11 - Fonctions à valeurs vectorielles Résultats

Fonctions à valeurs vectorielles.
Chap. 11 : résultats.
1. Limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 1.1 :
limite en un point d’une fonction à valeurs vectorielles
Définition 1.2 :
limite en ±∞ d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Définition 1.3 :
limite infinie en un point d’une fonction réelle de variable vectorielle
Théorème 1.1 :
unicité d’une limite
Théorème 1.2 :
valeur de la limite en a lorsque f est définie en a
Théorème 1.3 :
limite d’une combinaison linéaire
Théorème 1.4 :
limite d’une composée
Théorème 1.5 :
limite d’un produit et d’un quotient de fonctions réelles de variable vectorielle
Théorème 1.6 :
utilisation d’une base de l’espace d’arrivée, fonctions composantes
Théorème 1.7 :
image d’une suite convergente
Théorème 1.8 :
caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite
Définition 1.4 :
relations de comparaison
2. Continuité des fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 2.1 :
fonction continue en un point, sur un ensemble
Définition 2.2 :
fonction prolongeable par continuité en un point
Théorème 2.1 et définition 2.3 : C0(A,F)
Théorème 2.2 et définition 2.4 : C0(A)
Théorème 2.3 :
continuité d’une composée
Théorème 2.4 :
continuité d’une restriction
Théorème 2.5 :
utilisation d’une base, fonctions composantes
Définition 2.5 :
fonction k-lipschitzienne
Théorème 2.6 :
composée de fonctions lipschitziennes
Théorème 2.7 :
continuité des fonctions lipschitziennes
3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires entre espaces vectoriels normés de dimension
finie.
Théorème 3.1 :
continuité d’une application linéaire en dimension finie
Théorème 3.2 et définition 3.1 : norme subordonnée ou attachée à des normes
Théorème 3.3 :
propriété de norme d’algèbre dans L(E)
Théorème 3.4 :
continuité d’une application bilinéaire en dimension finie
4. Continuité et topologie.
Théorème 4.1 :
image réciproque d’ouverts et de fermés par une fonction continue
Théorème 4.2 :
cas des fonctions à valeurs réelles
Définition 4.1 et théorème 4.3 : fonction bornée
Définition 4.2 et théorème 4.4 : B(A,F)
Théorème 4.5 :
image continue d’un compact
5. Dérivabilité des fonctions de variable réelle à valeurs vectorielles.
Définition 5.1 :
dérivabilité en un point d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Définition 5.2 :
dérivabilité à droite et à gauche en un point
Théorème 5.1 :
lien entre dérivabilité à droite, à gauche et dérivabilité en un point
Théorème 5.2 :
caractérisation de la dérivabilité à l’aide d’un développement limité
Théorème 5.3 :
cas d’une composée avec une application linéaire ou bilinéaire
Définition 5.3 :
dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée, fonction de classe C1
Théorème 5.4 :
utilisation d’une base, fonctions composantes
Théorème 5.5 :
caractérisation des fonctions dérivables constantes sur un intervalle
Définition 5.4 :
fonction de classe Cn, C∞
Théorème 5.6 et définition 5.5 : Cn(I,F), C∞(I,F), Cn(I,K), C∞(I,K)
Théorème 5.7 :
cas d’une composée avec une application de dans Définition 5.6 :
C1-difféomorphisme, Ck-difféomorphisme
Théorème 5.8 :
caractérisation des Ck-difféomorphismes
6. Intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable réelle, continue par morceaux.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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Théorème 6.1 et définition 6.1 : intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable réelle,
continue par morceaux
Théorème 6.2 :
linéarité de l’intégrale sur un segment
Définition 6.2 :
intégrale dont les bornes sont égales ou inversées
Théorème 6.3 :
relation de Chasles
Théorème 6.4 :
intégrales de fonctions égales sauf en un nombre fini de points
Définition 6.3 :
intégrale d’une fonction définie sur un segment sauf en un nombre fini de points
Théorème 6.5 :
utilisation d’une suite de fonctions en escalier pour définir l’intégrale d’une fonction
continue par morceaux sur un segment
Théorème 6.6 :
inégalité de la moyenne
Théorème 6.7 :
image d’une intégrale par une application linéaire
7. Primitives d’une fonction vectorielle de variable réelle.
Définition 7.1 :
primitive sur un intervalle d’une fonction vectorielle de variable réelle
Théorème 7.1 :
liens entre les différentes primitives d’une fonction continue ou continue par morceaux
sur un intervalle
Théorème 7.2 :
primitive s’annulant en un point
Théorème 7.3 :
lien primitive-dérivée
Théorème 7.4 :
intégrale dont les bornes dépendent d’un paramètre
Théorème 7.5 :
changement de variable
8. Formule des accroissements finis, formule de Taylor, développements limités.
Théorème 8.1 :
inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 à valeurs vectorielles
Théorème 8.2 :
dérivabilité obtenue par limite
Théorème 8.3 :
généralisation du théorème 8.2
Théorème 8.4 :
formule de Taylor avec reste intégral
Théorème 8.5 :
inégalité de Taylor-Lagrange
Définition 8.1 :
développement limité d’une fonction à valeurs vectorielles
Théorème 8.6 :
développement limité à l’ordre 1 d’une primitive de fonction continue
Théorème 8.7 :
intégration des développements limités
Théorème 8.8 :
égalité de Taylor-Young
Théorème 8.9 :
dérivation des développements limités
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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Fonctions à valeurs réelles ou vectorielles.
Chap. 11 : résultats.
1. Limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 1.1 : limite en un point d’une fonction à valeurs vectorielles
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
On dit que f admet une limite en a si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
Définition 1.2 : limite en ±∞ d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Soient (F,N’) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’un intervalle I de de type [a,+∞) ou ]a,+∞) dans F.
On dit que f admet une limite en +∞ si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ M ∈ , ∀ x ∈ I, (x ≥ M) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
De même, si f est une fonction définie d’un intervalle I de de type (-∞,a] ou (-∞,a[ dans F, on dit que f
admet une limite en -∞ si et seulement si :
∃ L ∈ F, ∀ ε > 0, ∃ M ∈ , ∀ x ∈ I, (x ≤ -M) ⇒ (N’(f(x) – L) ≤ ε).
Définition 1.3 : limite infinie en un point d’une fonction réelle de variable vectorielle
Soient (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans , et soit a un point adhérent à A.
On dit que f admet pour limite ±∞ en a si et seulement si :
• ∀ M ∈ , ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (f(x) ≥ M), pour une limite égale à +∞, et :
• ∀ M ∈ , ∃ α > 0, ∀ x ∈ A, (N(x – a) ≤ α) ⇒ (f(x) ≤ -M), pour une limite égale à -∞.
Théorème 1.1 : unicité d’une limite
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
L’existence d’une limite pour f en a ne dépend des normes choisies dans E et F puisqu’elles y sont
toutes équivalentes et si elle existe, c’est la même pour toutes les normes dans E ou F.
De plus, si f admet une limite en a, cette limite est unique et on la note alors lim f ( x ) ou lim f .
x→a
a
Théorème 1.2 : valeur de la limite en a lorsque f est définie en a
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un élément de A.
Si f admet une limite en a, cette limite ne peut être que f(a).
Théorème 1.3 : limite d’une combinaison linéaire
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soient f et g des fonctions définies d’une partie A de E dans F, λ et µ des éléments de K et soit a un
point adhérent à A.
Si f et g admettent des limites en a, alors [λ.f + µ.g] admet une limite en a et :
lim[λ.f + µ.g ] = λ. lim f + µ. lim g .
a
a
a
Théorème 1.4 : limite d’une composée
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans B inclus dans F, g une fonction définie de B dans G
et soit a un élément adhérent à A.
Si f admet une limite b en a, avec b adhérent à B, et si g admet une limite c en b, alors gof admet pour
limite c en a.
Théorème 1.5 : limite d’un produit et d’un quotient de fonctions réelles de variable vectorielle
Soit (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soient f et g deux fonctions d’une partie A de E dans K, et soit a un élément adhérent à A.
Si f et g admettent des limites en a, alors [f.g] admet une limite en a et : lim[f .g ] = lim f . lim g .
a
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
a
a
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De plus, si la limite de g en a est non nulle, alors il existe une boule ouverte B centrée en a telle que g
lim f ( x )
f 
f
admet une limite en a telle que : lim ( x ) = x →a
.
x →a g
g
lim g ( x )
 
x →a
ne s’annule pas sur B, et la fonction
Théorème 1.6 : utilisation d’une base de l’espace d’arrivée, fonctions composantes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
On note : B’ = (e’1, …, e’n), une base de F, et (f1, …, fn) les fonctions composantes de f dans la base
n
B’, c’est-à-dire : f =
∑ f .e ' .
i =1
i
i
Alors f admet une limite en a si et seulement si les fonctions fi (à valeurs dans K) admettent des limites
en a, et on a alors : lim f =
a
n
∑ (lim(f )).e ' .
i =1
a
i
i
En particulier, une fonction de A dans qui s’écrit : f = Re(f) + i.Im(f), où Re(f) et Im(f) sont des fonctions
de A dans , admet une limite en a si et seulement si Re(f) et Im(f) admettent des limites en a et alors :
lim f = lim Re(f ) + i. lim Im(f ) .
a
a
a
Théorème 1.7 : image d’une suite convergente
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
Si f admet une limite L en a et si (an) est une suite d’éléments de A qui converge vers a, alors la suite
(f(an)) est convergente de limite L, soit : lim f (a n ) = lim f .
+∞
a
Théorème 1.8 : caractérisation séquentielle de l’existence d’une limite
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A.
Alors f admet une limite L en a et si et seulement si, pour toute suite (an) d’éléments de A qui converge
vers a, la suite (f(an)) est convergente.
Toutes les suites (f(an)) convergent alors vers la même limite qui est la limite de f en a.
Définition 1.4 : relations de comparaison
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et ϕ une fonction de A dans .
On dira que f est dominée par ϕ au voisinage de a (et on le notera : f = O(ϕ)), si et seulement si :
∃ k > 0, ∀ x ∈ A, N’(f(x)) ≤ k.|ϕ(x)|.
De même, on dira que f est négligeable devant ϕ au voisinage de a (et on le notera : f = o(ϕ)), si et
seulement si ϕ ne s’annule pas sur un voisinage de a (sauf éventuellement en a) et : lim
a
f
=0.
ϕ
2. Continuité des fonctions à valeurs vectorielles.
Définition 2.1 : fonction continue en un point, sur un ensemble
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un élément de A.
On dit que f est continue en a si et seulement si f admet une limite en a (qui est donc f(a)).
On dit de même que f est continue sur A si et seulement si f est continue en tout point de A.
On dit alors que f est de classe C0 sur A.
Définition 2.2 : fonction prolongeable par continuité en un point
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F, et soit a un point adhérent à A, qui n’appartient
pas à A.
Si f admet une limite L en a, on peut alors définir f0, prolongement par continuité de f en a, en posant :
• ∀ x ∈ A, f0(x) = f(x),
• f0(a) = L.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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La fonction f0 est alors continue en a.
Théorème 2.1 et définition 2.3 : C0(A,F)
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soient f et g des fonctions définies et continues d’une partie A de E dans F, et λ et µ des éléments de K.
Alors [λ.f + µ.g] est continue sur A.
L’ensemble C0(A,F) des fonctions continues de A dans F est un sous-espace vectoriel de F(A,F).
Théorème 2.2 et définition 2.4 : C0(A)
Soit (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soient f et g deux fonctions définies et continues d’une partie A de E dans K.
Alors [f.g] est continue sur A.
De plus, si g ne s’annule pas sur A, la fonction
f
est continue sur A.
g
L’ensemble C0(A) des fonctions continues de A dans K est une sous-algèbre de F(A,K).
Théorème 2.3 : continuité d’une composée
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et continue d’une partie A de E dans B inclus dans F, g une fonction définie et
continue de B dans G.
Alors gof est continue sur A.
Théorème 2.4 : continuité d’une restriction
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et continue d’une partie A de E dans F et soit : A’ ⊂ A.
Alors f est continue sur A’.
Théorème 2.5 : utilisation d’une base, fonctions composantes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F.
On note : B’ = (e’1, …, e’n), une base de F, et (f1, …, fn) les fonctions composantes de f dans la base
n
B’, c’est-à-dire : f =
∑ f .e ' .
i =1
i
i
Alors f est continue sur A si et seulement si les fonctions composantes de f sont continues sur A.
En particulier, une fonction de A dans est continue sur A si et seulement si ses fonctions « partie
réelle » et « partie imaginaire » le sont.
Définition 2.5 : fonction k-lipschitzienne
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction de E dans F.
On dit que f est k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’) si et seulement si :
∀ (x,x’) ∈ E2, N’(f(x) – f(x’)) ≤ k.N(x – x’).
On peut aussi parler de fonction k-lispchitzienne d’une partie A de E dans F.
Théorème 2.6 : composée de fonctions lipschitziennes
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’) et g, k’-lipschitzienne de (F,N’) dans (G,N’’).
Alors gof est [k.k’]-lipschitzienne de (E,N) dans (G,N’’).
Théorème 2.7 : continuité des fonctions lipschitziennes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction k-lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’).
Alors f est continue sur E.
3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires entre espaces vectoriels normés de dimension
finie.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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Théorème 3.1 : continuité d’une application linéaire en dimension finie
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit u une application linéaire de E dans F.
Alors u est lipschitzienne de (E,N) dans (F,N’) et donc continue de E dans F.
Théorème 3.2 et définition 3.1 : norme subordonnée ou attachée à des normes
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit u une application linéaire de E dans F.
Alors l’application définie par : ∀ u ∈ L(E,F), u = sup N ' (u ( x )) , définit une norme sur L(E,F) appelée
N ( x )≤1
norme d’une application subordonnée (ou attachée) aux normes N et N’.
Théorème 3.3 : propriété de norme d’algèbre dans L(E)
Soient (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
L’application . définie sur L(E) par : ∀ u ∈ L(E), u = sup N (u ( x )) , vérifie :
N ( x )≤1
• ∀ u ∈ L(E), u = sup N (u ( x )) = sup
N ( x ) =1
x≠0
N(u ( x ))
,
N(x )
• ∀ (u,v) ∈ L(E) , vou ≤ u . v (propriété de norme d’algèbre).
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Théorème 3.4 : continuité d’une application bilinéaire
Soient (E,N), (F,N’), (G,N’’) trois K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Alors toute application bilinéaire de E×F dans G est continue.
En particulier, les applications suivantes sont continues :
• de K×E dans E, (λ,u) a λ.u,
• de L(E)×L(E) dans L(E), (u,v) a uov.
4. Continuité et topologie.
Théorème 4.1 : image réciproque d’ouverts et de fermés par une fonction continue
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction continue de E dans F.
Si Ω est un ouvert de F, l’image réciproque f-1(Ω) de Ω par f est un ouvert de E.
De même, si A est un fermé de F, l’image réciproque f-1(A) de A par f est un fermé de E.
Théorème 4.2 : cas des fonctions à valeurs réelles
Soient (E,N) un K-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit f une fonction continue de E dans .
Alors pour tout réel α, les ensembles :
• f-1(]α,+∞)) = {x ∈ E, f(x) > α},
• f-1((-∞,α[) = {x ∈ E, f(x) < α},
sont des ouverts de E, et les ensembles :
• f-1({α}) = {x ∈ E, f(x) = α},
• f-1([α,∞)) = {x ∈ E, f(x) ≥ α},
• f-1((-∞,α]) = {x ∈ E, f(x) ≤ α},
sont des fermés de E.
Définition 4.1 et théorème 4.3 : fonction bornée
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie d’une partie A de E dans F.
On dit que f est bornée sur A si et seulement si : ∃ M ∈ +, ∀ x ∈ A, N’(f(x)) ≤ M.
Cette notion est invariante si on remplace les normes choisies par des normes équivalentes, et ne
dépend donc pas des normes choisies lorsque E et F sont de dimension finie.
Définition 4.2 et théorème 4.4 : B(A,F)
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et bornée d’une partie A de E dans F.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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On peut alors définir : f
∞
= sup N' (f ( x )) .
x∈A
L’ensemble B(A,F) des fonctions définies de A dans F et bornées sur A peut être muni d’une structure
de K-espace vectoriel et l’application . ∞ définit une norme sur cet espace.
Théorème 4.5 : image continue d’un compact
Soient (E,N) et (F,N’) deux K-espaces vectoriels normés de dimension finie.
Soit f une fonction définie et continue d’une partie A de E dans F, et soit C un compact de E.
Alors f(C) est un compact de F.
En particulier, si : F = , alors f admet un maximum et un minimum sur C et atteint ses bornes sur C.
5. Dérivabilité des fonctions de variable réelle à valeurs vectorielles.
Définition 5.1 : dérivabilité en un point d’une fonction de variable réelle à valeurs vectorielles
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F et soit a un réel élément de I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim
x →a
f (a + h ) − f ( a )
existe dans F.
h
Cette limite est alors notée f’(a).
Définition 5.2 : dérivabilité à droite et à gauche en un point
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F, et soit a un réel élément de I.
f ( a + h ) − f (a )
existe dans F.
x →a
h
>
On dit que f est dérivable à droite en a si et seulement si lim
Cette limite est alors notée f’d(a).
De même on dit que f est dérivable à gauche en a si et seulement si lim
x →a
<
f ( a + h ) − f (a )
existe dans F.
h
Cette limite est alors notée f’g(a).
Théorème 5.1 : lien entre dérivabilité à droite, à gauche et dérivabilité en un point
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F et soit a un réel intérieur à I.
f est alors dérivable en a si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche avec : f’d(a) = f’g(a).
Dans ce cas on a : f’(a) = f’d(a) = f’g(a).
Théorème 5.2 : caractérisation de la dérivabilité à l’aide d’un développement limité
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F, et soit a un réel élément de I.
f est dérivable en a si et seulement si il existe : α ∈ F, et une fonction ε telle que, pour tout réel h
vérifiant : (a + h) ∈ I, on a : f(a + h) = f(a) + h.α + h.ε(h), avec : lim ε(h ) = 0 .
h →0
De plus, si f est dérivable en a, elle est continue en a.
Théorème 5.3 : cas d’une composée avec une application linéaire ou bilinéaire
Soient I un intervalle de et F et G des K-espaces vectoriels de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F, a un réel élément de I et : u ∈ L(F,G).
Si f est dérivable en a, alors uof est dérivable en a et : (uof)’(a) = u(f’(a)).
De même soient f et g des fonctions de I dans F, a un réel élément de I et B une application bilinéaire de
F×F dans G.
Alors si f et g sont dérivables en a, la fonction : x a B(f(x),g(x)), est dérivable en a, et :
[B(f,g)]’(a) = B(f(a),g’(a)) + B(f’(a),g(a)).
Définition 5.3 : dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée, fonction de classe C1
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F.
On dit que f est dérivable sur I si et seulement si f est dérivable en tout point de I.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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La fonction f’ ainsi définie est alors appelée fonction dérivée de f.
On dit que f est de classe C1 sur I si et seulement si f est dérivable sur I et f’ est continue sur I.
Théorème 5.4 : utilisation d’une base, fonctions composantes
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction définie de I dans F.
On note : B’ = (e’1, …, e’n), une base de F, et (f1, …, fn) les fonctions composantes de f dans la base
n
B’, c’est-à-dire : f =
∑ f .e ' .
i =1
i
i
Alors f est dérivable sur I si et seulement si les fonctions composantes de f sont dérivables sur I.
De même f est de classe C1 sur I si et seulement si les fonctions composantes de f le sont.
Dans ce cas, si : ∀ a ∈ I, f(a) = f1(a).e1’ + … + fn(a).en’, alors : f’(a) = f1’(a).e1’ + … + fn’(a).en’.
De même, f est de classe Cn sur I si et seulement si les fonctions composantes de f le sont, et on peut
obtenir la dérivée nième de f sur I en dérivant n fois les fonctions composantes de f sur I.
Théorème 5.5 : caractérisation des fonctions dérivables constantes sur un intervalle
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f définie, continue et dérivable sur I.
Alors f est constante sur I si et seulement si : f’ = 0.
Définition 5.4 : fonction de classe Cn, C∞
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans F.
Pour : k ≥ 1, on dit que f est de classe Ck sur I si et seulement si f est dérivable sur I et f’ est de classe
Ck-1 sur I.
On dit de même que f est de classe C∞ sur I si et seulement si f est de classe Ck, pour tout : k ∈ .
Théorème 5.6 et définition 5.5 : Cn(I,F), C∞(I,F), Cn(I,K), C∞(I,K)
Soient I un intervalle de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit : n ∈ ∪ {+∞}.
L’ensemble Cn(I,F) des fonctions de classe Cn de I dans F est un sous-espace vectoriel de F(I,F).
En particulier, la dérivation des fonctions de classe C1 et, pour un entier : n ≥ 1, la dérivation nième des
fonctions de classe Cn sur I sont des opérations linéaires.
Théorème 5.7 : cas d’une composée avec une application de dans Soient I et J des intervalles de et F un K-espace vectoriel de dimension finie.
Soit : k ∈ *.
Soit ϕ une fonction de classe Ck de I dans J et f une fonction de classe Ck de J dans F.
Alors foϕ est une fonction de classe Ck de I dans F.
Définition 5.6 : C1-difféomorphisme, Ck-difféomorphisme
Soient I et J des intervalles de , et soit : k ≥ 1, ou : k = +∞.
On dit que ϕ est un Ck-difféomorphisme de I sur J si et seulement si :
• ϕ est bijective de I dans J,
• ϕ est de classe Ck sur I,
• ϕ-1 est de classe Ck sur J.
Théorème 5.8 : caractérisation des Ck-difféomorphismes
Soient I et J des intervalles de , et soit : k ≥ 1, ou : k = +∞.
Une fonction ϕ de I dans J est un Ck-difféomorphisme de I sur J si et seulement si :
• ϕ est de classe Ck sur I,
• ϕ(I) = J,
• ∀ t ∈ I, ϕ’(t) ≠ 0.
6. Intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable réelle, continue par morceaux.
Théorème 6.1 et définition 6.1 : intégrale sur un segment d’une fonction vectorielle de variable
réelle, continue par morceaux
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
-8-
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit : B = (e1, …, en) une base de E et f une fonction de [a,b] dans E, continue par morceaux sur [a,b],
telle que : f =
n
∑ f .e
i =1
n
Alors
∑  ∫
b
a
i =1
i
i
.
f i .e i est indépendant de la base B de E choisie, et cette valeur commune à toutes les

bases de E est appelée intégrale de f sur [a,b], et est notée :
∫
b
a
n
b
f = ∑  ∫ f i .e i ,
a

i =1 
∫
b
a
∫
f ( t ).dt , ou
[ a ,b ]
f.
Théorème 6.2 : linéarité de l’intégrale sur un segment
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soient f et g, continues par morceaux de [a,b] dans E, et : λ ∈ .
Alors (λ.f + g) est continue par morceaux de [a,b] dans E, et :
∫
b
a
b
b
a
a
(λ.f + g) = λ.∫ f + ∫ g .
Définition 6.2 : intégrale dont les bornes sont égales ou inversées
Soient : a > b, et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Pour f continue par morceaux de [b,a] dans E, on note
∫
b
a
f ( t ).dt la valeur :
∫
b
a
a
f ( t ).dt = − ∫ f ( t ).dt .
b
a
∫ f ( t).dt = 0 .
On note également :
a
Cette définition est cohérente avec celle prise pour les fonctions à valeurs réelles.
Théorème 6.3 : relation de Chasles
Soit [a,b] un segment de , et : a < c < b, et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Alors pour toute fonction f, continue par morceaux de [a,b] dans E, les restrictions de f à [a,c] et [c,b]
sont continues par morceaux respectivement de [a,c] et [c,b] dans E et :
∫
b
a
c
b
a
c
f ( t ).dt = ∫ f ( t ).dt + ∫ f ( t ).dt .
La relation de Chasles reste valable pour : a ≤ b ≤ c, (ou : c ≤ a ≤ b) et f continue par morceaux de [a,c]
(ou [c,b]) dans E.
Théorème 6.4 : intégrales de fonctions égales sauf en un nombre fini de points
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soient f et g, continues par morceaux de [a,b] dans E.
Si f et g sont égales sur [a,b], sauf en un nombre fini de valeurs dans [a,b], alors :
∫
b
a
b
f ( t ).dt = ∫ g( t ).dt .
a
Définition 6.3 : intégrale d’une fonction définie sur un segment sauf en un nombre fini de points
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f définie de [a,b] dans E, sauf en un nombre fini de points : a ≤ a0 < … < an ≤ b, et telle que f se
prolonge en une fonction continue sur chaque intervalle[ai, ai+1], pour : 0 ≤ i ≤ n – 1, ainsi
qu’éventuellement sur [a,a0] et [an,b].
On définit la fonction f0 de [a,b] dans E par :
• ∀ x ∈ [a,b], x ∉ {a0, …, an}, f0(x) = f(x),
• ∀ x ∈ {a0, …, an}, f0(x) = 0.
La fonction f0 est alors continue par morceaux de [a,b] dans E, et on appelle intégrale de f sur [a,b] la
valeur :
∫
b
a
b
f ( t ).dt = ∫ f 0 ( t ).dt .
a
Théorème 6.5 : utilisation d’une suite de fonctions en escalier pour définir l’intégrale d’une fonction
continue par morceaux sur un segment
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f continue par morceaux de [a,b] dans E.
Il existe une suite (fn) de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur [a,b] vers f,
c'est-à-dire telle que :
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
-9-
• ∀ n ∈ , sup f n ( t ) − f ( t ) existe, et :
t∈[ a , b ]


n → +∞ t∈[ a , b ]

• lim  sup f n ( t ) − f ( t )  = 0 .

De plus, si (en) est une suite de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur [a,b] vers
f, alors la suite 
∫
b
a
e n ( t ).dt  converge vers

∫
b
a
f ( t ).dt .
Théorème 6.6 : inégalité de la moyenne
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue par morceaux de [a,b] dans E.
Alors :
∫
b
a
b
f ( t ).dt ≤ ∫ f ( t ) .dt ≤ (b − a ). sup f .
a
[ a ,b ]
Théorème 6.7 : image d’une intégrale par une application linéaire
Soit [a,b] un segment de , E et F des -espaces vectoriels de dimension finie, et : T ∈ L(E,F).
Soit f continue par morceaux de [a,b] dans E.
Alors Tof est continue par morceaux de [a,b] dans F, et :
∫
b
a
b
Tof = T ∫ f  .
 a 
7. Primitives d’une fonction vectorielle de variable réelle.
Définition 7.1 : primitive sur un intervalle d’une fonction vectorielle de variable réelle
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue de I dans E.
On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F est de classe C1 de I dans E et : F’ = f.
Si f est continue par morceaux de I dans E, on dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F
est continue de I dans E, de classe C1 sur tous les sous-intervalles de I où f est continue, et si sur ces
sous-intervalles, on a : F’ = f.
Théorème 7.1 : liens entre les différentes primitives d’une fonction continue ou continue par
morceaux sur un intervalle
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue ou continue par morceaux de I dans E.
Si F et G sont de primitives de f sur I, alors : ∃ α ∈ E, F = G + α.
Théorème 7.2 : primitive s’annulant en un point
Soit I un intervalle de , E un -espace vectoriel de dimension finie n et : a ∈ I.
Soit f continue ou continue par morceaux de I dans E.
Alors la fonction définie par : ∀ x ∈ I, F(x) =
∫
x
a
f ( t ).dt , est la primitive de f sur I s’annulant en a.
Théorème 7.3 : lien primitive-dérivée
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f de classe C1 (ou de classe C1 par morceaux) de I dans E.
Alors : ∀ (a,x) ∈ I², f ( x ) − f (a ) =
∫
x
a
f ' ( t ).dt .
En particulier, si f est continue sur I et si F est une primitive de f sur I, alors :
∀ (a,b) ∈ I2,
∫
b
a
f ( t ).dt = F(b) − F(a ) .
De plus, pour tout segment [a,b] inclus dans I, et toute norme || . || dans E, on a :
b
sup f ( t ) ≤ f (a ) + ∫ f ' .
t∈[ a , b ]
a
Théorème 7.4 : intégrale dont les bornes dépendent d’un paramètre
Soit I et J des intervalles de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue de I dans E et u et v de classe C1 de J dans I.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
- 10 -
Alors : h : x a
∫
v( x )
u(x)
f ( t ).dt , est de classe C1 sur J, et : ∀ x ∈ J, h’(x) = v’(x).fov(x) – u’(x).fou(x).
Théorème 7.5 : changement de variable
Soit I un intervalle de , [α,β] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue de I dans E, et ϕ de classe C1 de [α,β] dans I.
Alors :
∫
ϕ (β )
ϕ(α )
β
f ( t ).dt = ∫ f o ϕ(u ).ϕ' (u ).du .
α
Si f est continue par morceaux de I dans E et ϕ est de classe C1, strictement croissante de [α,β] dans I,
la formule précédente reste valable.
8. Formule des accroissements finis, formule de Taylor, développements limités.
Théorème 8.1 : inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 à valeurs
vectorielles
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n, muni d’une norme ||.||.
Soit f continue de [a,b] dans E, de classe C1 sur ]a,b[, telle que : ||f’|| ≤ λ.
Alors : ||f(b) – f(a)|| ≤ λ.(b – a).
Théorème 8.2 : dérivabilité obtenue par limite
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f continue de [a,b] dans E, de classe C1 sur ]a,b], telle que f’ admette une limite L en a.
Alors f est de classe C1 sur [a,b], et : f’(a) = L.
Théorème 8.3 : généralisation du théorème 8.2
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie n.
Si f est continue de [a,b] dans E, de classe Ck sur ]a,b], telle que f(r) admette une limite Lr en a pour
tout : r ≤ k, alors f est de classe Ck sur [a,b], et : ∀ 0 ≤ r ≤ k, f(r)(a) = Lr.
Théorème 8.4 : formule de Taylor avec reste intégral
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f de classe Cn de I dans E, de classe Cn+1 par morceaux sur I, et soit : a ∈ I.
Alors : ∀ x ∈ I, f ( x ) = f (a ) +
n
x (x − t)
(x − a)
(x − a) n (n)
.f ( n +1) ( t ).dt .
.f ' (a ) + ... +
.f (a ) + ∫
a
1!
n!
n!
Théorème 8.5 : inégalité de Taylor-Lagrange
Soit [a,b] un segment de et E un -espace vectoriel de dimension finie muni d’une norme ||.||.
Soit f de classe Cn+1 de [a,b] dans E, dont la dérivée (n+1)ième est bornée sur [a,b] par : M = sup f ( n +1) .
[ a ,b ]
Alors : f (b) − f (a ) − ... −
(b − a ) n ( n )
(b − a ) n +1
f (a ) ≤
.M .
n!.
(n + 1)!
Définition 8.1 : développement limité d’une fonction à valeurs vectorielles
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans E, et : x0 ∈ I.
On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en x0 (ou DLn(x0)) si et seulement si :
∃ (a0, …, an) ∈ En+1, ∀ x ∈ I, f ( x ) = a 0 + ... +
(x − x 0 ) n
.a n + o(( x − x 0 ) n ) .
n!
Théorème 8.6 : développement limité à l’ordre 1 d’une primitive de fonction continue
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction continue de I dans E, et : x0 ∈ I.
Si F est une primitive de f sur I, alors F admet un DL1(x0).
Théorème 8.7 : intégration des développements limités
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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Soit f une fonction de I dans E, et : x0 ∈ I.
Si f admet un DLn(x0), toute primitive de f admet un DLn+1(x0).
Théorème 8.8 : égalité de Taylor-Young
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans E de classe Cn, et : x0 ∈ I.
Alors f admet un DLn(x0) qui vaut :
∀ x ∈ I, f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ).f ' ( x 0 ) + ... +
(x − x 0 ) n (n)
.f ( x 0 ) + o(( x − x 0 ) n ) .
n!
Théorème 8.9 : dérivation des développements limités
Soit I un intervalle de et E un -espace vectoriel de dimension finie.
Soit f une fonction de I dans E dérivable sur I, et : x0 ∈ I.
Si f et f’ admettent des développements limités respectivement à l’ordre (n+1) et n en x0, on obtient celui
de f’ en dérivant celui de f.
Chapitre 11 – Fonctions à valeurs vectorielles.
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