Dipôle magnétique

MP – Cours de physique
MAGNÉTOSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle magnétique
3.1. Boucle de courant
Champ d’induction magnétique sur l’axe d’une boucle de courant circulaire
Nous avons démontré, dès le
premier chapitre du cours de
magnétostatique, l’expression du
champ d’induction magnétique
créé par une boucle de courant
filiforme circulaire en un point M
de son axe de symétrie. Ce champ
est axial, il est maximal au centre
de la boucle de courant et il décroît
comme le cube du sinus de l’angle
α sous lequel est vu le rayon de la
boucle de courant. En notant R le
rayon de la boucle et i le courant
compté positivement dans le sens
de rotation positif autour de Oz,
nous obtenons :
µi
3 B ( M ) = 0 ( sinα ) ez
2R
=
µ 0i 
z2 
1
+


2R  R2 
3
−
2
ez
B ( −R)
−2R
B ( 0)
−R
O
α
B ( R)
R
z
2R
R
B ( z)
z
−2R
−R
O
R
2R
Comportement limite à l’infini sur l’axe d’une boucle ce courant circulaire
À très grande distance sur l’axe, le champ a une forme équivalente plus simple :
B (M)
µ 0i R 3 ez
3
2
R
z
z →∞
∼
Le champ est axial et sa valeur algébrique est une fonction paire de z décroissante en z
−3
à l’instar du
comportement du champ électrique sur l’axe d’un dipôle électrique.
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
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MAGNÉTOSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle magnétique
Moment magnétique d’une boucle de courant
Par définition, nous appellerons moment magnétique d’une boucle de courant le vecteur
m =i S
où S est le vecteur surface de la boucle dont le module est égal à la surface de la boucle, le vecteur étant
orienté par le courant i dans le sens Sud → Nord.
Pour l’exemple de la boucle de courant circulaire, S = πR 2 ez et donc m = πR 2i ez . Le champ
magnétique à l’infini sur l’axe de la spire prend alors la forme suivante :
µ 0 2m
B (M)
Bdip ( z ) =
4π z 3
z →∞
∼
Remarque : Cette expression est analogue à celle du champ électrique créé par un dipôle électrique en un
point de son axe, pourvu que l’on établisse une correspondance entre moment dipolaire magnétique et
moment dipolaire électrique.
1 2p
Edip ( z ) =
4πε0 z 3
3.2. Dipôle magnétique
Potentiel vecteur dipolaire
Ainsi nomme-t-on le potentiel vecteur équivalent créé par une boucle de courant dans la limite où l’on se
place à une très grande distance de la boucle de courant. Nous admettrons, sans démonstration1,
l’expression du potentiel vecteur dipolaire :
µ m ∧ r
Adip = 0
4π r 3
Remarquons simplement l’analogie avec l’expression du potentiel scalaire du dipôle électrique qui laisse
attendre quelques analogies de comportement.
électrostatique
magnétostatique
_________________________
____________________________
1
4πε 0
moment dipolaire électrique p = q NP
produit par un scalaire p ⋅
potentiel scalaire dipolaire V
1 p ⋅r
Vdip =
4πε 0 r 3
↔
µ0
4π
↔ moment dipolaire magnétique m = i S
↔
produit vectoriel m ∧
↔
potentiel vecteur dipolaire A
µ m ∧ r
↔
Adip = 0
4π r 3
1
Une démonstration, réduite au seul cas de la boucle de courant circulaire, est présentée en annexe de ce chapitre : elle doit
être considérée comme un exercice d’application assez difficile.
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Champ d’induction magnétique dipolaire
Le champ d’induction magnétique d’un dipôle magnétique dérive du potentiel vecteur dipolaire par la
relation Bdip = rot Adip . Nous admettrons sans démonstration2 l’expression du champ dipolaire :
µ0 2m cos θ
r3
4π
µ m sin θ
Bdip Bθ = 0
4π r 3
Br =
Bϕ = 0
Cette expression du champ dipolaire d’induction magnétique n’est en aucun cas à mémoriser.
Remarquons cependant l’analogie parfaite avec le champ dipolaire électrique :
↔ champ dipolaire d’induction magnétique
champ dipolaire électrique
Edip =
(
1 p
2
cos
θ
e
+
sin
θ
e
r
θ
4πε 0 r 3
1 3 p ⋅ er er − p
Edip =
4πε0
r3
(
)
)
↔
↔
µ m
Bdip = 0 3 2 cos θ er + sin θ eθ
4π r
µ 3 m ⋅ er er − m
Bdip = 0
4π
r3
(
(
)
)
Lignes de champ dipolaire
Les lignes de champ d’un dipôle magnétique ont la même forme que les lignes de champ d’un dipôle
électrique. Elles sont invariantes par rotation autour du moment dipolaire et se referment sur elles-mêmes
à l’endroit où se trouve le dipôle. Notons que le champ magnétique n’est pas défini en ce point : il y
présente une singularité.
m
2
Une démonstration de l’expression du champ d’induction magnétique dipolaire est présentée en annexe de ce chapitre.
Il s’agit d’une excellente lecture pour les amateurs d’analyse vectorielle.
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Exemples de dipôles magnétiques
m
Barreau aimanté
Un petit barreau de matière aimantée équivaut à grande distance à
un dipôle magnétique dont le moment magnétique m est dirigé du
Sud vers le Nord de l’aimant.
Nord
Sud
Les lignes de champ d’induction magnétique « sortent » par le pôle
Nord de l’aimant et « entrent » par le pôle Sud de l’aimant.
Magnétisme terrestre
Ω
Le magnétisme terrestre trouve son origine
dans le noyau composé de fer et de nickel en
fusion. Du point de vue électromagnétique, la
Terre se comporte principalement comme
dipôle magnétique qui serait situé en son
centre, de moment mT = 0, 75 × 1023 A ⋅ m 2 , et
Axe de rotation
de la Terre
N S
dont l’axe est actuellement incliné d’une
dizaine de degrés par rapport à l’axe de
rotation de la planète sur elle-même.
S
N
S
Une boussole soumise au champ magnétique
terrestre s’oriente spontanément vers le
« Nord magnétique ».
L’intensité du champ d’induction magnétique
terrestre est actuellement, à la surface de la
Terre, de l’ordre de grandeur de 50 000 nT
(nano Tesla). Le Nord magnétique fluctue à la
surface du globe et les géologues ont établi la
preuve de l’inversion aléatoire des pôles
magnétiques,
à
raison
de
plusieurs
basculements par million d’année, le Nord
devenant Sud et vice-versa.
S
N
N
N S
m
Axe géomagnétique
de la Terre
Notons que la Terre s’est formée il y a plus de 4,5 milliards d’années et que donc un million d’année est
un intervalle de temps assez court à l’échelle géologique : le magnétisme terrestre est extrêmement actif !
Attention ! Le « Nord magnétique » est bien mal nommé, puisqu’il correspond en réalité au
pôle Sud du dipôle géomagnétique.
Note : Les lignes de champ dipolaire obéissent à l’équation différentielle dr Br = r d θ Bθ ce qui conduit
à l’équation en coordonnées polaire dans chaque plan méridien : r = K ( sin θ )
2
Le tracé précédent est réalisé par un simple programme de quelques lignes en langage MAPLE :
> restart: with(plots): n:=5:
for r from -1 to 1
do champ[r]:=spacecurve({[r*cos(theta)^2*cos(2*Pi*k/n)*cos(theta),
r*cos(theta)^2*sin(2*Pi*k/n)*cos(theta),
r*cos(theta)^2*sin(theta),
theta=0..Pi] $k=-n..n},color=red):
od:
display(champ[t]$t=-1..1,scaling=constrained,projection=NORMAL);
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Magnétisme microscopique
Le magnétisme à l’échelle atomique et subatomique est quantifié. Seule la théorie quantique permet d’en
donner une description cohérente et cela est bien au-delà de notre programme d’étude.
Retenons cependant qu’à l’échelle atomique les électrons sont la cause de propriétés magnétiques de la
matière. D’une part, certaines orbitales électroniques correspondent à un mouvement de rotation
d’ensemble du nuage électronique et l’atome perd alors sa symétrie sphérique au profit d’une symétrie
cylindrique. D’autre part, les électrons possèdent un moment magnétique intrinsèque associé à leur
moment cinétique intrinsèque de « spin ». Les moments magnétiques correspondants sont quantifiés par
le « magnéton de Bohr » :
e
= 0,93 ×10−23 A ⋅ m 2
mB =
2me
Enfin, à l’échelle du noyau des atomes, les protons sont à l’origine de phénomènes magnétiques
quantifiés cette fois par le « magnéton nucléaire » :
mn =
e
= 0,51×10−26 A ⋅ m 2
2mp
L’action d’un champ d’induction magnétique sur ces moments magnétiques élémentaires peut provoquer
leur organisation collective si bien qu’il en résulte un phénomène d’aimantation induite à l’échelle
macroscopique : on parle de diamagnétisme lorsque l’aimantation de la matière est de sens opposé au
champ inducteur et de paramagnétisme lorsque l’aimantation est de même sens que le champ inducteur.
Enfin, l’interaction entre les moments magnétiques élémentaires peut conduire à un phénomène
d’aimantation de la matière y compris en l’absence de champ magnétique extérieur : c’est le cas, en
particulier du ferromagnétisme qui concerne le fer, le cobalt et le nickel dans certains domaines de
température.
3.3. Action d’un champ d’induction magnétique extérieur
sur un dipôle magnétique
Orientation d’un dipôle magnétique
Action mécanique exercée par un champ uniforme sur une boucle de courant filiforme
Considérons un circuit fermé indéformable C
parcouru par un courant constant i et plongé
dans une région de l’espace où règne un champ
d’induction magnétique uniforme et constant
B0 . Chaque élément de courant i δ est alors
soumis à une force élémentaire de Laplace δF
telle que δF = i δ ∧ B0 .
La résultante de ces forces a donc pour expression : F =
B0
i
C
∫
C
L’intégrale
∫
B0
δF =
∫ (i δ ∧ B ) = −iB ∧ ∫ δ
C
0
0
C
δ est nulle quel que soit le circuit C , pourvu simplement qu’il soit fermé.
C
Nous en déduisons donc que la résultante des forces de Laplace agissant sur un circuit fermé
indéformable est nulle, ce qui signifie que l’action résultante est un couple, entièrement caractérisé par
son moment.
Remarque : Dans le cas particulier d’un circuit filiforme rectangulaire, les forces de Laplace s’exerçant
sur deux cotés opposés sont opposées.
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Action d’un champ d’induction magnétique sur un courant rectangulaire
Considérons une région de l’espace soumise à un champ d’induction magnétique uniforme et plaçons en
ce lieu un cadre rectangulaire A1A 2 A 3 A 4 indéformable parcouru par un courant i. Nous l’avons vu, ce
cadre est alors soumis à un couple de moment M que nous allons évaluer.
Notons a = A1A 2 = −A 3 A 4 et b = A 2 A 3 = −A 4 A1 les côtés du cadre dont le moment magnétique est
alors égal à m = i ab n+ = i a ∧ b où n+ est la normale au cadre orientée dans le sens Sud → Nord.
Notons I12 , I 23 , I34 et I 41 les milieux des côtes A1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 et A 4 A1 . Ces points milieux sont les
points d’application des forces de Laplace agissant sur les côtés.
F41
A1
F34
A 4 B0
I41
B0
I34
i
I12
a
B0
F12
A3
I 23
A2
B0
F23
b
Examinons les forces et moments résultants par paires de cot és opposés :
F12 = i A1A 2 ∧ B0 = i a ∧ B0
et
M 12 = M O F12 = OI12 ∧ F12 = i OI12 ∧ a ∧ B0
F34 = i A 3 A 4 ∧ B0 = −i a ∧ B0
et
F12 + F34 = 0
et
( )
(
)
M = M ( F ) = OI ∧ F = −i OI ∧ ( a ∧ B )
M + M = i ( OI − OI ) ∧ ( a ∧ B ) = −i b ∧ ( a ∧ B )
De la même façon, nous avons :
F23 + F41 = 0
et
M 23 + M 41 = i OI 23 − OI 41 ∧ b ∧ B0 = +i a ∧ b ∧ B0
34
O
12
34
34
34
12
34
34
34
(
0
0
) (
0
)
(
)
Le moment résultant est donc indépendant du point O (il s’agit là d’une propriété générale des couples) et
a pour expression : M = M 12 + M 34 + M 23 + M 41 = −i b ∧ a ∧ B0 + i a ∧ b ∧ B0 .
(
)
(
)
Développons les doubles produits vectoriels :
M = −i b ⋅ B0 a + i b ⋅ a B0 + i a ⋅ B0 b − i a ⋅ b B0 = −i b ⋅ B0 a + i a ⋅ B0 b = i a ∧ b ∧ B0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Nous avons ainsi démontré l’expression du moment du couple appliqué au cadre rectangulaire soumis à
l’action d’un champ d’induction magnétique uniforme et constant :
M = i a ∧ b ∧ B0 = m ∧ B0
(
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Généralisation
Nous admettrons, sans démonstration, que les actions mécaniques d’un champ d’induction magnétique
uniforme B0 appliquées à un dipôle magnétique se réduisent à un couple dont le moment est donc
indépendant du point particulier de l’espace où on l’exprime. Ce moment a pour expression :
M = m ∧ B0
Dans la mesure où l’on considère que le dipôle magnétique a une extension spatiale a très petite par
rapport à l’étendue de la zone d’espace dans laquelle le champ d’induction magnétique extérieur varie de
façon notable, l’approximation d’un champ uniforme est excellente.
Ce moment tend à orienter le moment dipolaire magnétique dans la direction et le sens du champ
d’induction magnétique extérieur appliqué.
Remarque : le moment des forces est nul pour une orientation du moment dipolaire parallèle au champ et
de sens opposé. Une telle situation correspond certes à une position d’équilibre, mais instable.
Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle magnétique
avec un champ d’induction magnétique
Nous admettrons, par analogie avec le comportement d’un dipôle électrique dans un champ électrique,
l’expression de l’énergie d’interaction d’un dipôle magnétique avec un champ d’induction magnétique
dans le vide :
Epm = − m ⋅ B
En présence d’un champ d’induction magnétique, le dipôle sera dans une position stable lorsque son
énergie d’interaction avec le champ sera minimale, c’est-à-dire lorsque le moment dipolaire et le champ
sont colinéaires et orientés dans le même sens.
Sous l’action d’un champ électrique extérieur, le dipôle, après s’être orienté dans le sens du champ, tend à
minimiser encore davantage son énergie en se déplaçant selon la ligne de champ dans le sens des champs
d’induction magnétique forts.
B
m
F
Remarque : B étant à flux conservatif, lorsque son module augmente, les lignes de champ se resserrent
nécessairement.
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Annexe 1 : Potentiel vecteur créé à grande distance par une boucle de courant circulaire
La démonstration qui suit est clairement hors
programme, mais elle n’est pas si difficile que cela à
suivre et peut être vue comme une bonne lecture.
x
M
ϕP
Considérons une boucle de courant circulaire C de
rayon a parcourue par un courant i. Nous choisissons
un système de coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ )
P
dc = i d O
a
ayant pour axe polaire Oz l’axe de la boucle. Le
moment dipolaire magnétique de cette boucle s’écrit
alors : m = πa 2i ez .
er
θ
z
ez
S
C
Considérons un point M à une distance r = OM très
grande par rapport au rayon a de la boucle de courant.
Le plan méridien de M, défini comme le plan passant par M et contenant l’axe Oz, est un plan
d’antisymétrie de la distribution de courant et nous savons donc que le potentiel vecteur A ( M ) en M est
orthogonal à ce plan, c’est-à-dire orthoméridien et donc porté par le vecteur ez ∧ er = sin θ eϕ .
µ0
δcP µ 0i
dOP
Le potentiel vecteur est donné par l’intégrale : A ( M ) =
=
4π P∈C PM 4π P∈C PM
∫
∫
De la même façon que nous l’avons déjà fait pour le dipôle électrique, nous allons rechercher une forme
a
équivalente de ce potentiel vecteur dans la limite où le rapport tend vers 0.
r
Pour cela, développons le terme
(
1
= PM 2
PM
)
−
1
2
1
a
au premier ordre en le terme en
:
PM
r
((
= OM − OP
))
1
2 −2
1
−
1 
OP ⋅ OM OP 2  2 1 OP ⋅ r
a
=
+
= + 3 + o 
1 − 2
2
2 
r
r
OM 
OM
OM 
r
dOP µ0i
=
4πr
P∈C PM
La première intégrale est nulle
dOP = 0 .
µi
Par conséquent : A ( M ) = 0
4π
∫
µi
dOP + 0 3
4πr
P∈C
∫
a
∫ ( OP ⋅ r ) dOP + o  r 
P∈C
∫
P∈C
En posant OP = a cos ϕP ex + a sin ϕP ey et donc OP ⋅ r = a cos ϕP ex ⋅ r = a r sin θ cos ϕP , la seconde
2π
intégrale s’écrit :
OP ⋅ r dOP =
a r sin θ cos ϕP − a sin ϕP d ϕP ex + a cos ϕP d ϕP ey
∫ (
P∈C
Soit :
∫ (
P∈C
Nous en déduisons :
)
)
(
∫
0
OP ⋅ r dOP = a 2 r sin θ
∫
2π
0
( cos ϕP )
)
2
d ϕP e y = πa 2 r sin θ e y = S ∧ r
 a 
µ 0 m ∧ r  a  A (M) =
+
o
=
A
M
+
o
(
)
dip
 
 
4π r 3
r
r
Remarque : Cette démonstration est généralisable, mais c’est alors beaucoup plus difficile, à toute boucle
de courant filiforme, éventuellement non plane, en définissant le moment magnétique par la relation :
m =i
n+ dS
∫∫
S
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Chapitre 3
Dipôle magnétique
Annexe 2 : Champ d’induction magnétique dipolaire
La démonstration qui suit est également hors
programme : en cas de besoin, l’expression du champ
d’induction magnétique dipolaire sera donnée.
Nous avons donc, par définition : Bdip = rot Adip
µ0 m ∧ r µ0 m sin θ Avec Adip ( M ) =
=
eϕ
4π r 3
4π r 2
A (M)
x
er
eϕ
D’après l’expression la plus générale du rotationnel en
coordonnées sphériques :
θ
z
ez
O
m
 1 ∂ ( Aϕ sin θ )
1 ∂Aθ   1 ∂Ar 1 ∂ ( rAϕ )   1 ∂ ( rAθ ) 1 ∂Ar
 er + 
e +
rot A = 
−
−
−
 r sin θ
 r sin θ ∂θ r ∂r  θ  r ∂r
∂θ
r sin θ ∂ϕ 
r ∂θ




Nous aurons dans le cas présent, avec Adip ( M ) = Aϕ ( r , θ ) eϕ :
Bdip = rot Adip =
M
  eϕ

1 ∂ ( Aϕ sin θ ) 1 ∂ ( rAϕ ) er −
eθ
r sin θ
r ∂r
∂θ
Nous obtenons ainsi les composantes du champ dipolaire d’induction magnétique en coordonnées
sphériques, Bdip = Br er + Bθ eθ .
2
1 ∂ ( Aϕ sin θ ) µ 0 m 1 d ( sin θ ) µ 0 2m cos θ
Br =
=
=
r sin θ
∂θ
4π r 3 sin θ
dθ
4π
r3
µ m sin θ d (1/ r ) µ 0 m sin θ
1 ∂ ( rAϕ )
Bdip Bθ = −
=− 0
=
r ∂r
4π r
dr
4π r 3
Bϕ = 0
Remarque 1 :
Er =
L’analogie avec le champ dipolaire électrique est parfaite : Edip Eθ =
1 2 p cos θ
4πε 0
r3
1 p sin θ
4πε 0 r 3
Eϕ = 0
Remarque 2 :
Les champs dipolaires peuvent s’écrire sous une forme vectorielle.
3
p
⋅
e
e
−
p
3
m
⋅ er er − m
r
r
µ0
1
B
=
Edip =
dip
4πε 0
r3
4π
r3
(
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(
)
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