Autour des algorithmes distribués

Autour des algorithmes distribu´es
J´er´emie Chalopin, Emmanuel Godard, Yves M´etivier et Akka Zemmari
22 septembre 2011

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Table des mati`eres
1 Introduction 7
2 Graphes 11
2.1 Graphes non-dirig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Graphes dirig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Graphes ´etiquet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Graphes dirig´es ´etiquet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Des Graphes non-dirig´es aux Graphes Dirig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Syst`eme distribu´e 17
3.1 Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Syst`emes Distribu´es avec Communication par ´echange de messages en mode
point-`a-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Syst`emes distribu´es et r´e´etiquetages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Sur les liens entre le mod`ele d’Angluin et les r´e´ecritures d’arˆetes . . . . . . 29
3.6 Communications synchrones et r´e´ecritures d’arˆetes . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 ViSiDiA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 Connaissances Initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Le temps dans les syst`emes distribu´es 35
4.1 Horloges de Lamport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Vecteur d’horloges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Diffusion, centralisation et routage d’une information 37
5.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Centralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6` A propos du calcul d’un arbre recouvrant 39
6.1 Calcul d’un arbre recouvrant en parall`ele sans d´etection de la terminaison . 39
6.2 Calcul d’un arbre couvrant en profondeur avec d´etection de la terminaison . 41
6.3 Calcul d’un arbre couvrant en parall`ele avec d´etection de la terminaison . . 46
6.4 Calcul d’un arbre couvrant chaque sommet ayant un num´ero unique . . . . 49
7´ Election et Nommage 51
7.1 ´ Election dans un anneau, chaque processus ´etant identifi´e par un nom . . . 51
7.2 ´ Election dans un r´eseau avec identit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 ´ Election dans les arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 ´ Election dans un graphe complet anonyme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3

4TABLE DES MATI ` ERES
8 Caract´erisation des r´eseaux admettant un algorithme d’´election 53
8.1 Fibrations et revˆetements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Revˆetements et calculs locaux sur les arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.3 Codage des op´erations sur les messages par des calculs locaux sur les arcs . 55
8.4 Une condition n´ecessaire pour pouvoir ´elire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5 Un algorithme d’´enum´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9´ Election dans des familles de graphes 65
9.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 Quasi-revˆetements et le probl`eme de l’´election pour une famille de graphes
orient´es ´etiquet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3 Un algorithme d’´election pour une famille de graphes ´etiquet´es . . . . . . . 71
10 D´etection de propri´et´es stables 77
10.1 Un algorithme pour d´etecter une propri´et´e locale stable . . . . . . . . . . . 77
10.2 L’algorithme de d´etection de la terminaison globale de Dijkstra-Scholten . . 78
10.3 L’algorithme de calcul d’un ´etat global de Chandy-Lamport . . . . . . . . . 80
11 Stabilisation 83
11.1 3-Coloration d’un anneau `a l’aide de r´e´ecritures d’´etoiles . . . . . . . . . . . 83
11.2 Pr´esentation de l’algorithme du jeton circulant de Dijkstra `a l’aide des
r´e´ecritures d’arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3 Calcul d’un arbre recouvrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12 Synchronisation et synchroniseurs 85
12.1 Un premier exemple de synchroniseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 Un synchroniseur pour un graphe dont on connait la taille ou le diam`etre . 86
12.3 Trois synchroniseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Agents mobiles 89
13.1 Description du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.2 Ex´ecutions ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
13.3 Simuler un algorithme `a base d’agents par un algorithme `a base de messages 91
13.4 Simulation d’un algorithme `a base de messages par un algorithme `a base
d’agents mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14 Algorithmes distribu´es probabilistes 97
14.1 Le r´eseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.2 Algorithme distribu´e probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.3 Analyse des algorithmes distribu´es probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.4 Las Vegas et Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.5 Un premier exemple : un algorithme distribu´e probabiliste pour ´elire dans
un graphe complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.6 ´ Election dans un anneau anonyme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15 Quelques rappels sur les probabilit´es 105
15.1 Quelques formules et notations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

TABLE DES MATI ` ERES 5
16 Coloration distribu´ee des sommets d’un graphe 115
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
16.2 L’algorithme Coloration .............................115
16.3 Analyse de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
16.4 R´eduction du nombre de couleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
17 Synchronisation entre 2sommets voisins dans un r´eseau 121
17.1 L’algorithme Rendez-vous ............................121
17.2 Probabilit´e de succ`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
17.3 Nombre moyen de rendez-vous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
17.4 Construction d’un couplage maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
18 ´ Election distribu´ee probabiliste dans des boules de rayon 1 ou de rayon
2 131
18.1 Algorithmes probabilistes d’´election 1-locale et 2-locale . . . . . . . . . . . . 131
18.2 Analyse probabiliste de LR1et LR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18.3 Quelques r´esultats d’impossibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134