Arbres et connectivité
Arbres et
connectivité
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Arbres sous-tendants
Un sous-graphe sous-tendant ou couvrant d’un graphe Gest un
sous-graphe qui contient tous les sommets de G.
Théorème: Tout graphe connexe contient un arbre sous-tendant.
Application: Réseau routier avec le moins de routes possibles.
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Caractérisations des arbres
Théorème: Soit Gun graphe à nsommets et marêtes. Alors les
conditions suivantes sont équivalentes.
1. Gest connexe et sans cycle;
2. Gest sans cycle et m=n−1;
3. Gest connexe et m=n−1;
4. Gest connexe et supprimer une arête quelconque
déconnecte G;
5. Gest sans cycle et ajouter une arête quelconque crée un et
un seul cycle;
6. deux noeuds de Gsont toujours reliés par un seul chemin.
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