Chapitre IV : Bilans en mécanique des fluides

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides"
1
Bilans dynamiques et thermodynamiques
Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
Contents
1 Rappels
1.1 Surface de contrôle et surface particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Bilans dans des écoulements unidimensionnels
2.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bilans en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Cas des écoulements non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
4
3 Bilans divers
3.1 Bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bilan de moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Travail des forces de pression externe . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bilans énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Energie potentielle de pesanteur . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . .
3.5.3 Cas d’un écoulement adiabatique stationnaire . . . . . .
3.5.4 Cas d’un écoulement parfait incompressible stationnaire
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4
4
4
5
6
6
6
6
7
8
4 Exemples
4.1 Force exercée par un jet liquide sur
4.2 Poussée d’une fusée . . . . . . . . .
4.3 Le tourniquet hydraulique . . . . .
4.4 Etude d’une tuyère . . . . . . . . .
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8
8
8
9
9
5 Exercices
une plaque
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xe
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2
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
Bilans dynamiques et thermodynamiques
Chapitre IV : Bilans en mécanique des 4uides
Objectif :
• Appliquer, sous forme de bilans, les lois de la mécanique et de la thermodynamique à un uide.
1
Rappels
1.1
Surface de contrôle et surface particulaire
Lors de l’écriture de bilan en mécanique des 4uides, nous pouvons raisonner sur un système fermé ou sur un système ouvert:
• Bilan sur un système ouvert :
On considère une surface fermée, appelée surface de contrôle, !xe dans le référentiel d’étude. Sauf dans le cas d’un
4uide au repos, il y a circulation de matière entre le volume de contrôle (volume délimité par la surface de contrôle) et
le milieu extérieur. Cette approche correspond à la description eulérienne.
• Bilan sur un système fermé :
On considère une quantité déterminée de uide délimitée par une surface fermée appelée surface particulaire.
Tous les points de cette surface se déplacent à la même vitesse que le 4uide. Il n’y a donc aucun transfert de matière entre
le volume particulaire (volume délimité par la surface particulaire) et le milieu extérieur. Cette approche correspond à
la description lagrangienne.
1.2
Méthode
Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont applicables aux systèmes fermés et aux systèmes ouverts, mais pour
ces derniers il faut tenir compte des 4ux entrant et sortant. Dans le cadre du programme ”on se ramènera à un système
fermé”.
2
Bilans dans des écoulements unidimensionnels
2.1
Dé*nition
Un écoulement est unidimensionnel si le champ des vitesses, ainsi que toutes les propriétés locales du 4uide,
ne sont fonction que d’une coordonnées d’espace et du temps.
Remarques :
1) La coordonnée d’espace est souvent l’abcisse curviligne le long de l’écoulement.
2) L’écoulement peut être unidimensionnel que sur certaines portions.
2.2
Bilans en régime stationnaire
On considère un écoulement unidimensionnel, en régime stationnaire, avec une conduite d’entrée (de section S1 ) et une
conduite de sortie (de section S2 ).
Soit une grandeur G du 4uide extensive. On note g̃ et g les grandeurs volumique et massique associées :
g̃(r, t)d =
G(t) =
V
g(r, t) (r, t)d =
V
g(r, t) (r, t)d =
V
g̃(r, t)d = G (t)
V
On se ramène à un système fermé. On cherche à évaluer la variation temporelle de la grandeur G attachée au 4uide qui,
à l’instant t, est contenu dans le volume particulaire V (donc mobile dans le référentiel d’étude : approche lagrangienne) :
DG
dt .
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
3
On raisonne sur le système fermé {A1 , B1 , A2 , B2 } délimité par les pointillés sur la gure ci-dessus.
Entre t et t + dt :
- la surface S1 en A1 B1 se déplace de v1 dt pour venir en A1 B1 ,
- la surface S2 en A2 B2 se déplace de v2 dt pour venir en A2 B2 .
On a alors :
DG = GA1 B1 A2 B2 (t + dt)
GA1 B1 A2 B2 (t)
= GA1 B1 A2 B2 (t + dt) + GA2 B2 A2 B2 (t + dt)
GA1 B1 A1 B1 (t) + GA1 B1 A2 B2 (t)
Le système est en régime stationnaire donc GX (t + dt) = GX (t) d’où
DG = GA1 B1 A2 B2 + GA2 B2 A2 B2
GA1 B1 A1 B1 + GA1 B1 A2 B2
GA1 B1 A1 B1
= GA2 B2 A2 B2
= g̃2 S2 v2 dt g̃1 S1 v1 dt
= g2 2 S2 v2 dt g1 1 S1 v1 dt
DG
= g2 2 S2 v2 g1 1 S1 v1 en régime stationnaire
Dt
Rappel : le débit massique élémentaire est le 4ux élémentaire du vecteur densité volumique de courant de masse
dDm = d = j(M, t).dS avec j(M, t) = (M, t) v(M, t)
Pour une surface, non élémentaire, orientée S xe dans le référentiel d’étude. Le débit massique Dm du 4uide à travers S est
la somme des débits massiques élémentaires dDm
Dm =
dDm =
=
S
j(M, t).dS =
d =
S
S
(M, t) v(M, t).dS
S
Pour le modèle unidimensionnel adopté ici :
Dm =
(M, t) v(M, t).dS = vS
S
On a alors :
DG
= g2 ( 2 S2 v2 ) g1 ( 1 S1 v1 )
Dt
= g2 Dm,2 g1 Dm,1
En régime stationnaire le débit massique entrant en A1 B1 est égal au débit massique sortant en A2 B2 (tous deux comptés
positivement); il n’y a pas d’accumulation
Dm =
1 S1 v1
=
2 S2 v2
en régime stationnaire
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, la dérivée particulaire d’une grandeur
physique extensive est donné par :
DG
= (g2 g1 ) Dm = g2 2 S2 v2 g1 1 S1 v1
Dt
avec Dm débit massique: Dm = vS.
Remarque : On peut généraliser la démonstration précédente lorsque le système comporte plusieurs entrées et/ou plusieurs
sorties.
4
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
2.3
Cas des écoulements non stationnaires
Dans le cas d’un écoulement non stationnaire il faut ajouter à la variation précédente ( DG
Dt = g2 2 S2 v2 g1 1 S1 v1 ) un terme
prenant en compte les variations de g et au cours du temps : GA1 B1 A2 B2 (t + dt) GA1 B1 A2 B2 (t). Plus précisément :
GA1 B1 A2 B2 (t + dt) GA1 B1 A2 B2 (t)
dt
g(r,
t + dt) (r, t + dt)d
g(r, t) (r, t)d
A1 B1 A2 B2
A1 B1 A2 B2
= lim
dt 0
dt
[g(r,
t
+
dt)
(r,
t
+
dt)
g(r, t) (r, t)] d
A1 B1 A2 B2
= lim
dt 0
dt
lim
dt
0
A1 B1 A2 B2
= lim
dt
0
= lim
dt
0
A1 B1 A2 B2
=
V
[g(r,t) (r,t)]
dt
t
d
dt
[g(r, t) (r, t)]
d
t
[g(r, t) (r, t)]
d
t
Pour un écoulement unidimensionnel en régime non stationnaire, la dérivée particulaire
d’une grandeur physique extensive est donné par :
(g )
DG
= g2 ( 2 S2 v2 ) g1 ( 1 S1 v1 ) +
d
Dt
t
V
Remarque : La formule ci-dessus est un cas particulier du théorème de transport de Reynolds (hors programme) démontré
au chapitre précédent :
DG
=
Dt
V
=
V
3
g̃
g̃ v.dS
d +
t
S
(g )
g v.dS
d +
t
S
Bilans divers
On ne considère que des écoulements unidimensionnels et stationnaires.
3.1
Bilan de masse
L’équation de conservation de la masse a déjà été donnée au chapitre précédent. On la retrouve ici grâce à la relation du
g1 ) Dm . On l’applique avec G = M et donc g = 1. On obtient 0 = 0 car le bilan massique
paragraphe 2.2.: DG
Dt = (g2
correspond à la propriété énoncé au paragraphe 2.2. : en régime stationnaire le débit massique entrant en A1 B1 est égal au
débit massique sortant en A2 B2 :
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire Dm = ( 1 v1 ) S1 = ( 2 v2 ) S2
Rappel : d’après le chapitre précédent :
- pour un régime stationnaire, v est à ux conservatif (idem) : ( 1 v1 ) S1 = ( 2 v2 ) S2 ;
- pour un écoulement incompressible, v est à ux conservatif : v1 S1 = v2 S2 .
3.2
Bilan de quantité de mouvement
Rappel : la quantité de mouvement d’une particule 4uide de masse dm = d , animée d’une vitesse v est :
dp = vd
d’où une densité volumique de quantité de mouvement :
pvol = v
et une densité massique de quantité de mouvement :
pmassique = v
la relation du paragraphe 2.2. :
DG
= (g2
Dt
g1 ) Dm donne
Dp
= (v2
Dt
v1 ) Dm
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
5
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant p la quantité de mouvement
totale du 4uide contenu dans le volume particulaire :
Dp
2
= (v2 v1 ) Dm = 2 v22 S2 n2
1 v1 S1 n1
Dt
Remarques :
1) On peut obtenir une autre expression de
Dp
par application de la deuxième loi de Newton :
Dt
Dp
=
Dt
Fext = Fp + FL + Fvol
avec
- Fp : forces de pression exercées sur le 4uide dans la conduite d’entrée et de sortie :
Fp = P1 S1 n1
P2 S2 n2
- FL : forces de pression exercées sur le 4uide par le reste de la surface particulaire ;
- Fvol : forces volumiques, par exemple les forces de pesanteur :
fvol d =
Fvol =
gd
3) On obtient alors :
(v2
v1 ) Dm =
2
2 v2 S2 n2
2
1 v1 S1 n1
= (P1 S1 n1
P2 S2 n2 ) + FL +
gd + Fvol
4) Pour un écoulement non stationnaire on obtient :
Dp
=
Dt
3.3
2
2 v2 S2 n2
2
1 v1 S1 n1
+
V
( v)
d
t
Bilan de moment cinétique
Rappel : Soit O un point !xe du référentiel d’étude. Le moment cinétique d’une particule 4uide de masse dm = d , animée
d’une vitesse v et placé au point M avec OM = r, est :
d
o
=r
dmv = r
vd
d’où une densité volumique de moment cinétique :
o,vol
= r
v
et une densité massique de moment cinétique :
o,massique
=r
v
DG
D o
la relation du paragraphe 2.2.:
= (g2 g1 ) Dm donne
= (r2
Dt
Dt
petite pour être repérées respectivement par r1 et r2 .
v2
r1
v1 ) Dm en supposant S1 et S2 suEsament
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant o le moment cinétique
total du 4uide contenu dans le volume particulaire, on a :
D o
v2 r1 v1 ) Dm = 2 v2 S2 (r2 v2 )
v1 )
1 v1 S1 (r1
Dt = (r2
Remarque : On peut obtenir une autre expression de
D o
Dt
D o
=
Dt
avec
ext/o
par application du théorème du moment cinétique :
ext/o
somme des moments par rapport à O de toutes les forces extérieures s’exerçant sur le volume particulaire.
6
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
3.4
Travail des forces de pression externe
Une paroi xe ne fournit aucun travail au 4uide.
En eGet :
• la paroi exerce des forces de pression donc perpendiculaires au déplacement du 4uide donc ne produisant aucun travail;
• la paroi exerce des forces tangentielles de viscosité mais à la paroi la vitesse du 4uide est nulle ; ces forces ne produisent
donc aucun travail.
On ne considère donc que les forces de pression dans la conduite d’entrée et de sortie. Le travail élémentaire est donné
par (voir cours de thermodynamique de 1ère année):
Wpression =
P dV
On ne procède plus comme précédement car le travail n’est pas une grandeur extensive que possède le système (comme la
quantité de mouvement, l’énergie,...) ; on introduit la puissance des forces de pression :
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant WP la puissance
des forces de pression dans la conduite d’entrée et de sortie est :
Wpression
P1 P2
WP = Wpression externe = Wpression conduite =
= P1 S1 v1 P2 S2 v2 =
dt
1
2
3.5
3.5.1
Dm
Bilans énergétiques
Energie potentielle de pesanteur
L’énergie potentielle de pesanteur d’une particule 4uide de masse dm = d , placé en z dans le champ de pesanteur g, est :
Eppesanteur = m g z = d g z
d’où une densité volumique de l’énergie potentielle de pesanteur :
ep,volpesanteur =
Eppesanteur
= gz
d
et une densité massique de l’énergie potentielle de pesanteur :
ep,massiquepesanteur =
la relation du paragraphe 2.2.: DG
Dt = (g2
g1 ) Dm donne
ep,volpesanteur
DEppesanteur
Dt
=gz
= (g z2
g z1 ) Dm
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant z l’altitude moyenne du 4uide (à l’entrée et
à la sortie) et Eppesanteur l’énergie potentielle de pesanteur du 4uide contenu dans le volume particulaire, on a :
DEppesanteur
Dt
= g (z2
z1 ) Dm
Remarque : Le travail des forces de pesanteur est l’opposé de la variation de l’énergie potentielle associée :
Wpesanteur =
3.5.2
DEppesanteur
Dt
= g (z1
z2 ) Dm
Premier principe de la thermodynamique
Le premier principe de la thermodynamique s’écrit :
D U + Ecmacro + Epext
=W +Q
Dt
avec
• U = énergie interne du 4uide contenu dans le volume particulaire ; associée à l’énergie interne massique u = U/ m ;
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
7
• Ecmacro = énergie cinétique macroscopique du 4uide contenu dans le volume particulaire ; associée à l’énergie cinétique
macroscopique massique :
1
1
ec = Ec / m =
m v2 / m = v2
2
2
• Epext = énergie potentielle des forces extérieures (conservatives) appliquées au 4uide : Epext = Eppesanteur + Epautres ;
on suppose dans la suite que Epautres est nulle ;
• Q = transfert thermique reçu, par unité de temps, par le 4uide contenu dans le volume particulaire (puissance thermique);
• W = travail des forces extérieures non conservatives reçu, par unité de temps, par le 4uide contenu dans le volume
particulaire W = Wpression externe + W
— Wpression externe =
P1
P2
1
2
Dm = puissance des forces de pression externe ;
— W = puissance des autres forces extérieures non conservatives ; en général W est la puissance mécanique utile
ou puissance indiquée (puissance cédée par une machine, hélice, compresseur,...).
La relation du paragraphe 2.2.: DG
Dt = (g2
g1 ) Dm donne :
D U + Ecmacro + Epext
1
= (u2 + v22 + gz2 )
Dt
2
1
(u1 + v12 + gz1 ) Dm
2
Le premier principe donne alors :
1
(u2 + v22 + gz2 )
2
1
(u1 + v12 + gz1 ) Dm
2
= Wpression externe + W
=
u2 +
P2
2
1
+ gz2 + v22
2
u1 +
P1
1
P1
P2
1
2
1
+ gz1 + v12
2
L’enthalpie massique d’un 4uide est donnée par : h = u +
Dm + W
= W
+Q
+Q
+Q
/Dm
P
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, le premier principe de la thermo s’écrit :
h1 + gz1 + 12 v12 = W + Q /Dm
h2 + gz2 + 12 v22
Remarque : dans le cas d’une machine thermique :
1) Si le régime n’est pas stationnaire mais cyclique on peut généraliser les résultats précédents en travaillant sur
les valeurs moyennes.
2) Pendant une durée il passe une masse m dans la machine avec m = Dm ; on appelle travail utile massique
lorsque la masse m passe dans la machine la grandeur wu = Wm$ .
3.5.3
Cas d’un écoulement adiabatique stationnaire
L’écoulement est adiabatique : Q = 0.
On suppose de plus que W = 0. On a alors :
1
h2 + gz2 + v22
2
1
h1 + gz1 + v12
2
=0
• Dans le cas particulier de la détente de Joule-Thomson on néglige la vitesse du gaz et l’action de la pesanteur : h2 = h1
détente isenthalpique.
• Dans le cas d’un écoulement parfait, il n’y a pas de frottements internes et un écoulement adiabatique est isentropique.
L’identité thermodynamique s’écrit alors :
dh
=
T ds + dP/ = dP/
2
h2
h1 =
1
1
dP/ = gz1 + v12
2
1
gz2 + v22
2
8
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
3.5.4
Cas d’un écoulement parfait incompressible stationnaire
On se place dans le cas particulier où W = 0.
Dans le cas d’un écoulement parfait et incompressible, le travail des forces intérieures est nul :
- le travail des forces internes de pression est nul car l’écoulement est incompressible ;
- le travail des forces de viscosité est nul car le 4uide est parfait.
Le théorème de la puissance cinétique s’écrit alors :
DEc
Dt
=
Wint + Wext = Wext = Wpression externe + Wpesanteur
P1 P2
1 2 1 2
DEc
v
v Dm =
=
2 2 2 1
Dt
1
2
P2
1 2 P1
1 2
+ gz2 + v2 =
+ gz1 + v1
2
2
2
1
Dm + g (z1
z2 ) Dm
D’après le premier principe de la thermodynamique :
u2 +
P2
2
1
+ gz2 + v22
2
u1 +
P1
1
u2
1
+ gz1 + v12
2
= Q /Dm
u1 = Q /Dm
Pour un écoulement unidimensionnel, incompressible, parfait, en régime stationnaire :
1
P1
1
P2
+ gz2 + v22 =
+ gz1 + v12 et u2 u1 = Q/Dm
2
2
2
1
Remarque : il y a ”découplage” des propriétés mécaniques et thermiques.
4
4.1
Exemples
Force exercée par un jet liquide sur une plaque *xe
Dans l’air, un jet liquide cylindrique de section S1 , de vitesse v1 , arrive sur une plaque courbée qui en modi e la direction
d’un angle *. On désire évaluer la force qu’exerce le jet sur la plaque.
Le liquide est considéré comme incompressible, de masse volumique . La pression interne du jet dans l’air, à l’entrée et à la
sortie, est égale à la pression atmosphérique P0 environnante. En eGet, si elle était diGérente, il y aurait un déplacement du
4uide perpendiculaire à la direction du jet.
L’écoulement est adiabatique ; on le suppose aussi parfait, cela revient à négliger la viscosité dans cette portion de jet.
Nous négligeons la dénivelée éventuelle entre A et B.
4.2
Poussée d’une fusée
Une fusée en mouvement sur la verticale ascendante dans le référentiel terrestre supposé galiléen est soumise au champ de
pesanteur supposé uniforme. Elle éjecte des gaz avec un débit massique Dm constant et une vitesse relative u constante et
dirigée vers le bas.
La fusée et son contenu constituent un système ouvert (S) puisque des gaz sont éjectés.
Montrons que la vitesse v de la fusée est reliée à sa masse m par l’équation
m (t)
dv
= m (t) g +
dt
avec
=
Dm u = force de poussée
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
4.3
9
Le tourniquet hydraulique
Le tourniquet hydraulique représenté ci-dessus possède deux bras OA1 et OB1 identiques de longueur R munis de becs
d’éjection têtes-bèches A1 A et B1 B faisant avec les rayons-vecteurs OA1 et OB1 un angle droit. Il est alimenté avec un débit
volumique constant Dv à la base C de son axe de rotation vertical Oz. Lorsque le tourniquet tourne autour de Oz avec
une vitesse angulaire -, le système ouvert (S) constitué à chaque instant du tourniquet et de l’eau qu’il contient possède un
moment cinétique par rapport à l’axe dont la composante selon uz est de la forme z (t) = J.-(t).
4.4
Etude d’une tuyère
Une tuyère est une canalisation de section variable, dans laquelle un gaz se détend en étant accéléré. Nous pouvons
supposer qu’en régime permanent, l’écoulement est unidimensionnel et adiabatique. Nous supposons, en outre, que le 4uide
est un gaz parfait dont le rapport / = cp /cv est constant.
Le 4uide est admis dans la tuyère en A , à la pression PA , à la température TA , et à une vitesse négligeable. Il en ressort en
B , à la pression PB (la pression extérieure par exemple), à la température TB et à la vitesse vB .
On recherche vB dans le cas d’un écoulement isentropique.
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Exercices
Exercice 1 : Jet d’eau sur une porte
Un jet d’eau de diamètre constant d = 5 cm vient frapper une porte carrée de coté a = 1, 2 m qui fait un angle de
30 avec la direction incidente du jet. La vitesse de l’eau dans le jet est v = 20 m. s et le jet frappe la porte en
son centre G. On néglige les frottements ainsi que la masse de la porte.
1) Montrer que les vitesses v1 et v2 de sortie de l’eau dans les deux jets dérivés plaqués sur la porte sont en
pratique égales à la vitesse incidente.
2) Déterminer la force F qu’il faut appliquer normalement à l’extrémité de la porte pour la maintenir en équilibre.
3) Calculer les sections S1 et S2 des deux jets dérivés à la sortie.
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Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
Exercice 2 : Chariot surmonté d’une aube courbée
Un chariot animée d’une vitesse constante u,est surmonté d’une aube courbée. Un jet de liquide de masse
volumique et de section S arrive sur l’aube avec une vitesse horizontale v > u (v mesurée par rapport au sol).
On maintient constante la vitesse du chariot. Calculer à l’aide de , s, v, u, * :
1) La force horizontale exercée par le jet sur l’aube ;
2) La puissance reçue par le chariot ;
3) Le rendement énergétique, pour * = 3 ;
4) La puissance maximale et le rendement optimal de ce dispositif pour * = 3.
Exercice 3 : Propulsion d’une fusée
La propulsion d’une fusée de masse à vide m0 , animée d’un mouvement vertical ascendant suivant l’axe Oz de
vecteur unitaire k, est assurée par l’éjection de gaz (produits par la combustion du propergol) à travers une tuyère,
avec une vitesse relative u constante par rapport à la fusée et avec un débit massique q = dm /dt, où m (t)
est la masse du propergol qui reste dans les réservoirs à l’instant t. Au départ de la fusée (t = 0) la masse de
propergol emporté est m0 .
La fusée est caractérisée à chaque instant par les rapports caractéristiques :
r=
q
masse initiale totale (fusée+propergol)
et 6 =
masse de la fusée après épuisement du propergol
m0 + m0
1) Calculer la force de poussée
méthodes :
exercée par la réaction des gaz sur la fusée en fonction de q et u ,par deux
a) si on considère le système fermé (fusée + gaz éjectés) ;
b) si on considère le système ouvert constitué par la fusée seule.
2) La fusée part du sol sans vitesse initiale. Exprimer en fonction de 6, g, u et r, puis calculer :
a) l’instant t1 où le propergol est épuisé ;
b) la vitesse maximale vmax de la fusée et l’altitude z1 correspondante ;
c) l’instant t2 où la fusée amorce son retour vers le sol ;
d) l’altitude maximale zmax atteinte par la fusée.
On donne : u = 1600 m. s
1
; r = 5 ; 6 = 1/100 ; g = 9, 8 m. s
2
;. ln x dx = x (ln x
1) + cste
Exercice 4 : Tourniquet hydraulique
Un tourniquet hydraulique est en rotation autour de l’axe vertical. L’eau arrive par la base avec un débit massique
Dm et ressort par les n branches identiques, de rayon a, à la vitesse u par rapport à ces branches, tangentiellement
à la trajectoire des extrémités du tourniquet. Le système formé par le tourniquet et l’eau contenue à l’intérieur
a un moment d’inertie total J par rapport à l’axe et une vitesse angulaire instantanée - (t) dans le référentiel
galiléen du laboratoire. On négligera les frottements.
1) Établir l’équation diGérentielle du mouvement du premier ordre en - (t).
2) Établir la loi - (t) si le système est immobile à l’instant t = 0.
Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
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Exercice 5 : Tuyère
De l’air, assimilé à un gaz parfait, s’écoule à travers une tuyère parfaitement calorifugée. La vitesse de l’air à
l’entrée est quasiment nulle. On notera p0 , 0 et T0 les caractéristiques de l’air à l’entrée de la tuyère et p1 , 1 ,
T1 , v1 au niveau du col de la tuyère.
1) Exprimer la vitesse v1 du 4uide, au niveau du col, en fonction de p0 ,
1e rapport des chaleurs massiques de l’air.
0,
p1 ,
1
et T1 . On notera / = CP /CV
2) Sachant que l’air subit une transformation isentropique, exprimer cette vitesse v1 en fonction de /, p0 ,
X = p1 /p0 .
0
et
3) Sachant que le rendement du système est maximum si le débit massique d’air est maximum, exprimer X en
fonction de / pour satisfaire cette condition. Application numérique : / = 1, 40.
4) Sachant que la célérité du son dans l’air s’exprime par c = /p/ , exprimer v1 en fonction de c au niveau du col.
5) Sachant que le débit massique à travers une tuyère est constant, établir l’expression dS/S en fonction de dv/v
et du nombre de Mach M = v/c.
6) Déduire de la relation précédente l’expression du rapport S/Scol en fonction du nombre de Mach et de /.
Tracer l’allure du graphe y = S/Scol en fonction de M. En déduire les zones de la tuyère qui correspondent à un
écoulement subsonique, supersonique et sonique.
Exercice 6 : Vol vertical d’un hélicoptère
On étudie le vol vertical d’un hélicoptère de masse totale M = 1200 kg (y compris les passagers) propulsé par des
pales (hélices) de rayon R = 7, 5 m et d’épaisseur négligeable. On admet l’écoulement de l’air parfait et permanent
dans le référentiel (R0 ) lié à l’hélicoptère, depuis l’amont où la vitesse de l’air est v0 jusqu’à l’aval où sa vitesse
est v2 . A l’extérieur du tube de courant, qui présente une symétrie de révolution autour de l’axe Oz de rotation
des pales, règne la pression atmosphérique p0 = 105 Pa. La masse volumique de l’air, supposé incompressible, est
= 1, 25 kg. m 3 et l’accélération de la pesanteur est g = 9, 8 m. s 2 . A l’intérieur du tube de courant, la pression
et la vitesse de l’air ne dépendent que de l’attitude z.
1) Montrer que la diGérence des pressions de l’air de part et d’autre de l’hélice est : P1 P1 = (v2 +v0 ).(v2 v0 )/2
si on néglige la pesanteur.
2) Exprimer (en fonction de , R, v0 et v2 ). la force F exercée par l’air sur les pales de l’hélicoptère.
3) Exprimer 1a vitesse v1 de l’air sur les faces supérieure et inférieure de l’hélice, en fonction de v0 et v2 .
4.a) A partir d’un bilan d’énergie cinétique, exprimer la puissance P du rotor en fonction de , R, v0 et v2 .
4.b) Retrouver la puissance P à partir des résultats établis aux questions précédentes.
5) Dans le cas du vol ascendant vertical (uniforme) de vitesse V = 6 m. s
1
par rapport au sol, calculer :
5.a) les vitesses v0 , v1 et v2 de l’air en amont, sur l’hélice et en aval ;
5.b) la puissance nécessaire du rotor pour assurer ce vol vertical uniforme.