Annexe F. Physique quantique et théorie quantique des champs

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Annexe F. Physique quantique et théorie quantique des cha m ps. Leur
appareil m athé m atique. Quelques résultats expéri m entaux récents.
1%  $ F{Wp GH TXHVWLRQV TXH M¶HVSqUH DYRLU pFODLUpHV M¶HQ DL UHQFRQWUp
EHDXFRXSG¶DXWUHVDX[TXHOOHVMHQ¶DLSDVGHUpSRQVH(OOHVVRQWSRVpHVen notes
en caractères « arial », à mesure de leur apparition dans ce « text in progress ».
Là où ± sans être sûr de la réponse ± MHSHQFKHG¶XQF{WpMHO¶LQGLTXHSDUXQRXL ?)
ou un (non ?). Les questions proprement dites sont mises en italiques. Leur
numérotation peut comporter des trous : ils correspondent à des questions
antérieures, qui ont trouvé leur solution. Je serai reconnaissant à m es lecteurs de
m e donner (par courriel ± [e-mail]) leur point de vue ou de
P¶LQGLTXHUTXHOOHVOHFWXUHVLOVSRXUUDLHQWPHUHFRPPDQGHU
2. Les références de type sp-14-4B concernent la section 4B du chapitre
14 de « Science et philosophie ». &RPPH GDQV O¶HQVHPEOH GH FHW RXYUDJH  OHV
définitions sont en caractères gras, mes positions personnelles en caractères
Arial. Les * après les noms des auteurs renvoient aux références à la fin de
O¶DQQH[H
Table des m atières.
1A. La physique quantique.
1B. Les approches axio m atiques.
1C. Théorè m es et expériences.
1D. La décohérence.
1E. Les autres interprétations de la physique quantique.
2. La théorie quantique des cha m ps.
$/¶pOHFWURG\QDPLTXHTXDQWLTX e.
2B. Les autres applications.
2C. Les théories des cordes.
1A. La physique quantique se fonde mathématiquement sur les
HVSDFHVGH+LOEHUWG¶XQHIDoRQDVVH]VLPSOHHWFRKpUHQWH
Sur un espace abstrait de Hilbert H, on définit les états T, vecteurs
normalisés, et les observables A, opérateurs hermitiens. Deux
utilisations bien différentes en sont faites O¶pWXGHGHVpWDWVVWDEOHV
avec la SURFpGXUHOLpHGHUpGXFWLRQGXSDTXHWG¶RQGHVO¶pTXDWLRQ
G\QDPLTXH GH 6FKU|GLQJHU DYHF VRQ RSpUDWHXU G¶pYROXtion. Nous

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QRXVIRFDOLVHURQVVXUODSUHPLqUH5DSSHORQVTX¶XQHREVHUYDEOHQH
peut prendre que les valeurs de son spectre; quand celui-ci est
discret, on a donc « quantification ». Par ailleurs, on peut calculer la
SUREDELOLWpTXHODPHVXUHGHO¶REVHUYDEOHA, pour un système dans
O¶pWDW<, donne la valeur particulière an; dans le cas simple où un
seul vecteur propre <un correspond à an, cette probabilité est donnée
par: ¨<un¨<>¨2, la valeur moyenne de A étant donnée par : A! =
<<¨A¨<>.
8QH DXWUHSUpVHQWDWLRQ UHFRXUW j O¶RSpUDWHXU VWDWLVWLTXH ' GH WUDFH
1 (on a alors : A!  WU$' HW O¶pTXDWLRQ GH 6FKU|GLQJHU GHYLHQW :
ih.d/dt.D(t) = (H, DW  R + HVW O¶KDPLOWRQLHQ elle a plusieurs
avantages : dans la première de ces deux formules, A! (le mesurable)
est relié directement (sans hypothèses sur le sens profond de la
IRQFWLRQG¶RQGHjXQRSpUDWHXUVWDWLVWLTXH/DGpILQLWLRQGHO¶RSpUDWHXU
V¶pWHQGDX[PpODQJHVLOVHUDGRQFXWLOLVpaussi en physique statistique
( voir chapitre 5 ). /¶HVSDFH GHV RSpUDWHXUV VWDWLVWLTXHV HVW FRQcave.
(QILQGDQVOHVFDVG¶LQWULFDWLRQGHVRSpUDWHXUVVWDWLVWLTXHV© réduits »
V¶DSSOLTXHQWDX[VRXV-systèmes (ils interviennent en particulier dans la
décohérence).
Les résultats mathématiques essentiels sont les suivants :
Les équations sont linéaires; on peut donc superposer des états;
mais, comme les probabilités correspondent à des carrés
G¶DPSOLWXGH LO DSSDUDvW GHV WHUPHV G¶LQWHUIpUHQFH TXL UHQGHQW
FRPSWHGHO¶DVSHFWRQGHGHODGXDOLWpRQGH-particule.
Le théorème spectral décompose tout opérateur hermitien A selon
une formule du type :
$ O. dEO , où EO, mesure spectrale, est un projecteur sur H.
Quand A est compact, son spectre ponctuel (par opposition au
spectre continu) est fini, ou dénombrable (dans ce cas, 0 est le seul
SRLQWG¶DFFXPXODWLRQdes résultats analogues sont obtenus pour les
opérateurs de Hilbert-Schmidt et ceux à inverse compact.

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/¶LQpJDOLWp PDWKpPDWLTXH GH 6FKZDUW] SHUPHW G¶REWHQLU SRXU
deux observables quelconques A et B la relation suivante, reliant
leurs deux écarts quadratiques moyens : 'A. 'B t 1/2¨>A,B!@¨, où
>A,B@ désigne le commutateur de A et B. Cette généralisation des
UHODWLRQV G¶LQFHUWLWXGH GH +HLVHQEHUJ WUDGXLW O¶LPSRVVLELOLWp GH
PHVXUHUVLPXOWDQpPHQWGHX[REVHUYDEOHVQHFRPPXWDQWSDVG¶R
O¶LQWpUrW GH OD UHFKHUFKH G¶XQ © E.C.O.C. » (ensemble complet
G¶REVHUvables qui commutent). Cette recherche peut être facilitée
par le théorème suivant : si A et B commutent, ils sont tous deux
IRQFWLRQVG¶XQPrPH observable C, « plus large ». 3DUO¶RSpUDWHXU
densité, on démontre enfin le résultat naturel suivant : si A et B =
f(A) sont deux observables, et si A a la valeur propre an, alors B a la
valeur propre f(an).
Les espaces de Hilbert de la physique quantique ont généralement
(en dehors des espaces de spin) un nombre infini de dimensions. Si,
VXU EHDXFRXS G¶DVSHFWV LOV JpQpUDOLVHQW O¶HVSDFH HXFOLGLHQ LOV
recèlent aussi des propriétés nouvelles. Par exemple, pour eux et à
la différence des espaces de dimension finie, tr(AB-BA) z 0, si A et
B ne sont pas compatibles; ceci nie la possibilité de certaines
méthodes finitisWHVG¶DSSUR[LPDWLRQ
En revanche, il existe des résultats mathématiques, montrant que
des opérateurs, « proches ª G¶XQ RSpUDWHXU D\DQW XQ VSHFWUH
discontinu, ont eux aussi un tel spectre, avec des valeurs propres
SURFKHV GHFHOOHV GX SUHPLHU &¶HVW SUREDEOHPHQW SDU Oj TXHO¶RQ
peut expliquer la stabilité des atomes ou molécules.
Remarques plus générales : La physique quantique ne nous dit
guère quand on peut considérer des opérateurs non bornés, comme
les opérateurs position. Le passage des opérateurs de la mécanique
classique à ceux de la physique quantique nécessite une dose de
« flair ª (QILQ O¶LQWHUSUpWDWLRQ GH O¶H[SpULHQFH SHXW FRQGXLUH j
élargir le Hilbert de base.
Un fait remarquable de la physique quantique est son aptitude
dans beaucoup de cas simples à des méthodes de résolution

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mathématique précises, souvent même explicitement calculables.
Citons, parmi les phénoPqQHV YpULILpV SDU O¶H[SpULHQFH  O¶HIIHW
WXQQHOO¶RVFLOODWHXUKDUPRQLTXHHWODGpFRXYHUWHGH© O¶pQHUJLHGX
vide », la quantification et la composition des moments cinétiques;
OHFDVGHVHVSDFHVjGHX[GLPHQVLRQVHWO¶LQWURGXFWLRQGHVVSLQVò
OHV UDLHV GH O¶DWRPH G¶K\GURJqQH \ FRPSULV OHV VWUXFWXUHV ILQH HW
hyper-fine ; les effets Zeeman (électrique) et Stark (magnétique) ;
O¶RVFLOODWHXUKDUPRQLTXHOHFDOFXOGHO¶ pQHUJLHGXYLGHKȦHW
OHV RSpUDWHXUV GH FUpDWLRQ RX G¶DQQLKLODWLRQ ; les systèmes de
SDUWLFXOHVLGHQWLTXHVO¶HIIHW=pQRQTXDQWLTXHYRLUSOXVORLQHQ
WKpRULHTXDQWLTXHGHVFKDPSVO¶HIIHWAharonov-Bohm
1
; en chimie,
les orbitales; en physique statistique, les phonons, la superfluidité,
O¶HIIHW+DOOTXDQWLTXH Pour les cas plus complexes, la question F3
FRQVWDWH TXH OHV FDOFXOV G¶DSSUR[LPDWLRQV VRQW VRXYHQW WUqV
YDODEOHV PDLV VH GHPDQGH VL G¶XQ SRLQW GH YXH PDWKpPatique,
O¶H[LVWHQFHGHQLYeDX[TXDQWLILpVG¶pQHUJLHUHVWHSURXYpH
Pour étudier un état pur intriqué, la décomposition bi-
orthonormale (de Schmidt) est utile.
!!!!!!!!
1B. Les approches axio m atiques.
,O HVW XWLOH G¶LQWURGXLUH OD QRWLRQ G¶REVHUYDEOHV FRPSDWLEOHV plus
FKDUJpH GH VHQV TXH FHOOH G¶RSpUDWHXUV FRPPXWDEOHV TXL HQ HVW
O¶H[SUHVVLRQ GDQV OH IRUPDOLVPH KLOEHUWLHQ %HDXFRXS
G¶pSLVWpPRORJXHVYRXODQWDOOHUSOXVORLQVHVRQWSHQFKpVVXUOHVHQVHW
le contHQX G¶XQH logique quantique , plus faible que la logique
classique . Rappelons que la proposition la plus générale de la physique
quantique est du type : « GDQV O¶pWDW \ O¶REVHUYDEOH $ D VD YDOHXU
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
1
Par cet effet, XQHILJXUHG¶LQWHUIpUHQFHG¶pOHFWURQVHVWPRGLILpHSDUXQFKDPS
magnétique dans une région extérieure aux électrons. A côté des célèbres
problèmes étudiés en sp-4-2 F¶est un autre exemple de non-localité quantique
HWG¶LQYDULDQFHGHMDXJH.

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comprise dans le borélien D »; la physique quantique assigne ensuite à
cette proposition une probabilité. Par le théorème spectral, une telle
proposition peut être décomposée en propositions portant sur des
projecteurs. On sait que deux projecteurs P et Q ne commutent que
V¶LOV VRQW GH OD IRUPH : P=A+B; Q=A+C, avec B et C orthogonaux.
ConsidpUDQW O¶HQVHPEOH GHV VRXV-espaces clos de H, on peut donc
définir sur lui un « treillis V-orthocomplet, orthomodulaire
2
», donnant
GX VHQV j OD QRWLRQ G¶REVHUYDEOHV FRPSDWLEOHV 0DLV WRXW FH VDYDQW
DSSDUHLOQ¶HVWTX¶XQHSUpVHQWDWLRQGHVUqJOHVGHODSK\VLTue quantique,
à laquelle il Q¶DSSRUWHULHQGH SOXV'¶DXWUHVRQW HVVD\pOD GpPDUFKH
LQYHUVHGpFLGpjO¶DYDQFHTXHGDQVXQPRQGHRLO\DGHVREVHUYDEOHV
incompatibles, les propositions élémentaires devaient satisfaire à
certains axiomes logiques. Les ayant posés, ils ont retrouvé le treillis
précédent, mais au prix de UHVWULFWLRQVTXLHQHQOqYHQWO¶LQWpUrW : Les
règles imposées aux propositions élémentaires sont logiques, mais
invérifiables. Le treillis des sous-espaces de Hilbert, quoique non
booléen, est plus particulier que ce treillis très général; on ne peut donc
à partir de ce dernier (et de la logique spéciale, auquel il correspond)
retrouver la physique quantique. Enfin et surtout, tous les résultats de
Gleason, Kochen-Specker (voir un peu plus loin)« PRQWUHQW OHV
grosses difficultés rencontrées, quand on en vient à la sémantique. Ces
argu m ents renforcent la position de principe (prise en 5-2C), que la
physique quantique doit utiliser la logique classique (qui sait fort bien
traiter des treillis) et la théorie classique des probabilités ; il faut
seulement renoncer à la possibilité (et même au sens) de mesurer
simultanément deux observables non compatibles.
Il est clair que O¶DOJqEUHGHVRSpUDWHXUVERUQpVGH+joue un rôle
essentiel  UHODWLRQV GH FRPPXWDWLRQ IRQFWLRQV G¶RSpUDWHXUV
UHFKHUFKH G¶(&.0.C... Là encore, on peut essayer de partir
G¶DOJqEUHV© naturelles ªSRVpHVDSULRULHWGHSDUYHQLUjO¶HVSDFH
de Hilbert traditionnel. Les algèbres de Segal rendent bien compte
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2
Orthomodulaire est plus faible que normal, qui est lui-même plus faible que
le distributif.