MASSIFS ROCHEUX

MASSIFS ROCHEUX
© Transvalor - Presses des MINES, 2010
60, boulevard Saint-Michel - 75272 Paris Cedex 06 - France
email : [email protected]
http://www.ensmp.fr/Presses
© Photo de couverture : Michel Chalhoub
ISBN : 978-2-911256-26-4
Dépôt légal : 2009
Achevé d’imprimer en 2010(Paris)
Tous droits de reproduction, de traduction, d’adaptation et d’exécution réservés pour tous les pays
Massifs rocheux
Homogénéisation
et classification
numériques
Michel Chalhoub
Dans la même collection
Michel Demange
Les minéraux des roches
Bruno Peuportier
Éco-conception des bâtiments et des quartiers
Philippe Jamet
La quatrième feuille : trois études naturelles sur le développement durable
Gabriele Rossetti, Alessandro Montanari
Dances with the earth : the creation of music based on the geology of the Earth
Sous la coordination de Franck Guarnieri et Emmanuel Garbolino
Systèmes d’information et risques naturels
Rédigé par le comité français de mécanique des roches
Coordonné par Pierre Duffaut
Manuel de mécanique des roches – Tome 2 : les applications
Rédigé par le comité français de mécanique des roches
Coordonné par par F. Homand et P. Duffaut
Manuel de mécanique des roches – Tome 1: fondements
Madeleine Akrich, Philippe Jamet, Cécile Méadel, Vololona Rabeharisoa, Frédérique Vincent
La griffe de l’ours : débats & controverses en environnement
Lucien Wald
Data Fusion Definitions and Architectures - Fusion of Images of different spatial resolutions
Javier Garcia, Joëlle Colosio, avec la collaboration de Philipp Jamet
Les indices de qualité de l’air
Élaboration, usages et comparaisons internationales
Richard Maillot
Mémento technique des granulats
Coordinateurs : K. Scharmer, J. Greif
The European Solar Radiation Atlas Vol. 2 : Database and Exploitation Software
Coordination : K. Scharmer, J. Greif
The European Solar Radiation Atlas Vol : Fundamentals and maps
Jacques Fine
Le soutènement des galeries minières
A toi Hélène et à notre bijou Elodie…
TABLE DES MATIERES
Préface
11
Avant propos
13
Chapitre 1
Les massifs rocheux : structure et comportement
mécanique
1. Structure géométrique des massifs rocheux
1.1 Aspect géologique
1.2 Paramètres géométriques des discontinuités
1.3 Modèles géométriques des discontinuités
2. La matrice rocheuse
18
19
21
23
24
2.1 Classification géologique des roches
2.2 Comportement mécanique des roches
2.2.1 Elasticité des roches
2.2.2 Résistance des roches
2.2.3 Modèle élastoplastique parfait
3. Les discontinuités
24
24
25
26
30
31
3.1 Morphologie d’une discontinuité
3.2 Comportement mécanique d’une discontinuité
31
35
3.2.1 Discontinuité soumise à une contrainte normale
35
3.2.1.1 Essai empirique et observations
3.2.1.2 Modèles de déformation normale
35
37
3.2.2 Discontinuité soumise à une contrainte de cisaillement 39
3.2.2.1 Essai mécanique et critère de rupture
3.2.2.2 Matériau de remplissage
3.2.2.3 modèles de déformation tangentielle
3.3 Détermination pratique des paramètres de déformabilité
4. Conclusion
39
49
52
52
58
Chapitre 2
Méthodes de classification des massifs rocheux
1. Les classifications géomécaniques
1.1 Types et intérêts des systèmes de classifications
60
60
1.2 Le Rock Mass Rating (RMR
1.3 Le Q-system
1.4 Le Geological Strength Index (GSI
1.5 Commentaires sur les systèmes de classification
2. Identification des paramètres de déformabilité et de
résistance des massifs rocheux
2.1 Approches empiriques
2.1.1 Paramètres mécaniques, RMR et Q-system
2.1.2 Paramètres mécaniques et GSI
2.2 Approches analytiques
3. Conclusion
63
64
66
67
69
69
69
71
72
83
Chapitre 3
Homogénéisation numérique des milieux fracturés en
élastoplasticité
1. La théorie d’homogénéisation et les milieux fracturés
86
2. Interprétation des résultats du calcul numérique
d’homogénéisation en élasticité
88
2.1 Loi de Hooke
2.2 L’élasticité plane appliquée aux massifs fracturés
2.3 Homogénéisation en problèmes plans
2.4 Modélisation numérique
88
91
93
96
2.4.1 Forme discrétisée des contraintes et des déformations
96
homogénéisées
2.4.2 Méthodes de chargement indépendant des coordonnées
98
des nœuds
2.4.2.1 Différence entre méthodes de chargement
2.4.2.2 Calcul numérique du tenseur de souplesse
2.4.3 Méthode de chargement en fonction des coordonnés
des nœuds
2.5 Ajustement ellipsoïdal
2.5.1 Principe de la théorie de l’élasticité ellipsoïdale
2.5.2 Ajustement ellipsoïdal des résultats numériques
98
100
102
106
106
110
3. Interprétation des résultats d’homogénéisation numérique
en plasticité
114
3.1 Choix du mode de chargement
3.2 Calcul de la résistance homogénéisée
4. Conclusion
114
115
117
Chapitre 4
Méthode de modélisation Numérique
1. Modélisation du comportement mécanique des massifs
rocheux fracturés
1.1 Modèles de calcul de stabilité
1.2 Modèles de calcul en déformation
1.3 Modèle de comportement mécanique
120
120
121
123
1.3.1 Modèle de comportement mécanique de la roche
123
1.3.2 Modèle de comportement mécanique des discontinuités 124
1.4 Formulation mathématique de l’élément fini joint
2. Méthodologie de travail
126
129
2.1 Génération des familles de fractures
2.1.1 Génération des disques dans l’espace
2.1.2 Recherche des traces des fractures dans un plan
2.2 Calcul de la taille du VER
2.2.1 Critères de recherche du VER mécanique
2.2.2 VER géométrique : Calcul de l’espacement moyen
2.3 Application des filtres géométriques, maillage et création
des éléments joints
2.4 Essais de chargements numériques et calcul du tenseur
de souplesse
2.4.1 Choix du type de chargement
2.4.2 Calcul du tenseur de souplesse homogénéisé
3. Outil de calcul numérique HELEN
3.1 Modules de pré-traitement
3.1 Modules de post-traitementent
4. Etude de cas d’un massif granitique
4.1 Massif de la Vienne
4.2 Méthode numérique et résultats obtenus
4.2.1 VER géométrique
4.2.2 VER mécanique et propriétés homogénéisées
4.2.3 Résistance du massif
5. Conclusion
130
130
131
132
132
133
135
136
136
137
138
138
139
140
140
141
141
142
146
149
Chapitre 5
Classification Numérique d’une variété de Massifs
Rocheux
1. Choix des massifs étudiés
152
2. Calcul et ajustement de la taille des VER
2.1 Génération des familles de fractures
2.2 Recherche de la taille des VER
2.3 Ajustement analytique de la taille des VER
156
156
156
158
3. Illustrations du maillage et des déformées
159
4. Résultats de classification numérique
161
4.1 Mode de présentation des résultats
4.2 Vérification des résultats
4.3 Discussions des résultats
4.3.1 Remarques générales
4.3.2 Résultat relatif à une famille de fractures
4.3.3 Résultat relatif à deux familles de fractures
5. Ajustement analytique des résultats numériques
5.1 Raisonnement d’ajustement
5.2 Résultats d’ajustement
5.2.1 Cas d’une famille de fractures (Ajustement du module
de Young E2)
5.2.2 Cas d’une famille de fractures (Ajustement du module
de cisaillement G12
5.2.3 Cas de deux familles de fractures (Ajustement du
module de Young E2)
5.2.4 Cas de deux familles de fractures (Ajustement du
module de cisaillement G12
6. Exemple d’illustration d’un massif sédimentaire
6.1 Estimation des paramètres géométriques et mécaniques
des constituants du massif étudié
6.2 Calcul des propriétés homogénéisées à partir des tableaux
de classification numérique
161
163
163
163
164
167
169
169
174
174
177
179
181
182
182
186
7. Conclusion
189
Références bibliographiques
191
Annexes
Annexe 1 : Classifications géomécaniques
Annexe 2 : Théorie d’homogénéisation en milieu fracturé
Annexe 3 : Géométrique des familles de fractures étudiées
Annexe 4 : Classification numérique
Annexe 5 : Outil numérique HELEN
199
204
210
212
229
PREFACE
Au croisement entre les méthodes de caractérisation des massifs rocheux et
les méthodes d’homogénéisation des milieux hétérogènes, la matière
exposée dans cet ouvrage présente un intérêt multiple.
Les massifs rocheux sont traversés de discontinuités telles que les failles,
fractures et joints qui affectent fortement leur stabilité et plus généralement,
leur comportement mécanique. La modélisation des ouvrages de génie civil
ou minier dans ces massifs nécessite des modèles de comportement intégrant
l’effet de ces discontinuités. Pour des fractures d’une échelle suffisamment
petite par rapport à la taille des ouvrages, et de grande densité, leur effet doit
être pris en compte de manière globale dans un modèle continu du massif.
C’est à cet objectif, en particulier, que répondent, en partie, les méthodes de
classification des massifs rocheux. Mais cette réponse reste empirique et
fondée sur une expérience d’ingénieur plutôt que sur une analyse et
modélisation mécanique rigoureuses. De ce fait, elle reste limitée à des
applications particulières. C’est à cette lacune, essentiellement, que le
présent ouvrage remédie en élaborant des modèles équivalents de massifs
fracturés par des méthodes d’homogénéisation rigoureuses.
Les massifs fracturés sont ainsi traités, dans cet ouvrage, comme des
matériaux hétérogènes, formés de deux phases que sont la roche intacte et les
fractures. Cependant, le travail présenté dans cet ouvrage est loin d’être une
simple application de méthodes existantes au problème des massifs rocheux.
On peut estimer que, dans ce domaine, les méthodes numériques ont souffert
d’un certain empirisme surtout dans la façon dont les grandeurs
macroscopiques sont déduites des résultats de calculs. En effet, les théories
d’homogénéisation considèrent, à l’échelle macroscopique, un milieu infini.
Or, dans les méthodes d’homogénéisation numériques, on travaille sur des
domaines de taille finie. Il est alors bien connu que les résultats obtenus sont
dépendants des conditions aux limites. Par ailleurs, bien que les
discontinuités jouent un rôle fondamental dans le comportement
macroscopique, elles ont un volume nul. Leurs contributions à des moyennes
volumiques seraient alors nulles. Ceci pose des difficultés pour la
détermination des grandeurs macroscopiques définies en général comme les
moyennes volumiques des grandeurs locales. Le travail exposé ici apporte un
éclaircissement sur l’ensemble des ces problèmes et permet de définir une
méthode numérique rigoureuse et mathématiquement bien fondée. Les
concepts théoriques sont par ailleurs définis avec clarté ce qui rend l’ouvrage
accessible au plus grand nombre d’étudiants et de chercheurs.
Ainsi, tout en élaborant une méthode rigoureuse d’homogénéisation
numérique de milieux fracturés, cet ouvrage en présente une application
intéressante aux massifs rocheux. Les cas traités se limitent à des types de
massifs très courants, à savoir, massifs sédimentaires à une ou deux familles
de discontinuités. Mais le mérite du travail est d’ouvrir la voie en cette
matière. On peut imaginer que des extensions de ce travail dans toutes les
directions ne tarderont pas à voir le jour: extension à des géométries de
fractures plus complexes, à des comportements non linéaires des fractures et
de la roche, etc.
Les résultats de calculs pour les cas de massifs étudiés sont présentés sous
forme synthétique avec le souci de les rendre directement utilisables dans les
études d’ingénieur.
Ainsi, aussi bien l’étudiant et le chercheur que l’ingénieur trouveront un
intérêt certain dans les matières exposées dans cet ouvrage.
Ahmad Pouya
Directeur de recherches
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées
AVANT-PROPOS
La modélisation des ouvrages réalisés dans les massifs rocheux fracturés
ainsi que la stabilité de ces derniers nécessitent la connaissance des modèles
de comportement mécanique à grande échelle en tenant compte de
l’existence des fractures. Très coûteuses, les méthodes d’estimation directe
des propriétés mécaniques in situ sont remplacées par des méthodes
indirectes. Ces dernières estiment, avec plus ou moins de rigueur ou de
facilité, les propriétés mécaniques de différentes manières :
Les méthodes de classification empiriques (Bieniawski [1973], Barton et al.
[1974], Hoek et Brown [1980], etc.) déterminent de manière empirique et
plutôt qualitative, les propriétés homogénéisées du massif en fonction des
propriétés de la matrice rocheuse et de certaines caractéristiques de la
fracturation. Cependant, ces méthodes ne prennent pas en considération le
problème d’anisotropie mécanique induit par la présence des fractures, ni
l’échelle à laquelle les propriétés homogénéisées sont pertinentes (volume
élémentaire représentatif : VER).
Les méthodes de classification analytiques (Amadei et Goodman [1981],
Yoshinaka et Yamabe [1986], Bekaert et Maghous [1996], etc.) procurent
une formulation rigoureuse des propriétés mécaniques. Toutefois ces
méthodes sont limitées à des configurations géométriques simples de
fracturation (nombre limité de familles, extension infinie des discontinuités,
périodicité des fractures, etc.). En outre, le calcul en plasticité, par le biais de
ces méthodes, est fastidieux.
Au-delà d’une certaine densité de fractures et pour une échelle de
fracturation suffisamment petite par rapport à la taille des ouvrages, il est
avantageux de modéliser un massif fracturé par un milieu homogène
équivalent (MHE). Pour les milieux fracturés, la pertinence des méthodes
d’homogénéisation numériques repose sur le fait que, dans ces méthodes,
une configuration géométrique complexe de la fracturation peut être prise en
compte et que des propriétés élastoplastiques homogénéisées anisotropes
peuvent être retrouvées d’une manière rigoureuse à partir des propriétés des
constituants du massif (matrice rocheuse et fractures).
L’extension de la théorie d’homogénéisation numérique aux massifs
fracturés est récente. Cet ouvrage s’inscrit dans la continuité de ces travaux
sur lesquels nous nous basons, pour calculer les caractéristiques
homogénéisées de cas types de massifs fracturés et procéder ainsi à une
classification mécanique fondée sur le calcul numérique.
Cet ouvrage est divisé en cinq chapitres principaux, les deux premiers étant à
caractère bibliographique. Nous signalons que le texte de l’annexe 2 et celui
du paragraphe 2.4.3 du chapitre 3 appartiennent au Prof. Ahmad Pouya. Ils
n’ont pas été publiés ailleurs jusqu’à la date d’édition de cet ouvrage.
•
Le chapitre 1 s’articule sur une étude bibliographique concernant la
structure géométrique des discontinuités et leur comportement
mécanique, ainsi que sur le comportement de la matrice rocheuse.
Une analyse sur les différents intervalles de variation de ces
paramètres est établie afin d’appuyer le choix des types de massifs
couverts par notre classification numérique.
•
Le chapitre 2 est en rapport avec les méthodes de classification des
massifs rocheux. En premier lieu, les classifications géomécaniques
les plus utilisées (RMR, Q-system et GSI), leurs avantages, leurs
points de faiblesse et les différentes corrélations existant entre leurs
indices et les paramètres mécaniques des massifs rocheux sont
exposés. L’identification de ces derniers par des voies analytiques
est ensuite discutée. À la fin de ce chapitre, les avantages que peut
apporter l’emploi des méthodes d’homogénéisation numérique dans
le calcul des paramètres mécaniques à grande échelle sont mis en
relief.
•
Le chapitre 3 est consacré à la formulation de la méthode
d’homogénéisation numérique appliquée aux milieux fracturés. Les
principes et les formulations théoriques de cette méthode sont tout
d’abord exposés ; la méthodologie d’interprétation des résultats du
calcul numérique d’homogénéisation en élastoplasticité est ensuite
détaillée et les différents modes de chargement possible sont
analysés. Dans ce chapitre, une attention particulière est portée à
l’hypothèse de l’élasticité ellipsoïdale (Saint-Venant [1863-a et
1863-b], Pouya et Zaoui [2006], Pouya [2007]) et à son application à
la modélisation mécanique des massifs rocheux.
•
Dans le chapitre 4, la modélisation mécanique des massifs rocheux
fracturés par la méthode des éléments finis est abordée. En outre, un
schéma d’application et une méthodologie de travail de la théorie
d’homogénéisation sont proposés. Une partie de ce chapitre porte
sur les méthodes de calcul du VER, un sujet rarement traité dans la
littérature.
Afin d’établir et d’automatiser la procédure d’homogénéisation par
éléments finis, un outil d’homogénéisation numérique a été
développé (HELEN). Ses divers modules ainsi que ses avantages et
les domaines d’exploitation sont exposés sommairement.
À la fin de ce chapitre, une application directe à la méthode de
modélisation numérique est effectuée ; c’est une étude de cas d’un
massif granitique en France (Massif de la Vienne).
•
Le chapitre 5 représente un travail fondamental de classification
numérique. Pour les constituants des massifs étudiés, les données
géométriques et mécaniques d’une étude paramétrique établie sont
tout d’abord précisées. Ensuite, les résultats de calcul numérique et
des ajustements sur certains paramètres élastiques sont présentés. Le
mode d’exploitation des résultats obtenus fait l’objet d’une étude
détaillée d’un massif sédimentaire au Nord du Liban (Massif de
Kousba).
Pour toute remarque ou information concernant le contenu de cet ouvrage, le
lecteur est prié de contacter l’auteur sur l’adresse électronique suivante :
[email protected]
L’auteur exprime sa reconnaissance et son remerciement à l’Agence
Universitaire de la Francophonie - Bureau du Moyen Orient pour le
soutien financier accordé à l’édition de cet ouvrage.
Il m’est arrivé de fréquenter un groupe de
personnes qui poursuivaient une série
d’expériences scientifiques sur une très vaste
échelle. Ils ne faisaient pas mystères de leurs
travaux. Mais ils avaient posé cette condition
que nul d’entre eux ne serait au droit de parler
ou d’écrire sur aucune expérience, à moins qu’il
ne soit en mesure de la mener lui-même à bien.
Tant qu’il était incapable de répéter
l’expérience lui-même, il devait se taire.
Ouspensky
Fragments d’un enseignement inconnu
Chapitre 1
Les massifs rocheux : structure et comportement
mécanique
Dans ce chapitre une étude bibliographique sur les constituants d’un massif
rocheux est établie. Elle concerne la structure géométrique des
discontinuités, leur comportement mécanique ainsi que celui de la matrice
rocheuse.
Ce chapitre est d’un caractère bibliographique bien utile pour la définition :
•
Des familles de fractures pour lesquelles l’application de la méthode
d’homogénéisation est pertinente.
•
Des paramètres élastoplastiques définissant les lois de comportement
d’une matrice rocheuse ainsi que de leurs valeurs appropriées
figurant dans la littérature.
•
Des caractéristiques géométriques des fractures ainsi que de leur
plage de variation.
•
Des paramètres caractérisant le comportement élastoplastique des
discontinuités ainsi que de leur ordre de grandeur.
Une analyse des différents sujets cités ci-dessus est établie. Nous nous
servons de cette analyse pour appuyer le choix des divers paramètres
géométriques et mécaniques de la roche et des discontinuités que nous ferons
au chapitre 5 pour établir la base de données de notre classification
numérique.
Chapitre 1
LES MASSIFS ROCHEUX : STRUCTURE ET
COMPORTEMENT MECANIQUE
1. Structure géométrique des massifs rocheux
Formés d’une juxtaposition de matériaux hétérogènes, les massifs rocheux
sont des structures très complexes. Ils sont assimilés à un assemblage de
blocs appelés matrice rocheuse lesquels sont délimités par des discontinuités
constituées de fissures, de fractures ou de failles ou encore de limites
stratigraphiques (Fig. 1).
Fig. 1 : Structure géométrique d’un massif rocheux de calcaire au Nord du Liban
Le comportement mécanique des massifs rocheux est un facteur déterminant
dans le dimensionnement des ouvrages qui y sont exécutés. Afin de
comprendre, expliquer et modéliser ce comportement, il est nécessaire de
19
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
connaître la structure géométrique ou plus précisément le modèle de
distribution géométrique des fractures, ainsi que les propriétés mécaniques
de chacune des composantes que sont la matrice rocheuse et les
discontinuités.
1.1 Aspect géologique
Afin d’étudier le comportement mécanique ou hydraulique d’un massif
rocheux, il est essentiel de connaître son degré de fracturation ainsi que la
répartition des discontinuités dans l’espace. Pour un ensemble de massifs
rocheux, les discontinuités constituent une superposition de différentes
familles de fractures, disposant chacune de lois de distribution et des
caractères statistiques différents. Ces derniers sont souvent déterminés par le
biais de la méthode de projection stéréographique.
L’objectif principal d’une étude géométrique des discontinuités est de
déterminer :
•
Si elles sont classables en familles (orientations voisines) ;
•
Si elles structurent le massif rocheux en blocs (continuité et
connectivité importantes).
Divers auteurs ont essayé de regrouper les structures géométriques des
massifs rocheux dans des catégories bien définies. Cela est illustré dans la
figure 2 pour une série de massifs rocheux (Palmström [1995]). Nous
distinguons les massifs à blocs polyédriques, equidimensionnels,
prismatiques ou en colonnes, les massifs à bancs minces dont l’épaisseur est
moins épaisse que la longueur et les massifs comprenant plusieurs familles
de fractures.
Fig. 2 : Différentes structures géométriques de massifs rocheux fracturés
(cité par Palmström [1995])
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
20
Le Manuel de Mécanique de Roche (CFMR-MMR [2000]) vient appuyer
dans ce sens la définition des divers types déjà cités ci-dessous. Parmi
plusieurs variantes plus complexes mais moins significatives, trois modèles
géométriques principaux sont illustrés dans la figure 3 :
Certains granites ou calcaire massifs formés de blocs parallélépipédiques
(Fig. 3-a), révèlent la présence de trois familles de fractures trirectangulaires pour lesquelles tous les plans de discontinuités sont continus.
Toutefois, il faut noter que cette forme géométrique est très idéalisée. Des
solutions analytiques existent déjà pour le calcul des propriétés mécaniques
de tels massifs dont certaines seront présentées dans le chapitre 2 (§.2.2).
Le schéma de la figure 3-b représente un massif sédimentaire dont l’une des
directions prend davantage d’importance et les diaclases perpendiculaires
sont moins continues. Cette définition peut correspondre à des calcaires à
bancs minces, des alternances de marnes et de calcaires, de grés et de marnes
des formations appelées flyschs ou des roches schisteuses. Les observations
montrent que l’espacement entre les bandes est souvent équivalent à la taille
des diaclases ou à sa moitié. Ces types de massifs sont très courants mais
non accessibles à des traitements analytiques simples ; le recours à des
méthodes d’homogénéisation numériques nous semble très pertinent. La
structure de ces massifs est définie géométriquement par un nombre limité
de paramètres que nous préciserons dans le paragraphe suivant.
Souvent situées dans des zones tectoniques, les roches écrasées comme les
schistes et les brèches de faille présentent une direction d’anisotropie
largement dispersée. Dans un tel type de massif (Fig. 3-c), la précision d’un
nombre bien défini de familles de fractures n’est pas évidente. Toutefois, des
méthodes empiriques approximatives permettent le calcul de leurs propriétés
mécaniques.
a- Roche massive à
trois familles
grossièrement
équivalentes
b- Massif rocheux
stratifié ou schisteux à
une famille
prépondérante
c- Roche écrasée ou
schiste froissé où la
famille prépondérante
est largement dispersée
Fig. 3 : Types de structures des massifs rocheux et représentations statistiques
correspondantes (CFMR-MMR [2000])
21
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
Ces modèles de fracturation sont variés. Pour cette raison, le choix des
massifs étudiés dans la classification numérique du chapitre 5 fera forcément
l’objet de quelques hypothèses qui nous orientent vers des grandes
catégories de massifs existant.
1.2 Paramètres géométriques des discontinuités
La modélisation de la distribution spatiale et de l’emplacement des familles
de fractures dans un massif rocheux fracturé est fondée principalement sur la
connaissance des paramètres géométriques des discontinuités. Chacun de ces
derniers est associé à une variable aléatoire dont les lois de distribution sont
déduites des données acquises sur le terrain. Dans ce qui suit nous
définissons sommairement chacun de ces paramètres. Cette définition est un
préalable nécessaire à l’établissement de la classification numérique
présentée au chapitre 5.
a) Orientation
Les orientations des discontinuités déterminent la forme de blocs individuels
existant dans un massif rocheux et par suite elles sont responsables de leur
anisotropie qui gouverne leur comportement hydraulique et mécanique.
(H) horizontal du plan
α
n
p
plan vertical
pla
nh
ori
zon
tal
Nord
Une première hypothèse simplificatrice sur la géométrie des discontinuités
consiste à supposer que ces surfaces sont des plans. La représentation d’un
plan dans l’espace se fait de diverses manières à partir du vecteur pendage
ou de la normale orientée (Fig. 4). C’est l’angle que fait la ligne de plus
grande pente avec l’horizontale. Quant à la direction, ou l’azimut, c’est
l’angle que fait l’horizontale du plan de la discontinuité avec le Nord
magnétique.
DANS LE PLAN HORIZONTAL
Nord
Nord
(H)
(H)
α1
α2
projection p
Nord
αEST (H)
projection n
β
n: vecteur normal
p: vecteur pendage
DANS LE PLAN VERTICAL
contenant la ligne de plus grande pente
Z
Azimut
Pendage
Direction
vecteur pendage vecteur pendage horizontale
0 < α1 < 360 0 < α2 < 360 0 < α < 180
0 < β 1 < 90
0 < β 2 < 90 0 < β < 90
2 possibilités
Z
Z
β2
β1
Z' p
Z'
n
β
Z'
Fig. 4 : Mesures de l’orientation du plan de discontinuité, différents types de
repérage (Panet et al. [1976])
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
22
La distribution de l’orientation et du pendage est souvent représentée par une
loi hémisphérique, normale ou log-normale.
b) Extension
La taille des fractures conditionne, avec leur orientation et leur espacement,
leur probabilité d’intersection. Par conséquent, elle joue un rôle essentiel
dans la connectivité des blocs.
Une fracture est souvent assimilée à une forme géométrique simple dont une
dimension particulière définit son extension (exemple : diamètre d’un disque
dans l’espace ou longueur d’un segment dans un plan). Cette dimension
n’est pas accessible directement. Cependant un moyen simple pour la
déterminer indirectement se présente en observant les traces des fractures sur
l’affleurement. À noter que les diamètres obéissent souvent une loi
exponentielle décroissante ou log-normale.
c) Espacement
C’est la distance moyenne qui sépare deux intersections successives d'une
ligne droite, appelée également ligne d’échantillonnage, avec les traces des
fractures d’un affleurement. Cette grandeur dépend de la ligne de levé et de
l’extension des discontinuités. En effet, pour un nombre constant de traces
sur une surface, les plus longues ont plus de chance d’être intersectées par la
ligne de levé et semblent être plus rapprochées.
d) Densité
Cette grandeur est en relation directe avec l’espacement et le nombre de
fractures dans un volume fini. Souvent exprimée par une loi uniforme, la
position dans l’espace des discontinuités est décrite en localisant un point
représentatif du modèle géométrique considéré, par exemple, le centre d’un
disque ou d’un segment. Dans ce cas là, le nombre de centres considérés
dans un volume ou sur une surface définit, respectivement, la densité
volumique et la densité surfacique des fractures. Quant à la densité linéique,
elle est définie comme étant l’inverse de l’espacement ou le nombre
d’intersections entre les discontinuités et la ligne d’échantillonnage.
e) Ouverture
Ce paramètre affecte largement la perméabilité des discontinuités et par suite
leur comportement hydromécanique. Il est défini comme étant la distance
entre les deux épontes d’une discontinuité mesurée perpendiculairement à
son plan moyen et obéit généralement une loi exponentielle décroissante ou
log-normale. La détermination de l’ouverture est limitée souvent aux relevés
examinés directement sur un affleurement ou sur des carottes de sondages.
23
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
1.3 Modèles géométriques des discontinuités
Les lois caractérisant le processus de répartition des fractures dans l’espace
ainsi que les paramètres géométriques des fractures sont estimés à partir du
traitement statistique ou géostatistique des discontinuités. Ces lois sont
introduites dans des modèles géométriques de simulation qui génèrent les
fractures dans un espace tridimensionnel.
Plusieurs modèles géométriques existent dans la littérature. A savoir, les
plans poissoniens de Dershowitz [1984] (Fig. 5-a) et les disques de Baecher
et al. [1977] (Fig. 5-b) qui sont les plus utilisés grâce à leur traitement
mathématique simple. L’intérêt de modèle se concrétise par la possibilité
d’estimer la loi de distribution des diamètres des disques à partir de la
longueur des traces.
Le processus de génération des familles s’effectue suivant plusieurs
méthodes. Nous distinguons, parmi les plus employés, le processus de
Poisson à densité constante λv dans lequel les centres de disques sont générés
dans un volume V en tirant au hasard leur nombre N suivant une loi de
Poisson de densité λvV. Ensuite les coordonnés des centres sont répartis
suivant une loi uniforme. Cette phase est suivie par une génération de
l’orientation, du diamètre et de l’ouverture de chaque discontinuité d’une
manière indépendante par tirage au hasard dans la distribution
correspondante (cf. §.1.2).
Le modèle des salves est plus complexe que celui de Poisson à densité
uniforme. Il a été utilisé par plusieurs auteurs pour simuler des réseaux de
fractures (Massoud [1987] et Billaux [1990]). Dans ce modèle, les fractures
sont régionalisées dans l’espace et leur n’est pas constante (Fig. 5-c).
(a)
(b)
(c)
Fig. 5 : Modèles géométriques des discontinuités. a) modèle de disque de Baecher et
al. [1977], b) modèle polygonal de Dershowitz [1984], c) modèle de salves
(d’après Billaux [1990])
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
24
Afin de générer les familles de fractures de la classification numérique (cf.
chap. 5), le modèle des disques a été utilisé. Les centres de ces derniers ont
été distribués dans l’espace suivant un processus de Poisson à densité
uniforme.
2. La matrice rocheuse
2.1 Classification géologique des roches
Le Comité Français de Mécanique des Roches (CFMR-MMR [2000]) définit
la roche comme étant « un assemblage de minéraux qui ont acquis des
liaisons plus ou moins fortes au cours de leur histoire géologique ».
Trois catégories principales sont à l’origine de la classification des roches :
1- Roches magmatiques : elles résultent du refroidissement du
magma (granite, basaltes, etc).
2- Roches sédimentaires : elles résultent de la décomposition des
roches d’origine magmatiques ou métamorphiques et couvrent
plus de trois quarts de la surface des continents et presque la
totalité des fonds des océans. Elles sont caractérisées par leur
épaisseur limitée (calcaires, grés, roches argileuses, etc).
3- Roches métamorphiques : leur formation est due à un
phénomène de transformation à l’état solide des roches
sédimentaires ou magmatiques sous l’effet de hautes pressions
et/ou augmentation de la température (marbre, quartzites,
schistes et micaschistes, gneiss..).
Connaissant bien l’importance capitale qu’apporte l’aspect géologique des
roches sur leur comportement mécanique, nous nous intéressons dans le
paragraphe suivant et dans le cadre de cet ouvrage de l’aspect mécanique en
termes de propriétés et comportement.
2.2 Comportement mécanique des roches
En analysant la variation de la contrainte σ de compression appliquée sur un
échantillon de roche en fonction de la déformation ε qui en résulte, nous
distinguons deux phases principales (Fig. 6) : un comportement réversible ou
élastique (linéaire ou non) et un comportement irréversible marquant,
suivant le cas, l’endommagement, la plasticité ou la rupture de la roche.
Dans ce qui suit, nous décrivons sommairement chacune de ces phases
séparément.
25
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
réversible
irréversible
ε
Fig. 6 : Principales phases du comportement d’une roche au cours d’un essai de
compression simple
2.2.1 Elasticité des roches
Le comportement global d’un massif fracturé est fortement anisotrope.
Toutefois l’anisotropie de la matrice rocheuse est relativement faible et
négligeable par rapport à celle qui est induite par la présence des fractures.
Pour cette raison, nous admettons que le comportement de la roche est
isotrope et caractérisé par un module de Young E et un coefficient de
Poisson ν.
Tableau 1 : Module de Young et coefficient de Poisson pour quelques roches
(cité par Mestat [1993])
Matériau
Module de Young
E (GPa)
Coefficient de Poisson
Granite
Basalte
Quartzite
Gneiss
Schiste
10 – 80
20 – 70
30 – 90
10 – 60
7 – 50
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
0.12 – 0.15
0.25 – 0.35
0.15 – 0.20
Calcaire très compact
Calcaire compact
Calcaire peu compact
Calcaire tendre
60 – 80
30 – 60
10 – 30
2 – 10
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
Marne
Grés
Molasse
Marbre
Gypse
0.05 – 1
5 – 60
1.5 – 5
80 – 110
2 – 6.5
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
0.25 – 0.35
0.27 – 0.3
0.27 – 0.3
ν
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
26
Le tableau 1 donne une idée sur l’intervalle de variation de E et de ν pour
différents types de roches. Dans ce tableau, nous remarquons que E varie
entre des valeurs très petites (moins que 1GPa) pour des roches tendres
comme la marne et le calcaire et des valeurs très grandes (plus que 100GPa)
pour les roches dures comme le granite et le marbre. De même, nous
précisons un coefficient de Poisson moyen dont la valeur est égale à 0.25
pour les divers types de roches. Ce sont ces valeurs qui nous guideront dans
le choix des propriétés élastiques des roches que nous considérons dans la
classification numérique du chapitre 5.
2.2.2 Résistance des roches
Comme nous l’avons indiqué au début de ce paragraphe, la phase élastique
de la courbe contrainte-déformation est suivie par une phase irréversible de
différente nature. Nous définissons la résistance de la roche comme étant la
fin de cette phase élastique et nous proposons de la décrire par un critère
portant sur les contraintes principales. Nous appelons ce critère : critère de
résistance de la roche.
Un critère très courant et souvent utilisé dans le domaine de la mécanique
des sols et des roches est celui de Mohr-Coulomb.
Ce critère est représenté dans le plan des contraintes tangentielles et
normales (τ,σ) par deux droites symétriques par rapport à l’axe des
contraintes normales (Fig. 7) lesquelles sont appelées courbes intrinsèques.
Il est caractérisé par deux paramètres qui sont la cohésion C et l’angle de
frottement interne Φ de la roche. L’équation de la courbe intrinsèque s’écrit :
τ ≤ C + σ tan Φ
(1)
τ et σ représentent respectivement la contrainte de cisaillement et la
contrainte normale à la rupture.
La forme géométrique de ce critère dans l’espace des contraintes limites
principales σ1, σ2, σ3 prend la forme d’un cône à base hexagonale dont l’axe
est défini par la droite σ1=σ2=σ3 (Fig. 8).
27
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
+τ (MPa)
Plasticité
τ
−σ(MPa)
σt
Elasticité
C
+σ(MPa)
ο
+Φ
σ1
σ
σ2
σ3
Plasticité
Fig. 7 : Critère de résistance de Mohr-Coulomb représenté dans le plan (τ,σ)
1
σ3
σ1=σ2=σ3
σ1=σ2=σ3
3C
tan
Φ
σ3
σ2
σ2
Fig. 8 : Critère de résistance Mohr-Coulomb représenté dans l’espace des
contraintes principales
Quant à la formulation mathématique, elle est régie par l’équation suivante :
F (σ ) = (σ 2 − σ1) − (σ1 + σ 2 ) sin Φ − 2C cos Φ ≤ 0 ; σ1<σ3<σ2
(2)
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
28
Une expression ne faisant pas intervenir la contrainte intermédiaire σ3.
D’après cette équation, le potentiel plastique dans le plan
⎛ (σ 2 − σ1) (σ1 + σ 2 ) ⎞
,
⎜
⎟ s’écrit :
2
2
⎝
⎠
σ 2 − σ1
2
σ +σ2
α
et Φ = sin −1 (tan Ψ )
≤α + 1
tan Ψ; C =
2
cos Ψ
(3)
Cette équation représente l’équation d’une droite caractérisée par les
paramètres α et Ψ (Fig. 9). Elle est d’une importance capitale puisqu’il suffit
de calculer deux couples de points (σ1,σ2) pour obtenir la cohésion de la
roche ainsi que son angle de frottement interne.
Le critère de Mohr-Coulomb permet de calculer d’autres paramètres
mécaniques employés fréquemment par les concepteurs des ouvrages dans
les massifs rocheux tels que la résistance à la compression simple et à la
traction. En effet, du fait que σ1<σ3<σ2 alors la résistance à la compression
simple de la roche σc résulte d’une contrainte σ1 nulle d’où :
σc = σ2 =
2C cos Φ
1 − sin Φ
(4)
De même, pour une contrainte σ3 nulle, l’expression de la résistance à la
traction s’écrit :
σ t = σ1 = −
2C cos Φ
1 + sin Φ
(5)
d’où :
σc
1 + sin Φ
=−
σt
1 − sin Φ
(6)
Dans le cas particulier où Φ=0, le critère de Mohr-Coulomb prend la forme
du critère de Tresca représenté par une droite horizontale et dont
l’expression s’écrit comme suit :
F (σ ) = (σ 2 − σ1) − 2C ≤ 0
(7)
29
Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
(σ2−σ1)/2
−1
Φ=sin (tanΨ)
C=α/cosΨ
Ψ
α
(σ2+σ1)/2
Fig. 9 : Potentiel plastique du critère de rupture de Mohr-Coulomb
Le critère de Mohr coulomb n’est pas le seul à caractériser le comportement
de la roche en phase plastique. En fait, comme nous l’avons déjà mentionné,
il est l’un des plus employés en termes de modélisation et de calcul des
ouvrages. Parmi d’autres critères dont la présence dans la littérature est assez
répandue, on mentionne celui de Murell [1965] et de Hoek-Brown [1980].
L’emploi de ce dernier ne se limite pas à la modélisation du comportement
d’une roche saine mais aussi à des massifs fracturés à caractère isotrope. Les
paramètres et la formulation mathématique de ce critère sont détaillés dans le
chapitre 2 (cf. §.1.4).
Nombreux sont les auteurs dont les recherches portent sur le calcul de la
cohésion et de l’angle de frottement interne des roches. Nous regroupons
dans le tableau 2 un recueil de valeurs intéressantes de ces paramètres
illustrant une large dispersion en fonction de la nature de la roche.
Il faut noter que les tableaux 1 et 2 donnent une idée générale sur les valeurs
des paramètres mécaniques d’une roche lesquelles doivent être employées
avec précaution. En outre l’effet d’échelle est un facteur important qu’il ne
faut pas négliger. À titre d’exemple, Farmer et Kemeny [1992] signalent que
le module de déformation sur les échantillons intacts de roches est 5 à 20
fois plus grand que les valeurs obtenues in situ.
Massifs rocheux : homogénéisation et classification numériques
30
Tableau 2 : Valeurs représentatives de la cohésion et de l’angle de frottement
interne des roches intactes (d’après Kulhawy [1975], cité par Goodman
[1989])
Description
Barea sandstone
Bartlesvile sandstone
Pottsville sandstone
Repetto silstone
Muddy shale
Stockton shale
Edmonton betonic shale
Sioux quartzit
Texsas slate ; loaded
30° to clivelage
90° to clivelage
Georgia marble
Wolf Camp limestone
Indiana limestone
Hasmark dolomite
Chalk
Blaine anhydrite
Inada biote granite
Stone mountain granite
Nevada Test Site basalt
Schistose gneiss
90° to clivelage
30° to clivelage
C (MPa)
Φ(°)
27.2
8.0
14.9
34.7
38.4
0.34
0.3
70.6
27.8
37.2
45.2
32.1
14.4
22.0
7.5
48.0
26.2
70.3
21.2
23.6
6.72
22.8
0.0
43.4
55.2
55.1
66.2
21.0
26.9
25.3
34.8
42.0
35.5
31.5
29.4
47.7
51.0
31.0
46.9
14.8
28.0
27.6
2.2.3 Modèle élastoplastique parfait
Une formulation analytique traduisant le comportement fragile à la
compression d’une très grande majorité de roches est la loi élastoplastique
avec radoucissement (appelée également écrouissage négatif). Elle est régie
par le critère de Mohr-Coulomb. Cette loi est définie par trois phases (Fig.
10) : 1- phase élastique, 2- phase de post-rupture, 3- phase résiduelle.
Pour des raisons de difficultés liées à la modélisation numérique, il est plus
aisé d’utiliser le formalise élastoplastique parfait qui a été initialement
développé pour décrire le comportement des métaux. Son emploi est
fréquent dans les modèles numériques grâce à sa simplicité et la facilité
d’intégration dans les codes de calcul numérique.
Dans ce modèle, la phase élastique est caractérisée par un module de Young
E et un coefficient de Poisson ν. Quant à la phase plastique, nous notons la
présence d’une contrainte σp variant en fonction de la contrainte de