Electromagnetisme et problemes couples

Introduction
Modélisation des phénomènes
électromagnétiques par la méthode
des éléments finis
La méthode des éléments finis a pris un essor considérable avec l’avènement des
moyens informatiques. Dès les années 1960, elle est devenue, par sa souplesse
d’emploi et sa très grande généralité, une méthode numérique indispensable pour la
résolution des problèmes aux dérivées partielles en électromagnétisme basse
fréquence.
Les années 1970 ont vu l’apparition de codes de calculs destinés à la résolution
des problèmes magnétostatiques bidimensionnels. Les logiciels sont ensuite
progressivement passés au tridimensionnel, intégrant des modèles de plus en plus
performants (formulations tridimensionnelles scalaires et vectorielles, courants de
Foucault, mouvement, conducteurs de formes complexes, anisotropie et hystérésis
des matériaux, magnétostriction, couplage avec les circuits électriques, la thermique
et la mécanique, couplage avec d’autres méthodes numériques, etc.). Ces
améliorations n’ont pu se faire sans une évolution de la méthode elle-même, c’est-àdire en enrichissant les éléments finis nodaux traditionnels par les éléments finis
issus du complexe de Whitney ou encore par le développement d’éléments spéciaux
permettant le traitement de régions minces ou filaires. Notons également que le
passage au 3D a nécessité de gros efforts en termes de maillage, liés aux spécificités
des problèmes électromagnétiques (présence de l’air en particulier). Enfin, les
logiciels évoluent aujourd’hui dans le sens d’une meilleure intégration au sein du
processus de conception des dispositifs ; c’est ainsi que des travaux significatifs sur
l’utilisation des méthodes d’optimisation par simulation numérique ont été effectués.
18
Electromagnétisme et problèmes couplés
La communauté francophone s’est largement distinguée sur la scène
internationale par la qualité de ses travaux, comme en témoigne sa participation très
active aux conférences phares de la spécialité (conférences COMPUMAG et CEFC).
Les recherches se sont traduites par un grand nombre de publications originales qui
ont fortement contribué à l’évolution de la méthode des éléments finis dans le
domaine de l’électromagnétisme, et qui de fait constituent en grande partie la
matière de cet ouvrage. Les travaux se sont concrétisés par une valorisation des
logiciels au sein du monde industriel en France et à l’étranger, dans les grands
groupes industriels comme dans les PME. Les codes développés permettent
aujourd’hui la simulation de très nombreux dispositifs : machines tournantes,
transport et conversion d’énergie, procédés industriels (chauffage, triage…),
actionneurs et capteurs, générateurs de champs, etc.
Dans le cadre du traité EGEM, une série de trois ouvrages est consacrée à la
modélisation des phénomènes électromagnétiques par la méthode des éléments finis.
Sans être exhaustive, elle propose une large revue sur la modélisation par éléments
finis des phénomènes électromagnétiques en basse fréquence. A travers les
contributions d’un grand nombre de spécialistes du domaine, ces livres abordent de
façon détaillée et très actuelle un ensemble de sujets traitant aussi bien les
fondements de la méthode des éléments finis que les dernières avancées de
modélisation des phénomènes physiques.
Le premier ouvrage, intitulé Champs et équations en électromagnétisme, aborde
tout d’abord la notion de géométrie de l’électromagnétisme. Ce chapitre insiste en
particulier sur le fait que les équations de Maxwell expriment la conservation, en
temps et espace, de certaines entités et donc que c’est sous forme intégrale qu’elles
doivent être formulées. Il s’oriente naturellement vers la construction des éléments
de Whitney dont les degrés de liberté sont des intégrales de forme différentielle à
reconstituer. Un deuxième chapitre part du cadre basse fréquence pour montrer que
des concepts issus des fondements statistiques de la thermodynamique permettent de
dériver les équations de Maxwell et les lois d’interaction électrodynamique de
principes variationnels, dont l’écriture constitue justement un des fondements de la
méthode des éléments finis. L’extension aux régimes fortement variables est alors
proposée. Enfin, cet ouvrage se termine par un chapitre montrant comment les
logiciels d’enseignement assisté par ordinateur en électromagnétisme, basés sur la
méthode des éléments finis, apportent un support visuel à l’étude et à la
compréhension des phénomènes et des systèmes électromagnétiques.
Le deuxième ouvrage, intitulé Modèles et formulations en électromagnétisme,
aborde largement les principaux modèles et formulations éléments finis destinés à la
modélisation des phénomènes électromagnétiques en deux et trois dimensions. Un
premier chapitre introduit pas à pas les éléments finis nodaux 1D et 2D en
privilégiant l’approche variationnelle et présente la notion d’élément de référence
Introduction
19
permettant de passer des coordonnées locales aux coordonnées globales. Le
deuxième chapitre est consacré à la présentation de différents modèles
macroscopiques de matériaux du génie électrique. Des exemples concrets tels que
l’anisotropie des tôles à grains orientés, l’hystérésis et le calcul des pertes fer, le
comportement des aimants permanents ou encore celui des supraconducteurs sont
exposés tout en précisant comment ces modèles non linéaires peuvent s’intégrer
dans un logiciel par éléments finis. Le chapitre suivant présente les principales
formulations tridimensionnelles statiques. Il s’intéresse aux formulations en
potentiels et aux espaces fonctionnels accueillant les champs scalaires et vectoriels
ainsi qu’à leurs discrétisations. Une attention particulière est portée sur les
problèmes de jauge et les calculs de champs sources à l’aide des techniques d’arbre.
Le chapitre 4 s’intéresse à la résolution des problèmes magnétodynamiques
tridimensionnels en basse fréquence et détaille les formulations complémentaires
« électrique » et « magnétique ». Le choix des formulations dans les régions
conductrices, où l’on peut utiliser comme inconnue soit le champ soit une
combinaison de potentiels, y est discuté. Le chapitre 5 propose une alternative aux
formulations précédentes par la mise en œuvre de formulations mixtes permettant de
faire intervenir conjointement au même point un champ et un potentiel. Leur intérêt
est qu’elles apportent une meilleure approximation de l’inconnue principale dans le
cas de géométries complexes, même si cela se fait au dépend d’une complexité plus
grande de la modélisation. Enfin, un dernier chapitre est consacré au traitement des
symétries géométriques, en particulier dans le cas où les sources sont quelconques.
Le chapitre montre comment, en s’appuyant sur la théorie de la représentation des
groupes finis, il est possible de déterminer une solution globale par la superposition
de résultats partiels obtenus sur une cellule de symétrie.
Le troisième et dernier ouvrage, intitulé Electromagnétisme et problèmes
couplés, présente d’une part des modèles et formulations destinés à la prise en
compte de problèmes couplés, des régions minces et du mouvement et d’autre part à
l’élaboration de techniques de CAO. Le premier chapitre traite du couplage des
équations de champs électromagnétiques avec les équations de circuit électriques
extérieurs au domaine d’étude. Ce couplage dont la modélisation est essentielle
voire indispensable dans un grand nombre de dispositifs, est présenté en deux et
trois dimensions. Il s’appuie sur les formulations électromagnétiques 2D et 3D
utilisant les potentiels scalaires et/ou vectoriels. Le deuxième chapitre s’intéresse à
la prise en compte du mouvement dans la modélisation des phénomènes
magnétiques et fait le point sur les différentes formulations et techniques permettant
de prendre en compte les effets induits dans les dispositifs comportant des pièces en
mouvement. Le chapitre 3 est consacré à la modélisation des régions minces et
filaires, car l’utilisation d’éléments volumiques devient vite inadaptée dans certaines
configurations géométriques et/ou en présence d’effet de peau marqué, et ceci
particulièrement en 3D. Différents types d’éléments spéciaux (coques, impédance
surfacique) sont présentés dans le cadre des formulations statiques et dynamiques.
20
Electromagnétisme et problèmes couplés
Le chapitre 4 aborde les problèmes couplés magnétothermiques et présente les
formulations, les méthodes de résolution ainsi que des applications relatives au
chauffage par induction, de milieux conducteurs solides ou fluides plasmagènes. Le
chapitre 5 présente les principes généraux des modèles couplés magnétomécaniques
et illustre ces principes à travers différents exemples de problèmes rencontrés au
niveau industriel. Une attention particulière est portée au contenu des termes de
« couplage faible » et « couplage fort ». Le chapitre 6 s’intéresse au couplage
magnétohydraulique et plus précisément à la naissance d’une instabilité
électromagnétique produite par le mouvement d’un fluide conducteur de
l’électricité. Le chapitre 7 propose une analyse des problèmes de maillage dans le
cadre de l’application de la méthode des éléments finis au calcul des champs
électromagnétiques. L’objectif est de faire ressortir les techniques modernes de
maillage en tenant compte des spécificités liées à l’électromagnétisme. Enfin, le
dernier chapitre traite de l’optimisation, étape essentielle dans la conception d’un
dispositif électromagnétique. Les principaux concepts liés à l’optimisation sont
présentés ainsi que l’adaptation des différentes méthodes déterministes ou
évolutionnistes au contexte numérique des éléments finis.
Gérard MEUNIER