11 - Fonctions à valeurs vectorielles Résultats

Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles. - 1 -
Fonctions à valeurs vectorielles. Chap. 11 : résultats.
1. Limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 1.1 : limite en un point d’une fonction à valeurs vectorielles
Définition 1.2 : limite en ±∞ d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Définition 1.3 : limite infinie en un point d’une fonction réelle de variable vectorielle
Théorème 1.1 : unicité d’une limite
Théorème 1.2 : valeur de la limite en a lorsque f est définie en a
Théorème 1.3 : limite d’une combinaison linéaire
Théorème 1.4 : limite d’une composée
Théorème 1.5 : limite d’un produit et d’un quotient de fonctions réelles de variable vectorielle
Théorème 1.6 : utilisation d’une base de l’espace d’arrivée, fonctions composantes
Théorème 1.7 : image d’une suite convergente
Théorème 1.8 : caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite
Définition 1.4 : relations de comparaison
2. Continuité des fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 2.1 : fonction continue en un point, sur un ensemble
Définition 2.2 : fonction prolongeable par continuité en un point
Théorème 2.1 et définition 2.3 : C
0
(A,F)
Théorème 2.2 et définition 2.4 : C
0
(A)
Théorème 2.3 : continuité d’une composée
Théorème 2.4 : continuité d’une restriction
Théorème 2.5 : utilisation d’une base, fonctions composantes
Définition 2.5 : fonction k-lipschitzienne
Théorème 2.6 : composée de fonctions lipschitziennes
Théorème 2.7 : continuité des fonctions lipschitziennes
3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires entre espaces vectoriels normés de dimension
finie.
Théorème 3.1 : continuité d’une application linéaire en dimension finie
Théorème 3.2 et définition 3.1 : norme subordonnée ou attachée à des normes
Théorème 3.3 : propriété de norme d’algèbre dans L(E)
Théorème 3.4 : continuité d’une application bilinéaire en dimension finie
4. Continuité et topologie.
Théorème 4.1 : image réciproque d’ouverts et de fermés par une fonction continue
Théorème 4.2 : cas des fonctions à valeurs réelles
Définition 4.1 et théorème 4.3 : fonction bornée
Définition 4.2 et théorème 4.4 : B(A,F)
Théorème 4.5 : image continue d’un compact
5. Dérivabilité des fonctions de variable réelle à valeurs vectorielles.
Définition 5.1 : dérivabilité en un point d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Définition 5.2 : dérivabilité à droite et à gauche en un point
Théorème 5.1 : lien entre dérivabilité à droite, à gauche et dérivabilité en un point
Théorème 5.2 : caractérisation de la dérivabilité à l’aide d’un développement limité
Théorème 5.3 : cas d’une composée avec une application linéaire ou bilinéaire
Définition 5.3 : dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée, fonction de classe C
1
Théorème 5.4 : utilisation d’une base, fonctions composantes
Théorème 5.5 : caractérisation des fonctions dérivables constantes sur un intervalle
Définition 5.4 : fonction de classe C
n
, C
∞
Théorème 5.6 et définition 5.5 : C
n
(I,F), C
∞
(I,F), C
n
(I,K), C
∞
(I,K)
Théorème 5.7 : cas d’une composée avec une application de  dans 
Définition 5.6 : C
1
-difféomorphisme, C
k
-difféomorphisme
Théorème 5.8 : caractérisation des C
k
-difféomorphismes
6. Intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable réelle, continue par morceaux.

Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles. - 2 -
Théorème 6.1 et définition 6.1 : intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable réelle,
continue par morceaux
Théorème 6.2 : linéarité de l’intégrale sur un segment
Définition 6.2 : intégrale dont les bornes sont égales ou inversées
Théorème 6.3 : relation de Chasles
Théorème 6.4 : intégrales de fonctions égales sauf en un nombre fini de points
Définition 6.3 : intégrale d’une fonction définie sur un segment sauf en un nombre fini de points
Théorème 6.5 : utilisation d’une suite de fonctions en escalier pour définir l’intégrale d’une fonction
continue par morceaux sur un segment
Théorème 6.6 : inégalité de la moyenne
Théorème 6.7 : image d’une intégrale par une application linéaire
7. Primitives d’une fonction vectorielle de variable réelle.
Définition 7.1 : primitive sur un intervalle d’une fonction vectorielle de variable réelle
Théorème 7.1 : liens entre les différentes primitives d’une fonction continue ou continue par morceaux
sur un intervalle
Théorème 7.2 : primitive s’annulant en un point
Théorème 7.3 : lien primitive-dérivée
Théorème 7.4 : intégrale dont les bornes dépendent d’un paramètre
Théorème 7.5 : changement de variable
8. Formule des accroissements finis, formule de Taylor, développements limités.
Théorème 8.1 : inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C
1
à valeurs vectorielles
Théorème 8.2 : dérivabilité obtenue par limite
Théorème 8.3 : généralisation du théorème 8.2
Théorème 8.4 : formule de Taylor avec reste intégral
Théorème 8.5 : inégalité de Taylor-Lagrange
Définition 8.1 : développement limité d’une fonction à valeurs vectorielles
Théorème 8.6 : développement limité à l’ordre 1 d’une primitive de fonction continue
Théorème 8.7 : intégration des développements limités
Théorème 8.8 : égalité de Taylor-Young
Théorème 8.9 : dérivation des développements limités

Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles. - 3 -
Fonctions à valeurs réelles ou vectorielles. Chap. 11 : résultats.
1. Limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 1.1 : limite en un point d’une fonction à valeurs vectorielles
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
On dit que f admet une limite en a si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
Définition 1.2 : limite en ±
±±
±∞
∞∞
∞ d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Soient (F,N’) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’un intervalle I de  de type [a,+∞) ou ]a,+∞) dans F.
On dit que f admet une limite en +∞ si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ M ∈ , ∀ x ∈ I, (x ≥ M) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
De même, si f est une fonction définie d’un intervalle I de  de type (-∞,a] ou (-∞,a[ dans F, on dit que f
admet une limite en -∞ si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ M ∈ , ∀ x ∈ I, (x ≤ -M) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
Définition 1.3 : limite infinie en un point d’une fonction réelle de variable vectorielle
Soient (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans , et soit a un point adhérent à A.
On dit que f admet pour limite ±∞ en a si et seulement si :
• ∀ M ∈ , ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (f(x) ≥ M), pour une limite égale à +∞, et :
• ∀ M ∈ , ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (f(x) ≤ -M), pour une limite égale à -∞.
Théorème 1.1 : unicité d’une limite
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
L’existence d’une limite pour f en a ne dépend des normes choisies dans E et F puisqu’elles y sont
toutes équivalentes et si elle existe, c’est la même pour toutes les normes dans E ou F.
De plus, si f admet une limite en a, cette limite est unique et on la note alors )x(flim
ax→
ou flim
a
.
Théorème 1.2 : valeur de la limite en a lorsque f est définie en a
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un élément de A.
Si f admet une limite en a, cette limite ne peut être que f(a).
Théorème 1.3 : limite d’une combinaison linéaire
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soient f et g des fonctions définies d’une partie A de E dans F, λ et µ des éléments de K et soit a un
point adhérent à A.
Si f et g admettent des limites en a, alors [λ.f + µ.g] admet une limite en a et :
glim.flim.]g.f.[lim
aaa
µ+λ=µ+λ .
Théorème 1.4 : limite d’une composée
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans B inclus dans F, g une fonction définie de B dans G
et soit a un élément adhérent à A.
Si f admet une limite b en a, avec b adhérent à B, et si g admet une limite c en b, alors gof admet pour
limite c en a.
Théorème 1.5 : limite d’un produit et d’un quotient de fonctions réelles de variable vectorielle
Soit (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soient f et g deux fonctions d’une partie A de E dans K, et soit a un élément adhérent à A.
Si f et g admettent des limites en a, alors [f.g] admet une limite en a et :
glim.flim]g.f[lim
aaa
= .

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De plus, si la limite de g en a est non nulle, alors il existe une boule ouverte B centrée en a telle que g
ne s’annule pas sur B, et la fonction
g
f
admet une limite en a telle que :
)x(glim
)x(flim
)x(
g
f
lim
ax
ax
ax →
→
→
= .
Théorème 1.6 : utilisation d’une base de l’espace d’arrivée, fonctions composantes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
On note : B’ = (e’
1
, …, e’
n
), une base de F, et (f
1
, …, f
n
) les fonctions composantes de f dans la base
B’, c’est-à-dire : f =
∑
=
n
1i ii 'e.f
.
Alors f admet une limite en a si et seulement si les fonctions f
i
(à valeurs dans K) admettent des limites
en a, et on a alors :
∑
=
=n
1i ii
aa 'e)).f(lim(flim
.
En particulier, une fonction de A dans  qui s’écrit : f = Re(f) + i.Im(f), où Re(f) et Im(f) sont des fonctions
de A dans , admet une limite en a si et seulement si Re(f) et Im(f) admettent des limites en a et alors :
)fIm(lim.i)fRe(limflim aaa += .
Théorème 1.7 : image d’une suite convergente
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
Si f admet une limite L en a et si (a
n
) est une suite d’éléments de A qui converge vers a, alors la suite
(f(a
n
)) est convergente de limite L, soit : flim)a(flim a
n=
∞+
.
Théorème 1.8 : caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
Alors f admet une limite L en a et si et seulement si, pour toute suite (a
n
) d’éléments de A qui converge
vers a, la suite (f(a
n
)) est convergente.
Toutes les suites (f(a
n
)) convergent alors vers la même limite qui est la limite de f en a.
Définition 1.4 : relations de comparaison
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et ϕ une fonction de A dans .
On dira que f est dominée par ϕ au voisinage de a (et on le notera : f = O(ϕ)), si et seulement si :
∃ k > 0, ∀ x ∈ A, N’(f(x)) ≤ k.|ϕ(x)|.
De même, on dira que f est négligeable devant ϕ au voisinage de a (et on le notera : f = o(ϕ)), si et
seulement si ϕ ne s’annule pas sur un voisinage de a (sauf éventuellement en a) et : 0
f
lim
a
=
ϕ
.
2. Continuité des fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 2.1 : fonction continue en un point, sur un ensemble
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un élément de A.
On dit que f est continue en a si et seulement si f admet une limite en a (qui est donc f(a)).
On dit de même que f est continue sur A si et seulement si f est continue en tout point de A.
On dit alors que f est de classe C
0
sur A.
Définition 2.2 : fonction prolongeable par continuité en un point
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A, qui n’appartient
pas à A.
Si f admet une limite L en a, on peut alors définir f
0
, prolongement par continuité de f en a, en posant :
• ∀ x ∈ A, f
0
(x) = f(x),
• f
0
(a) = L.

Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles. - 5 -
La fonction f
0
est alors continue en a.
Théorème 2.1 et définition 2.3 : C
0
(A,F)
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soient f et g des fonctions définies et continues d’une partie A de E dans F, et λ et µ des éléments de K.
Alors [λ.f + µ.g] est continue sur A.
L’ensemble C
0
(A,F) des fonctions continues de A dans F est un sous-espace vectoriel de F(A,F).
Théorème 2.2 et définition 2.4 : C
0
(A)
Soit (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soient f et g deux fonctions définies et continues d’une partie A de E dans K.
Alors [f.g] est continue sur A.
De plus, si g ne s’annule pas sur A, la fonction
g
f
est continue sur A.
L’ensemble C
0
(A) des fonctions continues de A dans K est une sous-algèbre de F(A,K).
Théorème 2.3 : continuité d’une composée
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et continue d’une partie A de E dans B inclus dans F, g une fonction définie et
continue de B dans G.
Alors gof est continue sur A.
Théorème 2.4 : continuité d’une restriction
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et continue d’une partie A de E dans F et soit : A’ ⊂ A.
Alors f est continue sur A’.
Théorème 2.5 : utilisation d’une base, fonctions composantes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F.
On note : B’ = (e’
1
, …, e’
n
), une base de F, et (f
1
, …, f
n
) les fonctions composantes de f dans la base
B’, c’est-à-dire : f =
∑
=
n
1i ii
'e.f
.
Alors f est continue sur A si et seulement si les fonctions composantes de f sont continues sur A.
En particulier, une fonction de A dans  est continue sur A si et seulement si ses fonctions « partie
réelle » et « partie imaginaire » le sont.
Définition 2.5 : fonction k-lipschitzienne
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction de E dans F.
On dit que f est k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’) si et seulement si :
∀ (x,x’) ∈ E
2
, N’(f(x) – f(x’)) ≤ k.N(x – x’).
On peut aussi parler de fonction k-lispchitzienne d’une partie A de E dans F.
Théorème 2.6 : composée de fonctions lipschitziennes
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’) et g, k’-lipschitzienne de (F,N’) dans (G,N’’).
Alors gof est [k.k’]-lipschitzienne de (E,N) dans (G,N’’).
Théorème 2.7 : continuité des fonctions lipschitziennes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’).
Alors f est continue sur E.
3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires entre espaces vectoriels normés de dimension
finie.