Propriétés énergétiques des gaz parfaits

Thermodynamique - Chapitre 5 Propriétés énergétiques des gaz parfaits
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LES CONNAISSANCES
1 - Lois de Joule
• Un système obéit à la première loi de Joule lorsque son énergie interne ne dépend que
de la température.
On peut alors écrire :
∂
∂
U
V
T
=0
d’où :
dU C dT
V
=
.
• Un système obéit à la deuxième loi de Joule lorsque son enthalpie ne dépend que de la
température.
On peut alors écrire :
∂
∂
H
P
T
=0
d’où :
dH C dT
P
=
.
2 - Détente de Joule-Gay Lussac
Dispositif expérimental :
C’est une détente adiabatique contre le vide.
Caractéristique énergétique :
Système : { gaz }. L’extérieur est alors constitué du récipient et du
vide.
Les forces de pression exercées sur le gaz par les parois du
récipient ne travaillent pas car elles sont normales au déplacement du gaz le long de ces
parois.
Le vide de travaille pas non plus puisqu’il exerce une pression nulle sur le gaz tout au long
de sa détente.
On a donc : W=0 .
D’autre part : Q =0 (transformation très rapide).
Le premier principe donne alors : ∆
U =0 (puisque ∆
E
m
=0 ).
Propriétés énergétiques des gaz parfaits
gaz vide
paroi que
l'on brise

Thermodynamique - Chapitre 5 Propriétés énergétiques des gaz parfaits
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Remarque :
Il est aussi possible de choisir le système { gaz + boite }. L’extérieur est maintenant
l’atmosphère.
On a alors : W P dV
atm
= − =
∫
0 (transformation isochore) et : Q=0 .
D’où : ∆ ∆U U
boite gaz
+ = 0 (puisque ∆E
m
=0 ).
L’hypothèse de la transformation adiabatique pour le gaz se traduit par le fait que la
boite ne reçoit pas de chaleur. Elle ne reçoit pas non plus de travail (boite rigide).
Donc : ∆U
boite
=0 et finalement : ∆U
gaz
=0. On retrouve bien le même résultat...
Intérêt :
A priori, l’énergie interne du gaz dépend de T et de V. En faisant subir une telle détente à
un gaz (
U
U
f i
=
), si on constate que sa température finale est la même que sa température
initiale (bien que
V
V
f i
≠
), alors on peut affirmer que son énergie interne est indépendante
du volume, c'est-à-dire qu’il obéit à la première loi de Joule .
Remarque : La variation de température provoquée par la détente s’appelle l’ effet Joule-
Gay Lussac .
Résultats expérimentaux :
On constate que l’effet Joule-Gay Lussac est d’autant plus faible que la pression initiale du
gaz est faible, et qu’il semble tendre vers zéro lorsque la pression du gaz tend vers zéro.
Ces observations expérimentales nous conduisent donc à conjecturer qu’ un gaz parfait
obéit à la première loi de Joule .
3 - Détente de Joule-Thomson
Dispositif expérimental :
C’est une détente adiabatique d’un gaz en écoulement
permanent (indépendant du temps), à travers une
paroi poreuse.
Caractéristique énergétique :
Système : { tranche A A
1 2
de gaz (volume V
1
), qui passe en B B
1 2
(volume V
2
) }.
Le travail des forces de pression reçu par cette tranche ne peut pas être calculé, puisque la
pression extérieure n’est pas connue pendant la traversée de la paroi poreuse (elle varie de
1
P à
2
P ).
Cependant :
[ ] [ ]
∆U U B B U A A U B B U A B U A A U A B= − = + − +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
Donc : ∆ ∆U U A B U A B U= − =( ) ( ) '
2 2 1 1
: variation d’énergie interne de la tranche A B
1 1
qui
passe en A B
2 2
.
Remarque : L’énergie interne de la tranches
A
B
2 1
n’est pas calculée aux mêmes instants
dans les deux termes entre crochets (la première est calculée à l’instant final et la deuxième
à l’instant initial), mais le calcul est valable puisqu’on est en régime permanent.
A
1
B
1
A
2
B
2
V
2
V
1
( Σ
1
) ( Σ
2
)
paroi poreuse
( )P
1
( )P
2

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Nous pouvons donc travailler avec le nouveau système { tranche
A
B
1 1
de gaz qui passe en
A
B
2 2
}, dont la variation d’énergie interne
∆
U
'
est la même que celle de notre système
initial.
Le travail que reçoit ce système a déjà été calculé (voir « Exemple 10 », page 62, avec
W'=0 puisque la paroi poreuse ne fournit aucun travail) : W PV P V= −
1 1 2 2
.
La transformation est supposée adiabatique : Q= 0 .
 ∆E
m
≈ 0 si on néglige la variation de vitesse du gaz au cours de la traversée de la
paroi poreuse (hypothèse valable pour une baisse de pression pas trop importante...).
Le premier principe donne alors : ∆U W ' =
On aura donc, pour notre système initial : ∆U W U B B U A A PV P V= ⇔ − = − ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2 2
Finalement : U B B P V U A A PV ( ) ( )
1 2 2 2 1 2 1 1
+ = + ⇔
∆H=0.
Intérêt :
A priori, l’enthalpie du gaz dépend de T et de P. En faisant subir une telle détente à un
gaz (
H
H
f i
=
), si on constate que sa température finale est la même que sa température
initiale (bien que
P
P
f i
≠
), alors on peut affirmer que son enthalpie est indépendante de la
pression, c'est-à-dire qu’il obéit à la deuxième loi de Joule .
Remarque : La variation de température provoquée par la détente s’appelle l’ effet Joule-
Thomson .
Résultats expérimentaux :
On constate que l’effet Joule-Thomson est d’autant plus faible que la pression initiale du
gaz est faible et qu’il semble tendre vers zéro lorsque la pression du gaz tend vers zéro.
Ces observations expérimentales nous conduisent donc à conjecturer qu’ un gaz parfait
obéit à la deuxième loi de Joule .
4 - Interprétation à l’échelle microscopique
Energie interne d’un gaz parfait :
Les interactions entre les molécules dans un gaz parfait étant inexistantes, la seule forme
d’énergie présente à l’échelle microscopique est l’énergie cinétique de ses molécules.
L’énergie interne d’un gaz parfait, constitué de N molécules, est donc : U E
C
i
N
i
=
=
∑
1
.
Gaz parfait monoatomique :
Les molécules d’un gaz monoatomique peuvent être considérées comme ponctuelles
de sorte que leur énergie cinétique est : E mv
C i
i
=1
2
2
.
Alors : U mv N mv Nmv
i
i
N
= = =
=
∑
1
2
1
2
1
2
2
1
2 2*
où : v
*
est la vitesse quadratique moyenne
des molécules (voir « Interprétation cinétique de la température » page 37).

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En reprenant l’expression de la vitesse quadratique moyenne : U Nm kT
mNkT= =
1
2
3 3
2
Soit : U nRT=3
2 et pour une mole :
U RT
m
=3
2.
Gaz parfait diatomique :
Les molécules d’un gaz diatomique ne peuvent pas être considérées comme ponctuelles.
En effet, leur mouvement de rotation autour de leur centre d’inertie (énergie cinétique
barycentrique E
C
* ) n’est pas négligeable dans le calcul de leur énergie cinétique :
E mv E
C i C
i i
= +
1
2
2
* (d’après le 2
ème
théorème de Koenig).
On démontre alors (on admettra ce résultat) : U RT
m
=5
2.
Lois de Joule :
Les résultats précédents, relatifs aux gaz parfaits monoatomiques et diatomiques, montrent
que ces gaz obéissent à la première loi de Joule. On peut montrer que cette propriété reste
vraie pour tout gaz parfait, de sorte qu’ un gaz parfait obéit à la première loi de Joule .
En ce qui concerne son enthalpie : H U PV U T nRT H T= + = + =( ) ( ) . On peut donc affirmer
qu ’un gaz parfait obéit à la deuxième loi de Joule .
Remarque : Ces résultats confirment parfaitement les observations faites sur les effets
Joule-Gay Lussac et Joule-Thomson, qui s’atténuent lorsque la pression du gaz tend vers
zéro (gaz tendant vers un gaz parfait).
5 - Chaleurs molaires isobare et isochore d’un gaz parfait
Gaz parfait monoatomique :
• U RT
m
= ⇒
3
2
CdU T
dT R
Vm
= =
( ) 3
2 (
[ ] . .C J K mol
V
=
− −1 1
).
• H U PV
nRT RT RT
m m
= + = + = ⇒
3
2
5
2
CdH T
dT R
Pm
= =
( ) 5
2 (
[ ] . .C J K mol
P
=
− −1 1
).
• On définit le coefficient γ d’un gaz, par la relation : γ = C C
P V
.
Pour un gaz parfait diatomique, on a donc : γ = 5
3.
Gaz parfait diatomique :
• U RT
m
= ⇒
5
2
CdU T
dT R
Vm
= =
( ) 5
2 (
[ ] . .C J K mol
V
=
− −1 1
).
• H U PV
nRT RT RT
m m
= + = + = ⇒
5
2
7
2
CdH T
dT R
Pm
= =
( ) 7
2 (
[ ] . .C J K mol
P
=
− −1 1
).

Thermodynamique - Chapitre 5 Propriétés énergétiques des gaz parfaits
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• γ = =
C
C
P
V
7
5.
6 - Relation de Mayer
C’est la relation liant C
V
et C
P
pour un gaz parfait.
Démonstration :
•
H T U T PV U T nRT dH
dT
dU
dT nR( ) ( ) ( )= + = + ⇒ = +
Soit : C C nR
P V
− = avec :
[ ] [ ] .C C J K
P V
= =
−1
(grandeurs extensives).
• En utilisant les grandeurs molaires : C C R
P V
− = avec :
[ ] [ ] . .C C J K mol
P V
= =
− −1 1
.
• En utilisant les grandeurs massiques : C C R
M
P V
− = avec :
[ ] [ ] . .C C J K kg
P V
= =
− −1 1
.
Application :
En utilisant le coefficient γ = C
C
P
V
, on obtient le système :
C
C
C C nR
P
V
P V
=
− =
γ
La résolution de ce système conduit aux résultats suivants :
CnR
V
=−γ 1 et : CnR
P
=−
γ
γ1 avec :
[ ] [ ] .C C J K
P V
= =
−1
(grandeurs extensives).
Remarque : La relation de Mayer impose que pour tout gaz parfait :
γ
>
1
(puisque
C
C
P V
>
). C’est bien ce que nous avons obtenu pour le gaz parfait monoatomique
( γ = 5 3 ) et le gaz parfait diatomique ( γ = 7 5 ).
7 - Loi de Laplace
Elle caractérise une transformation adiabatique quasi-statique d’un gaz parfait de
coefficient γ constant .
Démonstration :
La transformation étant quasi-statique , la pression et la température du gaz sont
homogènes à tout instant. Le premier principe peut donc être écrit sous forme
différentielle :
dU dE dW dQ P dV dQ
m
+ = + = − +
La transformation est adiabatique donc : dQ =0 .
La variation d’énergie cinétique du gaz est négligée (transformation lente) ainsi que
l’éventuelle variation de son énergie potentielle :
dE
m
≈
0
.