Exercices montages utilisants l`a.o.p.

1
APPLICATIONS DE L’AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL 1° PARTIE
Tous les montages proposés utilisent un amplificateur opérationnel idéal fonctionnant en mode
linéaire. La tension d’excitation ve est sinusoïdale.
AMPLIFICATEUR A GAIN AJUSTABLE
1.
Le montage de la figure 1 est un amplificateur inverseur à gain variable, possédant une
v
résistance d’entrée fixe égale à R1. Calculer l’expression du gain en tension A = s A en
ve
fonction des éléments du montage et de la position a du potentiomètre R3 . Négliger le
courant i dans R2 devant le courant is qui circule dans R3 et R4.
R2
N
R1
e
i
A0
a R3
ve
v
is vs
R4
0 ≤ a ≤1
Figure 1
2. On donne : R1 = 10KΩ, R2= 100KΩ, R3 = 5KΩ, R4 = 1KΩ. Calculer la valeur du gain A
pour les positions extrêmes du potentiomètre R3.
AMPLIFICATEUR A RESISTANCE D’ENTREE ELEVEE
3. On considère le montage de la figure 2.
2 R1
A2
R2
R
vs2
R2
i
ve
R1
A1
vs1
Figure 2
a. Déterminer l’expression des gains en tension : G1 =
1
Philippe ROUX © 2006
vs 1
v
et G2 = s 2 .
ve
ve
http://rouxphi3.perso.cegetel.net
b. Calculer la résistance d’entrée Re du montage vu par le générateur d’attaque ve puis
calculer la valeur de R permettant d’obtenir Re = 100 KΩ sachant que : R1 = 10KΩ et
R2 = 100 KΩ.
MONTAGE SIMULATEUR DE SELF-INDUCTANCE
4. Le montage de la figure 3 constitue un simulateur de self-inductance.
i
A1
e
R
A
R
R
ve
C
vA
A2
e
vs2
B
vB
vs1
R
Figure 3
a. En exploitant les propriétés essentielles de l’amplificateur opérationnel, que pensezvous des tensions vA et vB vis à vis de ve ? Quelle relation simple lie la tension vs2 à
la tension ve et au courant i ?
b. Rechercher la relation liant les tensions vB et vs1.
c. En écrivant l’équation au nœud A, chercher une autre relation reliant vs2 et ve.
d. Déduire des questions précédentes, l’expression de l’impédance d’entrée Ze = ve /i
du montage et montrer qu’il s’agit d’une self-inductance L dont on donnera
l’expression en fonction de R et C.
e. Faire l’application numérique pour R = 10 kΩ et C = 0,1 µF.
2
2
APPLICATIONS DE L’AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL 2° PARTIE
Tous les montages proposés utilisent des amplificateurs opérationnels idéaux et le générateur
parfait de tension d’excitation eg délivre une tension sinusoïdale : eg =Egm sin (ω t).
MONTAGE AMPLIFICATEUR INVERSEUR, NON-INVERSEUR
2R
2R
e
R
R
+
eg
vs
K
-
1. Déterminer le gain en tension [vs / eg] du montage donné ci-dessus pour les deux
positions de l’interrupteur K.
a. L’interrupteur K est ouvert.
b. L’interrupteur K est fermé.
MONTAGE MULTIPLIEUR DE CAPACITE
Le montage suivant qui utilise deux amplificateurs opérationnels possède une impédance
d’entrée purement capacitive dont on propose de calculer l’expression en fonction de la
position α du potentiomètre R.
αR
(1- α) R
vs1
e
+
eg
-
A1
e
A2
ig
vs2
C
2. Déterminer l’expression des gains en tension [vs1/eg] et [vs2/vs1] des deux étages.
3. En déduire l’expression de l’impédance d’entrée Ze du montage vue par le générateur
d’excitation et montrer que le montage est un “multiplieur de capacité”.
Application numérique : calculer la position du potentiomètre pour obtenir un facteur
de multiplicatif de 10.
2
Philippe ROUX © 2006
http://rouxphi3.perso.cegetel.net
3
MONTAGE SIMULATEUR DE SELF INDUCTANCE
Le montage suivant possède, sous une condition à déterminer, une impédance d’entrée vue par le
générateur d’excitation eg, purement selfique.
ig
R5
N1
N3
R4
C
R3
+
eg
A1
-
e N
2
e
R1
vs1
R2
v1+
A2
vs2
4. Ecrire les équations aux noeuds N1, N2 et N3 ( on peut utiliser les conductances Gi des
résistances).
5. Quelle relation simple lie les tensions V1+ et eg ?
6 . En déduire l’expression de l’admittance entrée Ye du montage vue par le générateur
d’excitation eg.
7. Quelle condition doit-on satisfaire pour que l’admittance d’entrée soit purement selfique ?
Quelle est alors l’expression de la self L simulée ?
8. Application numérique : on donne C = 0.1 µF, R4 =1 KΩ, R3 = 10 KΩ, R2 = R5 = 100
KΩ. Calculer la valeur de la self-inductance et de la résistance R1.
3
APPLICATIONS DE L’AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL 3° PARTIE
MONTAGE SIMULATEUR DE SELF-INDUCTANCE
On considère le montage de la figure 1 qui utilise un amplificateur opérationnel A1 idéal
utilisé en mode linéaire et alimenté par deux tensions d’alimentation +VCC = +15 V et –VEE = -15 V.
Le montage est excité par une tension sinusoïdale ve telle que l’amplitude maximale de la tension de
sortie Vs1 soit égale à 15 V.
E1
20 KΩ
R
i1
A1
vs1
ve
e
R
R1
20 KΩ
10 KΩ
Figure 1
1. Déterminer l’expression du gain en tension Av1 = [vs1/ve] du montage. Faire l’A.N.
En déduire la valeur de l’amplitude maximale Vem de la tension d’entrée qui permet à l’A.O.P.
de fonctionner en régime linéaire.
2. Déterminer dans ces conditions, l’expression de la résistance négative d’entrée Re1 =
ve
du
i1
montage vue par la tension ve entre l’entrée E1 et la masse.? Faire l’A.N.
On considère maintenant le montage de la figure 2 qui est excité par la tension ve, dans les mêmes
conditions que le montage précédent.
R1
E2
A
10 kΩ
R
R
20 kΩ
20 kΩ
i2
e
A2
ve
B
vs2
vB
Figure 2
3
Philippe ROUX © 2006
http://rouxphi3.perso.cegetel.net
10 kΩ
R1
is
10 kΩ
vA
Ru
3.
En écrivant les équations aux nœuds A et B, donner l’expression du courant is dans Ru en
fonction de la tension ve et de la résistance R1. Quelle est la fonction ainsi réalisée ?
4. En déduire l’expression du gain en tension Av2 = [vB/ve]. Faire l’application numérique.
5. Calculer l’expression du gain en tension Av3 = [vs2/ve] et en déduire l’amplitude maximale de la
tension ve applicable à l’entrée du montage permettant à l’A.O.P. de fonctionner en régime
linéaire.
6. En exploitant les résultats précédents, déterminer l’expression de la résistance d’entrée Re2 du
montage vue par la tension ve entre l’entrée E2 et la masse. Faire l’A.N.
7. On relie (figure 3) les entrées E1 et E2 des deux montages qui se trouvent alors en parallèle. On
remplace la résistance d’utilisation Ru par un condensateur C de 0,1 µF.
R
R1
R
R
20 KΩ
10 KΩ
20 KΩ
20 KΩ
i
A1
e
C 0.1µF
e
ve
R
R1
R1
20 KΩ
10 KΩ
10 KΩ
A2
Figure 3
En exploitant les résultats littéraux des questions 2 et 6, déterminer l’expression de
l’impédance d’entrée Ze vue par le générateur d’excitation sinusoïdal ve . Calculer la valeur
de la self-inductance L ainsi simulée.
6
CORRIGE 1° PARTIE
Q1 : Equation au nœud N :
ve v
+
=0
R1 R2
A=
Diviseur de tension : v = v s
vs
R aR + R4
=− 2 3
ve
R1 R3 + R4
aR3 + R4
R3 + R4
Q2 : a = 0 -> A = -60
a = 1 -> A = -10
Intérêt du montage : faire varier le gain en tension sans modifier sa résistance d’entrée (R1).
Q3a : Montages habituels : G1 = −
Q3b : expression du courant : i =
Résistance d’entrée :
R2
R1
G2 = −
2 R1
R2
v e v e − v s2
+
avec : v s2 = 2v e
R1
R
v
R.R1
Re = e =
i R − R1
Solution : R1 = 11,1 kΩ
Q4a : Les entrée e sont nulles : vA = ve = vB
Q4b : diviseur de tension : VB = v s1
Q4c : Nœud A :
v e R.i + v s2
=
i
i
Z e = jω [ R 2C ]
jωRC
avec vs1 = ve.
1 + jωRC
v s2 − v e v s1 − v e
+
=0
R
R
On obtient alors : v s2 = v e
Q4d : Z e =
vs2 = - R.i + ve
jωRC − 1
jωRC
Ze = R +
[
2
soit : L = R C
]
v e jωRC − 1
i jωRC
Q4e : ce montage simule une self-inductance de 10 H.
7
CORRIGE 2° PARTIE
Q1a : K fermé : montage inverseur classique : gain de –1.
Q1b : K ouvert : La tension eg se retrouve sur l’entrée + et donc sur l’entrée – de l’A.O.P.
Conséquence : le courant qui circule dans les résistances (2R) est nul ; aussi vs = eg, gain +1.
v s1
= 1.
eg
v
(1 − α ) R
A2 est un amplificateur inverseur : s2 = −
v s1
αR
D’autre part : i = (eg − v s2 ) jωC
Q2 : A1 est un montage suiveur de tension :
Ze =
eg
α
=
où : 0 < α <1
i
jωC
Α.Ν. : α = 1/10
Q4 :
Nœud N1 : ig = (eg − v s1 )G3 + (eg − v s2 )G5 + eg G4
Nœud N2 : (v s1 − v1+ )G2 − v1+G1 = 0
Nœud N3 : eg G4 + jωC .v s2 = 0
Q5 : L’A.O.P. étant parfait : v1+ = eg
Q6 : Y e =
ig 
G + G2  G4 G5
= G3 + G5 + G4 − 1
G3  +
eg 
G2
 jωC
Q7 : La partie réelle de l’expression précédente doit être nulle : . Dans ces conditions : L = R4 R5C
Q8 : Application numérique : L = 10 H. Pour R1 = 9,9 kΩ, la self-inductance sera sensiblement
parfaite.
8
CORRIGE 3° PARTIE
Q1 : La tension aux bornes de R1 est égale à ve soit : v e = v s1
R1
(diviseur de tension).
R1 + R2
Av1 = 1 + R2/R1 = 3 et vemax = 5 V.
Q2 : v s1 = −R.i1 + v e . Compte tenu de Q1, on en déduit : Re1 = - R1 = - 10 kΩ.
Q3 : Nœud A : (v e − v A )G1 + (v s2 − v A )G = 0
Nœud B : (v s2 − v B )G − v B G1 = is
ve
R1
Il s’agit d’un amplificateur de transconductance, le courant de sortie est proportionnel à la tension
d’entrée.
L’amplificateur opérationnel réalisant : vA = vB , on en déduit : is = −
Q4 : vB = Ru.is soit : Av2 = - Ru/R1 = -1.
Q5 : Montage diviseur de tension : v B = v s2
Av 3 = −
Ru R1 // Ru + R
= −5
R1 R1 // Ru
R1 // Ru
R
avec : v B = − u v e
R1 // Ru + R
R1
Amplitude maximale de ve : vem = 3 V.
Q6 : Résistance d’entrée du montage :
R
v e = R1 .i2 + v A avec : v A = v B = − u v e
R1
Re 2 =
ve
R12
=
= 5 kΩ
i2 R1 + Ru
Q7 : En reliant les deux entrées, les impédances correspondantes sont en parallèle. Ainsi :
• Re1 = -R1
R12
• Z e2 =
compte tenu de la capacité de charge à la place de Ru.
1
R1 +
jωC
1
R1 +
1
1
jωC
=− +
Ainsi :
R12
Ze
R1
On en déduit :
L = 1H
Z e = jω ( R12C ) = jωL
9