DM 2 Oscillateur Harmonique - Interférences

DM 2 Oscillateur Harmonique - Interférences PCSI22014 – 2015
DM 2 Oscillateur Harmonique - Interférences
Consignes : Le DM doit rester un travail personnel pour prolonger et approfondir le cours. Un soin particulier
doit être apporté à la rédaction. Tous les résultats seront encadrés.
1 Un, puis deux, puis une infinité d’oscillateurs harmoniques
1.1 Deux ressorts et une masse
x
z
~ux
OO′
(ressort 1) (ressort 2)
M
d
On accroche un point matériel Mentre deux ressorts
tels que OO′=d. Le ressort 2 est identique au res-
sort 1 ( raideur ket longueur à vide l0) . On utilisera
les notations avec l’indice 2 pour l2, et leq,2.
1.1.1 Mise en équation
1. Écrire l’expression de la force exercée par le ressort 2 sur Men fonction de k,l2,l0et le vecteur
unitaire −→ ux. Vérifier que le signe est correct en étudiant qualitativement les deux cas : ressort allongé
puis ressort contracté.
2. Écrire vectoriellement le principe fondamental pour M.
3. Projeter cette relation sur l’axe horizontal.
4. En déduire, en partant notamment de la relation précédente, les valeurs de leq,1et leq,2.
1.1.2 Résolution 1
On choisit alors l’origine de l’axe au point Oet l’abscisse de Mest notée x.
5. Écrire l’équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par x.
6. Résoudre avec précision cette équation différentielle en utilisant les conditions initiales suivantes : au
départ le point M a été écarté de sa position d’équilibre (et de repos) d’une distance adans le sens
positif et lâché sans vitesse initiale. La pulsation propre du mouvement sera notée ω0(on précisera
l’expression en fonction de ket m). On indiquera aussi la condition évidente minimale à respecter
pour adans le cadre de ce problème théorique.
1.1.3 Résolution 2
On recommence la résolution. La nouvelle origine de l’axe est choisie à la position d’équilibre de M. L’abscisse
de Mest notée X.
7. En partant de l’équation différentielle obtenue en 5) dans la mise en équation, en déduire l’équation
différentielle du deuxième ordre vérifiée par X.
8. Résoudre cette équation différentielle en utilisant le même état initial que précédemment.
1.2 Trois ressorts et deux masses : oscillateurs couplés
z
x
k,l0K,L0k,l0
m m
O1O2
z
x
O1
x1O2 x2
On étudie le dispositif suivant constitué de 3 ressorts linéaires de raideurs respectives (k,Ket k) liés à deux
masses identiques m, mobiles sur l’axe Ox les frottements sont de la forme : ~ f=−λ~v sur chaque masse où
~v est la vitesse de la masse.
Soient x1et x2les élongations des deux masses à partir de leur position d’équilibre.
9. Écrire les équations différentielles couplées liant x1et x2.
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1.3 Chaîne infinie d’oscillateur harmonique : onde acoustique dans un solide
Cet exercice est facultatif . Faites-le uniquement si vous en avez envie et surtout si vous
avez le temps. Ne passez pas toute une soirée à le résoudre.
1.3.1 Mise en équation
On s’intéresse à la propagation d’une onde mécanique dans un solide. On parle également d’onde acoustique.
L’objectif de cet exercice et d’obtenir l’expression de la vitesse des ondes propgressives de compression dans
un solide.
10. On sait que la vitesse cdes ondes acoustiques dans un solide dépend de son module d’Young (Cf DM1)
et de sa masse volumique. Donnez par analyse dimensionnelle une expression possible pour c.
On modélise le solide par une chaine 1D d’oscillateurs harmoniques.
z
x
m
ψn−1
k,l0k,l0k,l0k,l0
m m m
ψnψn+1 ψn+2
Les atomes du solide sont modélisés par des masses ponctuelles repérées par leur indice n. Celles-ci glissent
sans frotter sur l’axe (Ox) et on note ψn(t) l’abscisse de la masse nà l’instant t. Les masses sont reliées
entre elles par des ressorts de raideur ket de longueur à vide l0.
11. Quelle force les ressorts servent-ils à modéliser ? Donner un ordre de grandeur de l0.
12. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la nieme masse. En déduire l’équation différentielle
qui régit son mouvement.
1.3.2 Approximation des milieux continus
13. Comme dans l’exercice précédent le mouvement de la masse ndépend du mouvement des masses
n−1 et n+ 1. On obtient donc Néquations couplées où Nest le nombre d’atomes présents dans
le solide (N∼1023). Ces équations décrivent la propagation d’une perturbation le long de la chaîne.
Chaque oscillateur est séparé de ses voisins immédiats d’une longueur l0au repos. Nous supposons
cette longueur suffisamment faible (devant une longueur caractéristique du phénomène qui reste à
définir) pour pouvoir traiter la chaîne comme un milieu continu. Ainsi, on va poser, tout comme dans
l’exemple introductif du cours ψ(x=nl0,t) = ψn(t). La fonction ψdépend cette fois de l’espace et du
temps, il faut donc remplacer les dérivées d
dt par des dérivées partielles ∂ ∂t dans ce cas ψ(nl0+l0,t)≃
ψ(nl0,t) + l0∂ψ
∂t +1 2l2
0
∂2ψ
∂t2et ψ(nl0−l0,t)≃ψ(nl0,t)−l0∂ψ
∂t +1 2l2
0
∂2ψ
∂t2. Montrer alors que l’équation
précédente peut se réécrire sous la forme :
∂2ψ
∂x2−1 v2
∂2ψ
∂t2= 0
14. Quelle est la dimension de v?
15. Cette équation est connue sous le nom d’équation de D’Alembert. À quelle condition une onde pro-
gressive monochromatique est-elle solution de cette équation ? À quelle vitesse se propage donc les
ondes dans la chaîne d’oscillateurs ?
16. Les paramètres ket l0sont des paramètres microscopiques difficilement accessibles expérimentalement.
Il est possible de les relier à des quantités macroscopiques facilement mesurables : k=El0et ρ=m
l3
0
.
Donner alors l’expression de la vitesse en fonction de paramètres macroscopiques.
17. Calculer la vitesse de propogation du son dans l’acier (E= 0,21 TPa, 7850 kg.m−3).
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2 Tube de Kundt
On considère un tuyau cylindrique d’axe (Ox) de longueur L= 1,45 m, rempli d’air. À l’extrémité x=L
est placé un haut-parleur associé à un générateur de basses fréquences qui crée dans le tube une onde
progressive se propageant dans le sens négatif de (Ox). À l’autre extrémité (x= 0), l’expérimentateur place
une plaque d’un matériau à étudier. Un microphone mobile, relié à un millivoltmètre, peut se déplacer à
l’intérieur du tuyau sans perturber les phénomènes étudiés. Il fournit une tension variable proportionnelle
à la surpression de l’onde sonore à la position du micro. On mesure la valeur efficace Vde cette tension à
l’aide d’un millivoltmètre numérique. Vest ainsi proportionnelle à l’amplitude de la surpression au point
où se trouve le micro.
1. Donner l’expression de la surpressoin PHP (t) de l’onde émise par le haut-parleur, en notant A0son
amplitude, fsa fréquence, cla célérité du son. On prendra la phase initiale de cette onde nulle en
x= 0.
2. La plaque de matériau réfléchit cette onde et envoie dans le tubre une onde d’amplitude égale à rA0
avec 0 ±r±1 et de phase initiale en x= 0 ,égale à ϕ. Donner l’expression de la surpression pr(x,t) de
cette onde.
3. On suppose qu’il n’y a pas d’autre onde acoustique que les deux précédentes. Exprimer l’amplitude
A(x) de l’onde totale p(x,t) = pHP (x,t) + pr(x,t).
4. On a réalisé des mesures avec une plaque de mousse. Les résultats sont consignés dans le tableau
ci-dessous. On a noté les positions pour lesquelles l’indication du volmètre est minimale : x1est la
première à partir de x= 0 et xila iieme.Vmin et Vmax sont les valeurs minimales et maximales de V
fen Hz x1en cm xien cm i Vmin en mV Vmax en mV
460 26,6 101,5 3 1,50 6,80
750 13,2 58,8 3 1,10 5,40
845 13,2 51,1 3 1,25 6,30
1016 8,0 41,7 3 0,80 4,05
1042 7,3 40,1 3 1,60 8,35
1185 5,5 49,0 4 0,80 3,95
1400 3,7 28,1 3 1,00 5,05
a. On pose α=Vmax
Vmin . Déterminer ren fonction de α.
b. Déterminer l’expression de ϕen fonction de x1et de la longueur d’onde λ
c. Calculer pour chaque fréquence les valeurs de ret φ. Commenter ces résultats.
3 Fentes d’Young
L’expérience des fentes d’Young est une expérience classique permettant d’observer le phénomène d’inter-
férence lumineuses. Le dispositif comprend un écran opaque percé de deux fentes identiques de très petites
largeur ǫ= 0,070 mm, parallèles entre elles et distantes de a= 0,40 mm. On envoie un faisceau laser de
longueur d’onde λ= 633 nm sur les fentes et on place un écran d’observation à la distance D= 1,5 m
derrière le dispositif (voir la figure sur laquelle les échelles ne sont pas respectée).
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Sur l’écran on observe une figure symétrique autour d’un point O, la lumière se répartissant le long d’un
axe (Ox) perpendiculaire aux fentes. On observe une tache centrale très lumineuse de largeur 2,7 cm dont
l’éclairement est modulé et des taches latérales, deux fois plus étroites et beaucoup plus étroites et beaucoup
moins lumineuses présentant la même modulation de l’éclairement (voir figure). Le but de l’exercice est
d’interpréter ces observations.
1. Exprimer la largeur Lde la tache centrale de la figure de diffraction qu’on observerait sur l’écran s’il n’y
avait qu’une seule fente de largeur ǫ. Montrer que les taches centrales de diffraction sont pratiquement
confondues.
2. On appelle champ d’interférence l’intersection des taches centrales de diffraction. Il est centré en un
point O′situé à égal distance des fentes et peut être considéré d’après la question précédente comme
le domaine −L
2≤x≤L 2de l’axe (Ox). Montrer que pour un point Mdu champ d’interférences et
d’abscisse xon a ; MF2−MF1≈ax
D. On utilisera le fait que si δ≪1 alors √1 + δ≈1 + 1 2δ.
3. Exprimer alors le déphasage entre les deux ondes arrivant en Men fonction de λ,a,Det x. Les deux
ondes ont la même phase initiale à leur départ de F1et F2.
4. À quelle condition sur x, les ondes interfèrent-elles de manière constructive ? On définit l’interfrange i
comme la distance séparant deux franges d’interférence, c’est-à-dire deux points d’éclairement maxi-
mal. Donner l’expression de i. Combien peut-on observer de franges d’interférence dans le champ
d’interférence ?
5. Trouver les coordonnées des points en lesquels il y a interférence destructive.
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DM2
1 Un, puis deux, puis une infinité d’oscillateurs harmoniques
1. −−−→ F2/M =k(l2−l0)−→ ux. Vérification du signe pour le ressort allongé : (l2−l0)>0. On a bien une force
qui ramène la masse vers sa position d’équilibre, dans le sens de −→ ux.
2. On étudie le système Mmasse mdans le référentiel terrestre galiléen. Il est soumis à
– son poids ~ P=m~g
– la réaction du support, normale au support car il n’y a pas de frottements ~ R=R−→ uz.
– la force de rappel du ressort 1 : −−−→ F1/M (vue précédemment)
– la force de rappel du ressort 2 : −−−→ F2/M
On applique le principe fondamental de la dynamique (~a =¨ l1−→ uxest l’accélération de M) :
m~a =~ P+~ R+−−−→ F1/M +−−−→ F2/M
3. Soit en projection sur −→ ux:m.a =−k(l1−l0) + k(l2−l0) (3)
4. A l’équilibre où l’accélération est nulle, la relation (3) donne : 0 = −k(leq,1−l0) + k(leq,2−l0) soit
leq,1=leq,2. Or leq,1+leq,2=d, d’où leq,1=leq,2=d/2
5. l1(t) = x(t) et l2(t) = d−x(t). La relation (3) donne : m.¨x=−k(x−l0) + k(d−x−l0)
¨x+2k
mx=k mdsoit ¨x+ω2
0x=ω2
0d/2 avec ω2
0=2k
m(4)
6. D’après le cours, la solution générale est la somme de la solution de l’équation homogène et d’une
solution particulière soit : x(t) = Acos(ω0t) + Bsin(ω0t) + d/2 avec Aet Bconstantes.
Déterminons les constantes à l’aide des conditions initiales à t=0 :
–leq +a=d/2 + a=A+d/2 (car leq =d/2) soit A=a
– ˙x=−Aω0sin(ω0t) + Bω0cos(ω0t) 0 = Bω0soit B= 0.
x(t) = acos(ω0t) + d/2avec ω0=q2k
m
On doit avoir 0 < x < d donc la condition sur aest a < d/2(on voit bien sur le dessin que cette
condition est réalisée).
7. A nouveau, le schéma est obligatoire (pour vous). On a X(t) = l1(t)−leq,1(t) = l1(t)−l0et l2(t)−l0=
(d−l1(t)) −d/2 = d/2−l1(t) = −X(t). D’où en remplaçant dans (3) : m. ¨ X=−kX +Xsoit
¨
X+ω2
0X= 0 avec ω2
0=2k
m
Rem : cette équation est bien cohérente avec celle obtenue en (4) en faisant le changement de variable
X(t) = x(t)−d/2.
8. On trouve X(t) = acos(ω0t)(cohérent avec la solution précédente).
9. On applique le principe fondamental de la dynamique à chacun des deux systèmes, dans le référentiel
terrestre galiléen. En projection sur 0x, on obtient les deux équations couplées :
m¨x1=−λ˙x1−kx1+K(x2−x1)et m¨x2=−λ˙x2−kx2+K(x1−x2) .
10. Le ressort entre chaque atome modélise de manière très simplifiée, mais néanmoins plutôt correcte,
l’interaction électromagnétique entre les atomes. l0est la distance interatomique de l’ordre de 10−10 m.
11. On a [ρ] = M.L−3et [E] = ML−1T−2, donc on en déduit une expression de c:c=qE
ρ.
12. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la nieme masse donne : m¨ ψn=−k(ψn−ψn−1−
l0)−k(ψn−ψn+1 −l0) soit : ¨ ψn=ω2
0(−2ψn+ψn+1 +ψn−1).
13. On remplace ψn−1et ψn+1 de l’équation précédente par leur formule données dans l’énoncé. Les termes
en ψ(nl0,t) et les termes en ∂
ψ∂x se simplifient. On obtient alors : ∂2ψ
∂t2=kl2
0
m
∂2ψ
∂x2. On retrouve donc
l’expression de l’énonce avec v=kl2
0
m.
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