L`électromagnétisme

PSI Brizeux Ch. E1 L’électromagnétisme 1
CHAPITRE E1
CHAPITRE E1
L’ÉLECTROMAGNÉTISME
1. CHARGES ET COURANTS
1.1. Charges ponctuelles et courants filiformes
On sait, depuis les expériences de Millikan, que la charge électrique est quantifiée, la plus petite
charge existant étant celle de l'électron, qui vaut, en valeur absolue, 1,6 10-19 C. A ce type de
particules, essentiellement microscopiques, on peut donc associer un scalaire qui sera la charge notée
q. Rappelons enfin que la charge est algébrique, le signe des charges ayant été fixé
conventionnellement à l'origine, et conservative, la charge globale d'un système isolé étant invariante.
Le modèle le plus simple de charge est la charge ponctuelle, notée q, occupant un point M de
l'espace. Ce modèle, outre son irréalisme, pose deux problèmes :
- A des distances très faibles d'une particule chargée, l'électromagnétisme dit classique n'est plus
applicable. On doit faire appel à une théorie quantique.
- Plus prosaïquement, à notre niveau d'étude, le modèle introduit une singularité là où se trouve la
charge : le champ
!
E
n'y est plus défini. Cette même singularité fait qu'une charge ne peut subir son
propre champ. Quand on écrit alors qu'une charge placée dans un champ
!
E
subit la force
!
F=qE
, on
doit préciser qu'il s'agit d'un champ extérieur : on exclut du champ total la contribution due à la charge
elle-même.
Le modèle le plus simple de courant est le courant filiforme circulant "le long" d'une courbe C, avec
une intensité I. Il pose les mêmes problèmes que le modèle de la charge ponctuelle :
- le champ
!
B
n'est pas défini sur "le fil"
- un élément de courant subissant une force de Laplace
!
dF =Idl "B
,
!
B
doit être le champ
"extérieur" à l'élément de courant , ce qui n'a aucun sens physique puisqu'il est impossible d'isoler le
champ créé par l'élément lui-même.
Pour toutes ces raisons, il est indispensable d'introduire un modèle plus adapté : le modèle
volumique.
1.2. Charges et courants volumiques
1.2.1. Définition
Pour pouvoir appliquer le calcul différentiel mathématique, nous allons modéliser la charge
contenue dans un petit volume δτ de l'espace entourant un point M. Il importe de remarquer qu'un
tel volume, bien qu’i soit élémentaire au sens mathématique du terme, contiendra en général un

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nombre immense de charges particulaires. L’échelle caractéristique de ce volume, intermédiaire
entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique, est appelée échelle mésoscopique.
Les grandeurs qui y seront associées (densités de charge, de courants et par la suite champ
électromagnétique) sont dites nivelées ou moyennées, ce qui signifie qu'elles indiquent une valeur
moyenne à cette échelle, leurs fluctuations au niveau microscopique pouvant être très grandes.
La modélisation volumique rend continues les grandeurs associées à un point M sur lequel est
centré le volume élémentaire δτ : nous parlerons plus loin par exemple du champ électrique
!
E(M,t)
en M. Il s’agit bien là d’une grandeur macroscopique, conçue comme une moyenne sur l’élément
mésoscopique δτ, ce qui sera le cas de toutes les autres grandeurs introduites.
Ainsi, au volume δτ, nous associons la charge δq qu'il contient et posons :
δq = ρ(M,t) δτ
ρ(M,t) est la densité volumique de charges au point M, dépendant de ce point et du temps,
exprimée en C.m-3.
En outre, une partie de ces charges peut être animée, par rapport à un référentiel R qu'il
conviendra de préciser, d'une vitesse
!
v
. Le vecteur densité de courant
!
j (M,t)
est alors défini
par :
!
j (M,t) ="m(M,t)v(M,t)
où ρm représente la densité de charges mobiles, non obligatoirement égale à ρ (ainsi un
conducteur globalement neutre pour lequel ρ = 0 peut-il être le siège de courants ). j(M,t) s'exprime
en A.m-2.
Le flux du vecteur
!
j (M,t)
à travers une surface S quelconque représente l'intensité I du courant à
travers cette surface. En effet, pendant le temps dt une charge δq traverse S telle que :
!
"q=Idt =#m(M,t)v(M,t)dt.dS =
s
$$ j (M,t).dS
s
$$
%
&
'
(
)
*
dt
, d’où :
!
I=j (M,t).dS
s
""
S
!
dS
!
dS
!
vdt
ρ(M,t) = δq
δτ densité volumique de charges
!
j (M,t) ="m(M,t)v(M,t)
vecteur courant
!
I=j (M,t).dS
s
""
=δq
dt intensité du courant traversant une surface S

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1.2.2. Intérêt
Ce modèle a l'avantage de supprimer la singularité au point M où était placée une charge
ponctuelle : la contribution de l'élément δτ au champ
!
E
par exemple tend vers 0 au point M.
Nous savons déjà en effet que le champ électrostatique
!
E
créé par une sphère de rayon a,
uniformément chargée en volume, tend vers 0 à l'intérieur de la sphère quand r tend lui-même vers 0
( il est égal à ρr
3ε0 ).
Nous pourrons donc parler, au point M où peut exister une densité de charges ρ, du champ
!
E
« global » sans avoir à distinguer un champ extérieur.
C’est bien sûr aussi le cas d’un champ magnétique vis à vis de courants volumiques.
1.3. Modèles limites surfaciques et linéiques
1.3.1. Distributions surfaciques
Imaginons qu'on puisse faire tendre vers 0, en le comprimant, un volume τ contenant une charge
Q qui reste confinée à l'intérieur de τ. Alors la densité ρ devient nécessairement infinie quand τ -> 0
et la charge finit par occuper un volume " nul " : nous retrouvons le modèle de la charge ponctuelle.
De la même façon, si l'une des dimensions seulement du volume τ tend vers 0 ( notons là x en
ayant choisi une base de projection ) on obtient alors une surface chargée d'épaisseur "nulle".
On peut définir :
!(y, z) = lim"#0
$
$
$
$
%
&
0
"
'(x, y, z) dx
et on obtient alors
Q = ∫∫s σ dS
x
y
z
!
"(x, y, z)
x
y
z
#(y, z)
=>

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En outre, il est possible de définir une densité de courant surfacique en posant :
!
js(y,z) =lim" #0j (x,y,z)dx
0
"
$
L’intensité d’un courant sur la surface se calcule alors en cherchant la charge traversant une
courbe C sur cette surface, pendant le temps dt. Le calcul aboutit à :
!
I=js.n dl
C
"
!
n
!
js
dl
!
n
C
Rq.1 σ et js s'expriment respectivement en C.m-2 et A.m-1.
Rq.2 Nous verrons que le modèle limite de la distribution surfacique introduit des
discontinuités du champ électromagnétique à la traversée de surfaces chargées et/ou parcourues par
des courants surfaciques.
1.3.2. Distributions linéiques
On définit enfin des distributions linéiques de charges et de courants en introduisant une densité
linéique de charge λ en C.m-1. Ce type de distribution prend toute son importance dans l'étude des
circuits filiformes où la densité volumique
!
j
est considérée comme uniforme sur la section s du fil.
€
j
On a alors I = js. Dans l'étude des champs
!
B
créés par les courants interviendra l'élément de
courant
!
j d"
. On montre alors très facilement l'équivalence :
!
j d"=js.dS =Idl

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2. CONSERVATION DE LA CHARGE
2.1. Equation intégrale
Considérons un volume τ de l’espace délimité par une surface fermée S. Ce volume contient la
charge Q(t) qui peut varier au cours du temps, du fait que ρ(M,t), la densité volumique de charges,
dépend a priori du temps.
Q(t) = ∫∫∫τ ρ(Μ, t) dτ
!
S
n·
n·
n·
n·
"!
M
La densité de charge pouvant varier au cours du temps, la charge Q(t) dans le volume τ peut donc
elle aussi varier. Ainsi, on écrit que la variation globale de la charge dans le volume τ pendant dt est la
somme des variations de charge élémentaires dans chaque élément de volume dτ :
!
dQ = "#(M,t)
"t
M$%
&&& dt d%= "#(M,t)
"td%
M$%
&&&
'
(
)
*
+
,
dt
la quantité
!
"#(M,t)
"tdt
représentant la variation locale, pendant dt, de la densité volumique de
charge autour du point M.
Le principe de conservation de la charge consiste à affirmer qu'en l'absence de toute création ou
disparition de charges à l’intérieur du volume τ, cette variation correspond à un transfert de
charges, c’est-à-dire un courant, à travers les parois du volume τ. Celui-ci s’écrit :
!
I=j (P,t).dS
P"S
##
Avec la convention habituelle d’orientation d’une surface fermée vers l’extérieur du volume qu’elle
délimite, ce courant est positif quand globalement un courant est sorti du volume τ, c’est à dire quand
celui-ci a vu sa charge diminuer.
Nous devons donc écrire :
!
dQ ="Idt # $%(M,t)
$t
M&'
((( d'="j (P,t).dS
P&s
((