Dipôle magnétique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 9
MAGNÉTOSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle magnétique
3.1. Boucle de courant
Champ d’induction magnétique sur l’axe d’une boucle de courant circulaire
Nous avons démontré, dès le
premier chapitre du cours de
magnétostatique, l’expression du
champ d’induction magnétique
créé par une boucle de courant
filiforme circulaire en un point M
de son axe de symétrie. Ce champ
est axial, il est maximal au centre
de la boucle de courant et il décroît
comme le cube du sinus de l’angle
α sous lequel est vu le rayon de la
boucle de courant. En notant R le
rayon de la boucle et i le courant
compté positivement dans le sens
de rotation positif autour de Oz,
nous obtenons :
( ) ( )
3
0
3
22
02
M sin
2
1
2
z
z
i
B e
R
iz
e
R R
−
µ
= α
µ
= +
Comportement limite à l’infini sur l’axe d’une boucle ce courant circulaire
À très grande distance sur l’axe, le champ a une forme équivalente plus simple :
( )
3
03
M2
z
z
iR
B e
Rz
→∞
µ
∼
Le champ est axial et sa valeur algébrique est une fonction paire de z décroissante en
3
z
−
à l’instar du
comportement du champ électrique sur l’axe d’un dipôle électrique.
O
z
R
2
R
R
−
2
R
−
(
)
0
B
(
)
B R
O
z
R
2
R
R
−
2
R
−
(
)
B z
(
)
B R
−
α
R

MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique
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Moment magnétique d’une boucle de courant
Par définition, nous appellerons moment magnétique d’une boucle de courant le vecteur
m iS
=
où
S
est le vecteur surface de la boucle dont le module est égal à la surface de la boucle, le vecteur étant
orienté par le courant i dans le sens Sud
→
Nord.
Pour l’exemple de la boucle de courant circulaire,
2
z
S R e
= π et donc
2
z
m R ie
= π . Le champ
magnétique à l’infini sur l’axe de la spire prend alors la forme suivante :
( ) ( )
0
dip
3
2
M4
z
m
B B z
z
→∞
µ
=π
∼
Remarque : Cette expression est analogue à celle du champ électrique créé par un dipôle électrique en un
point de son axe, pourvu que l’on établisse une correspondance entre moment dipolaire magnétique et
moment dipolaire électrique.
( )
dip
3
0
1 2
4
p
E z
z
=πε
3.2. Dipôle magnétique
Potentiel vecteur dipolaire
Ainsi nomme-t-on le potentiel vecteur équivalent créé par une boucle de courant dans la limite où l’on se
place à une très grande distance de la boucle de courant. Nous admettrons, sans démonstration
1
,
l’expression du potentiel vecteur dipolaire :
0
dip 3
4
m r
A
r
µ
∧
=π
Remarquons simplement l’analogie avec l’expression du potentiel scalaire du dipôle électrique qui laisse
attendre quelques analogies de comportement.
_________________________ ____________________________
0
0
1
4 4
moment dipolaire électrique NP moment dipolaire magnétique
produit par un scalaire
électrostatique magnétostatique
p q m iS
p
µ
↔
πε π
= ↔ =
0
dip dip
3 3
0
produit vectoriel
potentiel scalaire dipolaire potentiel vecteur dipolaire
1
4 4
m
V A
p r m r
V A
r r
⋅ ↔ ∧
↔µ
⋅ ∧
= ↔ =
πε π
1 Une démonstration, réduite au seul cas de la boucle de courant circulaire, est présentée en annexe de ce chapitre : elle doit
être considérée comme un exercice d’application assez difficile.

MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique
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Champ d’induction magnétique dipolaire
Le champ d’induction magnétique d’un dipôle magnétique dérive du potentiel vecteur dipolaire par la
relation
dip dip
rot
B A
= . Nous admettrons sans démonstration
2
l’expression du champ dipolaire :
03
0
dip 3
2 cos
4
sin
4
0
r
m
Br
m
B B r
B
θ
ϕ
µ
θ
=π
µ
θ
=π
=
Cette expression du champ dipolaire d’induction magnétique n’est en aucun cas à mémoriser.
Remarquons cependant l’analogie parfaite avec le champ dipolaire électrique :
( ) ( )
( ) ( )
0
dip dip
3 3
0
0
dip dip
3
0
champ dipolaire électrique champ dipolair
e d’induction magnétique
12cos sin 2cos sin
4 4
3 3
1
4 4
r r
r r r r
p m
E e e B e e
r r
p e e p m e e
E B
r
θ θ
↔
µ
= θ + θ ↔ = θ + θ
πε π
⋅ − ⋅
µ
= ↔ =
πε π
3
m
r
−
Lignes de champ dipolaire
Les lignes de champ d’un dipôle magnétique ont la même forme que les lignes de champ d’un dipôle
électrique. Elles sont invariantes par rotation autour du moment dipolaire et se referment sur elles-mêmes
à l’endroit où se trouve le dipôle. Notons que le champ magnétique n’est pas défini en ce point : il y
présente une singularité.
2 Une démonstration de l’expression du champ d’induction magnétique dipolaire est présentée en annexe de ce chapitre.
Il s’agit d’une excellente lecture pour les amateurs d’analyse vectorielle.
m

MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique
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Exemples de dipôles magnétiques
Barreau aimanté
Un petit barreau de matière aimantée équivaut à grande distance à
un dipôle magnétique dont le moment magnétique
m
est dirigé du
Sud vers le Nord de l’aimant.
Les lignes de champ d’induction magnétique « sortent » par le pôle
Nord de l’aimant et « entrent » par le pôle Sud de l’aimant.
Magnétisme terrestre
Le magnétisme terrestre trouve son origine
dans le noyau composé de fer et de nickel en
fusion. Du point de vue électromagnétique, la
Terre se comporte principalement comme
dipôle magnétique qui serait situé en son
centre, de moment
23 2
T
0,75 10 A m
m
= × ⋅
, et
dont l’axe est actuellement incliné d’une
dizaine de degrés par rapport à l’axe de
rotation de la planète sur elle-même.
Une boussole soumise au champ magnétique
terrestre s’oriente spontanément vers le
« Nord magnétique ».
L’intensité du champ d’induction magnétique
terrestre est actuellement, à la surface de la
Terre, de l’ordre de grandeur de 50 000 nT
(nano Tesla). Le Nord magnétique fluctue à la
surface du globe et les géologues ont établi la
preuve de l’inversion aléatoire des pôles
magnétiques, à raison de plusieurs
basculements par million d’année, le Nord
devenant Sud et vice-versa.
Notons que la Terre s’est formée il y a plus de 4,5 milliards d’années et que donc un million d’année est
un intervalle de temps assez court à l’échelle géologique : le magnétisme terrestre est extrêmement actif !
Attention ! Le « Nord magnétique » est bien mal nommé, puisqu’il correspond en réalité au
pôle Sud du dipôle géomagnétique.
Note : Les lignes de champ dipolaire obéissent à l’équation différentielle r
dr B r d B
θ
= θ
ce qui conduit
à l’équation en coordonnées polaire dans chaque plan méridien :
( )
2
sin r K
= θ
Le tracé précédent est réalisé par un simple programme de quelques lignes en langage MAPLE :
> restart: with(plots): n:=5:
for r from -1 to 1
do champ[r]:=spacecurve({[r*cos(theta)^2*cos(2*Pi*k/n)*cos(theta),
r*cos(theta)^2*sin(2*Pi*k/n)*cos(theta),
r*cos(theta)^2*sin(theta),
theta=0..Pi] $k=-n..n},color=red):
od:
display(champ[t]$t=-1..1,scaling=constrained,projection=NORMAL);
m
Nord
Sud
Ω
ΩΩ
Ω
m
S
N
Axe géomagnétique
de la Terre
N
N
N
N
S
S
S
S
Axe de rotation
de la Terre

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Magnétisme microscopique
Le magnétisme à l’échelle atomique et subatomique est quantifié. Seule la théorie quantique permet d’en
donner une description cohérente et cela est bien au-delà de notre programme d’étude.
Retenons cependant qu’à l’échelle atomique les électrons sont la cause de propriétés magnétiques de la
matière. D’une part, certaines orbitales électroniques correspondent à un mouvement de rotation
d’ensemble du nuage électronique et l’atome perd alors sa symétrie sphérique au profit d’une symétrie
cylindrique. D’autre part, les électrons possèdent un moment magnétique intrinsèque associé à leur
moment cinétique intrinsèque de « spin ». Les moments magnétiques correspondants sont quantifiés par
le « magnéton de Bohr » :
23 2
Be
0,93 10 A m
2
e
mm−
= = × ⋅
Enfin, à l’échelle du noyau des atomes, les protons sont à l’origine de phénomènes magnétiques
quantifiés cette fois par le « magnéton nucléaire » :
26 2
np
0,51 10 A m
2
e
mm−
= = × ⋅
L’action d’un champ d’induction magnétique sur ces moments magnétiques élémentaires peut provoquer
leur organisation collective si bien qu’il en résulte un phénomène d’aimantation induite à l’échelle
macroscopique : on parle de diamagnétisme lorsque l’aimantation de la matière est de sens opposé au
champ inducteur et de paramagnétisme lorsque l’aimantation est de même sens que le champ inducteur.
Enfin, l’interaction entre les moments magnétiques élémentaires peut conduire à un phénomène
d’aimantation de la matière y compris en l’absence de champ magnétique extérieur : c’est le cas, en
particulier du ferromagnétisme qui concerne le fer, le cobalt et le nickel dans certains domaines de
température.
3.3. Action d’un champ d’induction magnétique extérieur
sur un dipôle magnétique
Orientation d’un dipôle magnétique
Action mécanique exercée par un champ uniforme sur une boucle de courant filiforme
Considérons un circuit fermé indéformable
C
parcouru par un courant constant i et plongé
dans une région de l’espace où règne un champ
d’induction magnétique uniforme et constant
0
B
. Chaque élément de courant
i
δ
est alors
soumis à une force élémentaire de Laplace
F
δ
telle que
0
F i B
δ = δ ∧
.
La résultante de ces forces a donc pour expression :
(
)
0 0
F F i B iB
= δ = δ ∧ = − ∧ δ
∫ ∫ ∫
C C C
L’intégrale
δ
∫
C
est nulle quel que soit le circuit
C
, pourvu simplement qu’il soit fermé.
Nous en déduisons donc que la résultante des forces de Laplace agissant sur un circuit fermé
indéformable est nulle, ce qui signifie que l’action résultante est un couple, entièrement caractérisé par
son moment.
Remarque : Dans le cas particulier d’un circuit filiforme rectangulaire, les forces de Laplace s’exerçant
sur deux cotés opposés sont opposées.
0
B
0
B
C
i