoquées en 7-2C.
Je clarifierai la question qui me préoccupe par une comparaison
avec la physique classique. Dans celle-ci, une fois posée
O¶pTXDWLRQGHEDVHHWGpILQLHVOHVIRUFHVOHV\VWqPHG¶pTXDWLRQV
différentiel apparaît. Même si sa solution, exacte ou même
numérique, peut dépasser les possibilités humaines, on sait que
± sauf cas exceptionnels ± elle existe (ce savoir est une forme du
déterminisme, cf. 2-1). En physique et chimie quantiques, qui
nous dit que, dans les approximations nécessaires, les
fondamentales
quantifications
soient
prouvées,
plutôt
TX¶DVVXPpHV dans les hypothèses de calcul ? Par exemple, je
me demande si les considérations de comportement
asymptotique du paragraphe précédent, qui ont fourni une bonne
SUHXYH GH OD TXDQWLILFDWLRQ GH O¶DWRPH G¶K\GURJqQH VRQW
aisément généralisables à des cas (les molécules) où le potentiel
central unique a disparu. En particulier, la preuve mathématique
GH O¶H[LVWHQFH G¶XQH TXDQWLILFDWLRQ GLVFRQWLQXH SRXU O¶pQHUJLH
survit-HOOHjODPpWKRGHG¶DSSUR[LPDWLRQ ?
F4. Le statut du temps en physique quantique ne me semble pas
clair. Est-il une observable ? Non ?
F5. Le spin est un moment cinétique. En mécanique classique, il
y a un théorème de conservation du moment cinétique ± global,
mais dans un espace limité. Dans des expériences de type EPR,
deux particules intriquées ont leurs spins toujours opposés, et
GRQF LO DUULYH TXH OH VSLQ GH FKDFXQH G¶HOOHV WUqs ORLQ O¶XQH GH
O¶DXWUH HVW SURMHWp immédiatement dans une direction. 1¶\ D-t-il
Annexe F. Quantique. Page 26 Révision du 21/10/2016 pas par là une violation (dans une conception relativiste) du
théorème de conservation ? Non (M. Serrero).
F74XHOHVWO¶LQWpUrWGHODWKpRULHGHVJURXSHVTXDQWLTXHV ?
F8. Toute la théorie quantique des champs repose sur
O¶pTXDWLRQ K\SHUEROLTXH GH .OHLQ-Gordon. Est-elle bien
étudiée par les mathématiciens ? En particulier, y a-t-il des
FRQGLWLRQV FODLUHV G¶H[LVWHQFH G¶XQH IRQFWLRQ GH *UHHQ ? Si
oui, ces conditions sont-elles vérifiées dans les situations
concrètes de la théorie quantique des champs? Id. pour
O¶pTXDWLRQGH'LUDFSOXVFRPSOH[HPDLVGXSUHPLHURUGUH
F11. Théories des cordes (ou supercordes).
Y a-t-il un lien entre la longueur de Planck et la dimension critique
des cordes ? (dimension qui ne semble la dépasser que de 10 ou
100). Est-il vrai que la théorie des cordes « parfaite » devrait
prédire les valeurs de toutes les constantes fondamentales ?
Peut-RQ GLUH XQ PRW GX VWDWXW GH O¶HVSDFH-temps dans de telles
théories ? Est-LO H[DFW TX¶LO IDXW UHQRQFHU j OH YRLU FRPPH XQ
continu infiniment divisible ?
F12. (= question C117KpRULHVGHO¶LQIODWLRQ
Peut-RQH[SOLTXHUOHVPpFDQLVPHVGHO¶LQIODWLRQSDUXQUHFRXUVDX[
théories classiques des particules ?
Annexe F. Quantique. Page 27 Révision du 21/10/2016 F14. 1RXV O¶DYRQV YX O¶LQcomplétude de la physique quantique
V¶HQWHQGXVXHOOHPHQWDXVHQVTX¶LOQ¶\DSDVGHYDULDEOHVFDFKpHV
Pour P. Mittelstaedt, une théorie complète serait une théorie qui
couvrirait aussi bien le microscopique que les appareils de mesure
macroscopiques. Y a-t-il un lien entre ces deux définitions ? Non ?
F15. On dit que dans un supraconducteur, la résistance est nulle.
2QO¶H[SOLTXHSDUODFRQVWLWXWLRQGHSDLUHVG¶pOHFWURQVREpLVVDQWj
la statistique de Bose-Einstein, se comportant comme un
HQVHPEOH XQLTXH 9X O¶LPPHQVLWp GX QRPEUH 1 GH WHOOHV SDLUHV
peut-on parler de résistance nulle, plutôt que de « inférieure à tel
seuil », à préciser ? Que dirait-on si des expériences « méso »
permettaient de beaucoup diminuer N ? Mêmes questions pour la
YLVFRVLWp GH O¶pWDW VXSHUIOXLGH Cf. R. Laughlin, prix Nobel de
physique ³7KHYLVFRVLW\RIVXSHUIOXLGKHOLXPLVQRWMXVWVPDOOEXW
exacWO\ ]HUR´ Comment discerner du cas où elle est trop petite
pour être observable par nos appareils de mesure actuels ? M.
6HUUHUR UHPDUTXH TXH PrPH O¶KRUL]RQWDOLWp GH OD SHQWH G¶XQ
diagramme P,V pour une transition de phase liquide-YDSHXU Q¶HVW
absolue que si la « règle des phases » est vraie.
F16. &RPPHQW V¶H[HUFHQW OHV IRUFHV GH JUDYLWDWLRQ HQWUH XQH
particule et une anti-particule ?
F17. Dans un article important (1986), J. Bell avait remarqué
que, si O¶RQ DGPHW TXH WRXV OHV UpIpUHQWLHOV GH /RUHQW] sont
équivalents, les expériences EPR impliquent que le temps peut
aussi aller à reculons, et proposait de sortir de cette difficulté en
rejetant cette équivalence. Inversement, dans mon chapitre 2,
MH VXJJqUH TXH OD FRVPRORJLH PRGHUQH Q¶D SDV totalement
aEDQGRQQp O¶idée de référentiel absolu Cf. ma question E1.
Annexe F. Quantique. Page 28 Révision du 21/10/2016 Notons aussi que /HJJHWW GDQV O¶RXYUDJH FROOHFWLI © Elegance
and Enigma », p 175), préfère accepter le temps à rebours
(retrospective causation), plutôt que de renoncer à la localité ou
à cette forPHGHUpDOLVPHG¶DSUqVODTXHOOHles expériences non
faites auraient un résultat. Où en est-on réellement ?
Références VXSSOpPHQWDLUHVGHO¶DQQH[H
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Très axée sur AQFT, et sur un réalisme structural. Mais pourquoi metelle la physique statistique, caractérisée par un nombre fini, mais très
JUDQG $YRJDGUR GH SDUDPqWUHV SDUPL VHV ³40’ », pour lesquels
O¶H[LVWHQFH G¶XQ QRPEUH LQILQL GH SDUDPqWUHV LPSOLTue que toutes les
représentations irréductibles ne sont plus équivalentes (fait dont sa
philosophie tire un grand parti) ?
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