Dix autres mondes sont Dix autres mondes sont

Dix autres mondes sont
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D
D
ans l’Antiquité, lorsque les gens s’in-
terrogeaient sur la forme de l’Univers, ils
supposaient qu’ils vivaient sur une
immense surface très légèrement bombée.
Cette hypothèse de planéité, au demeu-
rant raisonnable, perdura des mil-
liers d’années et s’imposa à nombre
de philosophes. Selon la légende, au
IV
e
siècle
avant notre ère, Aristote observa un navire
disparaître derrière l’horizon — la coque
d’abord, puis les voiles et enfin le sommet
du mât. Le navire, remarqua-t-il, ne devient
pas de plus en plus petit, pour finalement n’être
qu’un point s’évanouissant dans le néant: il
s’enfonce progressivement derrière l’horizon.
Aristote en conclut, confortant ainsi par l’ob-
servation et la déduction une spéculation for-
mulée par Pythagore, que la Terre était
probablement ronde. Ce raisonnement est
l’un des plus grands exploits intellectuels de
tous les temps.
Depuis Aristote, nous avons découvert
de nombreux secrets de l’Univers, mais la
question de sa forme demeure. Les observa-
tions astronomiques récentes ont apporté un
début de réponse puisqu’elles suggèrent que le
cosmos obéit aux règles de la géométrie eucli-
dienne la plus ordinaire (les astrophysiciens
disent que la courbure de l’espace est égale à
zéro en chacun de ses points). Ce résultat
est loin d’être établi avec certitude, mais il
semble bien que, pour le moment, il soit
raisonnable d’admettre que l’Univers est une
variété tridimensionnelle euclidienne. Or,
par bonheur, les mathématiciens ont montré
qu’il n’existe que 18 variétés euclidiennes
tridimensionnelles, dont dix seulement sont des candidates
raisonnables pour représenter l’Univers. Comment peut-il
y avoir 18 formes différentes d’espaces euclidiens? Exa-
minons d’abord le cas d’univers bidimensionnels; ils sont
plus faciles à visualiser.
Topologie et surfaces
Lorsqu’ils évoquent la «forme de l’Univers», les
mathématiciens et les astronomes font référence
à sa forme topologique. La topologie traite les objets
comme s’ils étaient en caoutchouc très déformable.
Avec un tel matériau, un beignet est identique à une
tasse à café: on peut le déformer continûment et lui don-
ner la forme d’une tasse à café sans le couper ni le col-
ler. En revanche, toujours topologiquement parlant,
la surface d’un beignet diffère de la surface d’une
boule, un tore diffère d’une sphère: il n’y a aucun
moyen de déformer l’un de ces objets pour le trans-
former en l’autre sans le couper et le recoller.
Il existe de nombreuses surfaces topologi-
quement distinctes du tore et de la sphère. Par
exemple, on peut ajouter des poignées au tore.
Chaque poignée crée un nouveau trou. Ainsi, le
tore, surface à une poignée, possède un trou, tandis
qu’une surface à deux poignées en possède deux. Topo-
logiquement parlant, le nombre de poignées définit
la surface. Deux surfaces quelconques dotées d’un
nombre différent de poignées sont distinctes. Voilà
qui nous permet d’engendrer un grand nombre
de surfaces distinctes.
50
1. Tout comme la surface de la Terre, la surface
d’une variété à deux dimensions quelconque apparaît plus
ou moins «plate» au voisinage de n’importe lequel de ses
points, pourvu que le grossissement soit suffisant.
Colin Adams • Joey Shapiro
Même si l’Univers est euclidien – comme le suggèrent les observations –,
il n’est pas nécessairement infini. Il peut encore prendre n’importe laquelle
des dix autres formes possibles dont la plupart a un volume fini.
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t possibles
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Toutes ces surfaces sont bidimensionnelles. Toutes ont
en commun cette propriété caractéristique: un point quel-
conque pris sur une de ces surfaces est entouré d’un
disque de points. Ce disque peut être éventuellement très
petit et légèrement gauchi, mais son existence nous dit
que, localement, la surface est bidimensionnelle et sans bord.
Quel intérêt? Eh bien, grâce à cette propriété, toute créa-
ture plane vivant dans la surface de l’une de ces variétés,
peut avoir l’impression, si elle est suffisamment petite, de
vivre dans un plan euclidien. De même, telle que nous la
voyons, la surface de la Terre nous paraît plane et si nous
nous limitions à cette vision locale, nous pourrions raison-
nablement penser que la Terre est un plan infini, une sphère,
un tore, ou n’importe quelle variété bidimensionnelle. De
même, nous avons l’impression de vivre dans un espace à
trois dimensions euclidien (les astrophysiciens disent «plat»),
mais, pour autant que nous le sachions, il peut s’agir de
n’importe laquelle des variétés tridimensionnelles.
Certaines de ces formes topologiques sont passablement
délicates à visualiser, même pour les spécialistes. Les mathé-
maticiens ont donc mis au point des techniques pour faci-
liter cette visualisation. Pour représenter le tore, par exemple,
nous pouvons partir d’un carré, nommé domaine fonda-
mental du tore. Imaginons que ce carré soit en papier. For-
mons alors un cylindre en collant son côté gauche à son côté
droit. Les côtés supérieur et inférieur sont devenus les cercles
formant la base et le sommet du cylindre. Collons
maintenant ces deux cercles: nous obtenons un tore.
Nous pouvons suivre un insecte se déplaçant à la
surface du tore en reportant son mouvement sur
le carré: chaque fois qu’il atteint le côté supérieur
du carré, il est «transporté» sur le point corres-
pondant du côté inférieur; et chaque fois qu’il franchit
le côté droit du carré, il «réapparaît» sur le point cor-
respondant du côté gauche.
Cette visualisation du tore présente deux avan-
tages. Premièrement, nous pouvons suivre une action
se déroulant dans la surface (le déplacement de l’in-
secte) sans nous placer dans un espace de dimen-
sion supérieure où est plongée cette surface (l’espace
tridimensionnel où «vit» le tore). Deuxièmement, la
géométrie du domaine fondamental est tout à fait simple:
c’est la géométrie euclidienne que l’on apprend à l’école.
La géométrie euclidienne vérifie le postulat des parallèles:
étant donnés un point et une droite, il existe une droite et
une seule passant par le point et parallèle à la première droite.
En outre, la somme des angles d’un triangle y est toujours
égale à 180 degrés. Ces énoncés ne sont pas toujours véri-
fiés dans les autres géométries, par exemple, celles que l’on
obtient lorsque l’on dessine des lignes et des triangles sur
une sphère ou sur une surface hyperbolique (nous verrons
cela). Dans le cas qui nous occupe, la géométrie du carré
t possibles
2. Lorsque l’on colle deux à deux – et dans un certain ordre –
les faces d’un cube, on obtient un 3-tore. Les faces de même couleur sont
collées ensemble et la face noire l’est avec la face avant («transpa-
rente»). Comme dans certains jeux vidéo, les vers qui atteignent l’une
des faces du cube «apparaissent» au point correspondant sur la face
opposée. L’espace cubique demi-tour est obtenu de la même façon,
mais en opérant une rotation sur l’une des faces avant le collage. Notez
comment l’orientation de l’asticot violet indique la rotation de la face noire.
180°
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étant euclidienne, nous en déduisons que celle du tore l’est
aussi. Nous venons donc de découvrir une variété bidi-
mensionnelle euclidienne autre que le plan infini. Notez
aussi que pour représenter le tore, nous pouvons prendre
n’importe quel quadrilatère comme domaine fondamen-
tal. Il faut simplement veiller, quand nous collons deux côtés
du domaine, à ce qu’ils aient la même longueur. En effet, si
vous étirez ou si vous comprimez un côté pour le coller sur
un autre, vous déformez les figures dessinées sur la surface
au point qu’elles n’obéiront plus aux règles de la géométrie
ordinaire et la surface résultante ne sera pas euclidienne.
Passons maintenant à la dimension supérieure.
Les variétés tridimensionnelles
Quelle que soit notre position dans l’Univers, si nous prenons
un point et que nous considérons tous les points situés à moins
de 50 centimètres de lui, nous obtenons une boule: l’Univers
est une variété tridimensionnelle. Reste à savoir laquelle!
Déterminer la variété tridimensionnelle qui décrit l’Univers
paraît tenir de la gageure. Les mathématiciens ont, en effet,
démontré qu’il existe une infinité de variétés tridimension-
nelles! Par bonheur, certaines propriétés physiques de
l’Univers observable limitent les possibilités.
La première de ces propriétés est la très grande unifor-
mité du fond de rayonnement cosmologique. Elle suggère un
univers dont la courbure ne varie ni avec la position ni avec
la direction: on dit que l’Univers est homogène et isotrope.
Dans ce cas, le cosmos a l’une des géométries suivantes: sphé-
rique (à courbure positive constante), euclidienne (à courbure
nulle), ou hyperbolique (à courbure négative constante). Ces
trois géométries ont des propriétés très différentes (voir la
figure 3). Si, en géométrie euclidienne, la somme des angles
d’un triangle est toujours égale à 180 degrés, tel n’est plus le
cas en géométrie sphérique où cette somme est toujours supé-
rieure à 180 degrés (et inférieure en géométrie hyperbo-
lique). Au milieu du
XIX
e
siècle, le mathématicien et physicien
allemand Carl Friedrich Gauss envisagea l’éventualité que
notre Univers ne fût pas euclidien. Il mesura alors les angles
du triangle formé par trois sommets de montagnes. Leur
somme, aux erreurs de mesure près, étant égale à 180 degrés,
Gauss en déduisit qu’à l’échelle où il faisait ses mesures, petite
d’un point de vue astronomique, l’Univers est euclidien. Tou-
tefois ce résultat ne peut être extrapolé sans risque. Qui sait
si la somme des angles d’un triangle défini par trois galaxies
distantes n’est pas différente de 180 degrés? Qui sait si la
géométrie de l’Univers, bien que sphérique ou hyperbolique
en réalité, n’apparaît pas euclidienne dans la minuscule région
accessible à notre observation?
Les mesures récentes réalisées sur le fond de rayonne-
ment cosmologique, ainsi que la découverte de l’énergie sombre
qui accélère l’expansion cosmique, suggèrent que l’espace est
euclidien ou en tout cas très près de l’être. Supposons donc
que le résultat de Gauss puisse être étendu au cosmos tout
entier. Si l’on admet que l’Univers est euclidien, le nombre
de ses formes possibles se réduit spectaculairement. En
1934, Werner Nowacki a démontré qu’il n’existe que 18 varié-
tés euclidiennes tridimensionnelles. Sur ces 18 variétés
euclidiennes tridimensionnelles, 8 sont non orientables;
elles contiennent des chemins fermés (à la Möbius) qui
inversent l’orientation. Si vous quittiez la Terre en suivant
un tel chemin, vous vous retrouveriez finalement chez vous
avec votre orientation inversée: votre cœur aurait changé de
côté, et les aiguilles de votre montre tourneraient en sens
inverse. C’est du moins ainsi que vous apparaîtriez aux autres
habitants de la Terre. Pour votre part, vous ne remarqueriez
aucune différence en vous-même et croiriez être revenu
dans une image miroir de la Terre: toutes les horloges
3. Ces surfaces présentent des analogues à deux dimen-
sions des géométries euclidienne, hyperbolique et sphérique que peut
adopter notre Univers. On observe que la somme des angles d’un triangle
change lorsque l’on passe d’une géométrie à une autre, tout comme les
relations entre des droites parallèles (qui divergent dans le cas hyper-
bolique et convergent dans le cas sphérique).
4. Si vous découpez ce patron(a) et
que vous le pliez comme indiqué (b), vous obtien-
drez une bonne image de ce à quoi ressemblerait
un petit 3-tore si un asticot vert se tenait en son
milieu. Des copies de l’asticot apparaissent, se
répétant jusqu’à l’infini dans toutes les directions. Vivons-
nous, de la même façon, dans un univers beaucoup plus petit qu’il ne
semble l’être et notre vision est-elle constituée d’images répétées?
a
b
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marcheraient à l’envers, tous les textes vous apparaîtraient
comme réfléchis par un miroir, et chaque personne vous appa-
raîtrait avoir son cœur du mauvais côté.
Pour fascinante qu’elle soit, nous rejetons l’idée que nous
vivons dans un univers non orientable: elle entraîne tout
une série de conséquences que l’on n’a jamais observées.
Nous ne pouvons exclure, si l’Univers est suffisamment
grand, l’existence de zones où les phénomènes physiques
sont les symétriques dans un miroir de ce qu’ils sont
autour de nous. Cependant, nous pouvons, avec une rela-
tive sérénité, restreindre notre discussion aux dix variétés
euclidiennes tridimensionnelles qui sont orientables.
Les univers euclidiens possibles
Pour visualiser ces variétés tridimensionnelles, nous allons
emprunter la technique que nous avons utilisée pour décrire
les variétés bidimensionnelles. Pour le tore, nous avons pris
un carré comme domaine fondamental, puis nous avons fait
apparaître le tore en collant les côtés opposés de ce carré. Pour
visualiser les variétés tridimensionnelles, nous allons procé-
der de même, mais en prenant cette fois un objet tridimen-
sionnel comme domaine fondamental, par exemple un
cube. Le tore tridimensionnel est ainsi la généralisation du
tore bidimensionnel: au lieu de coller les côtés opposés d’un
carré, on colle les faces opposées d’un cube. Dans le tore tri-
dimensionnel, chaque point d’une face du cube est identifié
au point correspondant sur la face opposée.
Si vous vous trouviez dans cette variété tridimensionnelle
et que vous regardiez devant vous, vous verriez votre
propre dos et des images de vous-même dans chaque face
du cube. Derrière ces images apparaîtraient une multitude
d’autres images, aussi loin que porterait votre regard. Un tore
tridimensionnel est un peu comme le Palais des glaces
d’une fête foraine… à la différence que, dans le tore tridi-
mensionnel, les images ne sont jamais inversées. Cet espace
– comme tous les autres que nous allons étudier – est de
taille finie, même si ses habitants ont l’impression de vivre
dans un espace infini: seule une observation minutieuse
leur montrera que cette illusion est due à la répétition indé-
finie d’un même domaine fondamental.
Notez bien la nature circulaire de cette variété: si l’Uni-
vers était vraiment un tore tridimensionnel, vous pourriez
quitter la Terre dans une direction quelconque, puis,
sans jamais infléchir votre trajectoire, vous retrouver
finalement à votre point de départ. Cela vous semble
impossible? Pourtant, un phénomène similaire
existe sur Terre: si vous vous déplacez «tout
droit» sur un grand cercle, vous savez que
vous finirez par revenir un jour chez vous.
Une autre propriété intéressante du
tore tridimensionnel est son lien avec
le tore bidimensionnel. Si on décou-
pait le cube en tranches verticales très
fines, on obtiendrait une série de carrés. Les
côtés opposés de ces carrés seraient collés
ensemble, comme composantes des faces oppo-
sées du cube. Le tore tridimensionnel ressemble
donc à un classeur d’étudiant: c’est un cercle à
chaque point duquel est attachée une «feuille» en
forme de tore bidimensionnel (n’oubliez pas que le premier
et le dernier carré sont identiques puisque qu’il s’agit des
faces avant et arrière du cube qui ont été collées ensemble).
Les topologistes désignent cette variété par le symbole T
2
×S
1
,
où T
2
et S
1
représentent respectivement le tore bidimensionnel
et le cercle. Cette construction est un exemple de ce que l’on
appelle un faisceau de tores.
Ces variétés, comme toutes les autres variétés de
volume fini, sont un moyen commode de représenter un
univers en expansion (contrairement à l’espace clas-
sique infini dont on a du mal à visualiser l’expansion). Si
le domaine fondamental d’une
variété se dilate avec le temps,
l’espace d’apparence infinie
engendré par les multiples
images répétées du domaine
fondamental se dilate avec
lui. Vous aurez alors l’im-
pression que chaque
90°
5. Un espace cubique quart de tour est obtenu de la même
façon que le 3-tore et l’espace cubique demi-tour, mais en tournant de
90 degrés l’une des faces avant le collage.
6. Les espaces prisma-
tiqueshexagonaux « un tiers de
tour » et « un sixième de tour » sont
obtenus à partir d’un domaine fon-
damental en forme de prisme hexa-
gonal dont les faces latérales sont
collées deux à deux et dont les faces hexa-
gonales sont assemblées après une rota-
tion indiquée, dans chaque cas, par
l’orientation de l’asticot violet.
60°
120°
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point de l’espace s’éloigne de tous les autres points, ce qui
est exactement ce que l’on observe dans l’Univers réel. Il
faut cependant garder à l’esprit qu’il s’agit en partie
d’une illusion: les points proches d’une face restent tou-
jours très proches des points de la face opposée puisque
les faces opposées restent accolées, même si le domaine
fondamental grandit.
Comment obtenir les autres variétés tridimensionnelles
possibles? L’espace « cubique demi-tour» est un exemple, très
semblable au tore tridimensionnel. Son domaine fondamen-
tal est un cube (mais les parallélépipèdes marchent aussi bien).
Quatre des faces sont collées de la même façon. Les deux
dernières, les faces avant et arrière, par exemple, sont collées
après que l’une d’elles a subi une rotation de 180 degrés. Le
haut de la face avant se trouve ainsi collé au bas de la face
arrière. Si, de l’intérieur de cette variété, vous regardiez une
de ces deux dernières faces, vous verriez encore votre
image, mais inversée tête en bas. Et derrière cette image,
vous verriez une image normale, «dans le bon sens», puis
une autre de nouveau inversée, et ainsi de suite à l’infini.
Il existe également un espace «cubique quart de tour» qui
s’obtient de la même façon, mais avec une rotation de seule-
ment 90 degrés. La seule complication provient du fait qu’à
cause de ce quart de tour, un parallélépipède quelconque n’en-
gendre pas toujours cette variété euclidienne, car pour évi-
ter les déformations qui provoqueraient la perte de la nature
euclidienne de la géométrie, les faces avant et arrière du
domaine fondamental doivent être des carrés.
Autre possibilité: l’espace «prismatique hexagonal tiers
de tour», qui, comme son nom l’indique, ne part pas d’un
domaine fondamental cubique, mais d’un prisme hexago-
nal dont les faces opposées et en forme de parallélogrammes
sont collées deux à deux et dont les deux faces hexagonales
sont collées après avoir tourné l’une d’elles de 120 degrés.
Chaque tranche hexagonale de cette variété est un tore; on a
donc ici encore un faisceau de tores. Si, de l’intérieur de cette
variété, vous regardiez en direction de l’une des faces hexa-
gonales, vous verriez une multitude d’images de vous-même,
chacune tournée de 120 degrés par rapport à la précédente.
En revanche, les images de vous-même que vous verriez dans
la direction d’un parallélogramme seraient exemptes de rota-
tion. Notez que cet univers n’est pas strictement isotrope puis-
qu’il présente des aspects différents selon certaines directions
«privilégiées». Cependant, ces directions sont si discrètes que
si nous vivions vraiment dans une telle variété, cette viola-
tion de l’isotropie resterait compatible avec les observations
suggérant un univers homogène et isotrope. Passons rapi-
dement sur l’espace «prismatique un sixième de tour» pour
sauter à l’espace «cubique double» encore nommé variété
de Hantschze-Wendt (voir la figure 7). Cet espace fini n’est
pas un faisceau de tores et correspond à un collage inhabi-
tuel. Il repose sur un domaine fondamental composé de
deux cubes, l’un situé au-dessus de l’autre, dont chaque face
n’est pas toujours collée avec la face opposée: les faces supé-
rieures avant et arrière sont collées aux faces situées directe-
ment sous elles. Dans cet espace, vous vous verriez sous un
angle très particulier. Si vous étiez suffisamment grand,
vous verriez vos pieds directement devant votre visage. Cet
espace cubique double achève la liste des variétés euclidiennes
tridimensionnelles orientables et de volume fini. Si, comme
7. L’espace « cubique double »est engendré par un domaine fait
de deux cubes superposés dont les faces sont identifiées dans un ordre
complexe. Le fond du cube du haut (en noir) est collé au fond du cube
du bas (également en noir) après une réflexion d’axe vertical (la
gauche et la droite sont inversées). Les faces avant des deux cubes
sont collées après une opération analogue. Les faces latérales (vertes
et orange) sont collées deux à deux après une rotation de 180 degrés.
Finalement les deux faces bleues sont collées sans rotation.
8. L’espace plaque est l’espace contenu entre deux plans infinis
que l’on colle ensemble après une rotation d’angle quelconque et une
translation également quelconque. Il est infini dans deux de ses
dimensions et fini dans la troisième.
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