L`électromagnétisme

PSI Brizeux
Ch. E1 L’électromagnétisme
1
CHAPITRE E1
L’ÉLECTROMAGNÉTISME
1.
CHARGES ET COURANTS
1.1.
Charges ponctuelles et courants filiformes
On sait, depuis les expériences de Millikan, que la charge électrique est quantifiée, la plus petite
charge existant étant celle de l'électron, qui vaut, en valeur absolue, 1,6 10-19 C. A ce type de
particules, essentiellement microscopiques, on peut donc associer un scalaire qui sera la charge notée
q. Rappelons enfin que la charge est algébrique, le signe des charges ayant été fixé
conventionnellement à l'origine, et conservative, la charge globale d'un système isolé étant invariante.
Le modèle le plus simple de charge est la charge ponctuelle, notée q, occupant un point M de
l'espace. Ce modèle, outre son irréalisme, pose deux problèmes :
- A des distances très faibles d'une particule chargée, l'électromagnétisme dit classique n'est plus
applicable. On doit faire appel à une théorie quantique.
- Plus prosaïquement, à notre niveau d'étude, le modèle introduit une singularité là où se trouve la
charge : le champ E n'y est plus défini. Cette même singularité fait qu'une charge ne peut subir son
propre champ. Quand on écrit alors qu'une charge placée dans un champ E subit la force F = qE , on
doit préciser qu'il s'agit d'un champ extérieur : on exclut du champ total la contribution due à la charge
elle-même.
!
!
Le modèle le plus simple de courant est le courant filiforme circulant "le long" !
d'une courbe C, avec
une intensité I. Il pose les mêmes problèmes que le modèle de la charge ponctuelle :
- le champ B n'est pas défini sur "le fil"
- un élément de courant subissant une force de Laplace dF = Idl" B, B doit être le champ
"extérieur" à l'élément de courant , ce qui n'a aucun sens physique puisqu'il est impossible d'isoler le
champ
! créé par l'élément lui-même.
Pour toutes ces raisons, il est indispensable d'introduire un modèle plus adapté : le modèle
!
!
volumique.
1.2.
Charges et courants volumiques
1.2.1. Définition
Pour pouvoir appliquer le calcul différentiel mathématique, nous allons modéliser la charge
contenue dans un petit volume δτ de l'espace entourant un point M. Il importe de remarquer qu'un
tel volume, bien qu’i soit élémentaire au sens mathématique du terme, contiendra en général un
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nombre immense de charges particulaires. L’échelle caractéristique de ce volume, intermédiaire
entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique, est appelée échelle mésoscopique.
Les grandeurs qui y seront associées (densités de charge, de courants et par la suite champ
électromagnétique) sont dites nivelées ou moyennées, ce qui signifie qu'elles indiquent une valeur
moyenne à cette échelle, leurs fluctuations au niveau microscopique pouvant être très grandes.
La modélisation volumique rend continues les grandeurs associées à un point M sur lequel est
centré le volume élémentaire δτ : nous parlerons plus loin par exemple du champ électrique E(M,t)
en M. Il s’agit bien là d’une grandeur macroscopique, conçue comme une moyenne sur l’élément
mésoscopique δτ, ce qui sera le cas de toutes les autres grandeurs introduites.
Ainsi, au volume δτ, nous associons la charge δq qu'il contient et posons :
!
δq = ρ(M,t) δτ
ρ(M,t) est la densité volumique de charges au point M, dépendant de ce point et du temps,
exprimée en C.m-3.
En outre, une partie de ces charges peut être animée, par rapport à un référentiel R qu'il
conviendra de préciser, d'une vitesse v . Le vecteur densité de courant j (M,t) est alors défini
par :
!
j (M,t) = " m (M,t)v(M,t)
!
où ρ m représente la densité de charges mobiles, non obligatoirement égale à ρ (ainsi un
conducteur globalement neutre pour lequel ρ = 0 peut-il être le siège de courants ). j(M,t) s'exprime
!
en A.m-2.
Le flux du vecteur j (M,t) à travers une surface S quelconque représente l'intensité I du courant à
travers cette surface. En effet, pendant le temps dt une charge δq traverse S telle que :
%
(
"q = Idt = $$ # m (M,t)v(M,t)dt.dS =' $$ j (M,t).dS*dt , d’où : I = "" j (M,t).dS
& s
)
s
!s
vdt
dS
!
!
dS
!
!
!
S
δq
ρ(M,t) = δτ densité volumique de charges
j (M,t) = " m (M,t)v(M,t) vecteur courant
I=
δq
"" j (M,t).dS = dt
!s
!
intensité du courant traversant une surface S
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1.2.2. Intérêt
Ce modèle a l'avantage de supprimer la singularité au point M où était placée une charge
ponctuelle : la contribution de l'élément δτ au champ E par exemple tend vers 0 au point M.
Nous savons déjà en effet que le champ électrostatique E créé par une sphère de rayon a,
uniformément chargée en volume, tend vers!0 à l'intérieur de la sphère quand r tend lui-même vers 0
ρr
( il est égal à 3ε0 ).
!
Nous pourrons donc parler, au point M où peut exister une densité de charges ρ, du champ E
« global » sans avoir à distinguer un champ extérieur.
C’est bien sûr aussi le cas d’un champ magnétique vis à vis de courants volumiques.
1.3.
!
Modèles limites surfaciques et linéiques
1.3.1. Distributions surfaciques
Imaginons qu'on puisse faire tendre vers 0, en le comprimant, un volume τ contenant une charge
Q qui reste confinée à l'intérieur de τ. Alors la densité ρ devient nécessairement infinie quand τ -> 0
et la charge finit par occuper un volume " nul " : nous retrouvons le modèle de la charge ponctuelle.
De la même façon, si l'une des dimensions seulement du volume τ tend vers 0 ( notons là x en
ayant choisi une base de projection ) on obtient alors une surface chargée d'épaisseur "nulle".
On peut définir :
"
%
$
!(y, z) = lim"#0$ '(x, y, z) dx
&
0
et on obtient alors
Q=
∫∫s σ dS
x
x
!
"(x, y, z)
=>
#(y, z)
z
y
y
z
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En outre, il est possible de définir une densité de courant surfacique en posant :
js (y,z) = lim" #0
$
"
0
j (x,y,z)dx
L’intensité d’un courant sur la surface se calcule alors en cherchant la charge traversant une
courbe C sur cette surface, pendant le temps dt. Le calcul aboutit à :
!
I=
" j .n dl n
s
C
!C
!
dl
js
n
!
Rq.1 σ et js s'expriment respectivement
en C.m-2 et A.m-1.
!
Rq.2
Nous verrons que le modèle limite de la distribution surfacique introduit des
discontinuités du champ électromagnétique à la traversée de surfaces chargées et/ou parcourues par
des courants surfaciques.
1.3.2. Distributions linéiques
On définit enfin des distributions linéiques de charges et de courants en introduisant une densité
linéique de charge λ en C.m-1. Ce type de distribution prend toute son importance dans l'étude des
circuits filiformes où la densité volumique j est considérée comme uniforme sur la section s du fil.
!
j
€
On a alors I = js. Dans l'étude des champs B créés par les courants interviendra l'élément de
courant j d" . On montre alors très facilement l'équivalence :
!j d" = j .dS = Idl
s
!
!
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2.
CONSERVATION DE LA CHARGE
2.1.
Equation intégrale
5
Considérons un volume τ de l’espace délimité par une surface fermée S. Ce volume contient la
charge Q(t) qui peut varier au cours du temps, du fait que ρ(M,t), la densité volumique de charges,
dépend a priori du temps.
Q(t) =
∫∫∫τ ρ(Μ, t) dτ
n·
n·
S
M
"!
n·
!
n·
La densité de charge pouvant varier au cours du temps, la charge Q(t) dans le volume τ peut donc
elle aussi varier. Ainsi, on écrit que la variation globale de la charge dans le volume τ pendant dt est la
somme des variations de charge élémentaires dans chaque élément de volume dτ :
dQ =
&&&
M$%
'
"#(M,t)
"#(M,t) *
dt d% = ) &&&
d%,dt
"t
( M$% "t
+
"#(M,t)
dt représentant la variation locale, pendant dt, de la densité volumique de
"t
charge autour du point M.
!
Le principe de conservation
de la charge consiste à affirmer qu'en l'absence de toute création ou
disparition de charges à l’intérieur du volume τ, cette variation correspond à un transfert de
! c’est-à-dire un courant, à travers les parois du volume τ. Celui-ci s’écrit :
charges,
la quantité
I=
## j (P,t).dS
P" S
Avec la convention habituelle d’orientation d’une surface fermée vers l’extérieur du volume qu’elle
délimite, ce courant est positif quand globalement un courant est sorti du volume τ, c’est à dire quand
!
celui-ci a vu sa charge diminuer.
Nous devons donc écrire :
dQ = "Idt #
(((
M&'
!
$%(M,t)
d' = " (( j (P,t).dS
$t
P&s
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Equation de conservation de la charge sous forme intégrale
"#(M,t)
&&& "t d% = ' && j (P,t).dS
M$ %
P$ s
2.2.
!
Equation locale
L’équation précédente s’appuie sur un bilan effectué sur un domaine quelconque de l’espace. Il
existe une forme locale équivalente, c’est à dire une équation liant les grandeurs ρ et j en tout point
de l’espace.
En utilisant le théorème de Green- Ostrogradski évoqué en Annexe, la forme locale de l’équation
de conservation s’obtient directement :
!
%&(M,t)
%&
## j (P,t)dS = ### divj d$ d'où ### %t d$ = ' ### divj d$ ($ d'où divj + %t = 0
P"S
M"$
M"$
M"$
Equation locale de conservation de la charge
"#
+ divj = 0
"t
!
Nous retrouverons, en dynamique des fluides, une équation formellement analogue: l’équation de
conservation de la masse.
!
3.
L’INTERACTION ELECTROMAGNETIQUE
3.1.
Force de Lorentz
3.1.1. Expression
L'interaction électromagnétique est l'une des 4 interactions que la physique décrive. Elle régit la
majeure partie des phénomènes intervenant à notre échelle. Les deux interactions nucléaires (forte et
faible) interviennent à l'échelle microscopique et l'interaction de gravitation à l'échelle planétaire,
car bien que 1040 fois plus faible que l'interaction électromagnétique, les masses mises en jeu sont
considérables à cette échelle.
La loi de force associée à cette interaction est le complément indispensable des équations
postulats qui relieront le champ électromagnétique à ses sources.
Elle précise la force subie par une particule de charge q, de vitesse v dans un référentiel R,
placée dans le champ électromagnétique ( E , B ) dans ce même référentiel.
!
!!
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Connue sous le nom de force de Lorentz, son expression est :
(
)
f = q E + v"B
Pour une charge élémentaire distribuée en volume, on définit une force volumique dont
l'expression est :
!
fv (M,t) =
df(M,t)
= #(M,t)E(M,t) + # m (M,t)v(M,t) $ B(M,t)
d"
! 3.1.2. Le champ électromagnétique
En mécanique classique, les forces sont invariantes par changement de repère (excluons le cas
particulier des forces d'inertie). Il n'en est pas de même en mécanique relativiste ou plutôt il existe
des lois de transformation de la force quand on passe d'un référentiel à un autre. La force de Lorentz
y obéit comme les autres et c'est ce qui explique qu'on ne puisse la scinder en une force électrique et
une force magnétique qui séparément n'obéissent pas aux lois de transformation des forces par
changement de repère.
Par conséquent, en général, on ne peut dissocier E de B et il faut parler de couple
électromagnétique. Il existe d'ailleurs des lois de transformation (découlant de la transformation de
la force) qui permettent d'exprimer le couple ( E ', B ') dans R' en fonction du couple ( E , B ) dans R,
connaissant le déplacement de R' par rapport à R.!On verra
! cependant qu'il existe un cas particulier
important (régimes permanents) qui permet de "découpler" E et B .
! !
! !
Les champs électriques s'expriment en V.m-1 et on atteint assez facilement des champs de l'ordre
de 106 V.m-1, les champs maxima qu'on puisse !
atteindre
! actuellement, en fusion thermonucléaire,
11
-1
étant de l'ordre de 10 V.m .
Les champs magnétiques s'expriment en T (Tesla) et on atteint des champs de l'ordre de 1T et
même de quelques T avec des bobines supraconductrices. Le champ magnétique terrestre est de
l'ordre de 10-4 T et le champ d'un aimant ordinaire de quelques centièmes de Tesla.
3.2.
Propriétés d’invariance et de symétrie
De nombreuses distributions de charges et de courants présentent des propriétés de symétrie et
d’invariance qui faciliteront les calculs du champ électromagnétique associé.
Ainsi un plan d’équation x = 0 sera :
- un plan de symétrie si
ρ(x, y, z) = ρ(- x, y, z)
et
j (x,y,z) = j ("x,y,z)
- un plan d’antisymétrie si ρ(x, y, z) = - ρ(- x, y, z)
et
j (x,y,z) = "j ("x,y,z)
!
!
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Une distribution invariante par translation suivant l’axe z sera telle que :
ρ (x, y, z) = ρ(x, y)
et
j (x,y,z) = j (x,y)
Une distribution invariante par rotation autour d’un axe z sera telle que :
ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)
!
et
j (r,",z) = j (r,z)
La loi de force définit B à partir d'un produit vectoriel, dépendant de la convention d'orientation
du repère, ce qui n'est pas le cas de E . On !
dit que E est un vecteur polaire et B un vecteur axial.
Ceci entraîne des propriétés de symétrie différentes pour les deux champs.
!
Imaginons une répartition de charges statiques admettant un plan de symétrie P. Une charge q,
!
!
!
placée en M, subit f = qE . La même charge, placée en M' symétrique de M par rapport à P, doit
subir la force f' symétrique de f par rapport à P. Ceci entraîne que les champs sont eux-mêmes
symétriques.
Une conséquence
est qu'en des points du plan lui-même, le champ E devant être son propre
!
symétrique,
appartient
!
! au plan P.
Si on fait le même raisonnement
avec une distribution de courants, la
charge q, placée en M et M' avec des
vitesses symétriques v et v' , doit y
subir des forces symétriques f et f' .
!
P
E
E'
!
Ceci implique
!
!qu'en des points
f
symétriques par rapport à un plan de
! !
B
symétrie, les champs
sont
antisymétriques ( B' est l’opposé du
!
symétrique de B ).
Une conséquence
!
! est qu'en des
points du
! plan lui-même, le champ B
devant
! être son propre antisymétrique,
est nécessairement orthogonal au !
plan P.
!
!
f'
B
B'
!
v
v
!
!
Il existe enfin des distributions possédant des plans d'antisymétrie : on démontrerait aisément que
les résultats sur E et B sont inversés . Finalement on retiendra les résultats :
!
!En des points d'un plan de symétrie, le champ B est orthogonal au plan
et le champ E est contenu dans le plan.
En des points d'un plan d'antisymétrie, le champ E est orthogonal au plan
et le champ B est contenu
dans le plan.
!
!
!
!
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3.3.
9
Aspect énergétique : puissance échangée
entre le champ ( E , B ) et les charges mobiles
Considérons tout d'abord un volume élémentaire dτ de l'espace autour d'un point M où il existe
! !j (M,t) ( c'est-à-dire des charges mobiles de vitesse macroscopique v(M,t) . Le
un vecteur courant
champ électromagnétique agit sur ces charges mobiles par la force de Lorentz :
dF = " m E + j # B d$ .
(
!
)
!
Si les charges
sont libres de ce déplacer sous l'action de cette force, à un !
déplacement dr sera
"W
associé le travail "W = dF.dr = dF.vdt , soit encore la puissance "P =
= dF.v , ce qui donne :
dt
!
"P = # m E.v d$ = j .E d$
!
!
En effet, puisque j et v sont colinéaires, le deuxième terme s'annule. Ce résultat est très
important et tout à fait général :
!
Le transfert
de puissance entre le champ électromagnétique et les charges mobiles
!
s’effectue par l'intermédiaire du champ E , sous la forme :
"P = j .E d#
!
Remarque : Cette puissance!est en fait calculée du point de vue des charges mobiles : si
elle est positive, ces charges reçoivent effectivement de l’énergie de la part du champ...
4.
4.1.
COURANTS DANS LES CONDUCTEURS
Mouvement des porteurs de charge
Rappelons qu'un conducteur, métal, électrolyte ou autre, est caractérisé par la présence de
charges mobiles par rapport au conducteur et qui peuvent être mises en mouvement sous l'action de
forces diverses.
En l'absence de ces forces, ces charges mobiles ont quand même un mouvement dû à l'agitation
thermique et subissent des chocs avec les éléments fixes du conducteur et entre eux. Leur trajectoire
est donc constituée de segments de droite se raccordant et donnant un déplacement résultant
négligeable, c'est-à-dire une vitesse moyenne nulle.
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F
!
v
V
!
On peut modéliser cette interaction entre les porteurs de charge et le réseau du conducteur par
! v est la vitesse des porteurs par rapport
une force de frottement fluide de la forme f = "#v , où
au réseau du conducteur. L'équation de mouvement d'une charge mobile, dans un référentiel lié au
conducteur, est alors :
!
!
dv
m = "#v
dt
et donne, en régime permanent, une vitesse nulle. Si par contre une force F (ou plusieurs) est
appliquée aux porteurs de charge, ceux-ci sont susceptibles d'acquérir en régime permanent une
!
vitesse moyenne V par rapport au conducteur engendrant ainsi un courant dans celui-ci.
!
On peut imaginer toutes sortes de forces conduisant à ce résultat : forces de pesanteur ou d'inertie
par exemple. Cependant la plus importante, et de loin, est la force électromagnétique de Lorentz.
!
Celle-ci fait intervenir à la fois les champs E et B dont on a vu qu'ils sont en général couplés.
Même en régime permanent, si l'on applique un seul champ électrique à un conducteur, mettant en
mouvement les porteurs de charges, il va donc créer un courant créant lui-même un champ
magnétique.
! !
Il semble donc qu'on ne puisse séparer les effets des 2 champs. Cependant, dans ce dernier cas, le
champ B créé est négligeable par ses effets.
En outre si le champ E appliqué est celui d'une onde électromagnétique, le champ BÎ qui lui est
associé est encore négligeable dans son action sur les porteurs. Par conséquent, en pratique, on
! pourra ne retenir que l'action du seul champ électrique, sauf dans le cas où on applique au
conducteur un!champ magnétique B extérieur important. Nous examinerons ce cas dans un
paragraphe ultérieur et allons pour l'instant étudier le mécanisme de conduction dû au seul champ
électrique et les résultats qui en découlent.
!
Dans un référentiel d'étude où le conducteur est immobile (ce qui permet de confondre vitesse
des porteurs par rapport au référentiel et vitesse par rapport au réseau du conducteur) et le champ E
donné, l'équation de mouvement d'un porteur de charge s'écrit donc maintenant :
m
dv
= "#v + qE
dt
!
t
$
" '
q
On obtient donc une vitesse : v = v 0 &1" e # ) avec v 0 = E proportionnelle au champ E , vitesse
"
%
(
!
m
limite atteinte avec un temps caractéristique " = .
#
!
!
!
!
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11
Rq. Ce calcul suppose le champ permanent mais pas nécessairement uniforme.
Un cas intéressant est celui du champ sinusoïdal qui, en notation complexe s'écrit E = E 0e j"t . On
q
obtient alors une solution permanente pour la vitesse de la forme : v 0 =
E encore
(" + j#m)
proportionnelle à E , le terme mω pouvant même être négligé devant λ pour
! des champs lentement
variables.
!
De cette étude il ressort donc que, sous l'action d'un champ électrique les charges mobiles d'un
!
conducteur peuvent acquérir par rapport à celui-ci, en régime permanent, une vitesse :
v=
4.2.
q
E
"
Loi d’Ohm locale
!
On assiste donc à la création d'un courant de densité : j = " m v =
"m q
E.
#
ρmq
On appelle conductivité γ du conducteur la quantité γ = λ .
Donnons quelques ordres de grandeur : pour un bon conducteur comme le cuivre,
!
γ = 6 107 Ω-1.m-1 et τ est de l'ordre de 2,4 10-14 s. On obtient alors une vitesse de déplacement
v = 0,7 mm.s-1 (qu'il ne faut pas confondre avec la vitesse d'agitation microscopique, elle de l'ordre
de 1,6 106 m.s-1).
Nous venons en fait d'obtenir un résultat qui constitue la forme locale de la loi d'Ohm : dans un
conducteur dit ohmique, on peut écrire
j = "E
montrant la proportionnalité du vecteur courant apparaissant dans le conducteur au champ
électrique appliqué, la constante de proportionnalité
étant caractéristique de ce conducteur.
!
La loi d'Ohm ainsi introduite est une relation constitutive du conducteur et non une loi
générale de l'électromagnétisme : elle comporte certaines simplifications implicites. Deux
remarques importantes s'imposent :
La conductivité due au champ électrique suppose celui-ci sinon permanent du moins
suffisamment lentement variable et en outre pas trop élevé pour éviter dans certains milieux des
effets d'avalanche (création de porteurs libres supplémentaires au cours de chocs avec fort transfert
d'énergie). Ces conditions sont respectées pour des conducteurs usuels dans le domaine des
fréquences de la radioélectricité.
La modélisation des chocs suppose l'isotropie du conducteur. Dans un conducteur anisotrope, on
aboutirait à une relation matricielle entre j et E . L'application d'un champ magnétique intense à un
conducteur isotrope immobile par exemple a pour effet de le rendre anisotrope. Cette propriété
d'isotropie tombe en défaut au voisinage de la surface d'un conducteur, on reviendra plus loin sur ce
phénomène et ses conséquences.
! !
Rappelons enfin qu’à ce stade seul un champ E est supposé à l’origine du courant dans le
conducteur.
!
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12
Nous démontrerons au prochain chapitre la « fameuse » loi d’Ohm intégrale pour un tronçon de
conducteur ohmique : U = RI.
4.3.
Aspect énergétique : loi de Joule
Revenons à l’expression de la puissance cédée par le champ électromagnétique aux charges
mobiles, pour examiner la forme particulière qu’elle prend dans un conducteur où s’écrit la loi
d’Ohm. Puisque j = γ E , il vient :
!
j2
dP = γ E2dτ = γ dτ
!
Cette expression est nécessairement positive : elle montre que les charges mobiles du
conducteur reçoivent de l'énergie de la part du champ électromagnétique. Cette énergie est
ensuite dissipée en chaleur dans le conducteur au cours des chocs entre porteurs mobiles et charges
fixes du réseau métallique (suivant le modèle du frottement fluide, on retrouverait que la puissance
cédée par le champ correspond, au signe près à la puissance de la force de frottement). C'est ce
phénomène qui est appelé effet Joule.
4.4.
Effet Hall
4.4.1. Le champ de Hall
Le champ magnétique va agir par l'intermédiaire de la partie magnétique de la force de Lorentz
où intervient la vitesse du porteur. Il importe donc ici de préciser le référentiel d'étude : nous nous
plaçons dans le cas où, dans le référentiel où E et B sont donnés, le conducteur est immobile.
Dans le cas général, reprenant l'équation de mouvement d'un porteur de charge en régime
permanent, on a :
0= - !
λ v + q( E + v ∧ B )
!
" q
j = ρm v = m E + v $ B = % E + R H j $ B
# ! !
!
!
!
(
) (
)
1
en posant RH! = ρm! qu'on appelle constante de Hall :
!
j = " E + RH j # B
(
)
Cette écriture ne résout évidemment pas immédiatement le problème de la détermination des
lignes de courant qui dépendent
! également des conditions imposées aux limites. Nous prendrons
l'exemple classique d'un conducteur ruban à qui on applique un champ E uniforme permanent
suivant sa plus grande direction .
On a alors création d'un mouvement des électrons mobiles suivant la direction opposée et d'un
vecteur j = γ E :
!
!
!
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charges fixes
charges mobiles
E
!
j
!
Si maintenant on applique un champ B perpendiculairement à E , les électrons initialement tous
de vitesse v (il s'agit toujours d'une vitesse macroscopique) subissent une déflexion provoquant un
déséquilibre de charges :
!
!
!
B
E
!
!
Si, par des conditions aux limites appropriées, on impose au vecteur j de rester, en régime
permanent, parallèle à la plus grande direction du ruban, au champ E initial devra se superposer un
champ électrostatique E H dont l'effet s'opposera à la force magnétique :
!
!
!
j
B
VH
€
€
(
)
On aura donc "e E H + v # B = 0
€
E
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14
E H = "v # B
Ce champ, dit champ de Hall, vient se superposer au champ E et si on considère le champ total,
on n'a plus en toute rigueur proportionnalité
entre j et E . Dans l'exemple envisagé cependant ce
!
champ électrique supplémentaire n'influe pas sur la vitesse des porteurs le long du ruban : la
conductivité est inchangée et la loi d'Ohm s'applique entre
! j et le champ électrique "longitudinal".
!
!
4.4.2. Application de l’effet Hall
!
Cet effet, dit effet Hall, crée donc en outre une ddp entre deux faces du ruban, ddp dont la
mesure permet d'atteindre le champ B : il constitue le principe des sondes de Hall servant à mesurer
des champs magnétiques. Enfin historiquement, le signe de la ddp permit de déterminer celui de la
charge des électrons, porteurs de charges mobiles dans les conducteurs.
!
Rq.1 Dans un cas général où on n'impose pas la direction de j , on montrerait que l'équation cidessus permettrait d'obtenir une relation matricielle entre j et E avec des coefficients de matrice
dépendant notamment de B : on peut dire que l'application du champ magnétique provoque une
anisotropie du conducteur.
!
! !
Rq.2 Dans d'autres cas de figures, beaucoup moins courants, on pourrait au contraire imposer les
!
lignes de champ E et on obtiendrait alors une distorsion des lignes de courant j .
4.4.3. Force de Laplace
!
!
Revenons à présent au champ de Hall E H = "v # B créé quand on applique B à un conducteur,
immobile ou non, et supposons le régime permanent atteint et la vitesse des porteurs uniforme ( ceci
sera bien réalisé dans un circuit filiforme ). Ce champ agit également sur les charges fixes du réseau.
Si l'on suppose la densité globale de charges nulle ( conducteur localement neutre ) , alors la densité
!
!
de charges fixes vaut - ρ m.
Par l'intermédiaire de ces forces agissant sur les charges fixes, un élément dτ de conducteur subit
la force :
(
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"f = #$ m #v % B d& = j d& % B
Si le circuit est filiforme, cette force agissant sur le réseau fixe du conducteur et susceptible de le
mettre en mouvement se met sous la forme :
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"f = Idl# B force de Laplace
On retrouve ainsi l'origine de la force magnétique que subit un circuit placé dans un champ
magnétique ...
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