Résistance à l`avancement

INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES – CVG 2516
RESISTANCE À L’AVANCEMENT
(résistance à la surface)
Ioan NISTOR
[email protected]
9.1
Introduction
Un milieu fluide dans lequel les corps se déplacent exerce une résistance au
mouvement de ces corps: résistance à l’avancement
Il y a deux types d’efforts qui produisent cette résistance sur un corps: l’effort de
cisaillement et la pression.
-la résistance produite par l’effort de cisaillement → résistance de frottement à
l’avancement (skin friction drag)
-la résistance produite par la pression→ résistance de pression à l’avancement
(form drag)
En général, l’effort de cisaillement sur une surface plane et lisse varie:
-directement proportionnel au gradient de la vitesse près de la surface
l’analyse du modèle d’écoulement près de la surface
τ =µ
dV
dy
- la couche
de fluide située près de la surface , où la vitesse du fluide varie à
cause des efforts de cisaillement → la couche limite ou la couche de
frontière (boundary layer) → théorie de la couche limite
1
9.2
Résistance de frottement dans un écoulement
uniforme et laminaire
Supposons un cas 2-D d’écoulement laminaire, stable et uniforme avec
les lignes de courant parallèles:
utilisant l’équation
du moment
∑ Fs = 0
DF
écoulement uniforme ⇒ le taux du
moment qui sort = au taux de
moment qui entre dans le VC
SC
-la force de pression
CV
dp 
dp

p∆y −  p +
∆s ∆y = − ∆s∆y
ds 
ds

-la force due au cisaillement


dτ
dτ
∆y  ∆s − τ∆s =
∆y∆s
τ +
d
y
dy


dimensions du VC: ∆s x ∆y x unité
-la force gravitationnelle
ρ g ∆s∆y sin θ = −γ∆s∆y
9.2
dz
ds
Résistance de frottement dans un écoulement
uniforme et laminaire
−
dp
dτ
dz
∆s∆y +
∆y∆s − γ∆s∆y = 0 ÷∆s∆y
ds
dy
ds
le gradient de l’effort de cisaillement = au
gradient de la pression piézométrique dans
la direction de l’écoulement
dτ d
= ( p +γ z)
dy ds
τ =µ
du
dy
d 2u 1 d
=
( p +γ z)
dy 2 µ ds
- en utilisant cette expression on va analyser
trois types d’écoulement uniformes et laminaires
2
Exemple #1: écoulement produit par une plaque mobile
plaque mobile
dp
=0
ds
dz
=0
-lignes de courant horizontales:
ds
-gradient de pression nul:
d 2u
=0
dy 2
plaque fixe
d 2u 1 d
=
( p +γ z)
dy 2 µ ds
double
intégration
u = C1 y + C2
conditions aux u = 0 pour y = 0
frontières:
u = U pour y = L
l’effort de cisaillement: τ = µ
u=
y
U
L
profil de vitesse linéaire
du
U
=µ
dy
L
écoulement Couette
Exemple #2: écoulement sur un plan incliné
-gradient de pression nul à la dp
=0
surface libre de l’écoulement: ds
-la pression ne change pas dans
la direction des lignes de courant
d 2u γ dz
γ
=
= − sin θ
2
µ ds
µ
dy
1iere
intégration
du
γy
=−
sin θ + C1
dy
µ
conditions aux du = 0 pour y = d
dy
frontières:
u=0
pour y = 0
C1 =
γd
sin θ
µ
2ieme intégration
du γ
= ( d − y ) sin θ
dy µ
3
Exemple #2: écoulement sur un plan incliné
2ieme intégration
u = 0 pour y = 0
γ 
y2 
u =  yd −  sin θ + C2
2 
µ
C2 = 0
u=
g
y ( 2d − y ) sin θ
2ν
profil de vitesse parabolique
γ d2
sin θ
vitesse maximale
2µ
d
1γ 3
q = ∫ u dy =
d sin θ
débit par unité de largeur
3µ
0
q 1γ 2
gd 2
U= =
d sin θ =
sin θ vitesse moyenne
d 3µ
3ν
umax =
⇒U =
obs: So = tan θ ≅ sin θ
-valide pour un
écoulement
laminaire
(Re =Ud/ν<500)
gSo d 2
3ν
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
-vitesse du fluide nulle au niveau des plaques
⇒ les conditions aux frontières: u = 0
u=0
pour y = 0
pour y = B
-le gradient de la pression piézométrique est
constant le long des lignes de courant:
d 2u 1 d
=
( p +γ z)
dy 2 µ ds
intégration
u=
u=−
u=−
γ
2µ
y (B − y)
dh
ds
d
( p + γ z ) = const
ds
y2 d
( p + γ z ) + C1 y + C2
2 µ ds
1 d
( p + γ z ) By − y 2
2 µ ds
(
)
conditions
aux frontières
C2 = 0
C1 = −
B d
( p + γ z)
2 µ ds
gradient de la hauteur
piézométrique
profil de vitesse parabolique
4
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
 γ B 2  dh
umax = − 

 8µ  ds
B
 B 3γ  dh
q = u dy = − 

 12µ  ds
0
q 2
U = = umax
B 3
vitesse maximale
∫
-valide pour un
écoulement
laminaire
(Re =UB/ν<1000)
débit par unité de largeur
vitesse moyenne
- expression différentielle -
y
x
les équations de Navier-Stokes
ρ
 ∂ 2u ∂ 2u 
Du
∂p
= − + µ  2 + 2  + ρg sin θ
∂x
Dt
∂y 
 ∂x
x -direction
ρ
 ∂ 2 v ∂ 2v 
Dv
∂p
= − + µ  2 + 2  − ρg cos θ
Dt
∂y
∂y 
 ∂x
y -direction
Exemple #3: écoulement entre deux plaques parallèles et stationnaires
- expression différentielle obs:
∂u
∂v
∂u
∂v
∂u ∂v
∂v
= 0, = 0;
= 0, = 0;
+
=0⇒
= 0 ⇒ v = const
∂x
∂x
∂t
∂t
∂x ∂y
∂y
écoulement uniforme écoulement stable
∂p
∂ 2u
− ρg sin θ = µ 2
∂x
∂y
∂p
= −ρg cos θ
∂y
sinθ = −
eq. continuité
dz
dx
intégration
mais v = 0 aux frontières
dp
∂ 2u
 dz 
− ρg  −  = µ 2
dx
∂y
 dx 
p = − yρg cos θ + p y =0 ( x )
d
∂ 2u
( p +γ z) = µ 2
dx
∂y
p + γ z = p y =0 ( x )
5
9.3
Description qualitative de la couche limite
Modèle d’écoulement dans la couche limite
la vitesse des particules qui
touchent la plaque est nulle
un gradient de vitesse entre
la plaque est le fluide ‘libre’
gradient de l’effort de cisaillement
les particules décelèrent en faisant
décélérer d’autres particules
la couche limite ‘grossit’ vers l’aval
→ l’écoulement devient instable →
la couche limite turbulente
L’effort de cisaillement le long de la
frontière
9.4
Expressions quantitatives pour une couche limite
laminaire
Équations de la couche limite
1904 Prandtl → les effets de la viscosité sont concentrés dans la couche limite à la
frontière du corps solide
1908 Blasius → obtient une solution pour l’écoulement laminaire dans la couche
limite; supposition clé: le profil de la vitesse relative ne varie pas le long de la
plaque ⇔ le graphique de u/Uo vs y/δ ne varie pas d’une section à l’autre
Définition: δ -l’épaisseur de la couche limite: la distance
entre la frontière solide et le point dans le milieu
fluide où la vitesse est 99% de la vitesse
“libre” du fluide
Rex -le nombre de Reynolds, Rex=Uox/ν
6
9.4
Expressions quantitatives pour une couche limite
laminaire
δ
x
Re1x/ 2 = 5 ⇒ δ =
du
dy
= 0.332
y =0
τ o = 0.332µ
5x
Re1x/ 2
-l’épaisseur de la couche limite laminaire
U o 1/ 2
du
Re x ⇔
x
dy
= 0.332
y =0
U o3 / 2
-le gradient de vitesse
diminue avec la distance x
le long de la frontière
x1 / 2ν 1 / 2
U o 1/ 2
Re x
- l’effort de cisaillement local à la frontière solide
x
pour un écoulement laminaire dans la couche limite
L
-la force totale de cisaillement (de
frottement) sur une surface donnée: Fs = τ o Bdx
∫
où L et B sont la longueur
et la largeur de la plaque
0
Fs = 0.664 B µU o
9.4
U o1 / 2 L1 / 2
ν 1/ 2
= 0.664 BµU o Re1L/ 2
Expressions quantitatives pour une couche limite
laminaire
Coefficients de cisaillement
l’effort de cisaillement à la frontière
cf =
τo
ρU o2 / 2
τ o = 0.332µ
- coefficient local de cisaillement
U o 1/ 2
Re x
x
cf =
- pour la couche
limite laminaire
la pression dynamique de l’écoulement
∫A (
Fs = c f
ρU o2
)
Fs =
/ 2 dA
ρU o2
F
ρU o2
c f dA : A ⇒ s =
2 A
A
2
Exemple
-pour une plaque rectangulaire (B x L)
Fs = C f
ρU o2
2
BL;
Cf =
1.33
Re1L/ 2
∫
0.664
Re1x/ 2
∫c
f
dA
A
A
∫
c f dA
Fs / A
A
Cf =
=
A
ρU o2 / 2
- coefficient moyen de cisaillement
(couche limite laminaire)
7
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
Profil de vitesse dans la couche limite – surface lisse de la frontière
→ trois zones différentes d’écoulement:
1-couche visqueuse (viscous sublayer): une couche très mince ou l’écoulement
est relativement lisse
τ y
du
τo = µ
dy
⇒u =
o
µ
τ /ρ
τ /ρ
u
u= o
y⇒
= o
y
µ/ρ
ν
τo / ρ
u* = τ o / ρ
vitesse de cisaillement
u u* y
=
ν
u*
-la vitesse relative (par rapport à la
vitesse de cisaillement) dans la couche
visqueuse = à une distance non
dimensionnelle de la frontière
Tests de
laboratoire →
9.5
u* y
ν
≤ 5⇒δ' =
5ν
u*
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
Profil de vitesse dans la couche limite – surface lisse de la frontière
→les zones d’écoulement en-dehors de la couche visqueuse sont turbulentes:
2 – couche de la ‘loi de la paroi’ (law of the wall)
⇒ un phénomène de mélange qui fait déplacer des masses de fluides dans
une direction transversale au sens de l’écoulement
τ app = − ρ u 'v' effort apparent de cisaillement
ou effort de Reynolds
La théorie de longueur de mélange de Prandtl
 du 

 dy 
τ app = ρ l 2 
2
τ app = ρ l 2
du du
dy dy
l = κ y la longueur de mélange est proportionnelle
à la distance de la frontière solide
Schémas simplifiée du mouvement
turbulent. Après Marian et Muste (1993)
où k – la constante de von Karman, k=0.4
8
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
2
τ o / ρ dy
 du 
 ⇒ du =
κ
dy
y
 
intégration
u 1
= ln y + C profil de vitesse dans
u* κ
la couche limite
τ o = ρκ 2 y 2 
expériences sur des surfaces lisses ⇒ C = 5.56 −
yu
u
1
= 5.75 log * + 5.56
u*
κ
ν
1
κ
ln
y
u*
u 1 yu*
= ln
+ 5.56 où κ – la constante de
u* κ
ν
von Karman, κ=0.4
le profil logarithmique de vitesse,
ou la loi de la paroi
obs: ce profil de vitesse est valide pour des valeurs de yu*/ν
entre 30 et 500
3 – couche de la ‘loi de défaut’ (defect law)
pour y/δ >0.15 → le profil logarithmique de vitesse
n’est plus valide → la loi de défaut qui relie le défaut
→
→
→
de la vitesse (U o − u ) / u* à y/δ
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
obs: il n’y a pas de ligne précise de démarcation entre les trois zones de la couche
limite → zone - tampon entre la couche visqueuse et la couche de vitesse
5ν
11.84ν
logarithmique:
'
u*
<δ <
u*
Formule de la loi de la puissance (power law) - profil de vitesse
-pour des valeurs de Reynolds →105<Re<107, l’analyse montre que dans une
couche limite turbulente, le profil de vitesse est très bien approximé par:
1/ 7
u  y
=
U o  δ 
la loi de la puissance
Équation du Moment dans la couche
limite
- considérons un VC dans la couche limite
sur une plaque plane avec un gradient de
pression nul le long de la plaque
9
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
∑ Fx = ∫ u ρ V ⋅ dA
δ2
−τ o ∆x =
∫
δ1
ρ u22 dy −
∫ ρu dy −U m& δ
0
cs
2
1
o
0
δ2
δ1
- le débit de la masse qui entre
&
mδ = ρ u2 dy − ρ u1dy
par le côté supérieur du VC:
∫0
∫0
δ
d u 
u
- profil de l’effort de τ o = ρU 02
1 −
dx
U
U
cisaillement à la parois
o
0 o 

 dy

∫
L’épaisseur de la couche limite turbulente
δ
- en utilisant la loi de la puissance → τ o = ρU 02
∫
intégration
τ o 7 2 dδ
= U
ρ 72 0 dx
9.5
1/ 7
d  y
dx 0  δ 
  y 1 / 7 
1 −    dy
  δ  
-pas très utile;
τo et δ → sont inconnus
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
1/ 6
-on définit le coefficient local de cisaillement
 ν 
τo
pour la couche limite turbulente → c f =
⇒ c f = 0.02 

ρU o2 / 2
 U oδ 
(très bonne approximation pour Re < 1010)
intégration
1/ 6
ν 
0.01

 Uo 
l’épaisseur de la couche
limite turbulente
0.16 x
δ = 1/ 7
Re x
7
dδ
= δ 1/ 6
72
dx
1/ 6
 ν 
τo
= 0.01U o2 

ρ
 U oδ 
Résistance au cisaillement dans la couche limite turbulente
-en substituant l’épaisseur δ dans l’expression de l’effort de cisaillement:
τo = ρ
U o2  0.027 


2  Re1x/ 7 
cf =
τ
o
cf =
- l’effort de cisaillement à la
ρU o2 / 2
frontière solide pour une couche
limite turbulente
0.027
Re1x/ 7
- coefficient local de cisaillement
(couche limite turbulente)
10
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
La force de résistance au cisaillement →
(en intégrant sur la surface de la frontière)
∫
Fs = τ o dA ⇒ Fs =
A
0.032 BL U o2
ρ
2
Re1L/ 7
0.032
- coefficient moyen de cisaillement C f =
Re1L/ 7
(couche limite turbulente)
-d’autres expressions proposées par White:
(White, Frank M. Viscous Fluid Flow. McGraw-Hill, New York, 1991)
cf =
0.455
ln ( 0.06 Re x )
Cf =
0.523
ln ( 0.06 Re L )
2
2
Obs: Schlichting, H. Boundary Layer Theory. **
McGraw-Hill, New York, 1979
- en utilisant ces formules on va déterminer de nouveaux coefficients de
cisaillement pour le cas des couches limites laminaires et turbulentes
présentes en même temps sur une frontière solide
→
→
→
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
→ alors le régime d’écoulement dans la couche limite comprendra 3 zones: le régime
laminaire, un régime transitoire et le régime turbulent.
(la zone critique) rencontré à Rex ≈ 500,000
→ la force de résistance d’une
plaque plane et lisse avec une
couche
limite
laminaire
et
turbulente est évaluée séparément
pour les deux cas et puis
additionnées pour donner la force
totale de résistance:
11
9.5
Expressions quantitatives pour une couche limite
turbulente
Écoulement laminaire:
Rex, ReL < 5x105
δ=
5x
Re1x/ 2
coefficient local de
cisaillement, cf
cf =
0.664
Re1x/ 2
coefficient moyen
de cisaillement, Cf
Cf =
1.33
Re1L/ 2
l’épaisseur de la
couche limite
Écoulement turbulent:
Rex, ReL ≥ 5x105
δ=
cf =
Cf =
-si la plaque est rugueuse, le régime
0.37 x
turbulent s’installe dès le début et → δ =
;
1/ 5
Re x
0.16 x
Re1x/ 7
0.455
ln 2 ( 0.06 Re x )
0.523
1520
−
ln ( 0.06 Re L ) Re L
2
cf =
0.058
;
Re1x/ 5
Cf =
0.074
Re1L/ 5
-valides jusqu’à Rex ≈107
12