Résistance à l`avancement

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INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES – CVG 2516
RESISTANCE À L’AVANCEMENT
(résistance à la surface)
Ioan NISTOR
[email protected]
9.1 Introduction
Un milieu fluide dans lequel les corps se déplacent exerce une résistance au
mouvement de ces corps: résistance à l’avancement
Il y a deux types d’efforts qui produisent cette résistance sur un corps: l’effort de
cisaillement et la pression.
-la résistance produite par l’effort de cisaillement →résistance de frottement à
l’avancement (skin friction drag)
-la résistance produite par la pression→résistance de pression à l’avancement
(form drag)
En général, l’effort de cisaillement sur une surface plane et lisse varie:
-directement proportionnel au gradient de la vitesse près de la surface
dV
dy
τ µ =
l’analyse du modèle d’écoulement près de la surface - la couche
de fluide située près de la surface , où la vitesse du fluide varie à
cause des efforts de cisaillement →la couche limite ou la couche de
frontière (boundary layer)→théorie de la couche limite

2
CV
SC
dimensions du VC: ∆sx ∆yxunité
Supposons un cas 2-D d’écoulement laminaire, stable et uniforme avec
les lignes de courant parallèles:
9.2 Résistance de frottement dans un écoulement
uniforme et laminaire
utilisant l’équation
du moment
0
s
F
=
∑
écoulement uniforme ⇒le taux du
moment qui sort = au taux de
moment qui entre dans le VC
dp
p y p s y
dss
dp
s y
d
∆ − + ∆ ∆ =
− ∆ ∆
-la force de pression
d
y s
dy s s yddy τττ
τ + ∆ ∆ − ∆ =
∆ ∆
-la force due au cisaillement
sing
y
y
dz
s
d
s
s
ργθ ∆ ∆ = − ∆ ∆
-la force gravitationnelle
DF
9.2 Résistance de frottement dans un écoulement
uniforme et laminaire
le gradient de l’effort de cisaillement = au
gradient de la pression piézométrique dans
la direction de l’écoulement
( )
d d
p z
dy ds
τ
γ
= +
( )
2
2
1d u d
p z
ds
dy
γ
µ
= +
du
dy
τ µ =
0
dp d dz
s y y s s y s y
ds dy ds
τ
γ
− ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ = ÷∆ ∆
- en utilisant cette expression on va analyser
trois types d’écoulement uniformes et laminaires

3
Exemple #1: écoulement produit par une plaque mobile
du U
dy L
τ µ µ
= =
l’effort de cisaillement:
profil de vitesse linéaire
y
u U
L
=
écoulement Couette
plaque fixe
plaque mobile
-gradient de pression nul:
0
dp
ds
=
-lignes de courant horizontales:
0
dz
ds
=
double
intégration
1 2
u C y C
= +
2
2
0
d u
dy
=
conditions aux
frontières:
0 pour 0
pour
u y
u U y L
= =
= =
( )
2
2
1d u d
p z
ds
dy
γ
µ
= +
Exemple #2: écoulement sur un plan incliné
-gradient de pression nul à la
surface libre de l’écoulement:
0
dp
ds
=
-la pression ne change pas dans
la direction des lignes de courant
2
2
sin
d u dz
ds
dy
γ γ
θ
µ µ
= = −
conditions aux
frontières:
0 pour
0 pour 0
du
y d
dy
u y
= =
= =
1iere
intégration
1
sin
du y
C
dy
γ
θ
µ
= − +
1
sin
d
C
γ
θ
µ
=
( )
sin
du d y
dy
γ
θ
µ
= −
2ieme intégration

4
Exemple #2: écoulement sur un plan incliné
obs:
2
3
tan sin
o
o
gS d
S U θ θ ν = ≅ ⇒=
-valide pour un
écoulement
laminaire
(Re =Ud/ν<500)
2
2
max
sin
d
u
γ
θ
µ
=
vitesse maximale
3
0
1
3
sin
d
q u dy d
γ
θ
µ
= =
∫
débit par unité de largeur
2
2
1
3 3
sin sin
q gd
U d
d
γ
θ θ
µ ν
= = =
vitesse moyenne
2
2
2sin
y
u yd C
γθ
µ
= − +
2
0
C
=
0 pour 0
u y
= =
( )
2
2
sin
g
u y d y
θ
ν
= −
profil de vitesse parabolique
2ieme intégration
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
-le gradient de la pression piézométrique est
constant le long des lignes de courant:
( )
d
p z const
ds
γ + =
-vitesse du fluide nulle au niveau des plaques
⇒les conditions aux frontières:
0 pour 0
0 pour
u y
u y B
= =
= =
( )
2
1
0
2
C
B d
C p z
ds
γ
µ
=
= − +
( )
(
)
2
1
2
d
u p z By y
ds
γ
µ
= − + −
( )
2
dh
u y B y
ds
γ
µ
= − −
profil de vitesse parabolique
conditions
aux frontières
( )
2
2
1d u d
p z
ds
dy
γ
µ
= +
intégration
( )
2
1 2
2
y d
u p z C y C
ds
γ
µ
= + + +
gradient de la hauteur
piézométrique

5
-valide pour un
écoulement
laminaire
(Re =UB/ν<1000)
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
2
8
max
B dh
u
ds
γ
µ
= −
vitesse maximale
3
0
12
B
B dh
q u dy
ds
γ
µ
= = −
∫
débit par unité de largeur
2
3
max
q
U u
B
= =
vitesse moyenne
- expression différentielle - y
x
2 2
2 2
ρ µ ρ
sin
Du p u u g
Dt x x y
θ
∂ ∂ ∂
= − + + +
∂∂ ∂
2 2
2 2
ρ µ ρ
cos
Dv p v v g
Dt y x y
θ
∂ ∂ ∂
= − + + −
∂∂ ∂
x-direction
y -direction
les équations de Navier-Stokes
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
- expression différentielle -
2
2
ρ µsin
p u
g
x
y
θ
∂ ∂
− =
∂
∂
ρ
cos
pg
y
θ
∂
= −
∂
2
2
ρ µ
dp dz u
g
dx dx
y
∂
− − =
∂
0
ρ
cos ( )
y
p y g p x
θ
=
= − +
( )
2
2
µ
d u
p z
dx
y
γ
∂
+ =
∂
0
( )
y
p z p x
γ
=
+ =
sin
dz
dx
θ
= −
intégration
obs:
0 0 0 0 0 0, ; , ;
u v u v u v v
v const
x x t t x y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = + = ⇒ = ⇒ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
écoulement uniforme écoulement stable eq. continuité mais v= 0 aux frontières