Chapitre IV : Bilans en mécanique des fluides

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides" 1
Bilans dynamiques et thermodynamiques
Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
Contents
1Rappels 2
1.1 Surface de contrôle et surface particulaire ...................................... 2
1.2 Méthode ......................................................... 2
2Bilans dans des écoulements unidimensionnels 2
2.1 Dénition ........................................................ 2
2.2 Bilans en régime stationnaire ............................................. 2
2.3 Cas des écoulements non stationnaires ........................................ 4
3Bilans divers 4
3.1 Bilan de masse ..................................................... 4
3.2 Bilan de quantité de mouvement ........................................... 4
3.3 Bilan de moment cinétique .............................................. 5
3.4 Travail des forces de pression externe ......................................... 6
3.5 Bilans énergétiques ................................................... 6
3.5.1 Energie potentielle de pesanteur ....................................... 6
3.5.2 Premier principe de la thermodynamique .................................. 6
3.5.3 Cas d’un écoulement adiabatique stationnaire ................................ 7
3.5.4 Cas d’un écoulement parfait incompressible stationnaire .......................... 8
4Exemples 8
4.1 Force exercée par un jet liquide sur une plaque xe ................................. 8
4.2 Poussée d’une fusée ................................................... 8
4.3 Le tourniquet hydraulique ............................................... 9
4.4 Etude d’une tuyère ................................................... 9
5Exercices 9

2Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
Bilans dynamiques et thermodynamiques
Chapitre IV : Bilans en mécanique des 4uides
Objectif :
•Appliquer, sous forme de bilans, les lois de la mécanique et de la thermodynamique à un uide.
1Rappels
1.1 Surface de contrôle et surface particulaire
Lors de l’écriture de bilan en mécanique des 4uides, nous pouvons raisonner sur un système fermé ou sur un système ouvert:
•Bilan sur un système ouvert :
On considère une surface fermée, appelée surface de contrôle,!xe dans le référentiel d’étude. Sauf dans le cas d’un
4uide au repos, il y a circulation de matière entre le volume de contrôle (volume délimité par la surface de contrôle) et
le milieu extérieur. Cette approche correspond à la description eulérienne.
•Bilan sur un système fermé :
On considère une quantité déterminée de uide délimitée par une surface fermée appelée surface particulaire.
Tous les points de cette surface se déplacent à la même vitesse que le 4uide. Il n’y a donc aucun transfert de matière entre
le volume particulaire (volume délimité par la surface particulaire) et le milieu extérieur. Cette approche correspond à
la description lagrangienne.
1.2 Méthode
Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont applicables aux systèmes fermés et aux systèmes ouverts, mais pour
ces derniers il faut tenir compte des 4ux entrant et sortant. Dans le cadre du programme ”on se ramènera à un système
fermé”.
2Bilans dans des écoulements unidimensionnels
2.1 Dé*nition
Un écoulement est unidimensionnel si le champ des vitesses, ainsi que toutes les propriétés locales du 4uide,
ne sont fonction que d’une coordonnées d’espace et du temps.
Remarques :
1) La coordonnée d’espace est souvent l’abcisse curviligne le long de l’écoulement.
2) L’écoulement peut être unidimensionnel que sur certaines portions.
2.2 Bilans en régime stationnaire
On considère un écoulement unidimensionnel,enrégime stationnaire, avec une conduite d’entrée (de section S1)etune
conduite de sortie (de section S2).
Soit une grandeur Gdu 4uide extensive.Onnote˜get gles grandeurs volumique et massique associées :
G(t)=V
˜g(r, t)d=V g(r, t)(r, t)d=V g(r, t)(r, t)d=V ˜g(r, t)d=G(t)
On se ramène à un système fermé. On cherche à évaluer la variation temporelle de la grandeur Gattachée au 4uide qui,
à l’instant t, est contenu dans le volume particulaire V(donc mobile dans le référentiel d’étude : approche lagrangienne) :
DG
dt .

Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides 3
On raisonne sur le système fermé {A1,B
1,A 2,B 2}délimité par les pointillés sur la gure ci-dessus.
Entre tet t+dt :
-lasurfaceS1en A1B1se déplace de v1dt pour venir en A
1B 1,
-lasurfaceS2en A2B2se déplace de v2dt pour venir en A
2B 2.
On a alors :
DG=G
A
1B 1A 2B 2(t+dt)G
A1B1A2B2(t)
=GA
1B 1A2B2(t+dt)+GA2B2A 2B 2(t+dt)GA1B1A 1B 1(t)+GA 1B 1A2B2(t)
Le système est en régime stationnaire donc GX(t+dt)=GX(t)d’où
DG=GA
1B 1A2B2+GA2B2A 2B 2GA1B1A 1B 1+GA 1B 1A2B2
=GA2B2A
2B 2GA1B1A 1B 1
=˜g2S2v2dt ˜g1S1v1dt
=g22S2v2dt g11S1v1dt
DG
Dt =g22S2v2g11S1v1en régime stationnaire
Rappel : le débit massique élémentaire est le 4ux élémentaire du vecteur densité volumique de courant de masse
dDm=d=
j(M,t).d Savec  j(M,t)=(M,t)v(M,t)
Pour une surface, non élémentaire, orientée  Sxe dans le référentiel d’étude. Le débit massique Dmdu 4uide à travers 
Sest
la somme des débits massiques élémentaires dDm
Dm=S dDm==S d=S
j(M,t).d S=S
(M,t)v(M, t).d S
Pour le modèle unidimensionnel adopté ici :
Dm=S
(M,t)v(M, t).d S=vS
On a alors :
DG
Dt =g2(2S2v2)g1(1S1v1)
=g2Dm,2g1Dm,1
En régime stationnaire le débit massique entrant en A1B1est égal au débit massique sortant en A2B2(tous deux comptés
positivement); il n’y a pas d’accumulation
Dm=1S1v1=2S2v2en régime stationnaire
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire,ladérivée particulaire d’une grandeur
physique extensive est donné par :
DG
Dt =(g2g1)Dm=g22S2v2g11S1v1
avec Dmdébit massique: Dm=vS.
Remarque : On peut généraliser la démonstration précédente lorsque le système comporte plusieurs entrées et/ou plusieurs
sorties.

4Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides
2.3 Cas des écoulements non stationnaires
Dans le cas d’un écoulement non stationnaire il faut ajouter à la variation précédente (DG
Dt =g22S2v2g11S1v1)unterme
prenant en compte les variations de get au cours du temps : GA
1B 1A2B2(t+dt)GA 1B 1A2B2(t). Plus précisément :
lim
dt0
GA
1B 1A2B2(t+dt)GA 1B 1A2B2(t)
dt
=lim
dt0A
1B 1A2B2g(r, t +dt)(r, t +dt)dA 1B 1A2B2g(r, t)(r, t)d
dt
=lim
dt0A
1B 1A2B2[g(r, t +dt)(r, t +dt)g(r, t)(r, t)] d
dt
=lim
dt0A
1B 1A2B2[g(r,t)(r,t)]
tdtd
dt
=lim
dt0A
1B 1A2B2
[g(r, t)(r, t)]
td
=V
[g(r, t)(r, t)]
td
Pour un écoulement unidimensionnel en régime non stationnaire,ladérivée particulaire
d’une grandeur physique extensive est donné par :
DG
Dt =g2(2S2v2)g1(1S1v1)+V
(g)
td
Remarque : La formule ci-dessus est un cas particulier du théorème de transport de Reynolds (hors programme) démontré
au chapitre précédent :
DG
Dt =V
˜g
td+S
˜gv.d S
=V
(g)
td+S
gv.d S
3Bilans divers
On ne considère que des écoulements unidimensionnels et stationnaires.
3.1 Bilan de masse
L’équation de conservation de la masse a déjà été donnée au chapitre précédent. On la retrouve ici grâce à la relation du
paragraphe 2.2.:DG
Dt =(g2g1)Dm. On l’applique avec G=Met donc g=1. On obtient 0=0car le bilan massique
correspond à la propriété énoncé au paragraphe 2.2. : en régime stationnaire le débit massique entrant en A1B1est égal au
débit massique sortant en A2B2:
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire Dm=(1v1)S1=(2v2)S2
Rappel : d’après le chapitre précédent :
-pourunrégime stationnaire, vest à ux conservatif (idem) : (1v1)S1=(2v2)S2;
-pourunécoulement incompressible, vest à ux conservatif :v1S1=v2S2.
3.2 Bilan de quantité de mouvement
Rappel : la quantité de mouvement d’une particule 4uide de masse dm =d, animée d’une vitesse vest :
dp=vd
d’où une densité volumique de quantité de mouvement :
pvol =v
et une densité massique de quantité de mouvement :
pmassique =v
la relation du paragraphe 2.2. : DG
Dt =(g2g1)Dmdonne Dp Dt =(v2v1)Dm

Mécanique des uides. Chapitre IV : Bilans en mécanique des uides 5
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant pla quantité de mouvement
totale du 4uide contenu dans le volume particulaire :
Dp
Dt =(v2v1)Dm=2v2
2S2n21v2 1S1n1
Remarques :
1) On peut obtenir une autre expression de Dp
Dt par application de la deuxième loi de Newton :
Dp
Dt =
Fext =
Fp+ FL+ Fvol avec
- Fp: forces de pression exercées sur le 4uide dans la conduite d’entrée et de sortie :
Fp=P1S1n1P2S2n2
- FL: forces de pression exercées sur le 4uide par le reste de la surface particulaire ;
- Fvol : forces volumiques, par exemple les forces de pesanteur :
Fvol = 
fvold= gd
3) On obtient alors :
(v2v1)Dm=2v2
2S2n21v2 1S1n1=(P1S1n1P2S2n2)+ 
FL+ gd+ F
vol
4) Pour un écoulement non stationnaire on obtient :
Dp
Dt =2v2
2S2n21v2 1S1n1+V
(v)
td
3.3 Bilan de moment cinétique
Rappel :SoitOun point !xe du référentiel d’étude. Le moment cinétique d’une particule 4uide de masse dm =d,animée
d’une vitesse vet placé au point Mavec  OM =r,est:
do=rdmv=rvd
d’où une densité volumique de moment cinétique :
 o,vol =rv
et une densité massique de moment cinétique :
 o,massique =rv
la relation du paragraphe 2.2.:DG
Dt =(g2g1)Dmdonne D 
o
Dt =(r2v2r1v1)Dmen supposant S1et S2suEsament
petite pour être repérées respectivement par r1et r2.
Pour un écoulement unidimensionnel en régime stationnaire, en notant  
ole moment cinétique
total du 4uide contenu dans le volume particulaire, on a :
D 
o
Dt =(r2v2r1v1)Dm=2v2S2(r2v2)1v1S1(r1v1)
Remarque : On peut obtenir une autre expression de D 
o
Dt par application du théorème du moment cinétique :
D 
o
Dt =
ext/o
avec  ext/o somme des moments par rapport à Ode toutes les forces extérieures s’exerçant sur le volume particulaire.