Exercice 1 3pts 1. Calculer le nombre A = 8+3x4 1 + 2 x 1,5 = 8 + 12 20 = =5 1+3 4 2. Pour calculer A, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches suivantes Expliquer pourquoi il n’obtient pas le bon résultat. 2 réponses possibles : Il ne s’est pas mis en mode fraction avec la touche Il a oublié les parenthèses autour du numérateur et du dénominateur Il aurait dû taper ( 8 + 3 x 4 ) : ( 1 + 2 x 1,5 ) Exercice 2 5pts On donne le programme de calcul suivant Choisir un nombre. Lui ajouter 1 Calculer le carré de cette somme Enlever 16 au résultat obtenu 1. Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4, on obtient comme résultat 9. (4 + 1)² − 16 = 5² − 16 = 25 – 16 = 9 2. Lorsque le nombre de départ est (−1), quel résultat obtient-on ? (−1 + 1)² − 16 = 0² − 16 = 0 – 16 = −16 3. Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. On appelle P cette expression. P = (x – 1)² − 16 4. Vérifier que P = x² + 2x − 15. En développant on obtient P = (x² − 2x + 1) – 16 = x² − 2x + 1 −16 = x² − 2x − 15 5. Vérifier que P = (x − 3)(x + 5) En factorisant à l’aide du modèle a² − b² = (a + b)(a – b) P = [(x – 1) + 4][(x – 1) – 4] = [x – 1 + 4][x – 1 – 4] = ( x + 3)(x – 5) On peut aussi développer l’expression (x − 3)(x + 5) et retrouver x² + 2x − 15. Exercice 3 4pts Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse 1. Que vaut 53 x 55 515 7 4 5 − : est égal à 3 3 2 3 5 : 3 2 7 3 2 − x 3 4 5 27 15 0 −1 −4 4. Si x = −4, alors x + 4 + (x + 4) (2x – 5) est égal à : Exercice 4 258 17,3 x 10-3 0,97 x 107 1,52 x 103 2. Quel nombre est en écriture scientifique ? 3. Le nombre 58 5pts AIR est un triangle tel que : AR = 9,7 cm AI = 7,2 cm IR = 6,5 cm 1. Construire ce triangle. 2. Le triangle AIR est-il rectangle ? Justifier votre réponse. AR² = 9,7² = 94,09 AI² + IR² = 7,2² + 6,5² = 94,09 Donc AR² = AI² + IR² et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AIR est rectangle en I 3. a) Calculer sin ( ARI ). Dans le triangle AIR rectangle en I sin ARI = b) côté opposé 7,2 72 = = hypoténuse 9,7 97 En déduire la valeur arrondie de l'angle ARI à un degré prés. Avec la calculatrice et la fonction inverse de sinus on en déduit ARI ≈ 48° à 1 degré près Exercice 5 3pts Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol (voir schéma). C Calculer la hauteur du poteau. (On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au cm près) Dans le triangle ABC rectangle en B , on exprime le sinus de l’angle A A B BC BC = on en déduit AC 20 BC = 20 x sin40° (valeur exacte) BC ≈ 12,86m (arrondi au cm) sin 40° = Exercice 6 4pts On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l’armature métallique et le segment [CD] pour l’assise en toile. On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm Pour des raisons de confort, l’assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). Déterminer la longueur CD de l’assise. C’est une situation de Thales Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en G De plus (CD)//(AB) donc d’après le théorème de Thales GC GD CD 30 CD = = d’où = . En utilisant l’égalité des GB GA AB 45 51 produits en croix, Exercice 7 4pts CD = 30 x 51 = 34. L’assise mesure 34cm 45 Le parc éolien de la Haute Lys comprend 25 éoliennes sur le canton de Fauquembergues. Chacune d’elle a un mat de 65m et 3 pales de 35m. Lorsqu’une éolienne atteint son plein régime, son rotor effectue 16 tours par minute. 1. Une mouche est collée à l’extrémité B d’une pale. Calculer la distance qu’elle parcourt en un tour de rotor. La mouche parcourt la longueur d’un cercle de rayon 35m donc L = 35 x 2 x π ≈ 220m (à 1m près) 2. A quelle vitesse tourne cette mouche lorsque l’éolienne est à plein régime? Réponse en m/s et en km/h Rappels : la longueur d’un cercle est diamètre x π distance vitesse = temps 10 x 3600 10m/s = 10 x 3600 m/h = km/h =36km/h 1000 A plein régime l’éolienne fait 16 tours par minute donc la mouche parcourt 16 x 220m = 3520m Sa vitesse est donc de 3520 m par minute donc en une seconde elle parcourt 60 fois moins. 58,7 x 3600 3520 V= m/s ≈ 58,7 m/s converti en km/h : ≈ 211 km/h 60 1000 Exercice 8 6pts Le graphique ci-dessous représente la variation de la puissance d’une éolienne en fonction de la vitesse du vent. Document technique de l’éolienne VESTAS V112 -3.0 MWOffshore a) À partir de quelle vitesse du vent l'éolienne démarre-t-elle ? A partir de 3m/s b) Quelle est la puissance électrique atteinte par l’éolienne lorsque le vent souffle à 10m/s ? ≈ 2500 kW c) Quelle est la puissance maximale qui peut être atteinte ? 3000kW d) À partir de quelle vitesse du vent la puissance maximale est-elle atteinte ? A partir de 12m/s e) Convertir cette vitesse en km/h 12m/s = 12 x 3600 km/h = 43,2 km/h 1000 f) Soit f la fonction représentée par cette courbe. Compléter : f(20) = 3000 f( 8 ) = 1400 Quel est l’antécédent de 2000 ? 9 Citer 2 nombres qui ont la même image. Par exemple 12 et 15 (n’importe quel nombre entre 12 et 25) Quelle est cette image ? cette image est 3000 Exercice 9 Peut-on ranger (sans la démonter) une flûte à bec de 27 cm de longueur dans une boîte à chaussure qui mesure 24cm de long, 10cm de large et 8cm de haut ? La plus grande longueur possible dans la boite est la grande diagonale [AE] Toutes les faces sont des rectangles donc le triangle ABC est rectangle en B Calculons AC à l’aide du théorème de Pythagore 2pts si Pythagore 1 fois AC² = AB² + BC² AC² = 24² + 10² = 676 (d’où AC = 26, ça ne passe pas) Dans le triangle AEC rectangle en C AE² = AC² + CE² 4pts si réponse finale AE² = 676 + 8² = 740 D’où AE ≈ 27,2cm et là ça passe.